结构化学习题答案

exp[
ix]{(i
d dx
)
exp[
ix]}*
dx



d2 dx2
, 1

exp[
ix],
* 1

exp[
ix]


* 1
1d


exp

ix(
d2 dx2
)
exp[
ix]dx
eix d (eix i)dx dx
eix i (eix i)dx
是 d2 的本征函数，本征值为 dx2
1
1.17链型共轭分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2在长 波460nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模
型估算其长度
解：该分子共有4对π电子，形成离域π键，当分子 处于基态时，8个π电子占据能级最低的前4个分 子轨道，当分子受到激发时，π电子由能级最高 的被占轨道（n=4)跃迁到能级最低的空轨道 （n=5),激发所需要的最低能量为△E=E5-E4,而与 此能量对应的吸收峰既长波460nm处的第一个强 吸收峰，按一维势箱粒子模型，可得
9.0431011 m
(c) h h
p 2meV

6.6261034 J s
2 9.1091031kg 1.6021019 C 300V
7.081011m
1.10 请指出下列算符中的线性算符 和线性自轭算符
x,
d dx
,
d2 dx2
, log, sin,
E hc (2n 1) h2

8ml 2
1
l

(2n 1)h
8mc

2
1
(2 4 1) 6.6261034 J s 460109 m 2

8 9.1091031kg 2.998108 m s1

1120pm
x

exp
ix(i
d dx
)
exp[ix]dx


exp[
ix]{(i
d dx
)
exp[
ix]}*
dx
1.12 下列函数中，哪几个是算符
d2 dx2
的本征函数？若是，求出本征值
ex ,sin x,2 cos x, x3,sin x cos x
解：d 2 dx2
ex
1 ex , ex是
解：根据de Broglie关系式：
(a)

h mv
6.626 10 34 J s 10 10 kg 0.01m s1
6.626 10 22 m
(b) h h
p 2mT

6.6261034 J s
2 1.6751027 kg 0.1eV 1.6021019 J (eV )1
x

*
1(1) d


exp[
ix]{(i
d dx
)
exp[
ix]}*
dx


exp[ix]{(i
d dx
)
exp[ix]}dx
eix[(i d )eix ]dx dx
eix (i) eix (i)dx
x

exp
ix(i
d) dx
exp[ix]dx
d2 dx 2
(f
g)
d2 f dx 2

d2g dx 2
满足线性算符的要求，是线性算符。



i
d dx
, 1

exp[ix],
* 1

exp[ix]


* 1
1d


exp
ix(i
d) dx
exp[ix]dx
eix (i d )eixdx dx
eixi eix idx
第一章 习题
1.1 将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长 λ=670.8nm，这是Li原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红
光的频率、波数以及以kJ/mol为单位的能量。
解 c 2.998 108 m s1 4.469 1014 s1

670 .8nm

1


1 670.8 107
cm

1.491104 cm1
E hN A 6.6261034 J s 4.4691014 s1 6.0231023 mol1
178.4kJ mol1
1.4 计算下述粒子的德布罗意波的波长： （a）质量为10-10kg，运动速度为0.01m·s-1的尘埃 （b）动能为0.1ev的中子 （c）动能为300ev的自由电子
,i d dx
解：由线性算符和线性自轭算符的定义可知：
d d2 x, dx , dx2
为线性算符，i
d dx
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,
d2 dx2
为线性自轭算符
f (x), g(x), x( f g) xf xg
f (x), g(x), d ( f g) df dg
dx
dx dx
f (x), g(x),
x

*
1(1) d

exp[
ix]{(
d2 dx2
)
exp[
ix]}*
dx
d2
exp[ ix]{( dx2 ) exp[ ix]}dx
eix{ d [eix (i)]}dx dx
eix (i) eix (i)dx
eix (i) [eix (i)]dx
aa
a aa
a
2 (sin x 1 sin 3x 1 sin x)
a a2 a 2 a
1 2 sin x 1
2a a 2

1 2

1

1 2

3
d2 dx2
的本征函数，本征值为
1
d2 dx2
sin
x

1
s
in
x,
s
in
x是
d2 dx2
的本征函数，本征值为
1；
d2 dx2
2
cos
x

2
cos
x,2
cos
x是
d2 dx2
的本征函数，本征值为
1
d2 dx2
x3

6x

cx3, x3不是
d2 dx2
的本征函数
ddx22（sinx cos x) (sin x cos x), sin x cos x
计算结果与按分子构型参数估算所得 结果吻合
1.17 设粒子处在0-a范围内的一维无限深势阱中运动，其状态可用波函数
(x) 4 sin x cos2 x
aa
a
表示，试估算 （1）该粒子能量的可能测量值及相应的概率； （2）能量平均值
解（1）利用三角函数的性质，直接将ψ(x)展开
(x) 4 sin x cos2 x 2 sin x (1 cos 2x )