第二章圆锥曲线与方程单元测试卷

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圆锥曲线与方程测试题及参考答案

高中数学选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题及参考答案（时间120分钟总分150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

每小题只有一个选项符合题目意思）1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 ( C ) A.12 B. 23 C.34 D.452.已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 ( D )A.2833x y =B. 21633x y = C. 28x y = D. 216x y = 3.已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= ( C )A.14B.35C.34D.454.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心学率为32.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为 ( D )A.22182x y += B.221126x y += C.221164x y += D.221205x y += 5.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(A)A.5B.42C.3D.56.方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 ( B ) A.28条 B.32条 C.36条 D.48条7.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =; 则AOB ∆的面积为 ( C )A.22B.2C.322D.228.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2。

高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》单元测试卷及答案2套

高中数学选修一第二章《圆锥曲线与方程》单元测试卷及答案2套单元测试卷一(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12C ．2D ．4 2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 4．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( )A ．1B ．a 2C ．b 2D ．c 25．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 6．设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2，5)C ．(2,5)D ．(2，5)7．过点M (2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则这样的直线的条数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．08．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦距，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则FB →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．39．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)10．若动圆圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)11．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )A.（32，54） B ．(1,1)C. （32，94） D ．(2,4)12．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( )A.（34π，π）B.（π4 ，π）C.（π2 ，π）D.（π2 ，34π）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．14．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点（b2，0）分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．16．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题：①曲线C 不可能表示椭圆；②当1<k <4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52.其中所有正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．18．(12分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．19.(12分)直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2，求弦AB 的长．20．(12分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆的方程； (2)△PF 1F 2的面积．21.(12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．22．(12分)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程；（2）若OA →⊥OB →，求k 的值．答案1．A 2．B 3．B 4．D 5．B 6．B 7．B8．B 9．C 10．B 11．B 12．D13.3214．2x －y －15＝015.2216．③④17．解设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1.∵M 是线段PP ′的中点，x 0＝x ， x 0＝x ，∴ y 0＝y 2，把 y 0＝y2，代入x 2036＋y 209＝1，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36. ∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.18．解设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1.由椭圆x 28＋y24＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线， ∴b a＝3，解得a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.19．解将y ＝kx －2代入y 2＝8x 中变形整理得：k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧k ≠04k ＋82－16k 2>0，得k >－1且k ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得：x 1＋x 2＝4k ＋8k2＝4⇒k 2＝k ＋2⇒k 2－k －2＝0.解得：k ＝2或k ＝－1(舍去) 由弦长公式得：|AB |＝1＋k 2·64k ＋64k 2＝5×1924＝215. 20．解 (1)令F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则b 2＝a 2－c 2.因为PF 1⊥PF 2，所以kPF 1·kPF 2＝－1，即43＋c ·43－c＝－1，解得c ＝5，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1.因为点P (3,4)在椭圆上，所以9a 2＋16a 2－25＝1.解得a 2＝45或a 2＝5.又因为a >c ，所以a 2＝5舍去．故所求椭圆方程为x 245＋y 220＝1.(2)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝65， ①又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100， ② ①2－②得2|PF 1|·|PF 2|＝80，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝20.21．解焦点F (p2，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －p 2，y 2＝2px消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由韦达定理得，y 1＋y 2＝2p k，y 1y 2＝－p 2. ∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝ 1＋1k2·y 1－y 22＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2＝2p (1＋1k 2)＝52p .解得k ＝±2.∴AB 所在的直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)．22．解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)、(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－32＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)>0恒成立．故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.单元测试卷二(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 2．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|PA |＋|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( )A.（a 2，0） B ．(0, 12a )C. （a 4，0） D ．(0, 14a)4．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)6．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )A.22B.12C.2－12D.347．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A.125 B.65 C ．2 D.559．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为( ) A ．－2 B ．0C ．－2或0D ．－2或210．从抛物线y 2＝8x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PFM 的面积为( )A ．5 6B ．6 5C ．10 2D ．5 211．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标为2，则k 等于( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 512．设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左右焦点。

选修2-1第二章圆锥曲线与方程测试(含解析答案)

第二章圆锥曲线与方程单元综合测试班别：姓名：成绩：一、选择题(每小题5分，共60分) 1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )A.32B.34C.22D.232．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( )A ．－1B ．1C ．－1020D.1023．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)4．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB | 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．37．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 8．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝0 9．过椭圆x 24＋y 22＝1的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，已知双曲线的焦点在x 轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A 、B 两点，则双曲线的离心率e 为( )A.12B.22C.62D.3210．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则m ＋n 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．以上都不对11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b <0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，若 PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c ＝a 2＋b 2)，则双曲线的离心率为( ) A.1＋52 B.1＋32 C ．2 D.1＋2212．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3] 二、填空题(每小题5分，共20分)13．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是．14．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__________， ∠F 1PF 2的大小为________．15．已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，交F 2P 的延长线于M ，则点M 的轨迹方程是． 16．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为3π4的直线交抛物线于P ，Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ 的面积等于__________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共60分)17．(10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．18、（12分）知抛物线xy42 ，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．19．(12分)已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为－23，求此双曲线的方程．20．(12分)已知A (2，0)、B (－2，0)两点，动点P 在y 轴上的射影为Q ，P A →·PB→＝2PQ →2.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设直线m 过点A ，斜率为k ，当0<k <1时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2，试求k 的值及此时点C 的坐标．21．（14分）已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13. （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设M (0，－1)，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，若要使|MA |＝|MB |，试求k 的取值范围．第二章圆锥曲线与方程单元综合测试参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．A 解析：∵a ＝1，b ＝12，∴c ＝a 2－b 2＝32，∴e ＝c a ＝32，故选A.2．A 解析把方程化为标准形式－x 2－1m ＋y 2－3m＝1，则a 2＝－3m ，b 2＝－1m ，∴c 2＝a 2＋b 2＝－4m ＝4，∴m ＝－1.3．B 解析：∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a 2＝4－k4∈(1,4)，k ∈(－12,0)．4．D 解析：设M (2,0)，由题设可知，把直线x ＝－1向左平移一个单位即为直线x ＝－2，则点P 到直线x ＝－2的距离等于|PM |，所以动点P 的轨迹为抛物线，故选D. 5．D 解析：依题意知|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2，作图可知点P 的轨迹为线段，故选D. 6．B 解析：不妨设双曲线C 为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，并设l 过F 2(c,0)且垂直于x 轴，则易求得|AB |＝2b 2a ，∴2b 2a ＝2×2a ，b 2＝2a 2，∴离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝3，故选B.7．B 解析：由定义|AB |＝5＋2＝7，∵|AB |min ＝4，∴这样的直线有且仅有两条．8．D 解析：设l 与椭圆的两交点分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则得y 21－y 22x 21－x 22＝－936，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12.故方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.9．C 解析：A (2，1)，B (2，－1)，设双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±b a x ，因为A 、B 在渐近线上，所以1＝b a ·2，b a ＝22，e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝62.10．C 解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，故双曲线x 2m －y 2n ＝1中m >0，n >0，且m ＋n ＝c 2＝1.11．A 解析：由PF 1→·PF 2→＝0可知△PF 1F 2为直角三角形，则由勾股定理，得 |PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，① 由双曲线的定义，得(|PF 1→|－|PF 2→|)2＝4a 2，② 又|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，③ 由①②③得c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)． 12．D 解析：|PF 1|2|PF 2|＝2a ＋|PF 2|2|PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥4a ＋4a ＝8a ，当且仅当4a 2|PF 2|＝|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时取等号．这时|PF 1|＝4a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，得6a ≥2c ，即e ＝ca ≤3，得e ∈(1,3]，故选D. 二、填空题(每小题5分，共20分)13．x 29－y 2＝1 解析：由双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，知b a ＝13，它的一个焦点是 (10，0)，知a 2＋b 2＝10，因此a ＝3，b ＝1，故双曲线的方程是x 29－y 2＝1.14．2；120° 解析：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×3＝6，因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝2.在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°.15．(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 2 解析：由题意知|MP |＝|F 1P |，∴|PF 1|＋|PF 2|＝|MF 2|＝2a .∴点M 到点F 2的距离为定值2a .∴点M 的轨迹是以点F 2为圆心，以2a 为半径的圆，其方程为(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 2.16．2 2 解析设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，F 为抛物线焦点，由2(1)4y x y x=--⎧⎨=⎩,得y 2＋4y －4＝0，∴|y 1－y 2|＝()()221212444442y y y y +-=-+⨯=∴S △POQ ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2. 三、解答题17．解：由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1. （10分）18． [解析]：设M （y x ,），P （11,y x ），Q （22,y x ），易求x y 42=的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=22122y y x x ⇒⎩⎨⎧=-=y y x x 21222，又Q 是OP 的中点 ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==221212y y x x ⇒⎩⎨⎧==-==yy y x x x 422422121，∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为212-=x y . （12分）19．解：设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，依题意c ＝7，∴方程可以化为x 2a 2－y 27－a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2，∵x 1＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2＝－23，解得a 2＝2. ∴双曲线的方程为x 22－y 25＝1. （12分）20．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，则点Q (0，y )，PQ →＝(－x,0)，P A →＝(2－x ，－y )， PB →＝(－2－x ，－y )，P A →·PB→＝x 2－2＋y 2.① ②∵P A →·PB →＝2PQ →2，∴x 2－2＋y 2＝2x 2，即动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2. (2)设直线m ：y ＝k (x －2)(0<k <1)，依题意，点C 在与直线m 平行且与m 之间的距离为2的直线上，设此直线为 m 1：y ＝kx ＋b . 由|2k ＋b |k 2＋1＝2，即b 2＋22kb ＝2.① 把y ＝kx ＋b 代入y 2－x 2＝2，整理，得(k 2－1)x 2＋2kbx ＋(b 2－2)＝0，则Δ＝4k 2b 2－4(k 2－1)(b 2－2)＝0，即b 2＋2k 2＝2.② 由①②，得k ＝255，b ＝105. 此时，由方程组⎩⎨⎧y ＝255x ＋105，y 2－x 2＝2，解得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝10，即C (22，10)．（12分）21． [解析]：(1)∵x 2－y 2＝1，∴c ＝ 2.设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a ＞0)， 2a ＞2c ＝22，∴a ＞ 2由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4|PF 1||PF 2|－1∵|PF 1||PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2，∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，|PF 1||PF 2|取得最大值a 2. 此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a 2－1，由题意2a 2－4a 2－1＝－13，解得a 2＝3，123222=-=-=∴c a b∴P 点的轨迹方程为x 23＋y 2＝1.(2)设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)，则由 ⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1322 将②代入①得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0 (*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点Q (x 0，y 0)的坐标满足：x 0＝x 1＋x 22＝－3km 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋3k 2 即Q (－3km 1＋3k 2，m1＋3k 2) ∵|MA |＝|MB |，∴M 在AB 的中垂线上，∴k l k AB ＝k ·m1＋3k 2＋1－3km 1＋3k 2＝－1 ，解得m ＝1＋3k 22 …③又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，即 (6km )2－4(1＋3k 2)[3(m 2－1)]＝12(1＋3k 2－m 2)＞0 ④ ，将③代入④得12[1＋3k 2－(1＋3k 22)2]＞0，解得－1＜k ＜1，由k ≠0， ∴k 的取值范围是k ∈(－1，0)∪(0，1). （14分）。

高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测卷含解析

选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 2．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|PA |＋|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a 4．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2) D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)6．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.12 C.2－12 D.347．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( ) A ．2a ＋2m B ．4a ＋2m C ．a ＋m D ．2a ＋4m8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A.125 B.65 C ．2 D.559．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．－2或0 D ．－2或210．从抛物线y 2＝8x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PFM 的面积为( ) A ．5 6 B ．6 5 C ．10 2 D ． 5 211．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标为2，则k 等于( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 512．设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF u u u u r ·2PF u u u u r ＝0，则|1PF u u u u r ＋2PF u u u u r|等于( )A ．3B ．6C ．1D ．2第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为_ ___________．14．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF u u u r＝3FB u u u r，则k ＝________.15．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点M (p,0)的直线与抛物线交于A 、B 两点，则OA u u u r ·OB uuu r ＝________.16．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝_ _______. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．18．(本小题满分12分)已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长．19.( 本小题满分12分)已知两个定点A (－1,0)、B (2,0)，求使∠MBA ＝2∠MAB 的点M 的轨迹方程．20．(本小题满分12分)已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA u u u r ·PB u u u r ＝y 2－8.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点．求证：OC ⊥OD (O 为原点)．21.( 本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．22．(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14x 2的焦点，离心率为255. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若MA u u u r ＝m FA u u u r ，MB u u u r ＝n FB u u u r，求m ＋n 的值．选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题参考答案选择题答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABDDABBABACB【第5题解析】2201.02.21 3.x y b y x a c ======∴=-=时，时，故选A.【第6题解析】2a ＝3＋1＝4.∴a ＝2，又∵c ＝m 2－m 2－1＝1，∴离心率e ＝c a ＝12.故选B.【第7题解析】∵A ，B 在双曲线的右支上，∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a ，|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m ，∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m ..故选B. 【第8题解析】如图所示过点F 作FM 垂直于直线3x －4y ＋9＝0，当P 点为直线FM 与抛物线的交点时，d 1＋d 2最小值为|3＋9|5＝125.故选A. 【第9题解析】由题意B 为抛物线的焦点．令A 的横坐标为x 0，则|AB |＝x 0＋1＝1，∴x 0＝0.故选B. 【第10题解析】由题得2,0|3,26,P p x y ∴=∴=±焦点的坐标为（），PM|=5,1526562PFM S ∆∴=⋅⋅= .故选A.【第11题解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2y 2＝8x消去y 得，k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝[－4(k ＋2)]2－4k 2×4＝64(1＋k )>0，解得k >－1，由x 1＋x 2＝4k ＋2k2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2.故选C. 【第12题解析】因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，则|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝36，故|PF 1→＋PF 2→|2＝|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝36，所以|PF 1→＋PF 2→|＝6.故选B.填空题答案第13题 22或2－1 第14题 3 第15题－p 2第16题2【第14题解析】设直线l 为抛物线的准线，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 1为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，由AF →＝3FB u u u r ，∴cos ∠BAE ＝|AE ||AB |＝12，∴∠BAE ＝60°，∴tan∠BAE ＝ 3.即k ＝ 3.故填 3.【第15题解析】直接取两个特殊点1212(2)(,2)A p B p OA OB x x y y -∴⋅=+u u u r u u u r和，222p p =-2p =-.故填－p 2.【第16题解析】设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F (1,0)，|AF |＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故|BF |＝|AF |＝2. 故填2. 【第17题答案】x 24－y 2＝1.【第17题解析】由椭圆方程为x 29＋y 24＝1，知长半轴长a 1＝3，短半轴长b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5c 2＝a 2＋b 2c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85. 【第19题答案】点M 的轨迹方程为3x 2－y 2＝3(右支)或y ＝0 (－1<x <2)．【第19题解析】设动点M 的坐标为(x ，y )．设∠MAB ＝β，∠MBA ＝α，即α＝2β， ∴tan α＝tan 2β，则tan α＝2tan β1－tan 2β.① (1)如图(1)，当点M 在x 轴上方时，tan β＝y x ＋1，tan α＝y2－x，将其代入①式并整理得3x 2－y 2＝3 (x >0，y >0)； (2)如图(2)，当点M 在x 轴的下方时， tan β＝－y x ＋1，tan α＝－y2－x，将其代入①式并整理得3x 2－y 2＝3 (x >0，y <0)；(3)当点M 在x 轴上时，若满足α＝2β，M 点只能在线段AB 上运动(端点A 、B 除外)，只能有α＝β＝0. 综上所述，可知点M 的轨迹方程为3x 2－y 2＝3(右支)或y ＝0 (－1<x <2)．【第20题答案】（1）x 2＝2y ；（2）证明见解析. 【第20题解析】(1)解 ∵A (0，－2)，B (0,4)， ∴PA →＝(－x ，－2－y )，PB →＝(－x,4－y )．【第21题答案】（1）抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1；（2）符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.【第21题解析】(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 到l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. 【第22题答案】（1）x 25＋y 2＝1；（2）m ＋n ＝10.【第22题解析】(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．抛物线方程可化为x 2＝4y ，其焦点为(0,1)，则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b ＝1.由e ＝c a＝a 2－b 2a 2＝255. 得a 2＝5，所以椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.FA u u u r ＝ (x 1－2，y 1)，FB u u u r＝(x 2－2，y 2)．∵MA →＝m FA u u u r ，MB →＝n FB u u u r ，∴m ＝x 1x 1－2，n ＝x 2x 2－2， ∴m ＋n ＝2x 1x 2－2x 1＋x 24－2x 1＋x 2＋x 1x 2，又2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＝40k 2－10－40k 21＋5k2 ＝－101＋5k2， 4－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2 ＝4－40k 21＋5k 2＋20k 2－51＋5k 2＝－11＋5k 2， ∴m ＋n ＝10.。

新人教版圆锥曲线测试卷

第二章圆锥曲线与方程单元测试一．选择题：（60分）1．方程x =所表示的曲线是（）（A ）双曲线（B ）椭圆（C ）双曲线的一部分（D ）椭圆的一部分2．椭圆14222=+a y x 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点，则a 的值是（）（A ）12 （B ）1或–2 （C ）1或12 （D ）1 3.双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）23 4. 抛物线y 2= 4x 上一点P 到焦点F 的距离是10, 则P 点的坐标是（）（A ）（9, 6）（B ）（6, 9）（C ）（±6, 9）（D ）（9,±6） 5. 若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是2，则双曲线22221x y a b-=的离心率是（） A ．54 B ．2 C ． 32D ．4 6．若双曲线1922=-my x 的渐近线l 方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为 A ．2 B ．14C ．5D ．25 7、直线y x b =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，则b =（）.2A .2B - .1C .1D -8、若直线l 过点(3,0)与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条9、已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其交于N M 、两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（） A.14322=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D.15222=-y x 10、设离心率为e 的双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，直线l 过点F 且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是（）A ．221k e -<B ． 221k e ->C ．221e k -<D ．221e k ->11、双曲线两条渐近线的夹角为60º，该双曲线的离心率为（）A ．332或2B ．332或2 C ．3或2 D ．3或2 12、若不论k 为何值，直线(2)y k x b =-+与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是（）A.(B.⎡⎣C.(2,2)-D.[]2,2- 13（选做）、椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 等于（）A ．2B ．4C ．6D ．32二、填空题（20分）1．双曲线14522=-y x 的焦点到渐近线的距离等于 . 2. 椭圆的焦点为F 1、F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN 长为532，N MF 2∆的周长为20，则椭圆的离心率为 __________ 3、双曲线22221(,0)x y a b a b-=>和直线2y x =有交点，则它的离心率的取值范围是______________ 4．已知点P(6, y )在抛物线y 2=2p x (p ＞0)上，F 为抛物线焦点，若|PF |=8, 则点F 到抛物线准线的距离等于三、简答题（70分）1．(12分) 已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1()022，-，F 2（0，22），且离心率e =223。

高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程-单元测试-及答案

高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程-单元测试-及答案高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程单元测试一、选择题（每小题5分，共60分） 1．椭圆122=+my x的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（）A ．41B ．21C ．2D ．4 2．过抛物线xy 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（） A ．10 B ．8 C ．6D ．43．若直线y ＝kx ＋2与双曲线622=-y x的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（）A ．315(-，)315 B ．0(，)315 C ．315(-，)0D ．315(-，)1-4．（理）已知抛物线xy 42=上两个动点B 、C 和点A （1，2）且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点（）A ．（2，5）B ．（-2，5）C ．（5，-2） D ．（5，2）（文）过抛物线)0(22>=p px y的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，若px x 321=+，则||PQ 等于（） A ．4p B ．5p C ．6pD ．8p5.已知两点)45,4(),45,1(--N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②322=+y x;③1222=+y x ;④1222=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（）（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④ 6．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠FAF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为（） A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322=-y xD ．1125322=-y x7．圆心在抛物线)0(22>=y x y上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（） A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y xC ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x8．双曲线的虚轴长为4，离心率26=e ，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，若过1F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，且||AB 是||2AF 的等差中项，则||AB 等于（） A ．28 B ．24 C ．22D ．8．9．（理）已知椭圆22221a y x=+（a ＞0）与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（）A ．2230<<aB ．2230<<a 或282>aC ．223<a 或 282>a D ．282223<<a（文）抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（）A ．0B ．23 C ．2D ．310．已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其相交于N M ,两点, MN 中点横坐标为32-,则此双曲线的方程是( ) (A) 14322=-y x (B)13422=-y x (C)12522=-y x(D)15222=-y x11.将抛物线342+-=x xy 绕其顶点顺时针旋转090，则抛物线方程为（）（A ）x y -=+2)1(2（B ）2)1(2-=+x y （C ）xy -=-2)1(2 （D ）2)1(2-=-x y12．若直线4=+ny mx 和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数（）A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个二、填空题（每小题4分，共16分） 13．椭圆198log 22=+y x a 的离心率为21，则a ＝________． 14．已知直线1+=x y 与椭圆122=+ny mx)0(>>n m 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标等于31-，则双曲线12222=-n y m x 的两条渐近线的夹角的正切值等于________．15．长为l (0＜l ＜1)的线段AB 的两个端点在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 中点M 到x 轴距离的最小值是________．16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆，测得近地点A 距离地面)km (m ，远地点B 距离地面)km (n ，地球半径为)km (R ，关于这个椭圆有以下四种说法：①焦距长为m n -；②短轴长为))((R n R m ++；③离心率Rn m mn e 2++-=；④若以AB 方向为x 轴正方向，F 为坐标原点，则与F 对应的准线方程为)())((m n R n R m x -++2-=，其中正确的序号为________．三、解答题（共44分）17．（本小题10分）已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上.若右焦点到直线22=+-y x 的距离为3.（1）求椭圆的方程;（2）设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M 、N.当AN AM =时，求m 的取值范围.18．（本小题10分）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围.19.（本小题12分）如图，直线与抛物线2交于),(,),(2211y x B y x A 两点，与x 轴相交于点M ，且121-=y y .（1）求证：M 点的坐标为)0,1(；（2）求证：OB OA ⊥；（3）求AOB ∆的面积的最小值.y x20．（本小题12分）已知椭圆方程为1822=+y x ，射线xy 22=（x ≥0）与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A 、B 两点（异于M ）．（1）求证直线AB 的斜率为定值；（2）求△AMB 面积的最大值．三、解答题（20分） 11．（本小题满分10分）已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ，且与双曲线122=-y x相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.12．（10分）已知椭圆2222b y a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为23．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点)0,1(-E ，若直线)0(2≠+=k kx y 与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD为直径的圆过E 点?请说明理由．圆锥曲线单元检测答案1. A2.B 3 D 4 理C 文A 5 D 6 A 7 D 8A 9 理B 文B 10 D 11 B 12 B13．24或69 14．34 15．42l 16．①③④ 17.（1）依题意可设椭圆方程为 1222=+y ax ，则右焦点F （,12-a ）由题设322212=+-a 解得32=a故所求椭圆的方程为1322=+y x .1322=+y x ………………………………………………4分.（2）设P 为弦MN 的中点，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x m kx y 得)1(36)13(222=-+++m mkx x k由于直线与椭圆有两个交点，,0>∆∴即 1322+<k m①………………6分13322+-=+=∴k mkx x x N M p 从而132+=+=k mm kx yp pmkk m x y k pp Ap 31312++-=+=∴ 又MNAP AN AM⊥∴=,，则kmk k m 13132-=++-即1322+=k m②…………………………8分把②代入①得 22m m > 解得 20<<m 由②得 03122>-=m k解得21>m .故所求m 的取范围是（2,21）……………………………………10分 18．设M )(0,0y x是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F 2的距离等于它到左准线的距离2MN ，即MNMF =2，由双曲线定义可知eMF MF eMNMF =∴=211……5分由焦点半径公式得000x eaex aex ∴=-+ee e a -+=2)1(…………………………7分而a ee e a ax ≥-+∴≥20)1( 即122≤--e e 解得1221+≤≤-e 但1211+≤<∴>e e ……………………………………10分19. (1 ) 设M 点的坐标为)0,(0x , 直线l 方程为0x my x +=, 代入x y =2得002=--x my y ① 21,y y 是此方程的两根,∴1210=-=y y x ，即M 点的坐标为（1, 0）. (2 ) ∵ 121-=y y∴ 0)1(21212122212121=+=+=+y y y y y y y y y y x x∴ OB OA ⊥.（3）由方程①，m y y =+21, 121-=y y , 且 1||0==x OM , 于是=-=∆||||2121y y OM S AOB 212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1， ∴ 当0=m 时，AOB ∆的面积取最小值1. 20．解析：（1）∵ 斜率k 存在，不妨设k ＞0，求出M （22，2）．直线MA 方程为)22(2-=-x k y ，直线AB 方程为)22(2--=-x k y ．分别与椭圆方程联立，可解出2284222-+-=k k k xA，2284222-++=k k k x B ．∴22)(=--=--BA B A B A B A x x x x k x x y y ． ∴22=AB k （定值）．（2）设直线AB 方程为mx y +=22，与1822=+y x 联立，消去y 得mxx24162+)8(2=-+m ．由0>∆得44<<-m ，且0≠m ，点M 到AB 的距离为3||m d =．设AMB ∆的面积为S ． ∴2)216(321)16(321||41222222=≤-==⋅m m d AB S ．当22±=m 时，得2max=S．11．解：直线l 与x 轴不平行，设l 的方程为 a ky x += 代入双曲线方程整理得12)1(222=-++-a kay y k ……………………3分而12≠-k ，于是122--=+=k aky y y B A T 从而12--=+=k a a ky x T T 即)1,1(22kak ak T --……5分Θ点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴k a k a kak即22+=a k①由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l TO k k 则 0=k或 122+=a k当0=k 时，由①得 la ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a k时，由①得 1=a lK ∴±=,3的方程为13+±=y x .故所求直线l 的方程为2-=x 或13+±=y x …………………………10分12．解：（1）直线AB 方程为：0=--ab ay bx ．依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=233622ba ab ac ，解得⎩⎨⎧==13b a ，∴ 椭圆方程为 1322=+y x ．（2）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=033222y x kx y ，得)31(2k +09122=++kx x ．∴)31(36)12(22>+-=∆k k ．① 设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+⋅2212213193112k x x k k x x ，② 而4)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx yy ．要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则1112211-=++⋅x y x y ，即)1)(1(2121=+++x x y y ．∴5))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ．③将②式代入③整理解得67=k ．经验证，67=k ，使①成立．综上可知，存在67=k ，使得以CD 为直径的圆过点E ．。

苏教版高中数学(选修2-1)单元测试-第二章圆锥曲线与方程

圆锥曲线与方程综合练习一、选择题：1.已知A(－1,0)，B(1,0)，点C(x,y)12=，则=+BC AC （）A ．6B ．4C ．2D ．不能确定2. 抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（1，2），设抛物线的焦点为F ，则|FA|+|FB|等于（） A ．7 B ．53 C ．6 D ．53.双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 2且垂直于x轴的弦为AB ，若︒=∠901B AF ，则双曲线的离心率为（）A ．)22(21- B ．12- C ．12+ D ．)22(21+4.若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线221(,0)x y m n m n-=>有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的交点，则21PF PF ⋅的值是（） A ．n b -B ．m a - C ． n b -D ． 2a m -5.已知F 是抛物线241x y ＝的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是（） A ．122－＝y x B ．16122－＝y x C ．212－＝y xD ．222－＝y x6. 给出下列结论,其中正确的是（）A ．渐近线方程为()0,0>>±=b a x a b y 的双曲线的标准方程一定是12222=-b y a xB ．抛物线221x y -=的准线方程是21=xC ．等轴双曲线的离心率是2 D．椭圆()0,012222>>=+n m ny m x 的焦点坐标是()(),,0,222221n mF n m F ---7.已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p 为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、48.一个椭圆中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，P （2）是椭圆上一点，且1122||||||PF F F PF 、、成等差数列，则椭圆方程为（）22222222.1.1.1.18616684164x y x y x y x y A B C D +=+=+=+=9.双曲线2214x y k +=的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（） .(,0).(12,0).(3,0).(60,12)A B C D -∞----10. 方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应11. 12,F F 是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF 的最大值是．12.已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．13.在△ABC 中，AB=BC ，7cos 18B =-．若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e= ．14.已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB>，则FA与FB的比值等于．三、解答题：15．(1)已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，焦距为10，求双曲线的标准方程。

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学人教A选修2-1第二章圆锥曲线与方程单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．设F1，F2是椭圆E：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线32ax=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()．A．12B．23C．34D．452．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()．A．y2＝－8x B．y2＝8xC．y2＝－4x D．y2＝4x3．已知双曲线222=14x yb-的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()．A．5B．42C．3 D．54．设F1，F2是双曲线22124yx-=的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()．A．42B．83C．24 D．485．过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为()．A．64 B．32C．16 D．46．以椭圆22=1164x y+内的点M(1,1)为中点的弦所在直线的方程为()．A．4x－y－3＝0 B．x－4y＋3＝0 C．4x＋y－5＝0 D．x＋4y－5＝07．已知双曲线2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()．A．22=154x y-B．22=145x y-C．22=136x y-D．22=163x y-8．若F1，F2是椭圆2214xy+=的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则|12PF PF⋅|的最大值是()．A．4 B．5C．2 D．1二、填空题(每小题6分，共18分)9．△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－6,0)，(6,0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于49-，则顶点C的轨迹方程是____________________．10．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝43，则焦点F到直线AB的距离为______．11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22．过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________．三、解答题(共3小题，共34分)12．(10分)已知直线y＝x－4被抛物线y2＝2mx(m≠0)截得的弦长为62，求抛物线的标准方程．13．(10分)已知椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左焦点F及点A(0，b)，原点O到直线F A的距离为22b．(1)求椭圆C的离心率e；(2)若点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点P在圆O：x2＋y2＝4上，求椭圆C的方程及点P的坐标．14．(14分)设椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．(1)若直线AP与BP的斜率之积为12-，求椭圆的离心率；(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足||3k>．参考答案1答案：C 解析：设直线32ax =与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝32ac -，故cos 60°＝2231222a cF M PF c -==，解得34c a =，故离心率34e =．2答案：B 解析：∵抛物线的准线方程为x ＝－2，∴抛物线的开口向右．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则其准线方程为2px =-， ∴22p-=-，解得p ＝4． ∴抛物线的标准方程为y 2＝8x ．3答案：A 解析：由双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，知32pc ==，c 2＝9＝4＋b 2，于是b 2＝5，5b =．因此该双曲线的渐近线的方程为52y x =±，即520x y ±=．故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为|35|554d ==+．4答案：C 解析：由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24，故选C ． 5答案：C 解析：由已知设OM 的斜率为k ，则ON 的斜率为1k-．从而OM 的方程为y ＝kx ，联立方程24,,y x y kx ⎧=⎨=⎩解得M 的横坐标124x k =．同理可得N的横坐标x 2＝4k 2，可得x 1x 2＝16．6答案：D 解析：设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有221122221,1641.164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得21212121()()()()164x x x x y y y y +++-=-，即212121214()16()y y x x x x y y -+=--+．而AB 的中点为M (1,1)，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，又k AB ＝2121y y x x --，所以k AB ＝4211624⨯-=-⨯，于是弦AB 所在直线的方程为y －1＝－14(x －1)，即x ＋4y －5＝0． 7答案：A 解析：由题意得2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线的方程为by x a=±，即bx ±ay ＝0．又圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，半径为2，圆心坐标为(3,0)，∴a 2＋b 2＝32＝9，且22|3|=2b a b +，解得a 2＝5，b 2＝4．∴该双曲线的方程为22=154x y -． 8答案：C 解析：依题意a 2＝4，b 2＝1，3c =，则F 1(3-，0)，F 2(3，0)．设P (x ，y )，则1PF ＝(3x --，－y )，2PF ＝(3x -，－y )．12PF PF ⋅＝x 2－3＋y 2＝x 2－3＋1－14x 2＝2324x -，因为点P 在椭圆上，所以－2≤x ≤2，故－2≤34x 2－2≤1，故12PF PF ⋅＝2324x -∈[0,2]，即12PF PF ⋅的最大值是2．9答案：22=13616x y +(x ≠±6，y ≠0) 解析：设C (x ，y )，则k AC ·k BC ＝4669y y x x ⋅=-+-，整理得4x 2＋9y 2＝144(x ≠±6，y ≠0)．10答案：2 解析：由抛物线的方程可知F (1,0)，由|AB |＝43且AB ⊥x 轴，得22(23)12A y ==，∴234A A y x ==，∴点F 到直线x ＝3的距离为2． 11答案：22=1168x y + 解析：由椭圆的第一定义可知△ABF 2的周长为4a ＝16，得a ＝4，又离心率为22，即22c a =，所以22c =，故a 2＝16，b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8，则椭圆C 的方程为22=1168x y +． 12答案：解：设直线与抛物线的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由22,4,y mx y x ⎧=⎨=-⎩得x 2－2(4＋m )x ＋16＝0，所以x 1＋x 2＝2(4＋m )，x 1x 2＝16，所以弦长＝2212(1)()k x x +-＝222[4(4)416]22(8)m m m +-⨯=+．由222(8)=62m m +，解得m ＝1或m ＝－9．经检验，m ＝1或m ＝－9均符合题意．所以所求抛物线的标准方程为y 2＝2x 或y 2＝－18x ．13答案：解：由点F (－ae,0)，点A (0，b )，及21b e a =-得直线F A 的方程为2=11x y ae e a+--，即22110e x ey ae e --+-=．∵原点O 到直线F A 的距离为2212b ae e =-， ∴222112e a ae e -⋅=-．解得22e =．答案：解：设椭圆C 的左焦点F 2,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点为P (x 0，y 0)，则有00001,2222220,22y x a x a y ⎧=⎪⎪+⎪⎨⎪-⎪⋅+=⎪⎩解得03210x a =，0225y a =． ∵P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴223222+=4105a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴a 2＝8，b 2＝(1－e 2)a 2＝4．故椭圆C 的方程为22=184x y +，点P 的坐标为68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． 14答案：解：设椭圆C 的左焦点F 2,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点为P (x 0，y 0)，则有00001,2222220,22y x a x a y ⎧=⎪⎪+⎪⎨⎪-⎪⋅+=⎪⎩解得03210x a =，0225y a =． ∵P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴223222+=4105a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴a 2＝8，b 2＝(1－e 2)a 2＝4．故椭圆C 的方程为22=184x y +，点P 的坐标为68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭．设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有220022=1x y a b+．①由A (－a,0)，B (a,0)，得00AP y k x a =+，00BP y k x a=-．由k AP ·k BP ＝12-，可得x 02＝a 2－2y 02，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 02＝0．由于y 0≠0，故a 2＝2b 2．于是222212a b e a -==，所以椭圆的离心率22e =．答案：解：证明：(方法一)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得00220022,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 0并整理得2220222a b x k a b =+．②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 02＝a 2．整理得 (1＋k 2)x 02＋2ax 0＝0．而x 0≠0，于是0221ax k -=+，代入②，整理得 (1＋k 2)2＝2244a k b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3．所以||>3k ． (方法二)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)，由点P 在椭圆上，有2220022=1x k x a b+．因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以2220022<1x k x a a+，即(1＋k 2)x 02＜a 2．③ 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 02＝a 2，整理得(1＋k 2)x 02＋2ax 0＝0，于是x 0＝221ak -+．代入③，得(1＋k 2)2224(1)a k +＜a 2，解得k 2＞3，所以||3k >．。

新人教A版(选修1-1)第二章《圆锥曲线与方程》word单元测试

圆锥曲线与方程测试⑵第I 卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)21、抛物线y =4x 的焦点坐标为( )A. (0,1)B. (1,0)C.(0,2)D. (2,0) 2、在抛物线y 2=2px 上,横坐标为4的点到焦点的距离为 5,则p 的值为()A. 2B.1C.丄D.422 23、若抛物线y2=2px(p 0)的焦点与双曲线X - y1的右焦点重合，则p 的值为124( )A.2B.4C.8D. 4 .. 224、已知抛物线y =2x 上的一个动点，则点p 到点(0,2)的距离与p 到该抛物线的距离之和的最小值为()v 17A.B.326、当a 为任意实数时，直线(a -1)x - y • 2a 7=0恒过定点p ，则过点p 的抛物线的标准方程是(C. 59 D. 25、抛物线y 2=4x 上的点 p 到抛物线的准线的距离为d 1,到直线3x-4y • 9=0的距离为d 2则d 1 d 2的最小值为(B.-)C.22A . y 2C.y 9十 2 x 或x29 2 x 或x24 =3y 42B .2D . y9十 24 x 或x y 23 9十 24或2y =2x(y 0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是7、圆心在抛物线22 小丨小 2 2 c’cA. x y -x-2y - 0B. x y x-2y 1=0 41C.x y —x-2y 1=0D. x y -x-2y 048、抛物线（x-2）2 =2（y-m • 2）的焦点在x轴上，则实数m的值为（）3A.0B.C.2D.329、过抛物线y2=4x的焦点作直线I交抛物线于A、B两点若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|等于（）A.2B.4C.6D.810、将抛物线y =x2 -4x绕其顶点顺时针旋转90°,则抛物线方程为（）A. (y I)2 =2 _xB.(y 1)2 = x _2C.(y-1)2=2-xD.(y-1)2=x-211.一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线 x ^0相切，则动圆必过定点（）A. (0,2)B. (0, 2)C. (2,0)D. (4,0)12.过抛物线2y二ax （a 0）的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点,若线段AF、BF的长分别为m、n，则』^等于（）m n1 1 aA. 一B. 一C.2aD.-2a 4a 4第H卷（非选择题共90分）、填空题（本大题共4小题,每小题4分,共16分■把答案填在题中的横线上.）13、若直线ax — y+1 =0经过抛物线y2 =4x的焦点，则实数a= ___________14、已知抛物线y=ax2-1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________15、已知圆C的圆心与抛物线y =4x的焦点关于直线y=x对称•直线4x —3y —2 =0与圆C相交与A、B两点，且| AB | = 6,则圆C的方程为_________21、(12 分)如图，直线丨与抛物线y 2=x 交于A(x 1 , yJ,B(x 2 , y 2)两点, 与x 轴相交于点M ，且 y 1 y 2 - -1 •(1) 求证：M 点的坐标为(1,0); (2) 求证：OA _ OB ； ⑶求 AOB 的面积的最小值•16、如图，过抛物线y 2=2px(p ■ 0)的焦点F 的直线丨交抛物线于点 A 、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|, 且|AF|=3,则此抛物线的方程为 ____________ .三、解答题(本大题共6小题，共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12 分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线 y =2x • 1交于P 、Q 两点,|PQ|= 15,求抛物线的方程18、(12 分)某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图2所示，某卡车载一集装箱，箱宽3m,车与箱共高此车能否通过此隧道巧青说明理由•19、（12 分）过抛物线y 2=4x 的焦点引一直线，已知直线被抛物线截得的弦被焦点分成2:1,求这条直线的方程•20、（12 分）2 2抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线 —2-=1的一个焦点 a b ，且与双曲线实轴垂直已知抛物线与双曲线的交点为3,6 •求抛物线与双曲线的方程 22ni22、(14 分)已知抛物线y2 =4x及点P(2,2)，直线l且不过点P ,与抛物线交于点 A,B,(1)求直线I在y轴上截距的取值范围；⑵若AP,BP分别与抛物线交于另一点C、D,证明:AD,BC交于定点.参考答案一、选择题2 P1.B 因为p=2,所以抛物线y =4x的焦点坐标是(”,0)=(1,0)22.A 抛物线的标准方程为x P，由抛物线的定义知4 •卫=5,解得p = 22 23.C 双曲线的右焦点为(4,0)，卫=4= p=8.214.A 依题设P在抛物线准线的投影为P',抛物线的焦点为F,则F(—,0),依抛物线的定义2知P到该抛物线准线的距离为| PP'| PF |,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d =| PF | | PA|_| AF卜9.D 易知线段AB的中点到准线的距离为4,设A,B两点到准线的距离分别为d1, d?由抛物5.D 抛物线的焦点为F(1,0)，有4 = PF ,而点F到直线的距离d =3 1-4 0 9 12 d1 d26.A由直线方程得a(x+2)—x—y十1 =0,由«!x+2=01 0，得P(-2,3), _x _ y 1=0经检验知A正确.7.D由抛物线的定义可知，所求圆与x轴相切于抛物线的焦点P(^ ,0),从而可求得圆心2(丄,1),半径r =1,所以所求圆的方程为28.B依题意得该抛物线的焦点坐标为1 (x )21(2,； (m-2)),于22(y -1)^1 .故选 D1 3是2 (『2)7,解得m = 3 222线的定义知 | AB |=| AF | | BF |= 4 d 2 = 2 4=810. B 由y =x2-4x • 3=(x-2)2 -1得(x -2)2=：y ・1,绕其顶点顺时针旋转90后开口方向改变，得到(y • 1)2=x - 22 211. C 由抛物线y =8x 的准线方程为x- -2,由题可知动圆的圆心在 y = 8x 上，且恒与抛物线的准线相切，由定义可知，动圆恒过抛物线的焦点(2,0)1 2 2 112. B 设直线方程为y =kx • 与y =ax 联立消去x 得ax -kx0 ,4a4a22k 122k 1设 A(x !,ax !),B(x 2,ax 2),则捲 x ?,xx 2,/ X 222,a4a a 2a2 221 * 1k 1 k 1n 二 ax 2 ,可得 mn ( ), m n 二 4a4a a a a amn 1 m n 4a填空题213•线 ax-y ，1=0经过抛物线 y =4x 的焦点 F(1,0),则 a • 1 = 0, a =-1211 1 214.由抛物线y =ax -1的焦点坐标(0,1)为坐标原点得，a ,则y x - 1的坐 4a 4 41标轴的交点为(0,-1),(-2,0),(2,0),则以这三点围成的三角形的面积为 4 1=22x 2 (y -1)2 =1016•设 A(x 「yj, Bg y ?)，作 AM 、BN 垂直准线于点M 、N,则 BN = BF ，又 BC =2 BF ,得 BC =2 BN ，得/NCB =30”, 有 AC =2 AM =6,设 BF =x ，则 2x+x+3 = 6二 x=1,而捲 +^=3,22 221m =ax t4a 15•抛物线的焦点为 (1,0),所以圆心坐标为2(0,1),=32(0-3-2)25"= 10,圆C 的方程为x2 — = 1，且xx 二丄，••• (3 - R)(1 -卫)=卫=p 一 ,得y2 = 3x •2 4 2 2 4 2三、解答题17•解:设抛物线的方程为y2=2px,则y 2 Px ,消去y得ly = 2x+1把y 1,y 2代入①式得k = 2 2,故所求的直线方程为 2 2x 一 y - 2 2 = 0,20.解:由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为y 2=2px(p 0,24x -(2 p -4)x 1 = 0, X | x 2 p-22，X 1X 2AB = J i +k 2x 1 -x 2亦』(为 +X 2)2_4x i X 2 = ^{(■^^2)2_4= -、3, p - 4p -12 = 0, p _ -2,或6y 2 - -4x,或 y 2 =12x18.解：取抛物线顶点为原点，水平向右为 x 轴正方向建立直角坐标系 2x 二 ~2py(p 0),当x =3时，y = —3，即取抛物线与矩形的结合点 (3, — 3), 代入x 2- -2py ，得9 =6p ,贝U p = 3，故抛物线方程为x 2- -3y .2已知集装箱的宽为 3m,取x ，则y -」x 2 - - 3.2 3 4 、、、、 3 1而隧道高为 5m, 5m m =4—m 4m .4 4,设抛物线方程为19•解:由 y 2=4x 得焦点 F(1,0)，设所求弦两端点为2，yJ ，B =(y ： 4小),y2 - -y 14 22 'y 2 y 1 yr y 244①,y 1 y 2又 AB 过焦点 F(-,0)，且 y 1y 2 2-p 2 ,故 yy 一4由②③解得丁1=2£y2 - - 2丫 1 = -<2Iy 2 = 22直线k AB将交点3, 6代入得p=2,故抛物线方程为y2=4x,焦点坐标为(1,0), V 丿这也是双曲线的一个焦点，则c =1.又点3, 6也在双曲线上，因此有-92_-^2 =1. [2丿 4a 2 b 2 又a 2 b 2 =1,因此可以解得a 2 =-, b 2 =3,44因此，双曲线的方程为Ax 2—4】/.3 21.解:⑴ 设M 点的坐标为(x 0,O),直线l 方程为= my x 0，代入y 2 =x 得2 y -my-x 0 =0 ① y 「y 2是此方程的两根，二 x()- -y 1y 2 =1,即 M 点的坐标为(i, 0).2 2 ⑵••• y“2 --1 ,•••Ex ? y 』2 y 2 y 〃2 =%丫2(%丫 2 1) =0 ••• OA _ OB .⑶由方程①，y 1 y 2 二 m , %y 2 - -1，且 |OM |=X o =1,于是 S^OB =1〔OM ||y^Y 2 |=*J(y 1 +y 2)2 —4^2 =*如2+4 > 1, •••当m = 0时，.\AOB 的面积取最小值1.22. 解:(1)设直线l 的方程为y = x • b(b = 0)，由于直线不过点 P ,因此b = 0y = x + b 22 由」2 得x +(2b-4)x+b =0,由也> 0,解得by = 4x 所以，直线丨在y 轴上截距的取值范围是 (-：：,0) 一 (0,1)2n ,m),( ,n)，因为AB 斜率为1,所以m • n = 4,42设D 点坐标为, y D ),因为B 、P 、 42 直线 AD 的方程为 y - m 二 —^D —片(x - m) y _ m 2 444 2m 2 2 2m m - 2m即直线AD 与y 轴的交点为(0,2)，同理可得BC 与y 轴的交点也为(0,2), 所以AD,BC 交于定点(0,2).2 一 m(2)设A,B 坐标分别为(—— D 共线，所以k PB = k DP ，得y D = =2 — n m — 2my 。

人教新课标版(A)高二选修1-1 第二章圆锥曲线与方程单元测试

人教新课标版（A ）高二选修1-1 第二章圆锥曲线与方程单元测试（时间：120分钟分值：150分）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 以112y 4x 22-=-的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是A. 14y 16x 22=+B. 116y 4x 22=+C. 112y 16x 22=+D. 116y 12x 22=+2. 动圆的圆心在抛物线x 8y 2=上，且动圆恒与直线02x =+相切，则动圆必过点A. （4，0）B. （2，0）C. （0，2）D. （0，-2）3. AB 是抛物线x 18y 2=的一条过焦点的弦，20|AB |=，AD 、BC 垂直于y 轴，D 、C 分别为垂足，则梯形ABCD 的中位线长为A. 5B.211 C.29 D. 104. 方程2sin y 3sin 2x 22-θ++θ=1所表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D. 焦点在y 轴上的双曲线5. 设P 为椭圆1by a x 2222=+上一点，1F 、2F 为焦点，如果∠75F PF 21=°，∠=12F PF 15°，则椭圆的离心率为A. 22B. 23C. 32D. 36 6. 以椭圆1144y 169x 22=+的右焦点为圆心，且与双曲线116y 9x 22=-的渐近线相切的圆的方程为A. 09x 10y x 22=+-+B. 09x 10y x 22=--+C. 09x 10y x 22=-++D. 09x 10y x 22=+++7. 椭圆11a 4y a 5x 222=++的焦点在x 轴上，而它的离心率的取值范围是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛51,0B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,51C. ⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛55,0D. ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡1,55 8. 设双曲线1b y a x 2222=-与1by a x 2222=+-（0a >，0b >）的离心率分别为1e 、2e ，当a 、b 变化时，21e e +的最小值是A. 4B. 24C.2 D. 229. 设椭圆12y 6x 22=+和双曲线1y 3x 22=-的公共焦点分别为1F 、2F ，P 是两曲线的一个交点，则cos ∠21PF F 的值为A.41 B.31 C.32 D. 31-10. 过抛物线x 4y 2=的顶点O 作互相垂直的两弦OM 、ON ，则M 的横坐标1x 与N 的横坐标2x 之积为A. 64B. 32C. 16D. 411. 抛物线x y 2=和圆()1y 3x 22=+-上最近的两点之间的距离是A. 1B. 2C.1210- D.1211- 12. 已知圆的方程为4y x 22=+，若抛物线过点A （-1，0）、B （1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点F 的轨迹方程是A. 14y 3x 22=+（0y ≠） B. 13y 4x 22=+（0y ≠） C. 14y 3x 22=+（0x ≠） D.13y 4x 22=+（0x ≠）二、填空题（每小题4分，共16分）13. （2004·湖南）1F 、2F 是椭圆C ：14y 8x 22=+的焦点，在C 上满足1PF ⊥2PF 的点P的个数为__________。

高中数学第二章圆锥曲线与方程测试1 A选修11 试题

圆锥曲线与方程单元测试A 组题〔一共100分〕一．选择题〔每一小题7分〕1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的间隔为3，那么P 到另一焦点间隔为〔〕 A. 2B. 3C. 5D. 72. 假设椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是〔3，0〕，那么椭圆的HY 方程为〔〕A. 116922=+y xB. 1162522=+y xC. 1251622=+y xD. 191622=+y x3. 动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的间隔之差为2，那么点P 的轨迹是〔〕A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线 4. 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距等于6，离心率等于53，那么椭圆的方程是〔〕 A.13610022=+y x B.16410022=+y x C.1162522=+y x D.192522=+y x 5. 抛物线x y 102=的焦点到准线的间隔是〔〕A.25 B. 5 C. 215D. 10 二．填空〔每一小题6分〕6. 抛物线x y 62=的准线方程为＿＿＿＿＿.20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________.8. 假设曲线1122=++ky k x 表示椭圆，那么k 的取值范围是 .221x my +=，那么它的半长轴长为_______________. 三．解答题〔13+14+14〕10.k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公一共点？有一个公一共点？没有公一共点？11. 顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线21y x =+交于P 、Q 两点，|PQ|=15，求抛物线的方程.12.椭圆的焦点为12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是椭圆上的一个点，求椭圆的方程.B 组题〔一共100分〕一．选择题〔每一小题7分〕1. 以椭圆1162522=+y x 的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程〔〕A. 1481622=-y xB. 127922=-y xC. 1481622=-y x 或者127922=-y x D. 以上都不对2. 过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，假设∠21π=Q PF ，那么双曲线的离心率e 等于〔〕A.12- B. 2 C. 12+ D. 22+3. 1F 、2F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，那么 Δ12AF F 的面积为〔〕A. 7B.47 C. 27D. 257 4. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是〔〕A. 23x y =或者23x y -= B. 23x y =C. x y 92-=或者23x y = D. 23x y -=或者x y 92=5. 过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，那么AB 的最小值为〔〕A.2pB. pC. p 2D. 无法确定二．填空：〔每一小题6分〕6．椭圆5522=+ky x 的一个焦点坐标是)2,0(，那么=k ________.7．双曲线的顶点到渐近线的间隔为2，焦点到渐近线的间隔为6，那么该双曲线的离心率为．2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是_______.9. 椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，那么△21F PF 的面积为________________________. 三．解答题〔13+14+14〕10．点(,)P x y 在曲线2221(0)4x y b b+=>上，求22x y +的最大值.11. 双曲线与椭圆1362722=+y x 有一样焦点，且经过点4)，求双曲线的方程.12. k 代表实数，讨论方程22280kx y +-=所表示的曲线.C 组题〔一共50分〕1．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，那么有〔〕Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+Ｄ．2213FP FP FP =· 2．抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上方的局部相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，那么AKF △的面积是________________.3.定点(A -，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使2AM MF +获得最小值时M 点的坐标.4．设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的间隔分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=.〔1〕证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；〔2〕过点B 作直线交双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范围，使0=⋅ON OM ，其中点O 为坐标原点.圆锥曲线与方程A 组题〔一共100分〕一．选择题： 1．D2．B3．D4．C5．B二．填空：6．32x =-7． 221205x y -=± 8．0>k9． 1,2或三．解答题：10. 解：由222236y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得2223(2)6x kx ++=，即22(23)1260k x kx +++= 22214424(23)7248k k k ∆=-+=-当272480k ∆=->，即k k ><或时，直线和曲线有两个公一共点；当272480k ∆=-=，即k k ==或当272480k ∆=-<，即k <<. 11. 解：设抛物线的方程为22y px =，那么22,21y pxy x ⎧=⎨=+⎩消去y 得 21212214(24)10,,24p x p x x x x x ---+=+==2AB x =-===，24120,2,6p p p =--==-或 22412y x y x ∴=-=，或12. 解：焦点为12(0,5),(0,5)F F -，可设椭圆方程为2222125y x a a +=-；点(3,4)P 在椭圆上，2221691,4025a a a +==-，所以椭圆方程为2214015y x +=.B 组题〔一共100分〕一．选择题： 1．B2．C3．C4．D5．C二．填空：6．1 7．3 8． (4, 2) 9．24 三．解答题： 10.解：法一：设点(2cos ,sin )P b θθ，22224cos 2sin 4sin 2sin 4x y b b θθθθ+=+=-++ 令22,sin ,(11)T x y t t θ=+=-≤≤，2424,(0)T t bt b =-++>，对称轴4bt = 当1,44b b >>即时，max 1|2t T T b ===；当01,044bb <≤<≤即时， 2max 4|44b t bT T ===+ 22max 4,04(2)42,4b b x y b b ⎧+<≤⎪∴+=⎨⎪>⎩法二：由22214x y b +=得2224(1)y x b =-令22T x y =+代入得22442y T y b =-+即22224()444b b T y b =--++〔1〕当222max 044444b b b b b x y ≤<≤==+即时〔2〕2max 424bb b x b y b >>==当时即时22max4,04(2)42,4b b x y b b ⎧+<≤⎪∴+=⎨⎪>⎩11.解：12(0,3)(0,3)F F -由题意知双曲线焦点为，可设双曲线方程为222219y x a a -=-,点4)在曲线上，代入得22436()a a ==或舍22145y x ∴-=双曲线的方程为12.解：当0k <时，曲线22184y x k-=-为焦点在y 轴的双曲线；当0k =时，曲线2280y -=为两条平行于x 轴的直线22y y ==-或；当02k <<时，曲线22184x y k+=为焦点在x 轴的椭圆；当2k =时，曲线224x y +=为一个圆；当2k >时，曲线22184y x k+=为焦点在y 轴的椭圆.C 组题〔一共50分〕1．C2．343．显然椭圆2211612x y +=的14,2,2a c e ===，记点M 到右准线的间隔为MN那么1,22MF e MN MF MN ===，即2AM MF AM MN +=+ 当,,A M N 同时在垂直于右准线的一条直线上时，2AM MF +获得最小值，此时y y M A ==2211612x y +=得x M =± 而点M在第一象限，M ∴4．解：〔1〕在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<〔常数〕，点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =的双曲线.方程为：2211x y λλ-=-.〔2〕设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上.即2111101λλλλλ-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以λ=. ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-.由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦，由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--.于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x kλλλ=--=--. 因为0=⋅ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)2101131001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩. 由①②23λ<.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量测评新人教A版选修21

高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量测评新人教A 版选修21第二章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率是( )A.52 B.32C. 3D. 5 答案 A解析由题意知，渐近线方程为kx ±y ＝0，所以k ＝14，所以e ＝52.2．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A.2m －1m －1 B.－2－m mC.2mmD ．－21－m m －1答案 C解析椭圆方程可化为x 211＋m ＋y 21m＝1，由题意知m >0，∵11＋m <1m ，∴a ＝mm ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 答案 D解析根据题意画出草图如图所示⎝⎛⎭⎪⎫不妨设点A 在渐近线y ＝bax 上.由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b ax 上， ∴b a＝tan60°＝ 3.又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3， ∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D.4．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．m ≥1且m ≠5D ．0<m <5且m ≠1答案 C解析直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，所以025＋1m≤1，解得m ≥1.又m ≠5，故选C.5．设椭圆C 1的离心率为715，焦点在x 轴上且长轴长为30.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于10，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 224－y 225＝1 B.x 225－y 224＝1 C.x 215－y 27＝1 D.x 225＋y 224＝1 答案 B解析由题意知在椭圆C 1中，c a ＝715，2a ＝30，∴a ＝15，c ＝7，曲线C 2是双曲线，2a 1＝10，c ＝7， ∴b 2＝c 2－a 21＝72－52＝24，∴双曲线C 2的标准方程为x 225－y 224＝1.6．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 D解析易知抛物线的焦点为F (1,0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1,2)代入曲线y ＝k x(k >0)得k ＝2.7．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 答案 D解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图所示，|AB |＝|BM |＝2a ，∠MBA ＝120°，过M 作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，|BH |＝a ，|MH |＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.8．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 答案 A解析由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－1.如图所示，过A 作AA 1⊥y 轴于点A 1，过B 作BB 1⊥y 轴于点B 1，则S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB 1||AA 1|＝|BF |－1|AF |－1. 9．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43 答案 D解析因为A (－2,3)在抛物线y 2＝2px 的准线上，所以－p2＝－2，所以p ＝4，所以y 2＝8x .由于直线AB 的斜率不为0.设直线AB 的方程为x ＝k (y －3)－2，联立直线AB 与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k (y －3)－2，y 2＝8x ，消元得y 2－8ky ＋24k ＋16＝0①，所以Δ＝(－8k )2－4(24k ＋16)＝0，即2k 2－3k －2＝0，解得k ＝2或k ＝－12(舍去)．将k ＝2代入①，解得y ＝8，所以x ＝8，所以B (8,8)．又F (2,0)，所以k BF ＝8－08－2＝43.10．设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，若以AB 为直径的圆过点P (－1,2)，且与x 轴交于M (m ，0)，N (n,0)两点，则mn ＝( )A ．3B ．2C ．－3D ．－2 答案 C解析解法一：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A ，B 坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x 得y 2－4ty －4＝0，所以y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，x 1＋x 2＝ty 1＋1＋ty 2＋1＝t (y 1＋y 2)＋2＝4t 2＋2，所以x 1＋x 22＝2t 2＋1，y 1＋y 22＝2t ，则圆心D (2t 2＋1,2t )．由抛物线的性质可知：|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4(t 2＋1)，点P 到圆心的距离d ＝[2t 2＋1－(－1)]2＋(2t －2)2. 由题意可知d ＝12|AB |，解得t ＝1，则圆心为(3,2)，半径为4.所以圆的标准方程为(x －3)2＋(y －2)2＝42.当y ＝0时，求得与x 轴交点坐标，假设m <n ，则m ＝3－23，n ＝3＋23，所以mn ＝－3.解法二：设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝ty ＋1，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t . 又以AB 为直径的圆过点P (－1,2)，P 点在准线上，故P 为切点，故AB 中点的纵坐标为2.因此y 1＋y 22＝2t ＝2，即t ＝1.所以直线l 的方程为x ＝y ＋1，圆心为(3,2)，因此圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16. 令y ＝0得x 2－6x －3＝0，故mn ＝－3.11．已知|AB →|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP →＝13OA →＋23OB →，则动点P的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1 答案 A解析设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB →|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.12．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于 ( )A.103 B.52 C. 5 D.343答案 D解析设F (c,0)，则过双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为－1的直线l的方程为y ＝－(x －c )，而渐近线方程是y ＝±b ax ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝c －x ，y ＝－b a x 得B ⎝⎛⎭⎪⎫ac a －b ，－bc a －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c －x ，y ＝b ax 得A ⎝⎛⎭⎪⎫ac a ＋b ，bc a ＋b ， AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ，由AB →＝－3AF →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫bca ＋b ，－bc a ＋b ，则2abc a 2－b 2＝－3·bc a ＋b ，即b ＝53a ，则c ＝a 2＋b 2＝343a ，则e ＝c a ＝343. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．答案 9解析由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1,0)，准线为x ＝－1，设点M 的坐标为(x ，y)，则x ＋1＝10，所以x ＝9.故M 到y 轴的距离是9.14．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为________．答案513解析因为线段PF 1的中点在y 轴上，所以PF 2与x 轴垂直，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，±53，所以|PF 2|＝53，则|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，|PF 2||PF 1|＝513.15．过双曲线x 216－y 29＝1的一个焦点F 作弦AB ，则1|AF|＋1|BF|＝________.答案 89解析采用特例法即可求得．不妨设焦点F 为右焦点，则F(5,0)．当AB⊥x 轴时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－94，所以|AF|＝|BF|＝94，故1|AF|＋1|BF|＝89. 16．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，线段F 1F 2被点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．答案22解析由题意，得b 2＋c c －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b ⇒b ＝c ，因此e ＝ca＝c 2a2＝c 2b 2＋c2＝12＝22. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．解由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的实数解．消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0.解得0＜a ＜2且a≠1.所以双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a2＋1. 因为0＜a ＜2且a≠1，所以e ＞62且e≠ 2. 故离心率e 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)． 18．(本小题满分12分)平面内与两定点A 1(－a,0)，A 2(a ，0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1，A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系．解设动点为M ，其坐标为(x ，y)．当x≠±a 时，由条件可得kMA1·kMA2＝y x ＋a ·y x －a ＝y 2x 2－a 2＝m ，即mx 2－y 2＝ma 2(x≠±a)．又A 1(－a,0)，A 2(a,0)的坐标满足mx 2－y 2＝ma 2，故依题意，曲线C 的方程为mx 2－y 2＝ma 2. 当m<－1时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y 2－ma 2＝1，C 是焦点在y 轴上的椭圆；当m ＝－1时，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝a 2，C 是圆心在原点的圆；当－1<m<0时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y2－ma 2＝1，C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m>0时，曲线C 的方程为x 2a 2－y2ma2＝1，C 是焦点在x 轴上的双曲线．19．(本小题满分12分)已知向量m 1＝(0，x )，n 1＝(1,1)，m 2＝(x,0)，n 2＝(y 2,1)(其中x ，y 是实数)，又设向量m ＝m 1＋2n 2，n ＝m 2－2n 1，且m ∥n ，点P (x ，y )的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，过点M 作一条直线l 与曲线C 交于另一点N ，当|MN |＝423时，求直线l 的方程．解 (1)由已知，得m ＝(0，x )＋(2y 2，2)＝(2y 2，x ＋2)，n ＝(x,0)－(2，2)＝(x －2，－2)．因为m ∥n ，所以2y 2(－2)－(x ＋2)(x －2)＝0，即所求曲线C 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由(1)求得点M (0,1)，显然直线l 与x 轴不垂直．故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－4k 1＋2k2(x 1，x 2分别为点M ，N 的横坐标)．由|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 1＋2k 2＝423，解得k ＝±1. 所以直线 l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0. 20．(本小题满分12分)已知双曲线的方程为2x 2－y 2＝2. (1)求以点A (2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点B (1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1，Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)设以点A (2,1)为中点的弦的两端点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，x 1≠x 2.由P 1，P 2在双曲线上，得2x 21－y 21＝2,2x 22－y 22＝2，两式相减，得2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0.则2×4(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝4，故中点弦所在的直线方程为y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0.(2)假设直线l 存在，可利用(1)中的方法求出直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，2x －y －1＝0，消去y ，得2x 2－4x ＋3＝0，方程的判别式Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，所以方程无实根，因此直线l 与双曲线无交点．故满足条件的直线l 不存在．21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中， △ABC 的两个顶点为B (0，－1)，C (0,1)，平面内两点P ，Q 同时满足：①PA →＋PB →＋PC →＝0；②|QA →|＝|QB →|＝|QC →|；③PQ →∥BC →.(1)求顶点A 的轨迹E 的方程；(2)过点F (2，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2；直线l 1，l 2与点A 的轨迹E 的相交弦分别为A 1B 1，A 2B 2，求四边形A 1A 2B 1B 2的面积S 的最小值．解 (1)∵PB →＋PC →＝2PO →，由①知PA →＝－2PO →， ∴P 为△ABC 的重心．设A (x ，y )，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，y3. 由②知Q 是△ABC 的外心， ∴Q 在x 轴上．由③知Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x3，0. 由|QC →|＝|QA →|，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 32＋y 2，化简整理，得x 23＋y 2＝1(x ≠0)．(2)F (2，0)恰为x 23＋y 2＝1的右焦点，当直线l 1，l 2的斜率存在且不为0时，设直线l 1的方程为my ＝x －2，由⎩⎨⎧my ＝x －2，x 2＋3y 2－3＝0⇒(m 2＋3)y 2＋22my －1＝0，设A 1(x 1，y 1)，B 1(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－22m m 2＋3，y 1y 2＝－1m 2＋3，所以|A 1B 1|＝m 2＋1|y 1－y 2|＝23(m 2＋1)m 2＋3.同理|A 2B 2|＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋11m2＋3＝23(m 2＋1)3m 2＋1，则S ＝6·(m 2＋1)2(m 2＋3)(3m 2＋1)≥6·(m 2＋1)2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(m 2＋1)22＝32，当m 2＋3＝3m 2＋1，即m ＝±1时取等号．当直线l 1，l 2有一条直线斜率不存在时，另一条直线的斜率一定为0，此时S ＝2>32.所以四边形A 1A 2B 1B 2的面积的最小值为32.22．(本小题满分12分)过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 的斜率为2，问抛物线C 上是否存在点M ，使得MA ⊥MB ？并说明理由．解 (1)由抛物线的定义得|AF |等于点A 到准线y ＝－p 2的距离，所以1＋p2＝2，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)因为抛物线C 的焦点为F (0,1)，所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1，设点A ，B ，M 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 204，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4y ，y ＝2x ＋1，消去y 得x 2＝4(2x ＋1)，即 x 2－8x －4＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝－4.因为MA ⊥MB ，所以MA →·MB →＝0. 所以(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 214－x 204⎝ ⎛⎭⎪⎫x 224－x 204＝0. 所以(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋116(x 1－x 0)(x 2－x 0)(x 1＋x 0)(x 2＋x 0)＝0. 因为M 不与A ，B 重合，所以(x 1－x 0)(x 2－x 0)≠0.所以1＋116(x 1＋x 0)(x 2＋x 0)＝0，所以x 1x 2＋(x 1＋x 2)x 0＋x 20＋16＝0，所以x 20＋8x 0＋12＝0.因为Δ＝64－48＞0，所以方程x 20＋8x 0＋12＝0有解，即抛物线C 上存在点M ，使得MA ⊥MB .。

第二章圆锥曲线与方程单元测试卷【精选文档】

第二章圆锥曲线与方程单元测试卷一、选择题:1．双曲线2214x y -=的实轴长为（）A ．3B ．4C ．5D ．122．抛物线22y x =的准线方程为( )A ．14y =-B ．18y =-C ．12x = D ．14x =-3．已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上．若焦距为4,则m 等于（） A ．4 B ．5 C ．7 D ．84．抛物线214x y =的焦点到准线的距离为（） A ．2 B ．4 C ．18 D ．125．已知椭圆()222104x y a a +=>与双曲线22193x y -=有相同的焦点，则a 的值为( ）B 。

C.4 D 。

106．若双曲线()2222103x y a a -=>的离心率为2，则实数a 等于（ )A 。

2BC 。

32D.1 7．曲线221259x y +=与曲线()2219259x y k k k+=<--的（ ) A 。

长轴长相等 B.短轴长相等 C 。

焦距相等 D.离心率相等8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点,A B 在C 上且关于x 轴对称,点,M N 分别为,AF BF 的中点，且AN BM ⊥，则AB =（）A ．B ．C ．8或8D ．12或129．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程是（）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -= C ．22134x y -=D ．22143x y -= 10．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A 。

2 B 。

3 D.9211．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45,则椭圆E 的离心率的取值范围是（）A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)412．已知直线1y x =-与双曲线221ax by +=（0a >,0b <）的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为ab的值为（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横一上。

高中数学《圆锥曲线与方程》单元测试

3
A.1 B. 3 C.1 D. 3 22
3.(2019 年怀化模拟)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A，B，左、右焦点分别
为 F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为( )
A.1 B. 5 C.1 D. 5－2 254
4.(2019 年汕头模拟)双曲线x2－y2＝1(mn≠0)的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y2＝4x 的焦 mn
e＝c＝ a
3，∴c＝2 2
3，
∴b2＝42－(2 3)2＝4，∴椭圆的方程为 x2 ＋y2＝1.] 16 4
6.(2019 年福建模拟)过抛物线 y2＝8x 的焦点，作倾斜角为 45°的直线，则被抛物线截得的弦
长为( )
A.8 B.16 C.32 D.64 【答案】B [抛物线中 2p＝8，p＝4，则焦点坐标为(2,0)，过焦点且倾斜角为 45°的直线方
的椭圆.]
10.(2019 年陕西模拟)设圆锥曲线Г的两个焦点分别为 F1，F2.若曲线Г上存在点 P 满足
M，N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P，则点 P 的轨迹方程为( )
A.x2－y2＝1(x>1) 8
B.x2－y2＝1(x<－1) 8
C.x2＋y2＝1(x>0) 8
D.x2－ y2 ＝1(x>1) 10
12.(2019
年太原模拟)已知椭圆
C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为
3，双曲线 2
13.(2019
年青岛模拟)设
F1，F2
为椭圆x2＋y2＝1 95
的两个焦点，点
P
在椭圆上，若线段