晶格的对称性

简单立方 体心立方 面心立方
六角
简单四方 体心四方
三角
简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
简单单斜 底心单斜
简单三斜
每一晶系按 其晶胞的底 心、面心或 体心是否有 格点可分为 几种不同的 形式，每种 形式为一种 布拉伐格子， 则七个晶系 共计包含 14种布拉 伐格子。
具有一个特征转轴的晶系
晶系
三斜 单斜 三角 四方 六角
特征 对称操作
对晶胞要求
C1
a1 a2 a3 ,夹角不等
C2
a1 a2 a3 , a2 a1, a3
C3
a1 a2 a3 , 120 90
C4
a1 a2 a3 , 90
C6
a1 a2 a3 , a3 a1和a2 , a1, a2夹角120
具有多个二度转轴的晶系
晶系 正交
特征 对称操作
三个互相 垂直的C2
对晶胞要求
a1 a2 a3;a1, a2 , a3互相垂直
具有多个高度转轴的晶系
晶系 立方
特征 对称操作
4个C3
对晶胞要求
a1 a2 a3;a1, a2 , a3互相垂直
2、14种布拉伐格子—三斜、单斜晶系
三斜晶系 简单三斜
a1 a2 a3
夹角不等
C
C’
Bond angle = 109.5º
C(C’)
(2)滑移反映面
A2
T/n
A1
T/n
A2 A1
A
M A
定义：经该面镜像操作后，
再沿平行于该面的某个方 向平移T/n的距离(T为该方 向上周期矢量)，则晶体中 的原子和相同的原子重合。 氯化钠结构具有这样的滑 移反映面。
“空间群”定义
定义：晶格全部对称操作的集合，称为空 间群。其元素是点群操作和平移操作的组 合。已知共有230种晶体空间群，所以所 有的晶格结构有230个类型，每个对称类 型由一个空间群描述。
§1-4 晶格的对称性(symmetry)
1、七个晶系 2、十四种布拉伐格子 3、空间群
七个晶系与十四个布拉伐格子关系图
晶体的32种 宏观对称性 类型可以分 成七类，即 七个晶系。 其中每个晶 系包含若干 种点群，它 们具有某些 共同的对称 素。
立方晶系 六角晶系 四方晶系 三角晶系 正交晶系
单斜晶系 三斜晶系
空间群的描述
空间群
简单空间群或点空间群
复杂空间群或非点空间群
说明
( R tl1l2l3 )
(Rt)
说明
R：点群对称操作； t：对称操作（不一定是平移对称操作）;
tl1l2l3 :一个平移对称操作;
t l1l 2 l3
l1a1 l2a2
l3a3
:晶格平移矢量.
单斜晶系
简单单斜
a1 a2 a3 a2 a1, a3
单斜晶系
底心单斜
a1 a2 a3 a2 a1, a3
三角晶系、四方晶系、六角晶系
三角晶系
三角
a1 a2 a3
120
90
四方晶系 简单四方
a1 a2 a3
90
四方晶系 体心四方
a1 a2 a3
90
考虑晶格的平移对称性后，增加两类对称操 作：
n度螺ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ轴
滑移反映面
(1) n度螺旋轴
A4
定义：一个n度螺旋轴u表示绕轴每
4
A3
转2π/n角度后，再沿该 轴的方向平移 T/ n的l倍，则晶体中原子和相同的原
子重合（l为小于n 的整数；T为沿u轴
3
方向上的周期矢量）。
A2
A1
2
A
1
4度螺旋轴
晶体只能有1、2、3、4、6度螺旋轴。
用布拉伐格子来
对称操作的集合，
表征，平移一个
称为平移群。
布拉伐格子的晶 格矢量
空
晶格的对称性也可用一
间
tl1l2l3 l1a1 l2a2 l3a3
系列转动（或转动加反
群
后，晶体自身重 合，称为平移对 称操作。
演）对称操作来描述， 这些对称操作的集合组 成点群。
增加的两类对称操作
对于布拉伐格子，在点群操作和平移操作下 都是不变的，但对于基元内多于一个原子的复 式晶格来说，晶格在点群操作后接着平移操作 才是不变的，单独的一种都不是独立的对称操 作。因此，全面分析晶格对称性，必须考虑平 移对称性。
面心正交
a1 a2 a3 a1, a2 , a3 互相垂直
立方晶系
立方晶系 简单立方
a1 a2 a3
90
立方晶系 体心立方
a1 a2 a3
90
立方晶系 面心立方
a1 a2 a3
90
3、空间群
晶格的周期性，
所有布拉伐格子晶
也称平移对称性， 格矢量对应的平移
六角晶系
六角
a1 a2 a3 a3 a1, a2 a1, a2夹角120
正交晶系
正交晶系
简单正交
a1 a2 a3 a1, a2 , a3 互相垂直
正交晶系
底心正交
a1 a2 a3 a1, a2 , a3 互相垂直
正交晶系
体心正交
a1 a2 a3 a1, a2 , a3 互相垂直
正交晶系
例：金刚石结构上下底面心到该一个
棱的垂线的中点，联接这两个中点的 直线是4度螺旋轴；晶体沿该轴转90度， 再沿该轴平移a/4，能自身重合。
例：金刚石结构上下底面心到该一个棱的垂线的中点，联
接这两个中点的直线是4度螺旋轴；晶体沿该轴转90度，再 沿该轴平移a/4，能自身重合。
Diamond Tetrahedral sp3 bonding (very hard!)