用二元一次方程组解决问题例题
二元一次方程例题
二元一次方程（组）的应用例1、古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，他们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干嘛！如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所驮的货物的袋数是（）A. 5B. 6C. 7D. 8例2、在五一期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话如图所示，试根据途中的信息，解答下列问题：（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省，请说明理由。
例3、小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示，根据途中的数据（单位：m）解答下列问题：（1）写出用含x,y的代数式标示地面的总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍，地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？例4、经营户小熊在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容：他共用116元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖，当天卖完，请你计算出小熊能赚多少钱？例5、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。
安全检查中，对4道门进行了测试；当同时开启一道正门和两道侧门时，2min内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4min内可以通过800名学生。
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生；（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5min通过这4道门安全撤离。
假设这栋大楼每间教室最多有45名学生，问建造的这4道门是否符合安全规范？请说明理由。
例6、市政府根据社会需要，对自来水价格句型了听证会，决定从今年4月份起水量是小晶家的1.5倍，请你通过上述信息，求出表中的x。
二元一次方程组的经典例题
借助方程不定解,分类计算寻找最省钱方案例 1 小明家新购置了一套经济实用房,房屋装饰需用 480 块某品牌的同一种规格的瓷砖,装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包 50 块，价格为 30 元；小包装每包 30 块，价格为 20 块，若大、小包装均不拆开零售，那么制定什么样的购买方案才能使所付费用最少？分析：利用二元一次方程，求出两种规格的瓷砖各买多少包，再计算出每种方案所需要的费用，进行比较后作出决定.解：设需要大包装x 包,小包装 y 包.根据题意,可列方程 50x＋30y＝480.因为 x，y 都是非负整数, 所以方程的解有x＝0，y＝16x＝3，y＝11x＝6，y＝6x＝9，y＝1所以有四种方案，所需费用分别是20×16＝320（元）；30×3＋20×11＝310（元）；30×6＋20×6＝300（元）；30×9＋20×1＝290（元）.答：购买9 个大包装，1 个小包装所付的费用最少点评：虽然二元一次方程有无数个解,但 x，y 表示的是瓷砖的包装箱数,所以 x，y 是非负整数.本题主要是借助方程的解是非负整数,确定购买方案，再冲中找出最省钱的方案。
知道相应的距离，难以列出方程.由于小明与迎面而来的车相遇可视为行程问题中的相遇问题,而背后的车越过就是追及问题，故设间接未知数，即设小明和车的速度以及两辆车之间的距离可使问题巧妙获解.解：设公共汽车的速度为 x 米/分,小明的步行速度为 y 米/分，同一车站发的相邻两辆汽车相隔 m 米.根据题意，列方程组得12（x－y）＝m，4（x＋y）＝m.题中只要求求出汽车站每隔几分钟双方各发一趟车, 所以我们无需将三个未知数均解出来,只要求出mx 的值即可.由①＋②×3，得 24x＝4m，所以 m/x ＝6.。
二元一次方程组的应用与几何问题结合例题
一、引言二元一次方程组在数学中有着重要的地位，它不仅在代数中有着广泛的应用，同时也与几何问题有着密切的联系。
通过解决一些具体的几何问题，我们可以更深入地理解二元一次方程组的概念和应用。
本文将以例题的形式结合几何问题，探讨二元一次方程组的应用。
二、例题分析1. 题目：已知两条直线的方程分别为2x - y = 1和x + y = 3，求两直线的交点坐标。
解析：两条直线的交点坐标即为二元一次方程组的解。
我们可以通过联立方程组，求解x和y的值。
首先我们可以选择其中一个方程，如x + y = 3，对其进行变形可以得到y = 3 - x。
将y = 3 - x代入到另一个方程2x - y = 1中，得到2x - (3 - x) = 1，化简得到3x = 4，从而得到x = 4/3。
将x = 4/3代入到y = 3 - x中，即可得到y的值。
交点坐标为(4/3, 5/3)。
2. 题目：求过点(1,2)且与直线2x + y = 3垂直的直线的方程。
解析：首先我们可以得到直线2x + y = 3的斜率为-2。
垂直直线的斜率为直线斜率的负倒数，即为1/2。
过点(1,2)且与直线2x + y = 3垂直的直线的方程为y - 2 = 1/2(x - 1)，整理得到y = 1/2x + 1。
3. 题目：求直线y = kx + 2与直线x - 2y + 1 = 0的交点坐标。
解析：联立直线y = kx + 2和x - 2y + 1 = 0，得到kx + 2 - 2y + 1= 0，即kx - 2y = -1。
通过比较系数得到k = 1/2，然后代入k值，解得交点坐标为(-1, 1)。
三、结论通过以上例题的分析，我们可以发现二元一次方程组在几何问题中的应用是十分广泛的。
通过求解交点坐标、垂直直线的方程等问题，我们不仅可以更好地理解二元一次方程组的概念，也能深入地理解直线的性质和特点。
在学习数学的过程中，我们应该注重二元一次方程组的应用和几何问题的结合，以便更深入地掌握相关知识。
二元一次方程组的典型例题
2二元一次方程组的典型例题例1解方程组 2x +5y = -21,x + 3y = 8 ・分析 我们已经掌握一元一次方程的解法，那么要解二元一次方程组，就应设法 将其转化为一元一次方程，为此，就要考虑将一个方程中的某个未知数用含另一 个未知数的代数式表示.方程(2)中x 的系数是1,因此，可以先将方程(2)变形为 用含y 的代数式表示x ,再代入方程(1)求解•这种方法叫“代入消元法”. 解：由(2)，得x=8-3y . ⑶ 把⑶代入(1)，得： 2(8-3y)+5y=-21, 16-6y+5y=-21, -y=-37，所以 y=37.把y = 代入⑶，得K = s-3X 37, x = -103.所以方程组的解是= -103, [? = 37.点评 如果方程组中没有系数是1的未知数，那么就选择系数最简单的未知数来 变形.把⑶代入(2),得範;乃)_8y = 10, 24 + 21y-16y = 20,5y = -4,所以y =把厂冷代入⑶，得40-28 10例戈解方程组飞-8y = 10.分析此方程组里没有一个未知数的系数是 简单，可选择它来变形. 解：由(1)，得 2x=8+7y ，⑴ (2)1,但方程⑴中x 的系数是2，比较所以方程组的解是分析 本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单.经 过观察发现，若将两个方程相加，得出一个 x , y 的系数都是100、常数项是200的方程，而此方程与方程组中的(1)和(2)都同解.这样，就使问题变得比较简单 了. 解：(1)+(2)，得 100x+100y=200,所以x=2-y 把⑷代入(1)，得 53(2-y)+47y=112, 106-53y+47y=112, -6y=6，所以 y=-1.把y = T 代入(4) *得農=2 - (T) = 3.所以原方程组的解是分析 经观察发现，(1)和(2)中x 的系数都是6,若将两方程相减，便可消去 x ， 只剩关于y 的方程，问题便很容易解决、这种方法叫“加减消元法”.解：(1)-(2)，得 12y=-36,所以 y=_3.把 y=-3 代入(2),得：6x-5X (-3)=17, 6x=2,所以:方程组的解是点评 若方程组中两个方程同一未知数的系数相等，贝U 用减法消元；若同一未知 数的系数互为相反数，则用加法消元；若同一未知数的系数有倍数关系， 或完全 不相等，则可设法将系数的绝对值转化为原系数绝对值的最小公倍数， 然后再用 加减法消元.在进行加减特别是进行减法运算时，一定要正确处理好符号.例3解方程组53x+47y = 112s47x + 53y = 88 ・ (1)⑵ 例4解方程组6x+7y=-19f 6z - 5y = 17.x+y=2解这个方程组.由(3)，得(1)例5解方程组比- 6y = 33分析 方程组中，相同未知数的系数没有一样的，也没有互为相反数的•但不难 将未知数y 的系数绝对值转化为12(4与6的最小公倍数)，然后将两个方程相加 便消去了 y .解：⑴X 3,得 9x+12y=48 (3) ⑵ X 2,得 10x-12y=66 (4) (3)+(4)，得19x=114，所以x=6.把x=6代入⑴，得 3X 6+4y=16，4y=-2，点评 将x 的系数都转化为15(3和5的最小公倍数)，比较起来，变y 的系数要 简便些•一是因为变y 的系数乘的数较小，二是因为变 y 的系数后是做加法，而 变x 的系数后要做减法.例6已知x mjn+1y 与-2x nJ y 3m ^^^是同类项，求m 和n 的值.分析 根据同类项的概念，可列出含字母 m 和n 的方程组，从而求出m 和n . 解：因为x m 』+1y 与一2£亍2心是同类项，所以Im - n +1 =n - 1, (1) [3m-2n-5 = L⑵ 解这个方程组.整理，得Jm - 2n + 2 = 0, ⑶ 13m -2n - 6 = 0.(4)⑷-(3)，得2m=8，所以m=4.把m=4代入(3)，得2n=6，所以n=3.所以｛J ；'时宀心为与-2厂汁3是同类项. 例丫己知满足方程组-的心yfi 的和等于2,求|2x + 3y = nim 2 - 2m + 啲值.分析 因为x+y=2，所以x=2-y ，把它代入方程组，便得出含y ，m 的新方程组, 从而求出m .也可用减法将方程组中的 m 消去，从而得出含x ，y 的一个二元一 次方程，根据x+y=2这一条件，求出x 和y ，再去求m . 解：将方程组中的两个方程相减，得 x+2y=2，即 (x+y)+y=2.因为x+y=2，所以2+y=2，所以y=O ,于是得x=2.把x=2, y=0代入2x+3y=m ， 得 m=4.把 m=4 代入 m 2-2m+1，得 m 2-2m+1=42-2X 4+1=9. 例 8 已知 x+2y=2x+y+1=7x-y ，求 2x-y 的值.所以y = 方程组的解是分析已知条件是三个都含有x , y 的连等代数式，这种连等式可看作是二元一 次方程组，这样的方程组可列出三个，我们只要解出其中的一个便可求出 x 和y ， 从而使问题得到解决.解：已知条件可转化为[ir + 2y = 2x+y+ 1,(1) 2x+y+ l = 7x -y, L⑵ 整理这个方程组，得jx-y + l = 0,⑶ \5K -2y -1 = 0.(4) 解这个方程组.由(3)，得x=y-1⑸把⑸代入(4),得 5(y-1)-2y-1=0, 5y-2y=5+1，所以 y=2. 把y=2代入(3)，得x-2+仁0,所以 x=1.把代入古-珀得2x-y=0.二元一次方程组的典型例题元一次方程组复习题例题：1、下列方程是二元一次方程的是()丄1=02、下列各组数值是 x-2y=4方程的解的是()x=23、以"二1为解的二元一次方程的个数是( )(A)有且只有一个 (B)只有两个 (C)有无数个 (D)不会超过100个4、 二元一次方程 3x+2y=7的正整数解的组数是()(A)1 组(B)2 组(C)3 组(D)4 组x = 45、 已知~ 2是二元一次方程 mx+y=10的一个解，则 m 的值为6、 已知 3xm-1-4y2m-n+4=1 是二元一次方程，则 m= ，n= .7、下列方程组中，属于二元一次方程组的是()(A)x2+x+ 仁0(B)2x+3y-1=0 (C)x+y-z=0(D)x+ y\=2(A) W " (B)x = -1:y"x=0(C)姑 _2 (D)「X =4 畀=一x + y = 5(D) A 2"'x + y = 1 -X - 2y = -1 (B) xy = 1 x + y =2 'x + y = 3 (C)Z-2y = -18、已知2ay+5b 和-4a2xb2-4y 是同类项，贝U x= (A) ,y=x =1 9、写一个y = 一2以为解的二元一次方程组: x =1 10、如果y =~2是方程组 'x-y =1 Qx-2y =5的解是 - ay = 5 9的解，则a + b =11、 方程组12、 将下列二元一次方程变形，使其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示: ⑴ 2x-y-3=0 ⑵ x-2y-3=0 ⑶ 2x+5y-13=0 13、用代入法解下利二元一次方程组:y =1 _x ① 3x 2y =5 'x + 2y = 4 ② /-^1 2s 3t = -1 4s —9t =8 14、用加减法解方程组2x -3y = 5 3x +2y = -4 时, F 列变形正确的是（）(A) 6x -9y =5 ©x +4y = -4 (B) 』4x -6y =10、9x+6y = _12 (C) ‘6x -3y = 15 Qx + 2y —12(D)‘2x -6y = 10 、3x + 6y= —12 15、解方程组 13x-6y =25(1) 、27x _4y=19(2)（A ）代入消元法（C ）用（1） 4-（ 2） 6，先消去 你认为下列4种方法中，最简便的是（） （B ）用（1） 27- （ 2） 13,先消去 x （D ）用（1） 2- （2） 3,先消去 ym + 5n = 616、用加减法解下列方程组：①yHx+5y = 21_2x _5y = _11x + y = 26、已知关于x , y 的二元一次方程组y=4a 的解也是方程x- y=2的解，求a 的值。
二元一次方程10道题带过程
二元一次方程10道题带过程二元一次方程是高中数学中的重要内容，掌握了解题方法可以帮助我们解决很多实际问题。
下面我将给大家提供10道带过程的二元一次方程题目，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 题目：有两个数，它们的和是8，差是2，求这两个数分别是多少？解析：设两个数分别为x和y，根据题意可以列出以下方程组：x + y = 8x - y = 2通过消元法或代入法，我们可以求得x=5，y=3。
所以，这两个数分别是5和3。
2. 题目：某班级男生和女生的人数之和是60，男生人数是女生人数的2倍，求男生和女生各有多少人？解析：设男生人数为x，女生人数为y，根据题意可以列出以下方程组：x + y = 60x = 2y通过代入法，我们可以求得x=40，y=20。
所以，男生和女生各有40人和20人。
3. 题目：某地旅游景点的门票价格为成人票30元，儿童票10元，某天共售出门票90张，所得票款共计2250元，求成人和儿童各售出多少张？解析：设成人票的数量为x，儿童票的数量为y，根据题意可以列出以下方程组：x + y = 9030x + 10y = 2250通过消元法或代入法，我们可以求得x=60，y=30。
所以，成人和儿童分别售出60张和30张。
4. 题目：一根铁丝和一根铜丝的总长度是80cm，铁丝比铜丝长24cm，求铁丝和铜丝各有多长？解析：设铁丝的长度为x，铜丝的长度为y，根据题意可以列出以下方程组：x + y = 80x = y + 24通过代入法，我们可以求得x=52，y=28。
所以，铁丝和铜丝各有52cm和28cm长。
5. 题目：一桶液体中含有甲、乙两种物质，甲物质的质量是乙物质的3倍，总质量是8kg，求甲物质和乙物质各有多少质量？解析：设甲物质的质量为x，乙物质的质量为y，根据题意可以列出以下方程组：x + y = 8x = 3y通过代入法，我们可以求得x=6kg，y=2kg。
所以，甲物质和乙物质各有6kg和2kg的质量。
二元一次方程组经典例题
二元一次方程组经典例题一、例题例1：解方程组2x + y = 5 x - y = 1解析：1. 观察方程组的特点- 这个方程组中y的系数分别为1和-1，可以采用加减消元法。
2. 消元求解- 将方程2x + y = 5与方程x - y = 1相加，得到(2x + y)+(x - y)=5 + 1。
- 化简得2x+y+x - y=6，即3x=6，解得x = 2。
3. 回代求y- 把x = 2代入x - y = 1中，得到2 - y = 1，解得y=1。
所以方程组的解为x = 2 y = 1例2：解方程组3x+2y = 8 2x - 3y=-5解析：1. 选择消元方法- 为了消去其中一个未知数，我们可以给第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，然后再相加来消去y。
2. 消元计算- 方程3x + 2y = 8两边乘以3得9x+6y = 24。
- 方程2x - 3y=-5两边乘以2得4x-6y=-10。
- 将这两个新方程相加：(9x + 6y)+(4x-6y)=24+( - 10)。
- 化简得9x+6y + 4x-6y = 14，即13x=14，解得x=(14)/(13)。
3. 回代求y- 把x=(14)/(13)代入3x + 2y = 8中，得到3×(14)/(13)+2y = 8。
- 即(42)/(13)+2y = 8，移项得2y = 8-(42)/(13)。
- 2y=(104 - 42)/(13)=(62)/(13)，解得y=(31)/(13)。
所以方程组的解为x=(14)/(13) y=(31)/(13)例3：某班有40名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元，问购买甲、乙两种票各多少张？设购买甲种票x张，购买乙种票y张。
根据题意可列方程组x + y = 40 10x+8y = 370解析：1. 消元方法选择- 由第一个方程x + y = 40可得y = 40 - x，我们可以采用代入消元法。
二元一次方程组在应用题(实际问题)中的应用
二元一次方程组在应用题（实际问题）中的应用二元一次方程组解实际问题的方法步骤：对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解题容易，列方程组解应用题有以下几个步骤： 1． 选取定几个未知数；2． 依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组； 3． 解方程组，得到方程组的解；4． 检验求得的未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解.\例题分析： 例：某同学在A 、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。
（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打八折销售，超市B 全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？解：（1）解法一：设书包的单价为x 元，则随身听的单价为()48x -元根据题意，得48452x x -+= 解这个方程，得 x =92484928360x -=⨯-=答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。
解法二：设书包的单价为x 元，随身听的单价为y 元 根据题意，得x y y x +==-⎧⎨⎩45248解这个方程组，得x y ==⎧⎨⎩92360答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。
（2）在超市A 购买随身听与书包各一件需花费现金： 45280%3616⨯=.（元） 因为3616400.<，所以可以选择超市A 购买。
在超市B 可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金： 3602362+=（元）因为362400<，所以也可以选择在超市B 购买。
二元一次方程组的应用压轴题十种模型全攻略(解析版) 七年级数学下册
专题06二元一次方程组的应用压轴题十种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一二元一次方程组的应用——年龄问题】 (1)【考点二二元一次方程组的应用——分配问题】 (3)【考点三二元一次方程组的应用——古代问题】 (5)【考点四二元一次方程组的应用——行程问题】 (6)【考点五二元一次方程组的应用——工程问题】 (7)【考点六二元一次方程组的应用——和差倍分问题】 (9)【考点七二元一次方程组的应用——方案问题】 (10)【考点八二元一次方程组的应用——销售、利润问题】 (12)【考点九二元一次方程组的应用——数字问题】 (14)【考点十二元一次方程组的应用——几何问题】 (16)【过关检测】 (17)【典型例题】【考点一二元一次方程组的应用——年龄问题】例题：（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（）A．38岁B．39岁C．40岁D．41岁【答案】C【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可．【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，但实际上1016338-=（岁），说明十年前妹妹没出生，则妹妹今年的年龄为1040388()--=（岁），我的年龄为6814+=（岁），设妈妈今年的年龄为x 岁，爸爸今年的年龄为y 岁，由题意得：8141011x y y x +++=⎧⎨=+⎩，解得：3940x y =⎧⎨=⎩，即爸爸今年的年龄为40岁，故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式训练】【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x 岁，爸爸的年龄是y 岁，由题意得：2352(5)8y x y x =+⎧⎨+=++⎩，解得：1033x y =⎧⎨=⎩，答：大头儿子现在的年龄为10岁．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．【考点二二元一次方程组的应用——分配问题】例题：（2023上·重庆·八年级重庆八中校考期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车；(2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人．【答案】(1)每名熟练工人和新工人每天分别可以安装10辆和8辆共享单车(2)熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x 辆共享单车，每名新工人每天可以安装y 辆共享单车，根据题意列方程组即可；（2）设熟练工人和新工人各m ，n 人，根据题意列出等式取值即可．【详解】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x 辆共享单车，每名新工人每天可以安装y 辆共享单车，根据题意，得：234445x y x y +=⎧⎨=⎩，解得108x y =⎧⎨=⎩，答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装10辆和8辆共享单车．（2）解：设熟练工人和新工人各m ，n 人，由题意得：25102583500m n ⨯+⨯=，整理得：5470m n +=，当2m =时，15n =；当6m =时，10n =；当10m =时，5n =；答：熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人；【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．【变式训练】1．（2023下·福建南平·七年级统考期末）“建盏”作为一种茶器，是黑瓷的代表，更是南平的一张名片．“建盏”的焙烧方法目前有两种：“柴烧”和“电烧”，制坯的原料是用当地的红土和白土．已知某种同样规格的建盏，一个柴烧的坯体原料红土需要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．在不考虑破损的情况下，某生产车间在一次生产中恰好用了红土1530克，白土1170克．(1)在这次生产中，“柴烧”和“电烧”建盏各生产多少个？(2)该车间计划购买礼盒，现有两种礼盒可供选择，A 礼盒可装2个建盏，B 礼盒可装6个建盏，若要把本次生产的建盏恰好全部装完，且礼盒装满，有几种购买方案？请说明理由．【答案】(1)“柴烧”建盏生产12个，“电烧”建盏生产6个(2)有四种购买方案，见解析【分析】（1）设这次生产“柴烧”建盏x 个，“电烧”建盏y 个，根据“一个柴烧的坯体原料红土需要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．”再建立方程组解题即可；（2）设A 礼盒购买m 个，B 礼盒购买n 个，根据题意，得2618m n +=，再利用方程的正整数解可得答案．【详解】（1）解：设这次生产“柴烧”建盏x 个，“电烧”建盏y 个，根据题意，得9075153060751170x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组得：126x y =⎧⎨=⎩，答：“柴烧”建盏生产12个，“电烧”建盏生产6个．（2）由（1）可知共生产18个建盏，设A 礼盒购买m 个，B 礼盒购买n 个，根据题意，得2618m n +=，化简得39m n +=，所以93m n =-，因为m ，n 均为非负整数，所以930n -≥，所以3n ≤，且n 为非负整数，所以当30n m ==时，；当23n m ==时，，当16n m ==时，，当09n m ==时，，所以共有四种购买方案．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解问题，理解题意，确定相等关系建立方程或方程组是解本题的关键．【考点三二元一次方程组的应用——古代问题】【变式训练】【考点四二元一次方程组的应用——行程问题】例题：（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均速度为27千米/时，求水流的速度和甲、乙码头间的距离？（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度，用二元一次方程组的知识解答）【答案】水流的速度是3千米/时，甲、乙码头间的距离为60千米【分析】本题考查一元一次方程的应用，设水流的速度为x 千米/时，甲、乙码头间的距离为y 千米，则顺流的速度为()27x +千米/时，逆流的速度为()27x -千米/时，根据顺流、逆流时行驶路程相等列方程组，解方程即可．根据题意正确列出方程是解题的关键．【详解】设水流的速度是x 千米/时，甲、乙码头间的距离为y 千米，根据题意得：()()227,2.527,x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得：3,60,x y =⎧⎨=⎩答：水流的速度是3千米/时，甲、乙码头间的距离为60千米.【变式训练】1．（2023下·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车，【考点五二元一次方程组的应用——工程问题】例题：（2023下·云南昆明·七年级校考阶段练习）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用时20天．(1)求A、B两工程队分别整治河道多少天？(2)若A工程队整改一米的工费为200元，B工程队整改一米的工费为150元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？【答案】(1)A工程队整治河道5天，B工程队整治河道15天(2)60000元【分析】（1）设A工程队整治河道x天，B工程队整治河道y天，根据A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用时20天完成认为列出方程组进行求解即可；（2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可．【详解】（1）解：设A工程队整治河道x天，B工程队整治河道y天，根据题意得：20 2416360 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：515 xy=⎧⎨=⎩．答：A工程队整治河道5天，B工程队整治河道15天；（2）解：根据题意得：2002451501615⨯⨯+⨯⨯2400036000=+60000(=元)．答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是60000元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组求解是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·湖南邵阳·七年级统考期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独完成需要12天，乙组单独完成需要24天，若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．）【答案】(1)甲单独工作一天应付工资300元，乙单独工作一天应付工资140元(2)由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营，理由见解析【分析】（1）设甲单独工作一天应付工资x元，乙单独工作一天应付工资y元，依题意得：883520 6123480 x yx y+=⎧⎨+=⎩，进行计算即可得；（2）分别算出甲单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，乙单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，甲乙合作完成时需装修的费用和少盈利的钱，进行比较即可得．【详解】（1）解：设甲单独工作一天应付工资x元，乙单独工作一天应付工资y元，依题意得：883520 6123480 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得300140 xy=⎧⎨=⎩，答：设甲单独工作一天应付工资300元，乙单独工作一天应付工资140元．（2）解：甲单独完成：30012200126000⨯+⨯=（元）乙单独完成：14024200248160⨯+⨯=（元）甲、乙两队完成：(300140)820085120+⨯+⨯=（元）512060008160<<，∴由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程，正确计算．【考点六二元一次方程组的应用——和差倍分问题】例题：（2023上·江西九江·八年级统考阶段练习）为落实“五育并举”、提高学生的身体素质，某校在课后服务中大力开展球类运动，现需要购买一批足球、篮球．已知购买1个足球和1个篮球共需140元，购买2个足球和3个篮球共需340元，求足球和篮球的单价．【答案】足球的单价为80元，篮球的单价为60元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，根据“购买1个足球和1个篮球共需140元；购买2个足球和3个篮球共需340元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求解．【详解】解：设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，依题意得：140 23340 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：8060 xy=⎧⎨=⎩．答：足球的单价为80元，篮球的单价为60元．【变式训练】1．（2023下·河南周口·七年级校联考阶段练习）“绿水青山就是金山银山”，保护环境从日常出行做起．我市实行限行政策后，某天小林在某停车场观察到：该停车场停有三轮车和小轿车两种车型共30辆，已知停车场的车轮总数为110个，求三轮车和小轿车各有多少辆？（请用二元一次方程组解答）【答案】停车场有三轮车10辆，小轿车20辆【分析】设停车场有三轮车x 辆，小轿车y 辆，根据停车场停有三轮车和小轿车两种车型共30辆，停车场的车轮总数为110个，列出方程组进行求解．【详解】解：设停车场有三轮车x 辆，小轿车y 辆．由题意得：3034110x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1020x y =⎧⎨=⎩；答：停车场有三轮车10辆，小轿车20辆．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组．【考点七二元一次方程组的应用——方案问题】例题：（2023上·山东·八年级期末）现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A 型车和1辆B 型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A 型车和2辆B 型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：：(1)1辆A 型车和1辆B 型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案．【答案】(1)1辆A 型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B 型车载满荔枝一次可运送4吨(2)答案见解析【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．（1）设1辆A 型车载满荔枝一次可运送x 吨，1辆B 型车载满荔枝一次可运送y 吨，根据用2辆A 型车和1辆B 型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A 型车和2辆B 型车载满荔枝一次可运走11吨列出方程组求解即可；（2）根据题意可得3431a b +=，再根据a 、b 均为非负整数解方程即可得到答案．【详解】（1）解：设1辆A 型车载满荔枝一次可运送x 吨，1辆B 型车载满荔枝一次可运送y 吨，【变式训练】1．（2023上·四川达州·八年级校考期末）下列两题任选一道12两班共计有95名学生，他们的体育平均达标率(达到标准的百分率)是60%，如果一班学（1）初二()()生的达标率是40%，二班学生的达标率是78%，那么一、二班人数各是多少人？（2）某单位新盖了一栋楼房，要从相距132米处的自来水主管道处铺设水管，现有8米长的与5米长的两种规格的水管可供选用．①请你设计一种方案，如何选取这两种水管，才能恰好从主管道铺设到这座楼房？这样的方案有几种？②若8米长的水管每根50元，5米长的水管每根35元，选哪种方案最省钱？【答案】（1）一班人数是45人，二班人数是50人；（2）①共有3种选取方案，方案1：选取4根8米长的水管，20根5米长的水管；方案2：选取9根8米长的水管，12根5米长的水管；方案3：选取14根8米长的水管，4根5米长的水管；②选取14根8米长的水管，4根5米长的水管最省钱．【分析】本题主考查了解二元一次方程组以及二元一次方程组的应用.（1）设一班人数是x人，二班人数是y人，根据“初二(1)(2)两班共计有95名学生，且他们的体育平均达标率(达到标准的百分率)是60%”，可列出关于x，y的二元一次方程组解之即可得出结论；（2）①设选取m根8米长的水管，n根5米长的水管，根据需要水管的总长度为132米，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各选取方案；②利用总价等于单价乘以数量，可求【考点八二元一次方程组的应用——销售、利润问题】【变式训练】【考点九二元一次方程组的应用——数字问题】例题：（2023上·江苏·七年级校考周测）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为13，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小4，求原来的两位数．【答案】原来的两位数是49．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，列出方程组，是解答本题的关键．根据题意设个位数字为x，十位数字为y，利用已知条件列出二元一次方程组，由此得到答案．【详解】解：根据题意设：个位数字为x，十位数字为y，∴()()13210104x y y x x y +=⎧⎨+-+=⎩，解得：94x y =⎧⎨=⎩，∴原来的两位数为：410949⨯+=，答：原来的两位数是49．【变式训练】1．（2023下·河南南阳·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．(2)第一次他们拼成的两位数为45．【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x 、y ．根据题意列方程组求解即可；（2）根据（1）的结果即可求解．【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x 、y ．第一次拼成的两位数为10x y +，第二次拼成的两位数为10y x +．根据题意得：910910x y y x x y +=⎧⎨+-=+⎩①②，由②，得：1y x -=③，+①③得：5y =．把5y =代入①得：4x =，∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，所以第一次他们拼成的两位数为45．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．【考点十二元一次方程组的应用——几何问题】例题：（2023上·吉林四平·八年级统考期末）如图，在大长方形ABCD 中放入10个相同的小长方形（图中空白部分），若大长方形的周长是104，图中阴影部分的面积是327，设小长方形的长为x ，宽为y ，求一个小长方形的周长和面积分别是多少？【答案】一个小长方形的周长为26，面积为30．【分析】本题考查了二元一次方程组，找到正确的数量关系是解题的关键．由大长方形的周长是104，图中阴影部分的面积是327．列出方程组，可求解．【详解】解：由题意可得：()()()2331043310327x y x y x y x y xy ⎧+++=⎪⎨++-=⎪⎩∴2213109x y x y +=⎧⎨+=⎩()226,30x y xy ∴+==答：一个小长方形的周长为26，面积为30．【变式训练】1．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？【答案】每块小长方形的长为36厘米，宽为12厘米【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形、结合“大长方形宽为48厘米”列出二元一次方程组求解是解题的关键．【详解】解：设小长方形的长为x 厘米，宽为y 厘米，48x y +=⎩解得：3612x y =⎧⎨=⎩，答：每块小长方形的长为36厘米，宽为12厘米．【过关检测】一、单选题1．（2024下·全国·七年级假期作业）甲、乙两人相距42km ，若两人同时相向而行，可在6h 后相遇；若两人同时同向而行，乙可在14h 后追上甲．设甲的速度为km /h x ，乙的速度为km /h y ，列出的二元一次方程组为（）A ．6642141442x y y x +=⎧⎨=+⎩B ．6642141442x y x y +=⎧⎨=+⎩C ．66421414x y y x +=⎧⎨=⎩D ．6642141442y x x y -=⎧⎨+=⎩【答案】A【解析】略2．（2024上·湖南怀化·九年级校考期末）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是（）A ． 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩，B ． 4.521y x y x =+⎧⎨=-⎩，C ． 4.50.51y x y x =-⎧⎨=+⎩，D ． 4.521y x y x =-⎧⎨=+⎩，【答案】A 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，根据用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺，可得 4.5y x =+，根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺可得0.51y x =-，据此列出方程组即可．【详解】解：可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，0.51y x =-⎩故选：A ．3．（2024上·陕西宝鸡·八年级统考期末）某校课外小组的学生分组做课外活动，若每组7人，则余下3人：若每组8人，则少5人．设课外小组的人数为x ，应分成的组数为y ，可列方程组（）A ．7385y x y x =+⎧⎨+=⎩B ．7385y x y x +=⎧⎨-=⎩C ．7385y x y x =-⎧⎨=-⎩D ．7385y x y x =+⎧⎨=+⎩【答案】B【分析】本题主要考查了根据实际问题列方程组，审清题意、找准等量关系是解题的关键．设课外小组的人数为x ，应分成的组数为y ，根据等量关系“若每组7人，则余下3人”和“每组8人，则少5人”即可列出方程组．【详解】解：设课外小组的人数为x ，应分成的组数为y ，根据“每组7人，则余下3人；每组8人，则少5人”可得方程组：7385y x y x +=⎧⎨-=⎩．故选B ．4．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高10cm ，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖矮40cm ，则每块墙砖的面积是（）2cm ．A ．425B ．525C ．600D ．800【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．设墙砖的长为cm x ，宽为cm y ，根据等量关系“3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高10cm ，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖矮40cm ”列出二元一次方程组求出x 、y 的值，然后再求面积即可．【详解】解：设墙砖的长为cm x ，宽为cm y ，根据题意得：3102240y x x y -=⎧⎨-=⎩，解得：3515x y =⎧⎨=⎩，所以墙砖的面积为：23515525cm ⨯=．故选：B ．二、填空题【答案】92【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据图中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可求得小长方形的长和宽，然后即可计算出图中阴影部分的面积．【详解】解：设小长方形的长为cmx，宽为由图可得：212418x y yx y+-=⎧⎨+=⎩，10x=⎧三、解答题9．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）古代有一个官兵分布的问题：“一千官兵一千布，一官四尺无【答案】90cm【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设1支塑料凳子的高度为加ycm，即可根据题意列出方程组求解．【详解】设1台A 型机器人每小时拣垃圾a 吨，1台B 型机器人每小时拣垃圾b 吨，根据题意，得()23 2.623 3.6a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得0.40.6a b =⎧⎨=⎩，故1台A 型机器人每小时拣垃圾0.4吨，1台B 型机器人每小时拣垃圾0.6吨．【点睛】本题考查了方程组的应用，熟练列出方程组是解题的关键．14．（2023下·湖南岳阳·七年级统考阶段练习）小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为1mm 的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？【答案】215mm 【分析】设每个小长方形的长是mm x ，宽是mm y ，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，1个长加1的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可．【详解】解：设小长方形的长是mm x ，宽是mm y ，由图（1），得35x y =，由图（2），得12x y +=，所以3512x y x y=⎧⎨+=⎩，解得53x y =⎧⎨=⎩，∴小正方形的长为5mm ，宽为3mm ，∴小长方形的面积为25315mm =⨯=，答：每个小长方形的面积是215mm ．【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键．(1)放入1个小球水面升高______cm，放入1个大球水面升高(2)如果使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．（1）设1辆A 型车载满萝卜一次可运送x 吨，1辆B 型车载满萝卜一次可运送y 吨，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）根据题意得到3431a b +=，然后由a ，b 都是正整数求解即可．【详解】（1）设1辆A 型车载满萝卜一次可运送x 吨，1辆B 型车载满萝卜一次可运送y 吨，依题意得：210211x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩．答：1辆A 型车载满萝卜一次可运送3吨，1辆B 型车载满萝卜一次可运送4吨．（2）∵现有萝卜31吨，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，∴3431a b +=，∵a ，b 都是正整数，∴当9a =时，1b =；当5a =时，4b =；当1a =时，7b =；∴该物流公司共有3种租车方案：方案1：租用9辆A 型车，1辆B 型车方案2：租用5辆A 型车，4辆B 型车；方案3：租用1辆A 型车，7辆B 型车．。
初中数学二元一次方程组经典例题及相关答案
一、路程问题1、公式：路程=时间×速度（s=v×t，s：路程、v：速度、t：时间）公式变形：时间=路程÷速度（t=s/v）速度=路程÷时间（v=s/t）2、模型：相遇模型：两者所走的路程之和＝两者原相距路程追击问题：快者所行路程－慢者所行路程=两者原相距路程3、例题：例1、某站有甲、乙两辆汽车，若甲车先出发1ｈ后乙车出发，则乙车出发后5ｈ追上甲车；若甲车先开出30ｋｍ后乙车出发，则乙车出发4ｈ后乙车所走的路程比甲车所走路程多10ｋｍ．求两车速度？答案：解：设甲乙两车的速度分别为 x km/h、y km/h根据题意，得5y=6x x=50（km/h）4y=4x+30+10 y=60（km/h）解析：若甲车先出发1ｈ后乙车出发，则乙车出发后5ｈ追上甲车 6x=5y若甲车先开出30ｋｍ后乙车出发，则乙车出发4ｈ后乙车所走的路程比甲车所走路程多10ｋｍ． 4y=4x+30+10例2、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？答案：解：设汽车、拖拉机两车的速度分别为 x km/h 、y km/h根据题意，得（x+y ）*34=160 x=90 （km/h ） 21x=23y y=30 （km/h ）汽车行驶的路程：（2134+)*90=165 km 拖拉机行驶的路程：（2334+）*30=85 km 解析：汽车、拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇，即汽车、拖拉机同时出发行驶1小时20分钟两车行驶的路程相加为160km 。
（x+y ）*34=160相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机。
即拖拉机行驶23小时的路程，同汽车行驶21小时的路程相同。
新例题-二元一次方程组
例11、如图，有一个正方形和长方形。若正方形的周长与 长方形的周长相等，求： （1）x，y的值 （2）正方形和长方形的面积
2x+y+1
3x-1
4x-2y
2x+3y
｛
(2)
(1) 4x-2y=2x+y+1 (2x+y+1)+(4x-2y)=(3x-1)+(2x+3y)
解得
｛
x=2 y=1
S正=6×6=36 S长=7×2=14
答：这批学生有240人，原计划租5辆45座客车。 当45座汽车租4辆，60座汽车1辆时，最合算。
例10、某天，一蔬菜经营户用60元从蔬菜批发市场 购进西红柿和豆角共40kg到菜市场去卖，西红柿和 豆角这天的批发价、零售价（单位：元/千克）如下 表所示：
品名 西红柿 豆角 批发价 1.2 1.6 零售价 1.8 2.5
正方形边长：2x+y+1=6 长方形的长：2x+3y=7 长方形的宽：3x-1=2
答：x等于2，y等于1. 正方形面积是36，长方形面积是14.
解得
｛
x=15 y=20
答：甲种贷款15万元，乙种贷款20万元。
练7、某水果公司收购某种水果104吨，准备加工后 上市销售。该公司加工该种水果的能力：每天可以 精加工4吨或者粗加工8吨。现水果公司计划用16天 完成这项加工任务，则应安排几天精加工，几天粗 加工？
解：设精加工x天，粗加工y天。
｛
x+y=16 4x+8y=104
练5、小英家今年1月份用水20吨，交水费43元；2月 份用水18吨，交水费38元。该城市实行阶梯水价，14 吨以内按正常收费，超出部分则收较高水费。问：在 限定量以内的水费每吨多少元？超出部分的水费每吨 多少元？
二元一次方程组典型例题
二元一次方程组典型例题例1：关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=+=-my x m x y 52的解满足6=+y x ，则m 的值为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、41、若方程组⎩⎨⎧=+=-53232y x k y x 中的x 和y 互为相反数，求k 的值2、已知满足方程组{4x my 23x+y=12＋＝的一对未知数x 、y 的值互为相反数，求m3、若方程组{x 2y=2m 2x y=m 8－＋－的解x 与y 互为相反数，则m ＝＿＿＿。
4、方程组{4x 3y=k 2x+3y=5－的解x 与y 的值相等，则k ＝＿＿＿。
5、解关于x ，y 的方程组32165410x y k x y k +=⎧⎨-=-⎩，并当解满足方程4x －3y ＝21时的k 值．6、若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=-=+ky x k y x 95432的解x 、y 的和等于5，求k 。
7、若二元一次方程组2413x y a x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，的解也是二元一次方程36x y -=-的解，求a 的值．例2：已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=+=-n y x y x 212和⎩⎨⎧=-=+532y x m y x 有公共解，求m 、n 的值。
1、已知方程组{{3x 2y=42mx 3ny=19mx+ny=75y x 3－－与－＝有相同的解，求m 、n 的值。
2、已知方程组256351648x y x y ax by bx ay +=--=⎧⎧⎨⎨-=-+=-⎩⎩与方程组的解相同．求（2a+b ）2004的值．例3：一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组{ax+by=16bx+ay=1 ① ②小明把方程①抄错，求得的解为{x=1y=3－，小文把方程②抄错，求得的解为{x=3y=2，求原方程组的解。
1、两位同学在解方程组时，甲同学由⎩⎨⎧=-=+872y cx by ax 正确地解出⎩⎨⎧-==23y x ，乙同学因把C 写错了解得 ⎩⎨⎧=-=22y x ，求a 、b 、c 的正确的值2、在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得解为，乙看错了方程组中的b ，而得解为．（1）甲把a 看成了什么，乙把b 看成了什么？（2）求出原方程组的正确解.例4：对于有理数，规定新运算：x ※y ＝ax ＋by ＋xy ，其中a 、b 是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算。
二元一次方程组应用题
二元一次方程组1.数位问题这类问题的关键是：与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．可以用表格法找出等量关系。
【例题】例1 一个两位数，十位上数字是个位上数字的2倍，如果把十位上的数字和个位上的数字对调，得到的新数比原数少36，求新的两位数。
分析：首先画出数位图，在数位上标出数字，并把原数、新数表示出来。
标准量为原数个位上的数字，设为x ，设原数十位数字为y 。
，等量关系1为：y=2x.等量关系2为：新数=原数-36.解：设原两位数的个位数字为x ，十位数字为y ，根据题意得：2101036y xx y y x =⎧⎨+=+-⎩解方程组得 48x y =⎧⎨=⎩则新两位数为 10x+y=48. 答：新的两位数是48.例2 一个三位数，各数位上数字之和为15，又知百位上数字比十位上数字多5，个位上数字是十位上数字的三倍，求这个三位数。
分析：表格表示如下：解：设百位上数字为x ，则十位上数字为y ，个位上数字为z ，根据题意得1553x y z x y z y ++=⎧⎪=+⎨⎪=⎩解方程组 得 726x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩答：这个三位数是726.例3一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．分析：设这个两位数十位上的数为x ，个位上的数为y ，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：解方程组 109101027x y x y y x x y +=++⎧⎨+=++⎩，得14x y =⎧⎨=⎩答：所求的两位数是14． 【练习】（列出相应的表格）1.一个两位数，十位上数字和个位上数字之和为11，如果把十位上数字和个位上数字对调，所得的新数比原数大63，求原来的两位数。
2.一个两位数，十位上数字比个位上数字少1，十位上数字与个位上数字之和的5倍等于这个两位数，求这个两位数。
二元一次方程组解决实际问题典型例题
类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题
3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商 品的利润率为4%,共可获利46元。价格调整后，甲商品 的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元， 则两件商品的进价分别是多少元？
【变式】某商场用36万
A
B
元购进A、B两种商品，销 进价（元/ 1200
1000
售完后共获利6万元，其进 件）
பைடு நூலகம்
价和售价如下表：
求该商场购进A、B两种商
售价（元/ 件）
1380
1200
品各多少件；
类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费 用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是 年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25 ％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这 两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额 ×20%，教育储蓄没有利息所得税）
【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒 身或【【2变2变个式式盒23】底】某，一工一张厂个方有盒桌工身由人与1个6两0桌人个面，盒、生底4产配条某成桌种一腿由个组一完成个整， 螺盒如栓子果套，1立两问方个用米螺多木母少料的张可配铁以套皮做产制桌品盒面，身5每，0个人多，每少或天张做生铁桌产皮腿螺制3栓盒001底条4 ，。 个可现或以有螺正5立母好方2制0米个成的，一木应批料分完，配整那多的么少盒用人子多生？少产立螺方栓米，木多料少做人桌生面， 产用螺多母少，立才方能米使木生料产做出桌的腿螺，栓做和出螺的母桌刚面好和配桌套腿。，恰 好配成方桌？能配多少张方桌？
二元一次方程组应用题经典题及答案
二元一次方程组应用题经典题及答案二元一次方程组是初中数学中的重要内容，也是日常生活中实际问题求解的基础。
下面介绍几个经典的二元一次方程组应用题及其答案。
1. 根据题意列方程：若三只公鸡一只大于一只小鸡，则五只公鸡一只大于一只小鸡。
问笼中各有几只公鸡和小鸡？解法：设笼中有x只公鸡和y只小鸡，则根据题意可列出以下方程组：3x - y > 05x - y > 0将方程组化为矩阵形式：3 -1 | 05 -1 | 0利用消元法，得到x=3，y=8，即笼中有3只公鸡和8只小鸡。
2. 根据题意列方程：影片在两家影院上映，第一家影院每张票售价10元，第二家影院每张票售价8元。
当两家影院共售出350张票，总收入为3220元。
问这两家影院各售出多少张票？（不考虑打折等情况）解法：同样设第一家影院售出x张票，第二家影院售出y张票，根据题意可列出以下方程组：x + y = 35010x + 8y = 3220将方程组化为矩阵形式：1 1 | 35010 8 | 3220利用消元法，得到x=200，y=150，即第一家影院售出200张票，第二家影院售出150张票。
3. 根据题意列方程：现有5元、2元、1元硬币各若干枚，若总共有50枚硬币，总额为70元。
问各种类型硬币分别多少枚？解法：设5元硬币有x枚，2元硬币有y枚，1元硬币有z枚，这样就可以列出以下方程组：x + y + z = 505x + 2y + z = 70将方程组化为矩阵形式：1 1 1 | 505 2 1 | 70利用消元法，得到x=10，y=15，z=25，即5元硬币有10枚，2元硬币有15枚，1元硬币有25枚。
以上是三个经典的二元一次方程组应用题及其解法。
在解题过程中，我们需要仔细思考题意，确定未知量，列出方程组，最后通过消元法求解。
通过这些例题的练习，可以提高自己的数学应用能力，也可以为日常生活问题的解决提供思路和方法。
列二元一次方程组解决实际问题典型例题
列二元一次方程组解决实际问题典型例题列二元一次方程组解决实际问题典型例题题型一配套问题1．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？题型二年龄问题2．甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁”．乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”．请你算一算，甲、乙现在各多少岁？题型三百分比问题3．有甲乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%，现在要熔制含银30%的合金100千克，甲、乙两种合金各应取多少？题型四数字问题4．有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.题型五古算术问题5．巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。
364只碗，看看用尽不差争。
三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。
请问先生明算者，算来寺内几多僧。
诗句的意思是：寺内有三百六十四只碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，刚好够用，寺内共有和尚多少个？题型六行程问题6．甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机从两地同时出发相向而行，1小时20分后相遇。
相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机，这时汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了多少千米？题型七工程问题7．某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给了甲乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修了0.6千米，10天后乙队回来，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队也比原来多修0.4千米，结果如期完成。
问甲乙两队原计划每天各修多少千米？题型八方案决策问题8．已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。
10道二元一次方程组应用题及答案
1：某校为同学们安排宿舍。
若每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间住6人，则有一间只住4人，且两间宿舍没人住。
求该年级同学人数和宿舍间数。
（解：设年级人数是x人，宿舍是y人）解：设年级人数是x人，宿舍是y人）5y-x=-46(y-2)-x=2解这个方程组得：y=18x=942：用A、B两种原料配制两种油漆，已知甲种油漆含A、B两种原料之比为5：4，每千克50元，乙种油漆含A、B两种原料之比为3：2，每千克48.6元，求A、B两种原料每千克的价格分别是多少元。
（解：设A种原料每千克x元，B种原料每千克y元）5÷9×x+4÷9×y=503÷5×x+2÷5×y=48.6化简方程组得：5x+4y=4503x+2y=243解这个方程组得：x=36y=67.53：甲、乙两地相距24千米，公共汽车和直达快车在8：45从甲、乙两地相向开出，这两辆车都在8：52到达中途A处。
有一次，直达快车晚开8分钟，两车则在8：58相遇途中B处，求这两车的速度。
（解：设直达快车每小时x千米，公共汽车每小时y千米）7÷60×x+7÷60×y=2413÷60×y+5÷60×x=244.要用含药30%和75%的两种防腐药水，配制含药50%的防腐药水18千克，两种药水各需取多少千克？（解：设含药30%的药水x千克，含药75%的药水y千克）x+y=1830%有效成分=x×30%75%有效成分=y×75%50%有效×成分=18×50%所以30%x+7×5%=18×50%0.3x+0.75y=9x+y=180.3x+0.3y=5.4所以0.75y-0.3y=9-5.40.45x=3.6x=8y=10所以30%取8千克，75%取10千克5.一列快车长70千米，慢车长80千米，若两车同时相向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车为20秒，若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每小时各行多少千米。
初一数学二元一次方程组典型例题详解
初一数学二元一次方程组典型例题详解一、和差倍数问题知识梳理：和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。
典型例题：甲、乙两人分别以不变的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字。
问甲、乙两人每分钟各打多少个?解：设甲每分钟打x个字，乙每分钟打y个字。
根据题意可列方程组为2(x+y)=240①x-y=10②由①得x+y=120 ③，②+③得2x=130，解得x=65，将x=65代入②得：y=55。
答：甲每分钟打65个字，乙每分钟打55个字。
思路点拨：由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。
二、产品配套问题典型例题：某车间有22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个，螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品正好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母?解：设分配x名工人生产螺钉，y名工人生产螺母。
由题意可列方程组为x+y=22①2x1200x=2000y②由②得6x=5y③，由①得x=22-y，代入③得6(22-y)=5y，整理得11y=132，解得y=12，则x=22-12=10。
答：应该分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。
思路点拨：本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。
三、工作量问题知识梳理：我们在解决工程问题时通常把工作总量看成1；工作量＝工作效率×工作时间；总工作量=每个个体工作量之和；工作效率=工作量÷工作时间（即单位时间的工作量）；工作效率=1÷完成工作的总时间。
典型例题：现要整理一批文件，由1个人完成需要40个小时，计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起再做8小时，完成这项任务，假设这些人的工作效率都相同，则应先安排多少人工作?解：设总工作量为1，应先安排x人工作。
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用二元一次方程组解决问题例题目标认知学习目标：1．能够借助二元一次方程组解决简单的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用2．进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性3．体会列方程组比列一元一次方程容易4．进一步培养化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力5．掌握列方程组解应用题的一般步骤；重点：1．经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。
2．进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。
难点：正确找出问题中的两个等量关系知识要点梳理知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。
这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。
其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。
这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。
这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。
(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③船的顺水速度－船的逆水速度＝2×水速。
注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.3．商品销售利润问题：(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。
打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。
（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4．储蓄问题：(1)基本概念①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。
②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。
③本息和：本金与利息的和叫做本息和。
④期数：存入银行的时间叫做期数。
⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。
⑥利息税：利息的税款叫做利息税。
(2)基本关系式①利息＝本金×利率×期数②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数)③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。
④税后利息＝利息× (1－利息税率) ⑤年利率＝月利率×12 ⑥。
注意：免税利息=利息5．配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。
6．增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；原量×(1－减少率)＝减少后的量.7．和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.8．数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。
如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.10．几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11．年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的12．优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排。
需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。
注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。
知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、设、找、列、解、检、答”七步.即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数；（2）设：根据题意设元（3）找：找出能够表示题意两个相等关系；（4）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（5）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（6）检：检查所求的解是否符合实际问题;（7）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.要点诠释：(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.解答步骤简记为：问题方程组解答(4)列方程组解应用题应注意的问题①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；⑥列方程组解应用题一定要注意检验。
经典例题透析类型一：列二元一次方程组解决——行程问题1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨：画直线型示意图理解题意：(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程.(2)有两个等量关系：①相向而行：汽车行驶小时的路程＋拖拉机行驶小时的路程＝160千米;②同向而行：汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程.解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.根据题意，列方程组解这个方程组，得:.答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米. 总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。
2在某条高速公路上依次排列着A 、B 、C 三个加油站，A 到B 的距离为120千米，B 到C 的距离也是120千米．分别在A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A 、C 两个加油站驶去，结果往B 站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【分析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x 、y 千米/时，则⎩⎨⎧=+=-120120)(3y x y x ， 整理得⎩⎨⎧=+=-12040y x y x ，解得⎩⎨⎧==4080y x ， 因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离． 举一反三：【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？ 解：设甲、乙两人每小时分别行走千米、千米。
根据题意可得：解得：答：甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米。
【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
分析：船顺流速度＝静水中的速度＋水速船逆流速度＝静水中的速度－水速解：设船在静水中的速度为x 千米/时，水速为y 千米/时，则 ，解得：答：船在静水中的速度为17千米/时，水速3千米/时。
跟踪训练1、 甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少？甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，相向而行每隔两分钟相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲乙每分钟跑多少圈？类型二：列二元一次方程组解决——工程问题1一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？分析：由题意得甲做12天，乙做8天能够完成任务；而甲做9天，乙做13天也能完成任务，由此关系我们可列方程组求解．设甲每天做x 个机器零件，乙每天做y 个机器零件，根据题意，得⎩⎨⎧=++=++840)94(98408)84(y x y x 解得：⎩⎨⎧==3050y x 答：甲每天做50个机器零件，乙每天做30个机器零件2某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的54；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是x 套，要求的期限是y 天，依题意，得 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=25)1(20054150x y x y ， 解得⎩⎨⎧==183375y x点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．举一反三：【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.解：设甲、乙两公司每周完成总工程的和，由题意得：， 解得：所以甲、乙单独完成这项工程分别需要10周、15周。