高三基础知识天天练 数学5-4人教版

合集下载

高三基础知识天天练 数学5-3人教版

高三基础知识天天练 数学5-3人教版

第5模块 第3节[知能演练]一、选择题1.若数列{a n }的前n 项和S n =3n -a ,数列{a n }为等比数列,则实数a 的值是( )A .3B .1C .0D .-1解析:可用特殊值法,由S n 得a 1=3-a ,a 2=6,a 3=18,由等比数列的性质可知a =1.答案:B2.设a 1,a 2,a 3,a 4 成等比数列,其公比为2,则2a 1+a 22a 3+a 4的值为( )A.14B.12C.18D .1解析:由题意得a 2=2a 1,a 3=4a 1,a 4=8a 1. ∴2a 1+a 22a 3+a 4=2a 1+2a 18a 1+8a 1=14.答案:A3.等比数列{a n }前n 项的积为T n ,若a 3a 6a 18是一个确定的常数,那么数列T 10,T 13,T 17,T 25中也是常数的项是( )A .T 10B .T 13C .T 17D .T 25解析:a 3a 6a 18=a 31q 2+5+17=(a 1q 8)3=a 39,即a 9为定值,所以下标和为9的倍数的两项积为定值,可知T 17为定值.答案:C4.已知等比数列{a n }中,a 1+a 2=30,a 3+a 4=120,则a 5+a 6等于( )A .240B .±240C .480D .±480解析:∵{a n }为等比数列,∴数列a 1+a 2,a 3+a 4,a 5+a 6也成等比数列,∴(a 3+a 4)2=(a 1+a 2)(a 5+a 6),∴a 5+a 6=120230=480.答案:C 二、填空题5.等比数列{a n }中,a 1+a 3=10,a 4+a 6=54,则数列{a n }的通项公式为________.解析:由a 4=a 1q 3,a 6=a 3q 3得 a 4+a 6a 1+a 3=q 3=54×110=18,∴q =12,又a 1(1+q 2)=10,∴a 1=8.∴a n =a 1q n -1=8×(12)n -1=24-n .答案:a n =24-n6.在等差数列{a n }中,a 1=1,a 7=4,数列{b n }是等比数列,已知b 2=a 3,b 3=1a 2,则满足b n <1a 80的最小自然数n 是________.解析:{a n }为等差数列a 1=1,a 7=4,6d =3,d =12.∴a n =n +12,{b n }为等比数列,b 2=2,b 3=23,q =13.∴b n =6×(13)n -1,b n <1a 80=281,∴81<26×⎝⎛⎭⎫13n -1,即3n -2>81=34.∴n >6,从而可得n min =7. 答案:7 三、解答题7.设数列{a n }的前n 项和S n =2a n -2n . (1)求a 3,a 4;(2)证明:{a n +1-2a n }是等比数列; (3)求{a n }的通项公式. (1)解:因为a 1=S 1,2a 1=S 1+2, 所以a 1=2,S 1=2. 由2a n =S n +2n 知2a n +1=S n +1+2n +1=a n +1+S n +2n +1,得a n +1=S n +2n +1,①所以a 2=S 1+22=2+22=6,S 2=8, a 3=S 2+23=8+23=16,S 3=24. a 4=S 3+24=40.(2)证明:由题设和①式知a n +1-2a n =(S n +2n +1)-(S n +2n )=2n +1-2n =2n .所以{a n +1-2a n }是首项为2,公比为2的等比数列.(3)a n =(a n -2a n -1)+2(a n -1-2a n -2)+…+2n -2(a 2-2a 1)+2n -1a 1=(n +1)·2n -1.8.设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5a n ,5b n ,5a n +1成等比数列,lg b n ,lg a n +1,lg b n +1成等差数列,且a 1=1,b 1=2,a 2=3,求通项a n 、b n .解:∵5a n ,5b n ,5a n +1成等比数列, ∴(5b n )2=5a n ·5a n +1,即2b n =a n +a n +1.① 又∵lg b n ,lg a n +1,lg b n +1成等差数列, ∴2lg a n +1=lg b n +lg b n +1,即a 2n +1=b n ·b n +1.② 由②及a i >0,b j >0(i 、j ∈N *)可得 a n +1=b n b n +1.③ ∴a n =b n -1b n (n ≥2).④将③④代入①可得2b n =b n -1b n +b n b n +1(n ≥2), ∴2b n =b n -1+b n +1(n ≥2). ∴数列{b n }为等差数列.∵b 1=2,a 2=3,a 22=b 1b 2,∴b 2=92. ∴b n =2+(n -1)( 92-2) =12(n +1)(n =1也成立). ∴b n =(n +1)22.∴a n =b n -1·b n =n 22·(n +1)22=n (n +1)2(n ≥2). 又当n =1时,a 1=1也成立.∴a n =n (n +1)2.[高考·模拟·预测]1.已知等比数列{a n }的公比为正数,且a 3·a 9=2a 25,a 2=1,则a 1=( )A.12B.22C. 2 D .2解析:因为a 3·a 9=2a 25,则由等比数列的性质有:a 3·a 9=a 26=2a 25,所以a 26a 25=2,即(a 6a 5)2=q 2=2,因为公比为正数,故q = 2.又因为a 2=1,所以a 1=a 2q =12=22.答案:B2.已知等比数列{a n }满足a n >0,n =1,2,…,且a 5·a 2n -5=22n (n ≥3),则当n ≥1时,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n -1=( )A .n (2n -1)B .(n +1)2C .n 2D .(n -1)2解析:设等比数列{a n }的首项为a 1公比为q ,∵a 5·a 2n -5=a 1q 4·a 1q 2n -6=22n ,即a 21·q 2n -2=22n ⇒(a 1·q n -1)2=22n ⇒(a n )2=(2n )2,∵a n >0,∴a n =2n ,∴a 2n -1=22n -1,∴log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n -1=log 22+log 223+…+log 222n -1=1+3+…+(2n -1)=1+(2n -1)2·n =n 2,故选C.答案:C3.已知数列{a n }共有m 项,定义{a n }的所有项和为S (1),第二项及以后所有项和为S (2),第三项及以后所有项和为S (3),…,第n 项及以后所有项和为S (n ).若S (n )是首项为2,公比为12的等比数列的前n 项和,则当n <m 时,a n 等于( )A .-12n -2B.12n -2 C .-12n -1D.12n -1 解析:∵n <m ,∴m ≥n +1.又S (n )=2(1-12n )1-12=4-12n -2,∴S (n +1)=4-12n -1,故a n =S (n )-S (n +1)=12n -1-12n -2=-12n -1.答案:C4.设{a n }是公比为q 的等比数列,|q |>1,令b n =a n +1(n =1,2,…),若数列{b n }有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q =________.解析:由a n =b n -1,且数列{b n }有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则{a n }有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中.经分析判断知{a n }的四项应为-24,36,-54,81.又|q |>1,所以数列{a n }的公比为q =-32,则6q =-9.答案:-95.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知对任意的n ∈N *,点(n ,S n )均在函数y =b x +r (b >0且b ≠1,b ,r 均为常数)的图象上.(Ⅰ)求r 的值;(Ⅱ)当b =2时,记b n =n +14a n (n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和T n .解:(Ⅰ)由题意,S n =b n +r , 当n ≥2时,S n -1=b n -1+r ,所以a n =S n -S n -1=b n -1(b -1),由于b >0且b ≠1,所以当n ≥2时,{a n }是以b 为公比的等比数列, 又a 1=b +r ,a 2=b (b -1), a 2a 1=b ,即b (b -1)b +r=b ,解得r =-1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,n ∈N *,a n =(b -1)b n -1,当b =2时,a n =2n -1,所以b n =n +14×2n -1=n +12n +1. T n =222+323+424+…+n +12n +1.12T n =223+324+…+n2n +1+n +12n +2, 两式相减得12T n =222+123+124+…+12n +1-n +12n +2=12+123×(1-12n -1)1-12-n +12n +2 =34-12n +1-n +12n +2, 故T n =32-12n -n +12n +1=32-n +32n +1. [备选精题]6.已知数列{a n }满足a 1=a (a ≠0且a ≠1),前n 项和为S n ,且S n =a1-a (1-a n ).(1)求证:{a n }是等比数列;(2)记b n =a n lg|a n |(n ∈N *),当a =-73时,是否存在正整数m ,使得对于任意正整数n ,都有b n ≥b m ?如果存在,求出m 的值;如果不存在,说明理由.解:(1)当n ≥2时,S n =a 1-a (1-a n ),S n -1=a 1-a(1-a n -1), a n =S n -S n -1=a 1-a [(1-a n )-(1-a n -1)]=a1-a (a n -1-a n ),即a n =aa n -1.又a 1=a ≠0,所以a na n -1=a ,所以{a n }是首项和公比都为a 的等比数列. (2)由(1)知,a n =a n ,则b n =a n lg|a n |=na n lg|a |. 又a =-73∈(-1,0),则lg|a |<0. 所以当n 为偶数时,b n =na n lg|a |<0;当n 为奇数时,b n >0. 可见,若存在满足条件的正整数m ,则m 为偶数. b 2k +2-b 2k =[(2k +2)a 2k+2-2ka 2k ]lg|a |=2a 2k [(k +1)a 2-k ]lg|a |=2a 2k [k (a 2-1)+a 2·a 2-1a 2-1]lg|a |=2a 2k (a 2-1)(k -a 21-a2)lg|a |(k ∈N *). 当a =-73时,a 2-1=-29,∴2a 2k (a 2-1)lg|a |>0.又a 21-a 2=72, 当k >72时,b 2k +2>b 2k ,即b 8<b 10<b 12<…;当k <72时,b 2k +2<b 2k ,即b 8<b 6<b 4<b 2.故存在正整数m =8使得对于任意正整数n ,都有b n ≥b m .。

2011高三数学二轮复习天天练 数学天天练习45 新人教版

2011高三数学二轮复习天天练 数学天天练习45 新人教版

高三数学天天练451.1212[(12)](12)---+=_________________. 2.若点P(m ,n) (n≠0)为角600°终边上一点,则n m 等于___________. 3.若存在x ∈,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,使|sin |2a x >成立,则实数a 的取值范围为 .4.设230.0310x y -==,则11x y-的值为5.在△ABC 中,若(a +b +c )(b +c -a )=3bc ,则A 等于____________.6.设A ,B 是x 轴上的两点,点P 的横坐标为2,且PA PB =,若直线PA 的方程为10x y -+=,则直线PB 的方程是___________________.7.设点P 是函数()cos()f x x ωϕ=+的图象C 的一个对称中心,若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值为4π,则)(x f 的最小正周期是______________.8.已知函数)10(log )21(≠>==a a x y y a x 且与函数两者的图象相交于点),,(00y x P 如果a x 那么,20≥的取值范围是 .9.已知直线0=++C By Ax (其中0,222≠=+C C B A )与圆422=+y x 交于N M ,,O 是坐标原点,则OM ·ON = _________________.10.已知点(m ,n )在曲线24y x =-上,则23n m --的取值范围是_________________.11.设m 为实数,若22250(,)30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭,则m 的取值范围是______________.12、若等比数列{a n }满足:354321=++++a a a a a ,122524232221=++++a a a a a ,求54321a a a a a +-+-的值填空题答案纸:1、______________2、_____________3、______________4、______________5、_____________6、______________7、______________8、_____________9、______________ 10、_____________ 11、_____________。

高三基础知识天天练 数学检测4.人教版

高三基础知识天天练 数学检测4.人教版

单元质量检测(四)一、选择题1.若复数(a 2-4a +3)+(a -1)i 是纯虚数,则实数a 的值是( )A .1B .3C .1或3D .-1解析:由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2-4a +3=0a -1≠0,解得a =3.答案:B2.复数1-2+i +11-2i的虚部是( )A.15i B.15 C .-15iD .-15解析:∵1-2+i +11-2i=-2-i (-2+i )(-2-i )+1+2i(1-2i )(1+2i )=-2-i 5+1+2i 5=-15+15i , ∴虚部为15.答案:B3.平面向量a ,b 共线的充要条件是( )A .a ,b 方向相同B .a ,b 两向量中至少有一个为零向量C .∃λ∈R ,b =λaD .存在不全为零的实数λ1,λ2,λ1a +λ2b =0解析:A 中,a ,b 同向则a ,b 共线;但a ,b 共线则a ,b 不一定同向,因此A 不是充要条件.若a ,b 两向量中至少有一个为零向量,则a ,b 共线;但a ,b 共线时,a ,b 不一定是零向量,如a =(1,2),b =(2,4),从而B 不是充要条件.当b =λa 时,a ,b 一定共线;但a ,b 共线时,若b ≠0,a =0,则b =λa 就不成立,从而C 也不是充要条件.对于D ,假设λ1≠0,则a =-λ2λ1b ,因此a ,b 共线;反之,若a ,b 共线,则a =nm b ,即m a -n b =0.令λ1=m ,λ2=-n ,则λ1a +λ2b =0. 答案:D4.如下图所示,已知梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且AB =3CD ,M ,N 分别是AB ,CD 的中点,设AB →=e 1,AD →=e 2,MN →可表示为( )A .e 2+16e 1B .e 2-12e 1C .e 2-13e 1D .e 2+131解析:MN →=12(MD →+MC →)=12(MD →+MD →+DC →)=12[2(MA →+AD →)+DC →]=12[2(-12e 1+e 2)+131]=-12e 1+e 2+16e 1=e 2-13e 1. 答案:C5.向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为( )A .45°B .60°C .90°D .120°解析:由(a +b )⊥(2a -b )得(a +b )·(2a -b )=0, 即2|a |2+|a |·|b |cos α-|b |2=0,把|a |=1,|b |=2代入得cos α=0,∴α=90°(其中α为两向量的夹角). 答案:C6.设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点,且DC →=2BD →,CE →=2EA →,AF →=2FB →,则AD →+BE →+CF →与BC →( )A .反向平行B .同向平行C .互相垂直D .既不平行也不垂直解析:∵DC →=2BD →,∴BC →-BD →=2BD →,∴BD →=13→.∵CE →=2EA →,∴BE →-BC →=2BA →-2BE →, ∴BE →=23BA →+13BC →.∵AF →=2FB →,∴BF →-BA →=-2BF →,∴BF →=13BA →.∴AD →+BE →+CF →=BD →-BA →+BE →+BF →-BC → =13BC →-BA →+23BA →+13BC →+13BA →-BC → =-13BC →.∴AD →+BE →+CF →与BC →反向平行. 答案:A7.已知非零向量a ,b ,若a ·b =0,则|a -2b ||a +2b |等于( )A.14 B .2 C.12D .1解析:|a -2b ||a +2b |=(a -2b )2(a +2b )2=a 2+4b 2a 2+4b 2=1.答案:D8.在△ABC 中,若BC →2=AB →·BC →+CB →·CA →+BC →·BA →,则△ABC 是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等边三角形解析:因为AB →·BC →+CB →·CA →+BC →·BA → =BC →·(AB →-CA →+BA →)=BC →·AC →,故BC →2-BC →·AC →=BC →·(BC →-AC →)=BC →·BA →=0, 即∠B =π2.答案:B9.一质点受到平面上的三个力F 1,F 2,F 3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F 1,F 2成60°角,且F 1,F 2的大小分别为2和4,则F 3的大小为( )A .6B .2C .2 5D .27解析:如图,F 3的大小等于F 1、F 2的合力的大小.由平面向量加法的三角形法则知,在△OAB 中OB 的长就是F 1、F 2的合力的大小,且在△OAB 中,∠OAB =120°,OB =F 21+F 22-2F 1·F 2cos120°=28=27,即F 3为27.答案:D10.函数y =tan(π4-π2)的部分图象如下图所示,则(OA →+OB →)·AB →=( )A .-6B .-4C .4D .6解析:函数y =tan(π4x -π2)的图象是由y =tan x 的图象向右平移π2坐标扩大为原来的4π倍得到,所以点A 的坐标为(2,0),令tan(π4x -π2)=1得π4x -π2=π4,故可得B 点坐标为(3,1),所以(OA →+OB →)·AB →=(5,1)·(1,1)=6.答案:D11.设点P 为△ABC 的外心(三条边垂直平分线的交点),若AB =2,AC =4,则AP →·BC →=( )A .8B .6C .4D .2解析:我们可以采用特殊方法解答,设A (-1,0),B (1,0),C (-1,4),则外心P 为(0,2),故AP →=(1,2),BC →=(-2,4),故AP →·BC →=6.答案:B12.已知P 是△ABC 所在平面内的一点,若CB →=λPA →+PB →(其中λ∈R ),则点P 一定在( )A .△ABC 的内部B .AC 边所在的直线上 C .AB 边所在的直线上D .BC 边所在的直线上解析:CB →=PB →-PC →=λPA →+PB →化简即得-PC →=λPA →,由共线向量的充要条件可知,点P ,A ,C 三点共线,所以答案选B.答案:B 二、填空题13.若复数a +3i1+2i (a ∈R ,i 是虚数单位)是纯虚数,则实数a =________.解析:∵a +3i 1+2i =(a +3i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=a +65+3-2a5i , ∴⎩⎨⎧a +6503-2a 5≠0,∴a =-6.答案:-614.向量a =(cos10°,sin10°),b =(cos70°,sin70°),|a -2b |=________. 解析:|a -2b |=a 2+4b 2-4a ·b =1+4-4(cos10°cos70°+sin10°sin70°) =5-4cos60°= 3. 答案: 315.已知AD 是△ABC 的中线,AD →=λAB →+μAC →(λ,μ∈R ),那么λ+μ=________;若∠A =120°,AB →·AC →=-2,则|AD →|的最小值是________.解析:若AD 为△ABC 的中线,则有AD →=12(AB →+AC →),∴λ+μ=1.|AD →|2=14(AB →+AC →)2=14(|AB →|2+|AC →|2+2AB →·AC →)=14(|AB →|2+|AC →|2-4),∵|AB →|2+|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|=2AB →·AC →cos120°8,所以|AD →|≥1.答案:1 116.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →,它们的夹角为120°.如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若OC →=xOA →+yOB →,其中x ,y ∈R ,则x +y 的最大值是________.解析:以O 为坐标原点,OA 为x 轴建立平面直角坐标系,则可知A (1,0),B (-12,32),设C (cos α,sin α)(α∈[0,2π3]),则有x =cos α+33sin α,y =233sin α,所以x +y =cos α+3sin α=2sin(α+π6),所以当α=π3时,x +y 取得最大值为2.答案:2 三、解答题17.如图,在平行四边形ABCD 中,M ,N 分别为DC ,BC 的中点,已知AM →=c ,AN →=d ,试用c ,d 表示AB →,AD →.解法一:设AB →=a ,AD →=b , 则a =AN →+NB →=d +(-12)①b =AM →+MD →=c +(-12a )②将②代入①得a =d +(-12)[c +(-12a )]⇒a =43d -23,代入②得b =c +(-12)(43d -23c )=43c -23d .解法二:设AB →=a ,AD →=b . 因M ,N 分别为CD ,BC 中点, 所以BN →=12b ,DM →=12a .因而⎩⎨⎧c =b +12a d =a +12b ⇒⎩⎨⎧a =23(2d -c )b =23(2c -d ),即AB →=23(2d -c ),AD →=23(2c -d ).18.设a =(-1,1),b =(4,3),c =(5,-2),(1)求证a 与b 不共线,并求a 与b 的夹角的余弦值; (2)求c 在a 方向上的投影; (3)求λ1和λ2,使c =λ1a +λ2b .解:(1)∵a =(-1,1),b =(4,3),且-1×3≠1×4,∴a 与b 不共线. 又a ·b =-1×4+1×3=-1,|a |=2,|b |=5, ∴cos 〈a ,b 〉=a ·b |a ||b |=-152=-210. (2)∵a ·c =-1×5+1×(-2)=-7, ∴c 在a 方向上的投影为a ·c |a |=-72=-72 2.(3)∵c =λ1a +λ2b ,∴(5,-2)=λ1(-1,1)+λ2(4,3)=(4λ2-λ1,λ1+3λ2),∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ2-λ1=5λ1+3λ2=-2,解得⎩⎨⎧λ1=-237λ2=37.19.设△ABC 的外心为O ,则圆O 为△ABC 的外接圆,垂心为H .求证:OH →=OA →+OB →+OC →.证明:延长BO 交圆O 于D 点,连AD 、DC , 则BD 为圆O 的直径,故∠BCD =∠BAD =90°. 又∵AE ⊥BC ,DC ⊥BC , 得AH ∥DC ,同理DA ∥CH . ∴四边形AHCD 为平行四边形, ∴AH →=DC →.又∵DC →=OC →-OD →=OC →+OB →, ∴AH →=OB →+OC →. 又∵OH →=OA →+AH →, ∴OH →=OA →+OB →+OC →.20.(1)如图,设点P ,Q 是线段AB 的三等分点,若OA →=a ,OB →=b ,试用a ,b 表示OP →,OQ →,并判断OP →+OQ →与OA →+OB →的关系;(2)受(1)的启示,如果点A 1,A 2,A 3,…,A n -1是AB 的n (n ≥3)等分点,你能得到什么结论?请证明你的结论.解:(1)OP →=OA →+AP →=OA →+13AB →=OA →+13OB →-OA →)=13OB →+23OA →=23a +13.同理OQ →=13a +23b ,∴OP →+OQ →=a +b =OA →+OB →.(2)OA 1→+OA n -1 =OA 2→+OA n -2 =…=OA →+OB →. 证明如下:由(1)可推出OA 1→=OA →+AA 1→=OA →+1n AB →=OA →+1n OB →-OA →)=n -1n OA →+1n OB →,∴OA 1→=n -1n a +1n b ,同理OA n -1=1n a +n -1nb ,OA 2→=n -2n a +2n b ,OA n -2=2n a +n -2n b ,…因此有OA 1→+OA n -1=OA 2→+OA n -2=…=OA →+OB →.21.已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3,且AB →·BC →=6,AB →与BC →的夹角为θ. (1)求θ的取值范围;(2)求函数f (θ)=sin 2θ+2sin θ·cos θ+3cos 2θ的最小值. 解:(1)由题意知: AB →·BC →=|AB →|·|BC →|·cos θ=6① S =12|AB →|·|BC →|·sin(π-θ)=12|AB →|·|BC →|·sin θ② ②÷①得S 6=12tan θ,即3tan θ=S .由3≤S ≤3,得3≤3tan θ≤3,即33≤tan θ≤1. ∵θ为AB →与BC →的夹角,∴θ∈(0,π),∴θ∈[π6,π4].(2)f (θ)=sin 2θ+2sin θ·cos θ+3cos 2θ =1+sin2θ+2cos 2θ=2+sin2θ+cos2θ =2+2sin(2θ+π4).∵θ∈[π6,π4],∴2θ+π4∈[7π12,3π4].∴当2θ+π4=3π4,即θ=π4时,f (θ)有最小值为3.22.设向量a =(4cos α,sin α),b =(sin β,4cos β),c =(cos β,-4sin β). (1)若a 与b -2c 垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b +c |的最大值;(3)若tan αtan β=16,求证:a ∥b . 解:(1)因为a 与b -2c 垂直,所以a ·(b -2c )=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0, 因此tan(α+β)=2.(2)由b +c =(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得 |b +c |=(sin β+cos β)2+(4cos β-4sin β)2 =17-15sin2β≤4 2.又当β=-π4时,等号成立,所以|b +c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β=16得4cos αsin β=sin α4cos β,所以a ∥b .。

【人教A版】高中数学(选修4-5):全册配套课堂练习题(附答案)

【人教A版】高中数学(选修4-5):全册配套课堂练习题(附答案)

第二讲证明不等式的基本方法1.回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式,通过综合应用加深对不等式基本性质基本定理的理解.2.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.,利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法,例如,比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等,在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧,对于专门从事某些数学领域研究的人们而言,掌握这些技巧是极为重要的.但是,对大多数学习不等式的人来说,常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质,对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景.所以,本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式,使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想,不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求,不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中.2.1 比较法1.了解用作差比较法证明不等式.2.了解用作商比较法证明不等式.3.提高综合应用知识解决问题的能力.1.作差法:要比较两个实数的大小,只要考查它们的差的符号即可,即利用不等式的性质:a>b⇔a-b________0a=b⇔a-b________0a<b⇔a-b________0答案:>=<思考1 比较两个代数式值的大小:x2与x2-x+1.解析:当x=1时,x2=x2-x+1;当x>1时,x2>x2-x+1;当x<1时,x2<x2-x+1.2.作商法:由于当b >0时,a >b ⇒ab >1,因此要证明a >b (b >0),可以转化为证明与之等价的a b>1(b >0),这种证明方法即为作商法.思考2 求证:1618>1816.证明:∵16181816=256332=⎝ ⎛⎭⎪⎫27348=⎝ ⎛⎭⎪⎫128818>1,∴1618>1816.一层练习1.设m =a +2b ,n =a +b 2+1,则( ) A .m >n B .m ≥n C .m <n D .m ≤n 答案:D2.已知实数a ,b ,c 满足b +c =6-4a +3a 2,c -b =4-4a +a 2,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .c ≥b >aB .a >c ≥bC .c >b >aD .a >c >b 答案:A3.已知下列不等式:①x 2+3>2x (x ∈R);②a 5+b 5>a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R);③a 2+b 2≥2(a -b -1).其中正确的个数为( )A .0个B .1个C .2个D .3个 答案:C4.2a1+a2________1(填“≥”“≤”“>”或“<”). 答案:≤二层练习5.若a >b ,则代数式a 3+a 2b 与ab 2+b 3的大小关系是( )A .a 3+a 2b <ab 2+b 3B .a 3+a 2b ≥ab 2+b 3C .a 3+a 2b =ab 2+b 3D .不能确定解析:∵a >b ,∴(a 3+a 2b )-(ab 2+b 3)=(a 3-b 3)+(a 2b -ab 2)=(a -b )(a 2+ab +b 2)+ab (a -b )=(a -b )·(a +b )2≥0,∴a 3+a 2b ≥ab 2+b 3.答案:B6.设0<2a <1,M =1-a 2,N =1+a 2,P =11-a ,Q =11+a ,那么( )A .Q <P <M <NB .M <N <Q <PC .Q <M <N <PD .M <Q <P <N 答案:C7.若a >b >0,下列各式中恒成立的是( ) A.2a +b a +2b >a b B.b 2+1a 2+1>b 2a 2 C .a +1a >b +1bD .a a <a b答案:B8.设a ,b 均为正数,且a ≠b ,则a a b b 与a b b a的大小关系是______________.答案:a a b b >a b b a9.6-22与5-7的大小关系是________________________________________________________________________.答案:(6-22)>(5-7)10.设P =a 2b 2+5,Q =2ab -a 2-4a ,若P >Q ,则实数a ,b 满足的条件为________.解析:P -Q =a 2b 2+5-2ab +a 2+4a =(ab -1)2+(a +2)2.∵P >Q ,P -Q >0.∴ab ≠1或a ≠-2.答案:ab ≠1或a ≠-211.若a ,b 均为正数,求证:⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 12+⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 12≥a +b . 证明:证法一 左边-右边=a b +ba-(a +b ) =(a )3+(b )3-(a +b )abab=(a +b )[(a )2-2ab +(b )2]ab=(a +b )(a -b )2ab,因为a +b >0,ab >0,(a -b )2≥0,所以ab+ba-(a+b)≥0,所以ab+ba≥a+b.证法二左边-右边=ab+ba-(a+b)=⎝⎛⎭⎪⎫ab-b+⎝⎛⎭⎪⎫ba-a=a-bb+b-aa=(a-b)(a-b)ab =(a+b)(a-b)2ab≥0,所以ab+ba≥a+b.证法三左边右边=ab+baa+b=(a)3+(b)3ab(a+b)=a+b-abab=1+(a-b)2ab≥1,所以ab+ba≥a+b.三层练习12.已知a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.证明:∵2a3-b3-(2ab2-a2b)=(2a3-2ab2)+(a2b-b3)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a+b)(a-b)(2a+b).又∵a≥b>0,∴a+b>0,a-b≥0,2a+b>0,∴(a+b)(a-b)(2a+b)≥0,∴2a3-b3-2ab2-a2b≥0,∴2a3-b3≥2ab2-a2b.13.设不等式|2x-1|<1的解集为M.(1)求集合M;(2)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小.解析:(1)由|2x-1|<1得-1<2x-1<1,解得 0<x<1.所以M={x|0<x<1}.(2)由(1)和a,b∈M可知0<a<1,0<b<1,所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0.故ab+1>a+b.14.设a,b是非负实数,求证:a3+b3≥ab(a2+b2).证明:由a,b是非负实数,作差得a3+b3-ab(a2+b2)=a2a(a-b)+b2b(b-a)=(a-b)[(a)5-(b)5].当a≥b时,a≥b,从而(a)5≥(b)5,得(a-b)·[(a)5-(b)5]≥0;当a<b时,a<b,从而(a)5<(b)5,得(a-b)·[(a)5-(b)5]>0.所以a3+b3≥ab(a2+b2).比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方法,比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用a>b⇔a-b>0),还有作商比较法(即要证明a>b,而b>0,只要证明ab>1).作差比较法的基本步骤是:作差、变形、判断符号.变形是关键,目的在于能判断差的符号,而不必考虑差的具体值是多少.为便于判断差式的符号,通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形式或平方和形式.当所得的差式是某个字母的二次三项式时,则常用判别式法判断符号.变形方法常用分解因式、通分、配方、有理化等.多项式不等式、分式不等式或对数不等式常用作差比较法证明.作商比较法的基本步骤是:作商、变形、判断商值与1的大小,适用于两边都是正值的幂或积的形式的不等式.其中判断差值的正负及商值与1的大小是用比较法证明不等式的难点.判断过程应详细叙述.用比较法证明不等式时,当差式或商式中含有字母时,一般需对字母的取值进行分类讨论.习题课 不 等 式1.若a ,b , c ,d ∈R ,且a >b ,c >d ,那么( ) A .a -c >b -d B .ac >bd C .-a d >-b cD .a -d >b -c 答案: D2.若1a <1b<0,则下列等式:①1a +b <1ab;②|a |+b >0; ③a -1a >b -1b;④ln a 2>ln b 2.其中,正确的不等式是( )A .①④B .②③C .①③D .②④ 答案: C3.若a ,b ∈R ,则不等式:①a 2+3>2a ;②a 2+b 2≥2(a -b -1);③a 5+b 5>a 3b 2+a 2b 3;④a +1a≥2中一定成立的是( )A .①②③B .①②④C .①②D .②④ 答案: C4.若x >54,则f (x )=4x +14x -5的最小值为( )A .-3B .2C .5D .7答案: D5.若a >0,b >0,且ln(a +b )=0,则1a +1b的最小值是( )A.14B .1C .4D .8 答案: C6.当点(x ,y )在直线x +3y =2上移动时,表达式3x +27y+1的最小值为( ) A .3 B .5 C .1 D .7 答案: D7.设正数x ,y 满足log 2(x +y +3)=log 2x +log 2y ,则x +y 的最小值为________. 答案: 68.若正实数x ,y ,满足2x +y +6=xy ,则xy 的最小值是________.解析:由x >0,y >0,2x +y +6=xy 得xy ≥22xy +6(当且仅当2x =y 时,取“=”),即(xy )2-22(xy )-6≥0. ∴(xy -32)(xy +2)≥0. 又∵xy >0, ∴xy ≥32, 即xy ≥18.∴xy 的最小值为18. 答案:189.(2014·上海高考文科)设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +a ,x ≤0,x +1x,x >0.若f (0)是f (x )的最小值,则a 的取值范围为______.解析:当时x >0,f (x )=x +1x≥2,若f (0)是f (x )的最小值,则f (0)=a ≤2.答案:(-∞,2].10.(2014·辽宁卷)对于c <0,当非零实数a ,b 满足4a 2-2ab +b 2-c =0且使|2a +b |最大时,1a +2b +4c的最小值为______.解析:因为4a 2-2ab +b 2-c =0,所以(2a +b )2-c =6ab =3×2ab ≤3×(2a +b )24,所以(2a +b )2≤4c ,当且仅当b =2a ,c =4a 2时,|2a +b |取得最大值. 故1a +2b +4c =2a +1a2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +12-1,其最小值为-1 答案:-111.(2014·湖北卷)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流量速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l (单位:米)的值有关,其公式为F =76 000vv 2+18v +20l .(1)如果不限定车型,l =6.05,则最大流量为______辆/时;(2)如果限定车型,l =5,则最大流量比(l )中的作答车流量增加______辆/时. 解析:(1)依题意知,l >0,v >0,所以当l =6.05时,F =76 000v v 2+18v +12l =76 000v +121v+18≤76 0002v ·121v+18=1 900,当且仅当v =11时,取等号. (2)当l =5时,F =76 000v v +18v +100≤76 000v +100v+18≤2 000, 当且仅当v =10时,取等号,此时比(l )中的最大车流量增加100辆/时.答案:(1)1 900 (2)10012.已知x ,y ,z 都为正数,且xyz (x +y +z )=1. 求证:(x +y )(y +z )≥2.证明:由已知得xz >0,y (x +y +z )>0. 又xyz (x +y +z )=1,所以(x +y )(y +z )=xy +xz +y 2+yz =xz +y (x +y +z )≥2xz ·y (x +y +z )=2, 即(x +y )(y +z )≥2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xz =y (x +y +z ),xyz (x +y +z )=1时取等号.13.(1)已知x >1,求函数y =x 2x -1的最小值;(2)若x <12,求函数y =2x +2+12x -1的最大值.解析:(1)y =x 2x -1=(x +1)(x -1)+1x -1=x +1+1x -1=x -1+1x -1+2. ∵x >1,∴x -1>0. ∴y =x -1+1x -1+2≥2(x -1)·1x -1+2=4. 当且仅当x -1=1x -1,即x =2时等号成立. ∴y min =4.(2)y =2x +2+12x -1=(2x -1)+12x -1+3.∵x <12,∴2x -1<0.即1-2x >0.∴y =2x +2+12x -1=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1-2x )+11-2x +3≤-2(1-2x )·1(1-2x )+3=1.当且仅当1-2x =11-2x ,即x =0时,等号成立. ∴y max =1.14.如下图所示,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?(2)若使每间虎笼面积为24 m 2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?解析:(1)设每间虎笼长为x m ,宽为y m , 则由条件得4x +6y =36,即2x +3y =18, 设每间虎笼面积为S ,则S =xy .解法一 由于2x +3y ≥22x ·3y =26xy ,∴26xy ≤18,得xy ≤272,即S ≤272,当且仅当2x =3y 时,等号成立.由⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y =18,2x =3y ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =4.5,y =3, 故每间虎笼长为4.5 m ,宽为3 m 时,可使面积最大. 解法二 由2x +3y =18,得x =9-32y ,∵x >0,∴0<y <6,S =xy =⎝ ⎛⎭⎪⎫9-32y y =32(6-y )·y ,∵0<y <6,∴6-y >0, ∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6-y )+y 22=272, 当且仅当6-y =y ,即y =3时,等号成立,此时x =4.5,故每间虎笼长4.5 m ,宽3 m 时,可使面积最大.(2)由条件知S =xy =24,设钢筋网总长为l ,则l =4x +6y .∵2x +3y ≥22x ·3y =26xy =24, ∴l =4x +6y =2(2x +3y )≥48, 当且仅当2x =3y 时,等号成立.由⎩⎪⎨⎪⎧2x =3y ,xy =24, 解得⎩⎪⎨⎪⎧x =6,y =4,故每间虎笼长6 m ,宽4 m 时,可使钢筋网总长最小.第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式1.回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式.2.理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:(1)|a+b|≤|a|+|b|;(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|;(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-c|+|x-b|≥a.,在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系,不等关系和相等关系是基本的数学关系.它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用.学习时注意适当联系实际,加深理解现实生活中的不等关系与相等关系.适当应用数形结合有利于解决问题.如函数的图象、集合的韦恩图、数集的数轴表示等.1.1 不等式1.1.1 不等式的基本性质1.回顾和复习不等式的基本性质.2.灵活应用比较法比较两个数的大小.3.熟练应用不等式的基本性质进行变形与简单证明.1.实数的运算性质与大小顺序的关系.数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数,从实数的减法和在数轴上的表示可知:a>b⇔a-b________;a=b⇔a-b________;a<b⇔a-b________.答案:>0 =0 <0得出结论:要比较两个实数的大小,只要考查它们的差的符号即可.思考1 比较大小:x2+3________x2+1.答案:>2.不等式的基本性质.(1)对称性:如果a >b ,那么b <a ;如果b <a ,那么a >b .(2)传递性:如果a >b ,且b >c ,那么a >c ,即a >b ,b >c ⇒a >c . (3)加法:如果a >b ,那么a +c >b +c ,即a >b ⇒a +c >b +c .推论:如果a >b ,且c >d ,那么a +c >b +d .即a >b ,c >d ⇒a +c >b +d .(4)乘法:如果a >b ,且c >0,那么ac >bc ;如果a >b ,且c <0,那么ac <bc .(5)乘方:如果a >b >0,那么a n >b n(n ∈N,且n >1). (6)开方:如果a >b >0,那么n a >nb (n ∈N,且n >1). 思考2 若a >b ,则有3+a ____2+b . 思考3 若a >b >0,则有3a ____2b . 答案: 2.思考2:> 思考3:>一层练习1.设a ,b ,c ∈R 且a >b ,则( ) A .ac >bc B.1a <1bC .a 2>b 2D .a 3>b 3答案: D2.(2014·四川高考理科)若a >b >0,c <d <0,则一定有( ) A.a c >bd B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c解析:选D.因为c <d <0,所以-c >-d >0,即得1-d >1-c >0,又a >b >0.得a-d>b-c,从而有a d <b c.答案:D3.比较大小:(x +5)(x +7)________(x +6)2. 答案:< 4.“a >b ”与“1a>1b”同时成立的条件是________________________________________________________________________. 答案:b <0<a二层练习5.已知a ,b ,c 满足c <b <a ,且ac <0,那么下列选项中不一定成立的是( ) A .ab >ac B .c (b -a )>0C .cb 2<ab 2D .ac (a -c )<0答案:C6.设角α,β满足-π2<α<β<π2,则α-β的取值范围是( )A .-π<α-β<0B .-π<α-β<πC .-π2<α-β<0D .-π2<α-β<π2答案:A7.如果a <b <0,那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB .ab <b 2C .-ab <-a 2D .-1a <-1b答案:D8.若1a <1b <0,则下列不等式:①a +b <ab ;②|a |>|b |;③a <b ;④b a +ab>2.其中正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个 答案:B9.已知a >b >0,则a b 与a +1b +1的大小是________.答案:a b >a +1b +110.已知a >0,b >0,则b 2a +a 2b 与a +b 的大小关系是________.答案:b 2a +a 2b ≥a +b三层练习11.设x ,y ∈R ,则“x ≥1且y ≥2”是“x +y ≥3”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .即不充分也不必要条件 答案:A12.设0<a <b <1,则下列不等式成立的是( ) A .a 3>b 3B.1a <1bC .a b>1 D .lg(b -a )<0 答案:D13.(2014·山东高考理科)已知实数x ,y 满足a x <a y(0<a <1),则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2+1>1y 2+1B .ln(x 2+1)>ln(y 2+1) C .sin x >sin yD .x 3>y 3解析:选D.由a x <a y(0<a <1)知,x >y ,所以 A .y =1x 2+1在(-∞,0)递增,(0,+∞)递减,无法判断 B .y =ln(x 2+1)在(-∞,0)递减,(0,+∞)递增,无法判断 C .y =s in x 为周期函数,无法判断D .y =x 3在R 上为增函数,x 3>y 3答案:D14.设a >b >1,c <0,给出下列三个结论: ①c a >c b;②a c<b c;③log b (a -c )>log a (b -c ).其中所有的正确结论的序号是________. A .① B .①② C .②③ D .①②③解析:根据不等式的性质构造函数求解. ∵a >b >1,∴1a <1b.又c <0,∴c a >c b,故①正确.构造函数y =x c.∵c <0,∴y =x c在(0,+∞)上是减函数.又a >b >1,∴a c <b c,故②正确. ∵a >b >1,-c >0,∴a -c >b -c >1.∵a >b >1,∴log b (a -c )>log a (a -c )>log a (b -c ), 即log b (a -c )>log a (b -c ),故③正确. 答案:D1.不等关系与不等式.(1)不等关系强调的是关系,而不等式强调的则是表示两者不等关系的式子,可用“a>b”,“a<b”,“a≠b”,“a≥b”,“a≤b”等式子表示,不等关系可通过不等式来体现;离开不等式,不等关系就无法体现.(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础,不可忽视.2.不等式的性质.对于不等式的性质,关键是正确理解和运用,要弄清每一个性质的条件和结论,注意条件放宽和加强后,结论是否发生了变化;运用不等式的性质时,一定要注意不等式成立的条件,切不可用似乎、是或很显然的理由代替不等式的性质.特别提醒:在使用不等式的性质时,一定要搞清它们成立的前提条件.3.比较两个实数的大小.要比较两个实数的大小,通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号,至于确切值是多少无关紧要).在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中,常会涉及一些具体变形,如:因式分解、配方法等.对于具体问题,如何采用恰当的变形方式来达到目的,要视具体问题而定.【金版学案】2015-2016学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式讲末检测 新人教A 版选修4-5一、选择题(每小题5分,共60分)1.若1a <1b<0,则下列结论不正确的是( )A .a 2<b 2B .ab <b 2C.b a +a b>2 D .|a |-|b |=|a -b | 答案: D2.若a >0,b >0,a +b =2,则ab +1ab的最小值为( )A .2B .3C .4D .2 2解析:由a >0,b >0,2=a +b ≥2ab 得0<ab ≤1,令t =ab ,则t ∈(0,1].因为y =t +1t在(0,1]上为减函数,所以当t =1时,y min =2.答案:A 3.在R 上定义运算⊗:x ⊗y =x (1-y ).若不等式(x -a )⊗(x +a )<1对任意实数x 成立,则( )A .-1<a <1B .0<a <2C .-12<a <32D .-32<a <12解析:∵(x -a )(x +a )<1对任意实数x 成立,∴(x -a )(1-x -a )<1对任意实数x成立,∴x 2-x -a 2+a +1>0对任意实数x 成立,∴1-4(-a 2+a +1)<0,∴-12<a <32.答案:C4.已知a ,b ,c 满足c <b <a 且ac <0,则下列选项中不恒成立的是( ) A.b a >c a B.b -ac>0 C.b 2c >a 2c D.a -c ac<0 解析:∵c <b <a 且ac <0,∴a >0,c <0.由b >c ,a >0,即1a >0可得b a >c a .故A 恒成立.∵b <a ,∴b -a <0,又c <0,∴b -a c>0.故B 恒成立.∵c <a ,∴a -c >0,又ac <0,∴a -cac<0.故D 恒成立.当b =-2,a =1时,b 2>a 2,而c <0,∴b 2c <a 2c,故C 不恒成立. 答案:C5.设a ,b ,c 均为正数,且2a=log 12a ,⎝ ⎛⎭⎪⎫12b =log 12b ,⎝ ⎛⎭⎪⎫12c=log 2c ,则( ) A .a <b <c B .c <b <aC .c <a <bD .b <a <c解析:依题意知a >0,b >0,c >0,故2a>1,0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12b <1,0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12c<1,∴log 12a >1,0<log 12b <1,0<log 2c <1,即0<a <12,12<b <1,1<c <2,从而a <b <c .答案:A6.若x ∈(-∞,1),则函数y =x 2-2x +22x -2有( )A .最小值1B .最大值1C .最大值-1D .最小值-1 答案:C7.若关于x 的不等式x +|x -1|≤a 有解,则实数a 的取值范围是( ) A .[1,+∞) B .[2,+∞) C .(3,+∞) D .[4,5] 答案:A8.对任意实数x ,若不等式|x +1|-|x -2|>k 恒成立,则k 的取值范围是( ) A .k <3 B .k <-3 C .k ≤3 D .k ≤-3 答案:B9.设a >b >c ,n ∈N +,且1a -b +1b -c ≥n a -c恒成立,则n 的最大值为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 解析:因为原不等式⇔n ≤⎝⎛⎭⎪⎫1a -b +1b -c (a -c )=⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -b +1b -c (a -b +b -c )恒成立, 所以n ≤⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -b +1b -c [(a -b )+(b -c )]min=4. 答案:C10.不等式|x |>2x -1的解集为( ) A .{x |x >2或x <-1} B .{x |-1<x <2} C .{x |x <1或x >2} D .{x |1<x <2} 解析:方法一 当x <1时,2x -1<0,不等式恒成立,故选C. 方法二 |x |>2x -1]⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >2x -1,x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x <21-x ],x <0,解得x <1或x >2.答案:C11.已知命题p :不等式|x |+|x -1|>m 的解集为R ,命题q :f (x )=-(5-2m )x是减函数,则p 是q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:若不等式|x |+|x -1|>m 的解集为R ,则m <1,若函数f (x )=-(5-2m )x是减函数, 则5-2m >1,则m <2,.故p ⇒q ,q ⇒ /p . 答案:A12.不等式|2x -log 2x |<2x +|log 2x |的解集为( ) A .{x |1<x <2} B .{x |0<x <1} C .{x |x >1} D .{x |x >2}解析:因为|a -b |≤|a |+|b |,其中等号成立的条件为ab ≤0,所以由原不等式成立得 2x ·log 2x >0,所以x >1. 答案:C二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知集合A ={x ∈R||x +3|+|x -4|≤9},B ={x ∈R|x =4t +1t-6,t ∈(0,+∞)},则集合A ∩B =______________. 解析:由集合A ={x ∈R||x +3|+|x -4|≤9}解出A ={x |-4≤x ≤5},B ={x ∈R|x =4t +1t-6,t ∈(0,+∞)}={x |x ≥ -2};故A ∩B ={x |-2≤x ≤5}.答案:{x |-2≤x ≤5} 14.已知x 1·x 2·x 3·…·x 2012=1,=且x 1,x 2,…,x 2012都是正数,则(1+x 1)(1+x 2)·…·(1+x 2012)的最小值是________.解析:∵x 1是正数,∴1+x 1≥2x 1,同理:1+x 2≥2x 2,…,1+x 2012≥2x 2012,各式相乘,得(1+x 1)·(1+x 2)·…·(1+x 2012)≥22012x 1·x 2·…·x 2012=22012.等号成立的条件为x 1=x 2=…=x 2012=1.答案:2201215.设a >b .①ac 2>bc 2;②2a >2b ;③1a <1b;④a 3>b 3;⑤a 2>b 2.其中正确的结论序号有________.解析:若c =0,①错;若a ,b 异号或a ,b 中有一个为0,则③⑤错. 答案:②④16.若a +1>0,则不等式x ≥x 2-2x -ax -1的解集为________.解析:由题意得x -x 2-2x -ax -1≥0∴x +ax -1≥0.又a +1>0,∴-a <1, ∴x ≤-a 或x >1,∴原不等式的解集为(-∞,-a ]∪(1,+∞). 答案:(-∞,a ]∪(1,+∞)三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分11分)解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x -2x >1.解析:∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x -2x >1,∴x -2x >1或x -2x <-1,∴x 2-x -2x >0或x 2+x -2x<0,∴-1<x <0或x >2或x <-2或0<x <1.∴原不等式的解集为{x |x <-2或-1<x <0或0<x <1或x >2}.18.(本小题满分11分)设关于x 的不等式lg(|x +3|+|x -7|)>a . (1)当a =1时,解这个不等式;(2)当a 为何值时,这个不等式的解集为R? 解析:(1)当a =1时,原不等式可变形为 |x +3|+|x -7|>10,可解得其解集为 {x |x <-3或x >7}.(2)∵|x +3|+|x -7|≥|x +3-(x -7)|=10对任意x ∈R 都成立,∴lg(|x +3|+|x -7|≥lg10=1对任意x ∈R 都成立,即lg(|x +3|+|x -7|)>a 当且仅当a <1时对任意x ∈R 都成立.19.(本小题满分12分)求函数y =1x -3+x (x >3)的最小值. 解析:∵x >3,∴x -3>0,∴y =1x -3+x =⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -3+x -3+3≥21x -3·(x -3)+3=5,当且仅当1x -3=x -3,即x =4时取等号. ∴当x =4时,函数的最小值为5.20.(本小题满分12分)设f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,g (x )的图像与f (x )的图像关于直线x =1对称,且当x ∈[2,3]时,g (x )=-x 2+4x -4.(1)求f (x )的解析式;(2)对于任意的x 1,x 2∈[0,1]且x 1≠x 2,求证:|f (x 2)-f (x 1)|<2|x 2-x 1|; (3)对于任意的x 1,x 2∈[0,1]且x 1≠x 2,求证:|f (x 2)-f (x 1)|≤1. (1)解析:由题意知f (x +1)=g (1-x )⇔ f (x )=g (2-x ).当-1≤x ≤0时, 2≤2-x ≤3,∴f (x )=-(2-x )2+4(2-x )-4=-x 2; 当0<x ≤1时,-1≤-x <0,∴f (-x )=-x 2.∵f (x )是奇函数,∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2(-1≤x ≤0),x 2(0<x ≤1).(2)证明:∵当x 1,x 2∈[0,1]且x 1≠x 2时,0<x 1+x 2<2,∴|f (x 2)-f (x 1)=|x 22-x 21|=|(x 2-x 1)(x 2+x 1)|<2|x 2-x 1|.(3)证明:当x 1,x 2∈[0,1]且x 1≠x 2时,0≤x 21≤1,0≤x 22≤1,∴-1≤x 22-x 21≤1,即|x 22-x 21|≤1,∴|f (x 2)-f (x 1)|=|x 22-x 21|≤1.21.(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy 中,点A 的坐标为(0,-1),B 点在直线y =-3上,M 点满足MB →∥OA →,MA →·AB →=MB →·BA →,M 点的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程;(2)P 为C 上的动点,l 为C 在P 点处的切线,求O 点到l 的距离的最小值.解析:(1)设M (x ,y ),由已知得B (x ,-3).又A (0,-1),所以MA →=(-x ,-1-y ),MB →=(0,-3-y ),AB →=(x ,-2).再由题意可知(MA →+MB →)·AB →=0,即(-x ,-4-2y )·(x ,-2)=0.所以曲线C 的方程为y =14x 2-2.(2)设P (x 0,y 0)为曲线C :y =14x 2-2上一点.因为y ′=12x ,所以l 的斜率为12x 0.所以直线l 的方程为y -y 0=12x 0(x -x 0),即x 0x -2y +2y 0-x 20=0.所以O 点到l 的距离d =|2y 0-x 20|x 20+4.又y 0=14x 20-2,所以d =12x 20+4x 20+4=12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20+4+4x 20+4≥2,当且仅当x 0=0时,等号成立,所以O 点到l 的距离的最小值为2.22.(本小题满分12分)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为:y =920vv 2+3v +1 600(v >0).(1)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内? (2)在该时段内,当汽车的平均速度v 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少(结果可保留分数形式)?解析:(1)由条件得920vv 2+3v +1 600>10,整理得v 2-89v +1 600<0,即(v -25)(v -64)<0,解得25<v <64;(2)依题意,y =9203+⎝ ⎛⎭⎪⎫v +1 600v ≤9203+2 1 600=92083,当且仅当v =1 600v ,即v =40时上式等号成立, ∴y max =92083(千辆/时).第三讲柯西不等式与排序不等式1.能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值.2.认识柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义.(1)柯西不等式向量形式:|α||β|≥|α·β|.(2)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.(3) (x1-x2)2+(y1-y2)2+(x2-x3)2+(y2-y3)2≥(x1-x3)2+(y1-y3)2(通常称作平面三角不等式).3.用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况:∑n,i=1a2i·∑n,i=1b2i≥(∑n,i=1a i b i)2.4.用向量递归方法讨论排序不等式.,1.在本讲教学中,教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景,例如本讲给出的不等式大都有明确的几何背景.学生在学习中应该把握这些几何背景,理解这些不等式的实质.2.准确记忆柯西不等式的向量形式以及其他几何形式,深刻理解其几何意义,综合提升数学应用能力.3.1 二维形式的柯西不等式1.利用柯西不等式证明不等式.2.能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值.3.认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义.1.定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式):设a,b,c,d均为实数,则____________________________________,其中等号当且仅当________时成立.答案:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2ad=bc2.定理2(柯西不等式的向量形式):设α,β为两个平面向量,则________,其中等号当且仅当两个向量__________________时成立.答案:|α||β|≥|α·β|方向相同或相反(即两个向量共线)思考1 几何意义:设α,β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量,它们的终点分别为A (a ,b ),B (c ,d ),那么它们的数量积α·β=________,而|α|=a 2+b 2,|β|=c 2+d 2,所以柯西不等式的几何意义就是________,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立.答案:ac +bd |α||β|≥|α·β|3.定理3(三角形不等式):设x 1,y 1,x 2,y 2,x 3,y 3为任意实数,则________________________________________________________________________.答案:(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2+(x 2-x 3)2+(y 2-y 3)2≥(x 1-x 3)2+(y 1-y 3)2思考2 设a ,b ,c ,d ,m ,n 都是正实数,P =ab +cd ,Q =ma +nc ·b m +d n,则P 与Q 的大小关系是________.解析:由柯西不等式,得P =am ·b m +nc ·dn ≤am +nc ·b m +dn=Q , ∴P ≤Q . 答案:P ≤Q一层练习1.已知a ,b ∈R ,a 2+b 2=4,则3a +2b 的最大值为( ) A .4 B .213 C .8 D .9 答案:B2.设x ,y ,m ,n >0,且m x +ny=1,则u =x +y 的最小值是( ) A .(m +n )2B.m +nC .m +nD .(m +n )2答案:A3.已知a ,b >0,且a +b =1,则12a +1b 的最小值为________.解析:∵12a +1b =(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a +1b =[(a )2+(b )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·12a +b ·1b 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫12+12=32+ 2.答案:32+24.若3x +4y =2,求x 2+y 2的最小值及最小值点.解析:由柯西不等式有(x 2+y 2)(32+42)≥(3x +4y )2,得25(x 2+y 2)≥4,∴x 2+y 2≥425,当且仅当x 3=y 4时等号成立,为求最小值点,需解⎩⎪⎨⎪⎧3x +4y =2,x 3=y 4,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =625,y =825.因此,当x =625,y =825时,x 2+y 2的最小值为425,最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625,825.二层练习5.若直线x a +y b=1通过点M (cos α,sin α),则( ) A .a 2+b 2≤1 B .a 2+b 2≥1 C.1a 2+1b 2≤1 D.1a 2+1b2≥1答案:D6.函数y =21-x +2x +1的最大值为______. 答案:37.已知2x 2+y 2=1,则2x +y 的最大值是______. 答案:38.已知x ,y ∈R ,且xy =1,则⎝⎛⎭⎪⎫1+1x ⎝⎛⎭⎪⎫1+1y 的最小值为( )A .4B .2C .1 D.14答案:A三层练习9.已知a 1-b 2+b 1-a 2=1,求证:a 2+b 2=1.证明:由柯西不等式,得(a 1-b 2+b 1-a 2)2≤[a 2+(1-a 2)][b 2+(1-b 2)]=1. 当且仅当b1-a2=1-b2a时,上式取等号,∴ab =1-a 2·1-b 2,a 2b 2=(1-a 2)(1-b 2).于是a 2+b 2=1.10.设a +b =12,求证:a 8+b 8≥127.证明:a 8+b 8=12(12+12)[(a 4)2+(b 4)2]≥12(1×a 4+1×b 4)2=12(a 4+b 4)2=12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(12+12)(a 4+b 4)2=12×14{(12+12)[(a 2)2+(b 2)2]}2≥123(1×a 2+1×b 2)2=123(a 2+b 2)2=123·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(12+12)(a 2+b 2)2≥123×122(a +b )2=127.∴原不等式成立.11.在半径为R 的圆内,求周长最大的内接长方形.解析:如图,设内接长方形ABCD 的长为x ,则宽为4R 2-x 2,于是长方形ABCD 的周长l =2(x +4R 2-x 2)=2(1·x +1·4R 2-x 2),由柯西不等式有l ≤2[x 2+(4R 2-x 2)2]12(12+12)12=22·2R =42R ,等号成立⇔x 1=4R 2-x 21⇔x =2R ,此时宽为4R 2-(2R )2=2R ,即长方形ABCD 为正方形,故周长最大的内接长方形为正方形,其周长为42R .1.二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式,学习柯西不等式时要注意它的几种形式间是等价的,也要关注结构形式的变化对数值的要求.2.理解柯西不等式,就要认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程,并从形和数两方面来理解和记忆.另外,对等号“=”取到的条件是要从推导过程来理解的.2.3 反证法与放缩法1.了解用反证法证明不等式.2.了解用放缩法证明不等式.3.提高综合应用知识解决问题的能力.1.反证法.(1)先________________,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)________的结论,以说明________不正确,从而证明原命题成立,我们称这种证明问题的方法为反证法.答案:假设要证的命题不成立矛盾假设(2)利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤:第一步,分清欲证不等式所涉及的条件和结论.第二步,做出与所证不等式________的假定.第三步,从____________出发,应用正确的推理方法,推出________结果.第四步,断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假定________,于是原证不等式________.答案:相反条件和假定矛盾不正确成立反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题.(3)用反证法证明不等式必须把握以下几点:①必须否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出各种情况,缺少任何一种可能的情况,反证法都是不完整的;②反证法必须从否定的结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推理论证.否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法;③推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知的事实相违背等.推导出的矛盾必须是明显的;④在使用反证法时,“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用,可视为已知条件.(4)反证法中的数学语言.反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题,或者说“正难则反”,直接证明有困难时,常采用反证法,下面我们列举一些常见个以上思考1 已知a >b >0,求证:n a >nb (n ∈N 且n >1).用反证法证明此题时第一步是:________.答案:假设n a ≤nb2.放缩法.(1)所谓放缩法,即是把要证的不等式一边适当地________(或________),使之得出明显的不等量关系后,再应用不等量大、小的传递性,从而使不等式得到证明的方法.答案:放大 缩小(2)放缩法的主要理论依据. ①不等式的传递性;②等量加不等量为不等量;③同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较; ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质; ⑤三角函数的有界性等. (3)使用放缩法的主要方法.放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往从要证明的结论考虑.常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等.比如:舍去或加上一些项:⎝ ⎛⎭⎪⎫a +122+34>⎝ ⎛⎭⎪⎫a +122; 将分子或分母放大(或缩小):1k2<1k (k -1),1k 2>1k (k +1),1k <2k +k -1,1k>2k +k +1( k ∈R,k >1)等.(4)对不等式而言,放缩的本质是“不等式的加强”,常见的放缩有下面四种类型:①直接放缩; ②裂项放缩;③利用数列或函数的单调性放缩; ④利用基本不等式放缩.思考2 对于任何实数x ,求证:x 2-x +1≥34.证明: 因为x 2-x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34≥34,所以x 2-x +1≥34.一层练习1.用反证法证明“若整系数一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有有理根,那么a ,b ,c 中至少有一个偶数”时,下列假设中正确的是( )A .假设a ,b ,c 都是偶数B .假设a ,b ,c 都不是偶数C .假设a ,b ,c 至多有一个偶数D .假设a ,b ,c 至多有两个偶数 答案:B2.在求证“数列2,3,5不可能为等比数列”时最好采用( ) A .分析法 B .综合法 C .反证法 D .直接法 答案:C3.设M =1210+1210+1+1210+2+…+1211-1,则( )A .M =1B .M <1C .M >1D .M 与1大小关系不定 答案:B4.A =1+12+13+ (1)与n (n ∈N *)的大小关系为________.解析:n ∈N *,当n =1时,A =n =1;当n >1时,A =1+12+13+…+1n >1+12+1+13+2+…+1n +n -1=1+(2-1)+(3-2)+…+(n -n -1)=n .综上可知,A ≥n . 答案:A ≥n二层练习5.(2014.山东高考理科·T4)用反证法证明命题:“已知a ,b 为实数,则方程x 2+ax +b =0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A .方程x 2+ax +b =0没有实根.B .方程x 2+ax +b =0至多有一个实根.C .方程x 2+ax +b =0至多有两个实根D .方程x 2+ax +b =0恰好有两个实根.解析:本题考查了反证法,从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0,1,2.因此至少有一个实根包含1根或两根,它的反面为0根.选A.答案:A6.设a ,b ,c ∈R +,则三个数a +1b ,b +1c ,c +1a( )A .都大于2B .都小于2C .至少有一个不大于2D .至少有一个不小于2 答案:D7.A =1+122+132+…+1n2与2的大小关系是________.解析:A =1+122+132+…+1n 2<1+11×2+12×3+…+1(n -1)n =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝⎛⎭⎪⎫1n -1-1n =2-1n <2. 答案:A <28.已知x ,y >0,且x +y >2.证明:1+x y ,1+y x中至少有一个小于2.证明:(反证法)设1+x y ≥2,1+y x≥2,则⎩⎪⎨⎪⎧1+x ≥2y , ①1+y ≥2x . ②由①②式可得2+x +y ≥2(x +y ), 即x +y ≤2与题设矛盾. ∴1+x y ,1+yx中至少有一个小于2.9.若数列{x n }的通项公式为x n =nn +1,求证:x 1·x 3·x 5·…·x 2n -1<1-x n1+x n. 证明:∵1-x n1+x n=1-nn +11+n n +1=12n +1,x 1·x 3·x 5·…·x 2n -1=12×34×…×2n -12n <13×35×…×2n -12n +1=12n +1. ∴x 1·x 3·x 5·…·x 2n -1< 1-x n1+x n.10.(2014·佛山一模·节选)数列{a n }的通项公式a n =4n (n +1). (1)记1c n =1a n +1a n +1,求证:对一切正整数n ,有1c 1+1c 2+1c 3+…+1c n <38;(2)求证:对一切正整数n ,有1a 1-1+1a 2-1+1a 3-1+…+1a n -1<27. (1)证明:证法一1a n =14n 2+4n =14(1n -1n +1), 所以1c n =1a n +1a n +1=14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2.于是1c 1+1c 2+1c 3+…+1c n =14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+(12-14)+…+ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1-1n +1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2]=14(1+12-1n +1-1n +2)<38. 证法二1c n =1a n +1a n +1=14n (n +1)+14(n +1)(n +2)=12n (n +2)=14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2.于是1c 1+1c 2+1c 3+…+1c n=14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+(12-14)+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1-1n +1+(1n -1n +2)] =14(1+12-1n +1-1n +2)<38. (2)证明:所证明的不等式为 17+123+147+…+14n 2+4n -1<27. 证法一 首先证明14n 2+4n -1<27(1n -1n +1)(n ≥2).∵14n 2+4n -1<27⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1⇔14n 2+4n -1<27n 2+7n⇔7n 2+7n <8n 2+8n -2⇔n 2+n -2>0⇔(n -1)·(n +2)>0.∴当n ≥2时,17+123+…+14n 2+4n -1<17+27[⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1]<17+27×12=27. 当n =1时,17<27.综上所述,对一切正整数n ,有 1a 1-1+1a 2-1+1a 3-1+…+1a n -1<27.方法二14n 2+4n -1<14n 2+4n -3=1(2n -1)(2n +3)=14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +3.当n ≥3时,17+123+…+14n 2+4n -1<17+123+14·[⎝ ⎛⎭⎪⎫15-19+⎝ ⎛⎭⎪⎫17-111+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -3-12n +1+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +3]<17+123+14⎝ ⎛⎭⎪⎫15+17<17+114+114=27.当n =1时,17<27;当n =2时,17+123<17+17=27.综上所述,对一切正整数n ,有 1a 1-1+1a 2-1+1a 3-1+…+1a n -1<27.三层练习11.若数列{a n }的通项公式为a n =n 2,n ∈N *,求证:对一切正整数n ,有1a 1+1a 2+…+1a n<74. 证明:①当n =1时,1a 1=1<74,∴原不等式成立.②当n =2时,1a 1+1a 2=1+14<74,∴原不等式成立. ③当n ≥3时,∵n 2>(n -1)·(n +1),∴1n 2<1(n -1)·(n +1).1a 1+1a 2+…+1a n=112+122+…+1n 2<1+11×3+12×4+…+1(n -2)n+1(n -1)·(n +1)=1+12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+12⎝ ⎛⎭⎪⎫12-14+12⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+…+12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -2-1n +12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1-1n +1=1+12(1-13+12-14+13-15+…+1n -2-1n +1n -1-1n +1)=1+12⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12-1n -1n +1=74+12(-1n -1n +1)<74.∴当n ≥3时,∴原不等式成立.综上,对一切正整数n ,有1a 1+1a 2+…+1a n <74.12.已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为A n ,第n 项之后各项a n +1,a n +2…的最小值记为B n ,d n =A n -B n证明:若a 1=2,d n =1(n =1,2,3…),则{a n }的项只能是1或2,且有无穷多项为1 解析:①首先{a n }中的项不能是0,否则d 1=a 1-0=2,与已知矛盾.②{a n }中的项不能超过2,用反证法证明如下:若{a n }中有超过2的项,设a k 是第一个大于2的项, {a n }中一定存在项为1,否则与d n =1矛盾. 当n ≥k 时,a n ≥2,否则与d k =1矛盾.因此存在最大的i 在2到k -1之间,使得a 1=1, 此时d i =A i -B i =2-B i ≤2-2=0,矛盾. 综上{a n }中没有超过2的项.综合①②,{a n }中的项只能是1或2.下面证明1有无数个,用反证法证明如下:若a k 为最后一个1,则d k =A k -B k =2-2=0,矛盾. 因此1有无数个.13.(2014·广东高考文科)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n 满足S 2n -(n 2+n -3)S n -3(n 2+n )=0,n ∈N *.(1)求a 1的值;(2)求数列{a n }的通项公式;(3)证明:对一切正整数n ,有1a 1(a 1+1)+1a 2(a 2+1)+…+1a n (a n +1)<13.解析:(1)令n =1,则S 1=a 1,S 21-(12+1-3)S 1-3(12+1)=0,即a 21+a 1-6=0,解得a 1=2或a 1= -3(舍去).(2)S 2n -(n 2+n -3)S n -3(n 2+n )=0可以整理为(S n +3)[S n -(n 2+n )]=0, 因为数列{a n }中a n >0,所以S n ≠-3,只有S n =n 2+n .当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2+n -(n -1)2-(n -1)=2n ,而a 1=2,所以数列{a n }的通项公式为a n =2n (n ∈N *).(3)因为1a n (a n +1)=12n (2n +1)=14·1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n +12<14·1⎝ ⎛⎭⎪⎫n -14⎝ ⎛⎭⎪⎫n +1-14,1⎝ ⎛⎭⎪⎫n -14⎝ ⎛⎭⎪⎫n +1-14=1n -14-1n +1-14, 所以1a 1(a 1+1)+1a 2(a 2+1)+…+1a n (a n +1)<14⎣⎢⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11-14-12-14+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12-14-13-14+…+⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n -14-1n +1-14=14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11-14-1n +1-14=13-14n +3<13.故对一切正整数n ,有。

高三基础知识天天练4-4. 数学 数学doc人教版

高三基础知识天天练4-4. 数学 数学doc人教版

第4模块 第4节[知能演练]一、选择题1.复数z =(a 2-2a )+(a 2-a -2)i (a ∈R )对应的点在虚轴上,则( )A .a ≠2或a ≠1B .a ≠2且a ≠1C .a =2或a =0D .a =0解析:由题意知a 2-2a =0,∴a =2或a =0. 答案:C2.设z 的共轭复数是z ,若z +z =4,z ·z =8,则z z 等于( )A .iB .-iC .±1D .±i解析:设z =x +yi (x ,y ∈R ),z =x -yi . 由z +z =4,z ·z =8得⎩⎪⎨⎪⎧x +yi +x -yi =4(x +yi )(x -yi )=8, ∴⎩⎪⎨⎪⎧x =2x 2+y 2=8, 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =2y =2或⎩⎪⎨⎪⎧x =2y =-2,∴zz =x -yi x +yi =x 2-y 2-2xyi x 2+y 2=±i . 答案:D3.如果实数b 与纯虚数z 满足关系式(2-i )z =4-bi (其中i 为虚数单位),那么b 等于( )A .8B .-8C .2D .-2解析:设z =ai (a ≠0),由(2-i )z =4-bi ,得(2-i )×ai =4-bi , 即a +2ai =4-bi ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a =42a =-b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =4b =-8. 答案:B4.在复平面内,向量AB →对应的复数是2+i ,向量CB →对应的复数是-1-3i ,则向量CA →对应的复数为( )A .1-2iB .-1+2iC .3+4iD .-3-4i解析:向量AB →对应的复数是2+i ,则BA →对应的复数为-2-i ,∵CA →=CB →+BA →. ∴CA →对应的复数为(-1-3i )+(-2-i )=-3-4i . 答案:D 二、填空题5.已知z =(2+2i )2(4+5i )(5-4i )(1-i ),则|z |=________.解析:|z |=|(2+2i )2(4+5i )(5-4i )(1-i )|=|2+2i |2|4+5i ||5-4i ||1-i |=22×4141×2=2 2.答案:2 26.若复数z =(a 2-3)-(a +3)i ,(a ∈R )为纯虚数,则a +i 20073-3i=________.解析:∵z =(a 2-3)-(a +3)i 为纯虚数,∴⎩⎨⎧a 2-3=0a +3≠0,解得a =3, ∴a +i 20073-3i =3-i 3-3i =3-i 3(3-i )=33. 答案:33三、解答题7.若复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称,且z 1(3-i )=z 2(1+3i ),|z 1|=2,求z 1.解:设z 1=a +bi ,则z 2=-a +bi ,∵z 1(3-i )=z 2(1+3i ),且|z 1|=2, ∴⎩⎪⎨⎪⎧(a +bi )(3-i )=(-a +bi )(1+3i )a 2+b 2=2解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =1b =-1或⎩⎪⎨⎪⎧a =-1b =1, 则z 1=1-i 或z 1=-1+i .8.已知z 是复数,z +2i 、z 2-i 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z +ai )2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围.解:设z =x +yi (x 、y ∈R ),∴z +2i =x +(y +2)i ,由题意得y =-2.z 2-i =x -2i 2-i =15(x -2i )(2+i )=15(2x +2)+15(x -4)i . 由题意得x =4,∴z =4-2i .∵(z +ai )2=(12+4a -a 2)+8(a -2)i ,根据条件,已知⎩⎪⎨⎪⎧12+4a -a 2>08(a -2)>0,解得2<a <6,∴实数a 的取值范围是(2,6).[高考·模拟·预测]1. i 是虚数单位,若1+7i2-i=a +bi (a ,b ∈R ),则乘积ab 的值是( )A .-15B .-3C .3D .15解析:1+7i 2-i =(1+7i )(2+i )(2-i )(2+i )=-1+3i ,所以a =-1,b =3,故选B.答案:B2.复数3+2i 2-3i -3-2i2+3i=( )A .0B .2C .-2iD .2i解析:3+2i 2-3i -3-2i 2+3i =(3+2i )(2+3i )-(2-3i )(3-2i )(2+3i )(2-3i )=26i13=2i ,答案为D.答案:D3.已知z1+i=2+i ,则复数z = ( )A .-1+3iB .1-3iC .3+iD .3-i解析:依题意得z =(1+i )(2+i )=1+3i ,故z =1-3i .选B. 答案:B4.设z 是复数,α(z )表示满足z n =1的最小正整数n ,则对虚数单位i ,α(i )=( )A .8B .6C .4D .2解析:∵α(z )表示满足z n =1的最小正整数n ,∴α(i )表示满足i n =1的最小正整数n ,∵i 2=-1,∴i 4=1,∴α(i )=4.答案:C5.已知复数z 1=a +2i ,z 2=a +(a +3)i ,且z 1z 2>0,则实数a 的值为( )A .0B .-5C .0或-5D .0或5解析:由已知条件可得z 1z 2=(a +2i )·[a +(a +3)i ]=a 2-2(a +3)+(a 2+5a )i ,又z 1z 2>0,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2-2(a +3)>0a 2+5a =0,解得a =-5,故选B.答案:B6.若z =sin θ-35+i (cos θ-45)是纯虚数,则tan θ的值为( )A .±34B .±43C .-34D.34解析:由纯虚数定义知,sin θ=35,cos θ≠45,∴cos θ=-45,∴tan θ=-34.答案:C7.若复数z 1=4+29i ,z 2=6+9i ,其中i 是虚数单位,则复数(z 1-z 2)i 的实部为________. 解析:因为(z 1-z 2)i =(-2+20i )i =-20-2i ,所以可知复数(z 1-z 2)i 的实部为-20. 答案:-208.若21-i=a +bi (i 为虚数单位,a ,b ∈R ),则a +b =________. 解析:∵21-i=a +bi ,∴1+i =a +bi ,∴a =b =1,∴a +b =2. 答案:29.若复数m +2i1-i (m ∈R ,i 是虚数单位)为纯虚数,则m =________.解析:因为m +2i 1-i =(m +2i )(1+i )(1-i )(1+i )=m -2+(m +2)i2为纯虚数,所以m =2.答案:2 10.复数1-3i2+i-(1+i )2在复平面内的对应点位于第________象限. 解析:1-3i 2+i -(1+i )2=(1-3i )(2-i )5-2i =-1-7i 5-2i =-1-17i5,所以其对应点位于第三象限.答案:三。

2021年高中数学 基础训练四 新人教版必修5

2021年高中数学 基础训练四 新人教版必修5

2021年高中数学基础训练四新人教版必修5一、填空题1. 在锐角△中,,,则 .2. 已知是数列{}的前项和,且满足则数列{}通项公式.3.已知数列的前项和为某三角形三边之比为,则该三角形最大角度数为____________.4.在平行四边形中,已知,,,则.5. 把一根厘米的木条锯成两段,分别做钝角三角形的两边和,且,当厘米时,才能使第三条边最短.6. 在中,边、、的对角分别为、、,且,则角 .7.已知为等差数列,其公差为-2,且是与的等比中项,为的前项和,则的值为 .8.设为等差数列的前项和,若,公差,,则 .9.设等差数列的前项和为,若,,则 .10. 已知为等比数列,已知,则 .11. 若等比数列,满足,则 .12. 已知函数利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,可求得()()()()()-+-+++++的值为 .f f f f f5405613.用砖砌墙,第一层(底层)用了全部砖块的一半多一块,第二层用了余下的砖块的一半多一块,…依次类推,每层都用了上次剩下的砖块的一半多一块,这样到第九层恰好把砖用完,则原有砖块的块数为 .二、解答题15. 已知中,内角的对边的边长为,且(1)求角的大小;(2)若求的取值范围.16.某海轮以30 n mile/h的速度航行,在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向,向北航行40 min后到达B点,测得油井P在南偏东30°方向,海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C点,求P、C间的距离.17.已知前项和为的等差数列的公差不为零,且,又,,成等比数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)是否存在正整数对,使得?若存在,求出所有的正整数对;若不存在,请说明理由.18.已知函数,数列满足,(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足…+,求.19.已知数列满足,,且对任意、都有,(1)求,;(2)设,试证明:是等差数列.o34538 86EA 蛪O9 29265 7251 牑34900 8854 衔+|225970 6572 敲29096 71A8 熨36324 8DE4 跤24631 6037 怷。

陕西省汉中市汉台中学高三数学天天练(4) 文 新人教A版

陕西省汉中市汉台中学高三数学天天练(4) 文 新人教A版

陕西省汉中市汉台中学高三数学天天练(4) 文 新人教A版(满分100分 时间 60分钟 命题人 曾正乾)一、选择题:(每个小题6分,共8个小题48分,每个小题只有一个正确选项) 1.已知集合}1{2>=x x A ,}0log {2>=x x B ,则=⋂B A ( )A .}1{-<x xB .}0{>xC .}1{>x xD .}11{>-<x x x 或2.函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,下列结论中,不正确...的是( ) A .()()0f x f x -+=B .()()2()f x f x f x --=-C .()()0f x f x ⋅-≤D .()1()f x f x =-- 3.0230sin log 的值为 ( ) A.0 B.1 C.21D. 1- 4. 设函数f (x )=2x+lnx 则 ( ) A .x=12为f(x)的极大值点 B .x=12为f(x)的极小值点 C .x=2为 f(x)的极大值点 D .x=2为 f(x)的极小值点 5.函数ln xy x=的图像大致是( )A .B .C .D .6.已知函数x y 2sin =的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位,得到的图像恰好关于直线6π=x 对称,则ϕ的最小值为 ( ) A.125π B.611π C. 1211π D. 以上都不对 7.类比平面几何中的定理 “设c b a ,,是三条直线,若c b c a ⊥⊥,,则a ∥b ”,得出如下结论:①设c b a ,,是空间的三条直线,若c b c a ⊥⊥,,则a ∥b ;②设b a ,是两条直线,α是平面,若αα⊥⊥b a ,,则a ∥b ; ③设βα,是两个平面,m 是直线,若,,βα⊥⊥m m 则α∥β; ④设γβα,,是三个平面,若γβγα⊥⊥,,则α∥β;其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知函数))((R x x f y ∈=满足),()2(x f x f -=+-当[]1,1-∈x 时,x x f =)(,则)(x f y =与7log y x =的交点的个数为 ( )A.6 B.4 C.3 D.1二.填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上) 9.“2>x ”是“211<x ”的 条件;(填:充分非必要条件;必要非充分条件;充要条件之一。

高三基础知识天天练1-1. 数学 数学doc人教版

高三基础知识天天练1-1. 数学 数学doc人教版

第1模块 第1节[知能演练]一、选择题1.满足条件M ∪{1}={1,2,3}的集合M 的个数是( )A .1B .2C .3D .4解析:满足条件M ∪{1}={1,2,3}的集合M 为{2,3},{1,2,3},共两个. 答案:B2.已知集合P ={(x ,y )||x |+|y |=1},Q ={(x ,y )|x 2+y 2≤1},则( )A .P ⊆QB .P =QC .P ⊇QD .P ∩Q =Ø 答案:A3.若集合A ={x |2a +1≤x ≤3a -5},B ={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆B 成立的所有a 的集合是( )A .{a |1≤a ≤9}B .{a |6≤a ≤9}C .{a |a ≤9}D .Ø解析:若2a +1>3a -5,即a <6时,A =Ø⊆B ; 若2a +1=3a -5,即a =6时,A ={x |x =13}⊆B ; 若2a +1<3a -5,即a >6时,由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧2a +1≥33a -5≤22,解得6<a ≤9.综上可得a ≤9. 答案:C4.已知集合A ={x |x <a },B ={x |1<x <2},且A ∪ (∁R B )=R ,则实数a 的取值范围是( )A .a ≤1B .a <1C .a ≥2D .a >2解析:∁R B =(-∞,1]∪[2,+∞),又A ∪(∁R B )=R ,数轴上画图可得a ≥2,故选C. 答案:C 二、填空题5.若集合{(x ,y )|x +y -2=0且x -2y +4=0} {(x ,y )|y =3x +b },则b =________.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y -2=0,x -2y +4=0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =2.点(0,2)在y =3x +b 上,∴b =2.答案:26.对于集合M 、N 定义M -N ={x |x ∈M ,且x ∉N },M ⊕N =(M -N )∪(N -M ),设A ={t |t =x 2-3x ,x ∈R },B ={x |y =lg(-x )},则A ⊕B =________.解析:∵t =x 2-3x =(x -32)2-94≥-94,∴A ={t |t ≥-94}.又由B 可知y =lg(-x ),则-x >0,得x <0, ∴B ={x |x <0},∴A -B ={x |x ≥0},B -A ={x |x <-94},∴A ⊕B =(-∞,-94)∪[0,+∞).答案:(-∞,-94)∪[0,+∞)三、解答题7.已知集合A ={x |x 2-5x +6=0},B ={x |mx +1=0},且B ⊆A ,求实数m 的值组成的集合.解:A ={x |(x -2)(x -3)=0}={2,3}, 若m =0,B =Ø⊆A ;若m ≠0,B ={x |x =-1m},由B ⊆A 得-1m =2,或-1m =3,解得m =-12,m =-13, 因此实数m 的值组成的集合是{0,-12,-13}.8.已知集合E ={x ||x -1|≥m },F ={x |10x +6>1}.(1)若m =3,求E ∩F ;(2)若E ∪F =R ,求实数m 的取值范围; (3)若E ∩F =Ø,求实数m 的取值范围. 解:(1)当m =3时,E ={x ||x -1|≥3}={x |x ≤-2或x ≥4},F ={x |10x +6>1}={x |x -4x +6<0}={x |-6<x <4}.∴E ∩F ={x |x ≤-2或x ≥4}∩{x |-6<x <4} ={x |-6<x ≤-2}. (2)∵E ={x ||x -1|≥m },①m ≤0时,E =R ,E ∪F =R ,满足条件. ②m >0时,E ={x |x ≤1-m 或x ≥1+m }, 由E ∪F =R ,F ={x |-6<x <4},∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m ≥-6,1+m ≤4,m >0,解得0<m ≤3.∴综上,实数m 的取值范围为(-∞,3]. (3)∵E ={x ||x -1|≥m },①m ≤0时,E =R ,E ∩F =F ≠Ø,不满足条件.②m >0时,E ={x |x ≤1-m 或x ≥1+m },由E ∩F =Ø,F ={x |-6<x <4}, ∴⎩⎪⎨⎪⎧1-m ≤-6,1+m ≥4,m >0,解得m ≥7.∴综上,实数m 的取值范围为[7,+∞).[高考·模拟·预测]1.已知全集U =R ,集合M ={x |-2≤x -1≤2}和N ={x |x =2k -1,k =1,2,…}的关系的韦恩(Venn)图如下图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有( )A .3个B .2个C .1个D .无穷多个解析:∵阴影部分M ∩N ={x |-2≤x -1≤2}∩{x |x =2k -1,k =1,2,…}={x |-1≤x ≤3}∩{x |x =2k -1,k =1,2,…}={1,3},∴阴影部分所示的集合的元素共有2个,故选B.答案:B 2.已知全集U =R ,则正确表示集合M ={-1,0,1}和N ={x |x 2+x =0}关系的韦恩(Venn)图是( )解析:N ={x |x 2+x =0}={-1,0},而M ={-1,0,1},故N M ,所以选B. 答案:B3.设全集U =A ∪B ={x ∈N *|lg x <1}.若A ∩(∁U B )={m |m =2n +1,n =0,1,2,3,4},则集合B =______________.解析:由题意得U =A ∪B ={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A ∩(∁U B )={1,3,5,7,9},所以B ={2,4,6,8}. 答案:{2,4,6,8}4.设P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a 、b ∈P ,都有a +b 、a -b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0),则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域;数集F ={a +b 2|a ,b ∈Q }也是数域,有下列命题:①整数集是数域;②若有理数集Q ⊆M ,则数集M 必为数域; ③数域必为无限集; ④存在无穷多个数域.其中正确命题的序号是________.(把你认为正确的命题的序号都填上)解析:对于整数集Z ,a =1,b =2时,a b =12∉Z ,故整数集不是数域,①错;对于满足Q ⊆M 的集合M =Q ∪{2},1+2∉M ,M 不是数域,②错;若P 是数域,则存在a ∈P 且a ≠0,依定义,2a,3a,4a …均是P 中的元素,故P 中有无数个无素,③正确;类似数集F ,{a +b 3|a ,b ∈Q },{a +b 5|a ,b ∈Q }等均是数域,④正确.答案:③④5.已知集合A ={x |(x -2)[x -(3a +1)]<0},B ={x |x -2ax -(a 2+1)<0}.(1)当a =2时,求A ∩B ;(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围. 解:(1)当a =2时,A ={x |2<x <7},B ={x |4<x <5}. ∴A ∩B ={x |4<x <5}, (2)B ={x |2a <x <a 2+1},①当B =Ø时,2a ≥a 2+1,∴a =1, 此时A ={x |2<x <4},B ⊆A 符合题意.②若B ≠Ø,方程(x -2)[x -(3a +1)]=0的两根为x 1=2,x 2=3a +1. ∵B ≠Ø.∴A ≠Ø∴3a +1≠2,即a ≠13.当3a +1>2,即a >13时,⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥2a 2+1≤3a +12a <a 2+1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10≤a ≤3⇒1<a ≤3a ≠1.当3a +1<2,即a <13时,⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≥3a +1a 2+1≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-1-1≤a ≤1⇒a =-1. ∴a 的取值范围为[1,3]∪{-1}.[备选精题]6.集合A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1}. (1)若B ⊆A ,求实数m 的取值范围;(2)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集的个数;(3)当x ∈R 时,没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)当m +1>2m -1,即m <2时,B =Ø满足B ⊆A . 当m +1≤2m -1,即m ≥2时,要使B ⊆A 成立, 需⎩⎪⎨⎪⎧m +1≥-22m -1≤5,可得2≤m ≤3, 综上,m 的取值范围是m ≤3.(2)当x ∈Z 时,A ={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, 所以A 的非空真子集个数为28-2=254.(3)因为x ∈R ,且A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1},又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立.则①若B =Ø,即m +1>2m -1,得m <2时满足条件. ②若B ≠Ø,则要满足的条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧ m +1≤2m -1m +1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤2m -12m -1<-2,解得m >4. 综上,m 的取值范围是m <2或m >4.。

高三基础知识天天练 数学5-1人教版

高三基础知识天天练 数学5-1人教版

第5模块 第1节[知能演练]一、选择题1.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n3n +1,那么这个数列是( )A .递增数列B .递减数列C .摆动数列D .常数列 解法一:∵a n +1-a n =2(n +1)3(n +1)+1-2n3n +1=2[3(n +1)+1](3n +1)>0, ∴a n +1>a n ,数列{a n }为递增数列.解法二:研究函数f (x )=2x3x +1(x >0)的单调性,f (x )=2x +23-233x +1=23(3x +1)-233x +1=23-23(3x +1),∴f (x )=2x3x +1在(0,+∞)上单调递增,∴f (n +1)>f (n ),故a n +1>a n ,数列{a n }为递增数列. 答案:A2.数列{a n }中,a 1=1,对于所有的n ≥2,n ∈N *,都有a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2,则a 3+a 5等于( )A.6116B.259C.2516D.3115 解法一:由已知得a 1·a 2=22,∴a 2=4.a 1·a 2·a 3=32,∴a 3=94,a 1·a 2·a 3·a 4=42,∴a 4=169,a 1·a 2·a 3·a 4·a 5=52,∴a 5=2516.∴a 3+a 5=94+2516=6116.解法二:由a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2,得a 1·a 2·a 3·…·a n -1=(n -1)2,∴a n =(n n -1)2(n ≥2),∴a 3+a 5=(32)2+(54)2=6116.答案:A3.若数列{a n }的通项公式a n =1(n +1)2,记f (n )=2(1-a 1)·(1-a 2)…(1-a n ),试通过计算f (1),f (2),f (3)的值,推测出f (n )为( )A.n +1nB.n +3n +1C.n +2n +1D.n +3n +2解析:f (1)=2(1-a 1)=32=1+21+1,f (2)=2(1-14)(1-19)=43=2+22+1,f (3)=2(1-a 1)(1-a 2)(1-a 3)=2(1-14)(1-19)(1-116)=54=3+23+1,可猜测f (n )=n +2n +1.答案:C4.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n ,第k 项满足5<a k <8,则k 等于( )A .9B .8C .7D .6解析:∵S n =n 2-9n ,∴当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -10. 又当n =1时,a 1=S 1=-8也适合上式,∴a n =2n -10,又5<2k -10<8,152<k <9,∴k =8.答案:B 二、填空题5.数列{a n }满足a n +1=⎩⎨⎧2a n , 0≤a n <12,2a n -1, 12≤a n <1,a 1=35,则数列的第2008项为________.解析:∵a 1=35,∴a 2=2a 1-1=15,∴a 3=2a 2=25,∴a 4=2a 3=45,a 5=2a 4-1=35,a 6=2a 5-1=15…,∴该数列的周期为T =4.∴a 2008=a 4=45.答案:456.已知数列{a n }中,a 1=1,(n +1)a n =na n +1,则数列{a n }的一个通项公式a n =________. 解法一:由a 1=1,(n +1)a n =na n +1, 可得a 2=2,a 3=3,a 4=4, ∴数列的通项公式a n =n .验证:当a n =n 时,(n +1)a n =na n +1成立.解法二:由(n +1)a n =na n +1可得a n +1a n =n +1n .∴当n ≥2时,a n a n -1=n n -1,a n -1a n -2=n -1n -2,…,a 3a 2=32,a 2a 1=2.将以上各式累乘求得a na 1=n ,∴a n =n ,而n =1时也适合.∴数列的通项公式为a n =n . 答案:n三、解答题7.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足log 2(1+S n )=n +1,求数列的通项公式.解:S n 满足log 2(1+S n )=n +1,∴1+S n =2n +1,∴S n =2n +1-1.∴a 1=3,a n =S n -S n -1=(2n +1-1)-(2n -1)=2n (n ≥2),∴{a n }的通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧3 (n =1),2n (n ≥2).8.在数列{a n }中,a 1=12,a n =1-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求证:a n +3=a n ; (2)求a 2008.(1)证明:a n +3=1-1a n +2=1-11-1a n +1=1-11-11-1a n =1-11-1a n -1a n=1-11-a n a n -1=1-1a n -1-a na n -1=1-1-1a n -1=1-(1-a n )=a n .∴a n +3=a n .(2)解:由(1)知数列{a n }的周期T =3,a 1=12,a 2=-1,a 3=2.又∵a 2008=a 3×669+1=a 1=12.∴a 2008=12.[高考·模拟·预测]1.记数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2(a n -1),则a 2=( )A .4B .2C .1D .-2解析:取n =1得a 1=2(a 1-1),所以a 1=2,再由n =2得2+a 2=2(a 2-1),所以a 2=4.答案:A2.在数列{a n }中,若a 1=1,3a n a n -1+a n -a n -1=0(n ≥2,n ∈N *),则通项a n 是( )A.2n +13B.n +23C.12n -1D.13n -2解析:将3a n a n -1+a n -a n -1=0的两边同时除以a n a n -1(a n a n -1≠0)得:3+1a n -1-1a n=0,1a n -1a n -1=3,故数列{1a n }是首项为1,公差为3的等差数列,1a n =1a 1+(n -1)×3=3n -2,故通项a n =13n -2.答案:D3.已知数列{a n }的前n 项和S n =n (20-n ),则当a n a n +1<0时,n =________.解析:由S n =n (20-n )得,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n (20-n )-(n -1)[20-(n -1)]=-2n +21; 当n =1时,a 1=S 1=1×(20-1)=19=-2×1+21. 故数列{a n }的通项公式为a n =-2n +21.由a n ·a n +1=(-2n +21)[-2(n +1)+21]=(-2n +21)(-2n +19)<0⇔192<n <212,因为n ∈N ,所以n =10.答案:104.设a 1=2,a n +1=2a n +1,b n =|a n +2a n -1|,n ∈N *,则数列{b n }的通项b n =________.解析:∵b n +1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n +1+2a n +1-1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a n +1+22a n +1-1= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2(a n +2)a n +1-(a n -1)a n +1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪-2(a n +2)a n -1=2b n ,∴b n +1=2b n.又b 1=4,∴b n =4·2n -1=2n +1.答案:2n +15.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n +1=4a n +2. (1)设b n =a n +1-2a n ,证明数列{b n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式.解:(1)由已知有a 1+a 2=4a 1+2,解得a 2=3a 1+2=5,故b 1=a 2-2a 1=3.又a n +2=S n +2-S n +1=4a n +1+2-(4a n +2)=4a n +1-4a n , 于是a n +2-2a n +1=2(a n +1-2a n ),即b n +1=2b n . 因此数列{b n }是首项为3,公比为2的等比数列.(2)由(1)知等比数列{b n }中b 1=3,公比q =2,所以a n +1-2a n =3×2n -1,于是a n +12n +1-a n 2n =34,因此数列{a n 2n }是首项为12,公差为34的等差数列,a n 2n =12+(n -1)×34=34n -14,所以a n =(3n -1)·2n -2.[备选精题]6.在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=(1+1n )a n +n +12n .(1)设b n =a nn,求数列{b n }的通项公式;(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解:(1)由已知得b 1=a 1=1,且a n +1n +1=a n n +12n ,即b n +1=b n +12n ,从而b 2=b 1+12,b 3=b 2+122,……b n =b n -1+12n -1(n ≥2),于是b n =b 1+12+122+…+12n -1=2-12n 1(n ≥2).又b 1=1,故所求的通项公式b n =2-12n 1.(2)由(1)知,a n =n (2-12n -1)=2n -n2n -1.令T n =∑k =1nk2k -1,则2T n =∑k =1nk2k -2.于是T n =2T n -T n =∑k =0n -112k -1-n2n -1=4-n +22n -1. 又∑k =1n (2k )=n (n +1),所以S n =n (n +1)+n +22n -1-4.。

高三基础知识天天练 数学检测3.人教版

高三基础知识天天练 数学检测3.人教版
所以a=b=c,所以三角形ABC是等边三角形.
答案:等边三角形
15.函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是________.
如下图所示,则k的取值范围是1<k<3.
答案:1<k<3
16.下面有五个命题:
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π;
()
解析:根据题意,可得f(x)=|π-x-x|=|π-2x|,图象即为选项A.
答案:A
9.如下图所示,函数y=2sin(ωx+θ)(|θ|<)的图象,那么
()
A.ω=,θ=B.ω=,θ=-
C.ω=2,θ=D.ω=2,θ=-
解析:由图知周期T=π-(-)=π,
∴ω==2,∴y=2sin(2x+θ),
解析:把y=3sin(x+)的图象向左平移个单位,得到的图象解析式为y=3sin(x++)=3sin(x+),然后再把得到的图象横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象解析式为y=3sin(2x+π).
答案:B
11.已知函数f(x)=2sinωx在区间[-,]上的最小值为-2,则ω的取值范围是
()
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=,k∈Z};
③在同一坐标系中,函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点;
④把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位得到y=3sin2x的图象;
⑤函数y=sin(x-)在[0,π]上是减函数.
其中真命题的序号是________.
解析:①y=sin2x-cos2x=-cos2x,故最小正周期为π,①正确.
C.D.
解析:设函数f(x)的最小正周期为T,

人教版高中数学选修4-5练习:第一讲复习课Word版含解析(20200621171343)

人教版高中数学选修4-5练习:第一讲复习课Word版含解析(20200621171343)

x> 2,

得 x>6.
x> 6
综上所示,原不等式的解集为 (- ∞, 0)∪(6,+ ∞).
归纳升华
1.|ax+ b|≤c(c> 0),|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法.
c> 0,则 |ax+b|≤c 等价于- c≤ax+b≤ c,|ax+ b|≥c 等价于 ax
+b≥c 或 ax+b≤- c,然后根据 a,b 的值解出即可.
所以
x+ y=1·(x+y)=
1x+
9 y
( x+ y)= xy+ 9yx+10≥2
xy· 9yx+
10= 6+10=16,
当且仅当 yx=9yx,且 1x+9y=1,
所以当 x=4,y=12 时, x+y 有最小值为 16.
法二: 因为由 1x+9y=1 得(x-1)(y-9)=9(定值 ),
且 x>0,y>0,
有“加-项、减-项” “配系数”“拆项法”“ 1 的代换”等.
x2- 2x+ 2 例 1] 已知 x>1,求函数 y= 2x-2 的最小值.
解:
x2-2x+2 (x-1)2+1 1 y= 2x-2 = 2(x-1) =2

x-
1)+
1 x-
1
≥ 1,
当且仅当 x-1=x-1 1,即 x=2 时,等号成立,
所以当 x=2 时, y 有最小值,最小值为 1.
归纳升华
1.利用基本不等式求最值的条件是 “一正、二定、三相等 ”,“一
正”是指各项均为正数; “二定 ”就是若积为定值则和有最小值,若
和为定值则积有最大值; “三相等 ”就是必须验证等号成立的条件,
若等号不在给定的区间内,通常利用函数的单调性求最值.
所以可把全体实数分为三部分:

2011高三数学二轮复习天天练 数学天天练习41 新人教版

2011高三数学二轮复习天天练 数学天天练习41 新人教版

高三数学天天练0411.将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移3π,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),则所得到的图象对应的函数解析式为 .2.若]2,0[πθ∈,且54sin =θ,则2tan θ= . 3.已知点A 、B 、C 满足3=AB ,4=BC ,5=CA ,则AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅的值是 .4.入射光线沿直线12+=x y 射向直线x y =, 被x y =反射后,反射光线所在的直线方程是 .5.ABC ∆的三内角A ,B ,C 所对边长分别是c b a ,,,设向量),sin ,(C b a m +=)sin sin ,3(A B c a n -+=,若n m //,则角B 的大小为 .6.两个正数,m n 的等差中项是5,等比中项是4.若m n >,则椭圆221x y m n+=的离心率e 的大小为 .7.函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上,则11m n +的最小值为 .8.等差数列2008200520071,220052007,2008,,}{S S S a n S a n n 则项和是其前中=--=的值为 9.若函数f (x )=log a (x +a x -4) ( a >0且a ≠1) 的值域为R ,则实数a 的取值范围是 .10.已知点A (-2,-1)和B(2,3),圆C :x 2+y 2 = m 2,当圆C 与线.段.AB 没有公共点时,求m 的取值范围_ .11.设,s t 为正整数,两直线12:0:022t t l x y t l x y s s+-=-=与的交点是11(,)x y ,对于 正整数(2)n n ≥,过点1(0,)(,0)n t x -和的直线与直线2l 的交点记为(,)n n x y .则数列{}n x 通项公式n x = .12、设函数()()0,11x xa f x a a a =>≠+且,若用【m 】表示不超过实数m 的最大整数,求函数【()12f x -】+【()12f x --】的值域填空题答案纸:1、______________2、_____________3、______________4、______________5、_____________6、______________7、______________8、_____________9、______________ 10、_____________ 11、_____________。

高三基础知识天天练3-6. 数学 数学doc人教版

高三基础知识天天练3-6. 数学 数学doc人教版

第3模块 第6节[知能演练]一、选择题1.若tan α=3,tan β=43,则tan(α-β)等于( )A .-3B .-13C .3D.13 解析:tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β=3-431+3×43=535=13.答案:D2.已知450°<α<540°,则12+1212+12cos2α的值是 ( )A .-sin α2B .cos α2C .sin α2D .-cos α2解析:原式=12+121+cos2α2=12-12cos α=⎪⎪sinα2. ∵450°<α<540°,∴225°<α2<270°.∴原式=-sin α2.答案:A3.等式|sin αcos α|+122α-cos 2α|=12成立的充要条件是( )A .α=kπ(k ∈Z )B .α=kπ2(k ∈Z ) C .α=kπ4(k ∈Z )D .α=kπ8(k ∈Z )解析:由题意知:原式=12|sin2α|+12|cos2α|=12∴|sin2α|+|cos2α|=1,∴1+2|sin2αcos2α|=1. |sin4α|=0,α=kπ4(k ∈Z ). 答案:C4.设M (cos πx 3+cos πx 5sin πx 3+sin πx5)(x ∈R )为坐标平面内一点,O 为坐标原点,记f (x )=|OM |,当x 变化时,函数f (x )的最小正周期是( )A .30πB .15πC .30D .15解析:f (x )=|OM | =2+2(cos π3x cos π5x +sin π3x sin π5x )=2+2cos(π3x -π5x )=2(1+cos 215πx )=2(1+2cos 2π15x -1)=4cos 2π15x=2|cos π15x |.所以其最小正周期T =ππ15=15.答案:D 二、填空题5.求值:cos 4π8+cos 43π8+cos 45π8+cos 47π8=________.解析:原式=2⎝⎛⎭⎫cos 4π8+cos 43π8=2⎝⎛⎭⎫cos 4π8+sin 4π8=2⎝⎛⎭⎫1-2sin 2π8cos 2π8 =2⎝⎛⎭⎫1-12sin 2π4=32. 答案:326.若锐角α、β满足(1+3tan α)(1+3tan β)=4,则α+β=________. 解析:由(1+3tan α)(1+3tan β)=4, 可得tan α+tan β1-tan αtan β=3,即tan(α+β)= 3.又α+β∈(0,π),∴α+β=π3.答案:π3三、解答题7.用tan α表示sin2α,cos2α. 解:sin2α=2sin αcos α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan αtan 2α+1,cos2α=cos 2α-sin 2α=cos 2α-sin 2αsin 2α+cos 2α=1-tan 2α1+tan 2α.8.已知0<α<π4,β为f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π8的最小正周期,a =⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α+14,-1,b =(cos α,2),且a·b =m ,求2cos 2α+sin2(α+β)cos α-sin α的值.解:因为β为f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π8的最小正周期,故β=π.因a·b =cos αtan ⎝⎛⎭⎫α+14β-2=m , 故cos αtan ⎝⎛⎭⎫α+π4=m +2.由于0<α<π4,所以2cos 2α+sin2(α+β)cos α-sin α=2cos 2α+sin(2α+2π)cos α-sin α=2cos 2α+sin2αcos α-sin α=2cos α(cos α+sin α)cos α-sin α=2cos α·1+tan α1-tan α=2cos αtan ⎝⎛⎭⎫α+π4=4+2m .[高考·模拟·预测]1.函数f (x )=sin x -13-2cos x -2sin x(0≤x ≤2π)的值域为( )A .[-22,0] B .[-1,0] C .[-2,0]D .[-3,0]解析:f (x )=sin x -13-2cos x -2sin x=sin x -13-22sin(x +π4),此函数的最大值必为0,当x =0时,分子为-1,分母为1,此时函数值最小,最小值为-1,故选B.答案:B2.函数f (x )=(sin 2x +12009sin 2x )(cos 2x +12009cos 2x)的最小值是 ( )A.42009 B.22009(2010-1) C.22009D.22009(2009-1) 解析:f (x )=(2009sin 4x +1)(2009cos 4x +1)20092sin 2x cos 2x=20092sin 4x cos 4x +2009(sin 4x +cos 4x )+120092sin 2x cos 2x=20092sin 4x cos 4x +2009[(sin 2x +cos 2x )2-2sin 2x cos 2x ]+120092sin 2x cos 2x=sin 2x cos 2x +201020092sin 2x cos 2x -22009≥22009(2010-1). 答案:B3.若sin θ22cos θ2=0,则tan θ=________.解析:由sin θ2-2cos θ2=0得tan θ2=2,代入二倍角公式可得tan θ=2tanθ21-tan 2θ2=-43.答案:-434.俗话说“一石激起千层浪”,小时候在水上打“水漂”的游戏一定不会忘记吧.现在一个圆形波浪实验水池的中心已有两个振动源,在t 秒内,它们引发的水面波动可分别由函数y 1=sin t 和y 2=sin(t +2π3)来描述,当这两个振动源同时开始工作时,要使原本平静的水面保持平静,则需再增加一个振动源(假设不计其他因素,则水面波动由几个函数的和表达),请你写出这个新增振动源的函数解析式:________________.解析:因为y 1+y 2+y 3=sin t +sin(t +2π3)+y 3=sin t -12t +32cos t +y 3=0,所以y 3=sin(t +4π3)时符合题意.本题也可为y 3=sin(t -2π3)(答案不唯一). 答案:y 3=sin(t +4π3)(答案不唯一). 5.设函数f (x )=cos(2x +π3)+sin 2x .(Ⅰ)求函数f (x )的最大值和最小正周期;(Ⅱ)设A ,B ,C 为△ABC 的三个内角,若cos B =13f (C 2)=-14C 为锐角,求sin A .解:(Ⅰ)f (x )=cos2x cos π3-sin2x sin π3+1-cos2x2=12cos2x -32sin2x +12-12cos2x =12-32sin2x . 所以当2x =-π2+2kπ,即x =-π4+kπ(k ∈Z )时,f (x )取得最大值,[f (x )]最大值=1+32,f (x )的最小正周期T =2π2=π,故函数f (x )的最大值为1+32,最小正周期为π.(Ⅱ)由f (C 2)=-14,即12-32sin C =-14,解得sin C =32,又C 为锐角,所以C =π3由cos B =13求得sin B =223.因此sin A =sin[π-(B +C )]=sin(B +C ) =sin B cos C +cos B sin C =223×12+13×32=22+36. [备选精题]6.已知A ,B 是△ABC 的两个内角,向量a =(2cos A +B 2,sin A -B 2),若|a |=62.(1)证明:tan A tan B 为定值;(2)当tan C 取最大值时,求△ABC 的三个内角的大小.解:(1)由条件可知32=(62)2=|a |2=2cos 2A +B 2+sin 2A -B 2=1+cos(A +B )+1-cos(A -B )2,∴cos(A +B )=12cos(A -B ),∴3sin A sin B =cos A cos B ,∵A ,B 是△ABC 的两个内角,∴tan A tan B =13为定值.(2)tan C =-tan(A +B )=-tan A +tan B1-tan A tan B由(1)知tan A tan B =13,∴tan A >0,tan B >0,从而tan C =-32(tan A +tan B )≤-32·2·tan A tan B =-3, ∴取等号的条件是当且仅当tan A =tan B =33,即A =B =π6时,tan C 取得最大值,此时△ABC 的三个内角分别是π6,π6,2π3.。

高三基础知识天天练3-7. 数学 数学doc人教版

高三基础知识天天练3-7. 数学 数学doc人教版

第3模块 第7节[知能演练]一、选择题1.在△ABC 中,a 2-c 2+b 2=ab ,则角C 为( )A .60°B .45°或135°C .120°D .30°解析:∵a 2-c 2+b 2=ab ,∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =ab 2ab =12.又∵0°<C <180°,∴C =60°.答案:A2.在△ABC 中,A =120°,AB =5,BC =7,则sin Bsin C的值为 ( )A.85B.58C.53D.35解析:由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A ,即72=52+AC 2-10AC ·cos120°,∴AC =3.由正弦定理得sin B sin C =AC AB =35.答案:D3.已知△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,且面积S △ABC =14(b 2+c 2-a 2),则A 等于( )A .45°B .30°C .120°D .15°解析:由S △ABC =14(b 2+c 2-a 2)=12bc sin A得sin A =b 2+c 2-a 22bc =cos A ,∴A =45°.答案:A4.在△ABC 中,BC =2,B =π3,若△ABC 的面积为32,则tan C 为( )A. 3 B .1 C.33D.32解析:由S △ABC =12BC ·BA sin B =32得BA =1,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ×BC cos B ,∴AC =3,∴△ABC 为直角三角形,其中A 为直角,∴tan C =AB AC =33.答案:C 二、填空题5.某人向正东方向走了x 千米,他右转150°,然后朝新方向走了3千米,结果他离出发点恰好3千米,那么x 的值是________.解析:如图所示,该问题转化为已知△ABC 中BC =3,AC =3,B =30°,求AB 的长.由正弦定理AC sin B =BC sin A 可求得角A ,进而可求出角C 再由AB sin C =ACsin B可求得AB ,即x . 答案:3或2 36.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a =1,b =7,c =3,则B =________.解析:由余弦定理变形得cos B =a 2+c 2-b 22ac =1+3-72×1×3=-32.又∵B ∈(0,π),∴B =5π6.答案:5π6三、解答题7.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,并且a 2=b (b +c ). (1)求证:A =2B ;(2)若a =3b ,判断△ABC 的形状. (1)证明:因为a 2=b (b +c ),即a 2=b 2+bc , 所以在△ABC 中,由余弦定理可得, cos B =a 2+c 2-b 22bc =c 2+bc 2ac=b +c 2a =a 22ab =a 2b =sin A2sin B, 所以sin A =sin2B ,∴A =2B 或A +2B =π,而当A +2B =π时有B =C 即b =c ,代回已知得a =2b ,此时a 2=b 2+c 2,故A =90°,而B =C =45°也即A =2B .故A =2B .(2)解:因为a =3b ,所以ab =3,由a 2=b (b +c )可得c =2b ,cos B =a 2+c 2-b 22ac =3b 2+4b 2-b 243b 2=32所以B =30°,A =2B =60°,C =90°. 所以△ABC 为直角三角形.8.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长,关于x 的方程ax 2-2c 2-b 2x -b =0(a >c >b )的两根之差的平方等于4,△ABC 的面积S =103,c =7. (1)求角C ; (2)求a ,b 的值.解:(1)设x 1、x 2为方程ax 2-2c 2-b 2x -b =0的两根,则x 1+x 2=2c 2-b 2a,x 1·x 2=-b a. ∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =4(c 2-b 2)a 2+4b a =4.∴a 2+b 2-c 2=ab .又cos C =a 2+b 2-c 22ab =ab 2ab =12,又∵C ∈(0°,180°),∴C =60°. (2)由S =12ab sin C =103,∴ab =40.①由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C , 即c 2=(a +b )2-2ab (1+cos60°). ∴72=(a +b )2-2×40×(1+12).∴a +b =13.又∵a >b ② ∴由①②,得a =8,b =5.[高考·模拟·预测]1.△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 的对边,且cos2B +3cos(A +C )+2=0,b =3,则c ∶sin C 等于( )A .3∶1 B.3∶1 C.2∶1D .2∶1解析:cos2B +3cos(A +C )+2=2cos 2B -3cos B +1=0,∴cos B =12或cos B =1(舍).∴B=π3.∴c sin C =b sin B =332=2.故选D. 答案:D2.△ABC 中,AB =3,AC =1,B =30°,则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3D.32或34解析:1sin30°=3sin C ,∴sin C =32.∴C =60°或120°. (1)当C =60°时,A =90°,∴BC =2,此时,S △ABC =32; (2)当C =120°时,A =30°,S △ABC =12×3×1×sin30°=34,故选D.答案:D3.在锐角△ABC 中,b =2,B =π3,sin2A +sin(A -C )-sin B =0,则△ABC 的面积为________.解析:sin2A +sin(A -C )-sin B =sin2A +sin(A -C )-sin(A +C )=sin2A -2sin C cos A =2cos A (sin A -sin C )=0,∵△ABC 是锐角三角形, ∴cos A ≠0.∴sin A =sin C ,即A =C . 又B =π3,∴△ABC 为正三角形.∴S =34×22= 3. 答案: 34.已知△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =c =6+2且∠A =75°,则b =( )A .2B .4+2 3C .4-2 3D.6- 2解析:sin A =sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+sin45°cos30°=2+64.由a =c =6+2可知,∠C =75°,所以∠B =30°,sin B =12.由正弦定理得b =asin A ·sin B=2+62+64×12=2,故选A. 答案:A5.在△ABC 中,BC =5,AC =3,sin C =2sin A . (1)求AB 的值; (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A -π4的值. 解:(1)在△ABC 中,根据正弦定理,AB sin C =BCsin A .于是AB =sin Csin A BC =2BC =2 5.(2)在△ABC 中,根据余弦定理得 cos A =AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC =255.于是sin A =1-cos 2A =55. 从而sin2A =2sin A cos A =45,cos2A =cos 2A -sin 2A =35.所以sin ⎝⎛⎫2A -π4=sin2A cos π4-cos2A sin π4=210. [备选精题]6.已知函数f (x )=2sin x cos 2φ2+cos x sin φ-sin x (0<φ<π)在x =π处取最小值.(1)求φ的值;(2)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边.已知a =1,b =2,f (A )=32,求角C .解:(1)f (x )=2sin x 1+cos φ2+cos x sin φ-sin x=sin x +sin x cos φ+cos x sin φ-sin x =sin x cos φ+cos x sin φ=sin(x +φ). 因为f (x )在x =π时取最小值. 所以sin(π+φ)=-1,故sin φ=1. 又0<φ<π,所以φ=π2.(2)由(1)知f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +π2=cos x .因为f (A )=cos A =32,且A 为△ABC 的内角, 所以A =π6.由正弦定理得sin B =b sin A a =22.又b >a ,所以B =π4或B =3π4.当B =π4时,C =π-A -B =π-π6-π4=7π12,当B =3π4时,C =π-A -B =π-π6-3π4=π12.综上所述,C =7π12或C =π12.。

高三基础知识天天练 数学选修4-4-1人教版

高三基础知识天天练 数学选修4-4-1人教版

选修4-4 第1节[知能演练]一、选择题1.点M (ρ,θ)关于极点对称的点的坐标为( )A .(-ρ,-θ)B .(ρ,π+θ)C .(ρ,π-θ)D .(ρ,-θ)答案:B2.将曲线y =12sin3x 变为y =sin x 的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x =3x ′y =12y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x y ′=12y C.⎩⎪⎨⎪⎧x =3x ′y =2y ′D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′=3x y ′=2y 答案:D3.设点M 的直角坐标为(-1,-3,3),则它的柱坐标是( )A .(2,π3,3)B .(2,2π3,3)C .(2,4π3,3)D .(2,5π3,3)解析:ρ=(-1)2+(-3)2=2, tan θ=3,∴θ=4π3,z =3,∴选C.答案:C4.在极坐标系中,与圆ρ=4sin θ相切的一条直线方程为( )A .ρsin θ=2B .ρcos θ=2C .ρcos θ=4D .ρcos θ=-4解析:圆ρ=4sin θ的圆心为(2,π2),半径r =2,对于选项A ,方程ρsin θ=2对应的直线(y =2)与圆相交;对于选项B ,方程ρcos θ=2对应的直线(x =2)与圆相切;选项C ,D 对应的直线与圆都相离.答案:B 二、填空题5.已知点M 的极坐标为(6,11π6),则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________. 解析:∵点M 的极坐标为(6,11π6),∴x =6cos 11π6=6cos π6=6×32=33,y =6sin 11π6=6sin(-π6)=-6×12=-3,∴点M 的直角坐标为(33,-3),∴点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(-33,-3). 答案:(-33,-3)6.在极坐标系中,点P (2,3π2)到直线l :3ρcos θ-4ρsin θ=3的距离为________.解析:在相应直角坐标系中,P (0,-2),直线l 方程:3x -4y -3=0,所以P 到l 的距离:d =|3×0-4×(-2)-3|32+42=1.答案:1 三、解答题7.说出由曲线y =tan x 得到曲线y =3tan2x 的变换过程,并求满足其图形变换的伸缩变换.解:y =tan x 的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12,得到y =tan2x ,再将其纵坐标伸长为原来的3倍,横坐标不变,得到曲线y =3tan2x .设y ′=3tan2x ′,变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′=λ·x λ>0y ′=μ·y μ>0,将其代入y ′=3tan2x ′,得μy =3tan2λx与y =tan x 比较,可得⎩⎪⎨⎪⎧ μ=3λ=12,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′=12xy ′=3y.8.从极点O 作直线与另一直线l :ρcos θ=4相交于点M ,在OM 上取一点P ,使OM ·OP =12.(1)求点P 的轨迹方程;(2)设R 为l 上的任意一点,试求RP 的最小值. 解:(1)设动点P 的坐标为(ρ,θ), M 的坐标为(ρ0,θ),则ρρ0=12,∵ρ0cos θ=4,∴ρ=3cos θ即为所求的轨迹方程.(2)由(1)知P 的轨迹是以(32,0)为圆心,半径为32的圆,易得RP 的最小值为1.[高考·模拟·预测]1.极坐标方程ρ=cos θ化为直角坐标方程为( )A .(x +12)2+y 2=14B .x 2+(y +12)2=14C .x 2+(y -12)2=14D .(x -12)2+y 2=14解析:由ρ=cos θ得ρ2=ρcos θ,∴x 2+y 2=x .选D. 答案:D2.在极坐标系中,直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为________.解析:直线ρsin(θ+π4)=2可化为x +y -22=0,圆ρ=4可化为x 2+y 2=16,由圆中的弦长公式得2r 2-d 2=242-(222)2=4 3.答案:4 33.在极坐标系中,点(1,0)到直线ρ(cos θ+sin θ)=2的距离为________.解析:直线ρ(cos θ+sin θ)=2可化为x +y -2=0,故点(1,0)到直线距离d =|1+0-2|2=22.答案:224.两直线ρsin(θ+π4)=2008,ρsin(θ-π4)=2009的位置关系是________.(判断垂直或平行或斜交)解析:两直线方程可化为x +y =20082,y -x = 20092,故两直线垂直. 答案:垂直5.圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-sin θ. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)求经过圆O 1,圆O 2两个交点的直线的直角坐标方程.解:以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(1)x =ρcos θ,y =ρsin θ,由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ.所以x 2+y 2=4x .即x 2+y 2-4x =0为圆O 1的直角坐标方程. 同理,x 2+y 2+y =0为圆O 2的直角坐标方程.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2-4x =0,x 2+y 2+y =0,相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x +y =0.6.求经过极点O (0,0),A (6,π2),B (62,9π4)三点的圆的极坐标方程.解:将点的极坐标化为直角坐标,点O ,A ,B 的直角坐标分别为(0,0),(0,6),(6,6),故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形,圆心为(3,3),半径为32,圆的直角坐标方程为(x -3)2+(y -3)2=18,即x 2+y 2-6x -6y =0,将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入上述方程,得ρ2-6ρ(cos θ+sin θ)=0,即ρ=62cos(θ-π4).。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第5模块 第4节[知能演练]一、选择题1.一个三角形的三内角成等差数列,对应的三边成等比数列,则三内角所成等差数列的公差等于( )A .0 B.π12C.π6D.π4解析:因A 、B 、C 成等差数列,a ,b ,c 成等比数列,则B =π3,b 2=ac ,∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =12,可推出a =c =b . 答案:A2.在如下图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则a +b +c 的值为( )A.1C .3D .4解析:a =2·(12)2=12,b =52·(12)3=516,c =3·(12)4=316,a +b +c =12+516+316 1.答案:A3.已知a n =32n -11(n ∈N *),记数列{a n }的前n 项和为S n ,则使S n >0的n 的最小值为( )A .10B .11C .12D .13解析:构造函数f (x )=32x -11,此函数关于点P (112,0)对称,故f (1)+f (2)+…+f (10)=0,即S 10=0.当n ≥11时,f (n )>0,∴a 11=f (11)>0,∴S 11>0.此题应该选择B.答案:B4.设M (cos π3x +cos π4x ,sin π3x +sin π4x )(x ∈R )为坐标平面上一点,记f (x )=|OM →|2-2,且f (x )的图象与射线y =0(x ≥0)交点的横坐标由小到大依次组成数列{a n },则|a n +3-a n |=( )A .24πB .36πC .24D .36解析:f (x )=|OM →|2-2=[(cos π3x +cos π4x )2+(sin π3x +sin π4x )2]-2=2cos π12,令f (x )=2cos π12x =0,∴π12x =kπ+π2,x =12k +6(k ∈N *). ∴a n =12n +6(n ∈N *).∴|a n +3-a n |=|12(n +3)+6-(12n +6)|=36. 答案:D 二、填空题5.设x ,y 为正数,且x ,a 1,a 2,y 成等差数列,x ,b 1,b 2,y 成等比数列,则(a 1+a 2)2b 1b 2的最小值是________.解析:由等差数列的性质知a 1+a 2=x +y ; 由等比数列的性质知b 1b 2=xy ,所以(a 1+a 2)2b 1b 2=(x +y )2xy x 2+y 2+2xy xy =2+x 2+y 2xy ≥2+2xy xy =4,当且仅当x =y 时取等号.答案:46.家用电器一件2000元,实行分期付款,每期付相同款数,每期一个月,购买后一个月付款一次,再过一个月又付款一次,共付12次即购买一年后付清.若按月利率1%,每月复利一次计算,则每期应付款________.(精确到0.1元)解析:把2000元存入银行12个月,月利1%,按复利计算,则本利和为2000×(1+1%)12.每月存入银行a 元,月利1%,按复利计算,则本利和为a +a (1+1%)+…+a (1+1%)11=a ·1-(1+1%)121-(1+1%)=100a ·[(1+1%)12-1].由题意知2000(1+1%)12=100a ·[(1+1%)12-1]⇒a =2000(1+1%)12100[(1+1%)12-1]≈177.7(元). 答案:177.7元 三、解答题7.某公司按现有能力,每月收入为70万元,公司分析部门预算,若不进行改革,入世后因竞争加剧收入将逐月减少.分析测算得入世第一个月收入将减少3万元,以后逐月多减少2万元,如果进行改革,即投入技术改造300万元,且入世后每月再投入1万元进行员工培训,则测算得自入世后第一个月起累计收入T n 与时间n (以月为单位)的关系为T n =an +b ,且入世第一个月时收入为90万元,第二个月时累计收入为170万元,问入世后经过几个月,该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.解:该公司入世后经过n 个月,改革后的累计纯收入为T n -300-n ,不改革时的累计纯收入为70n -[3n +n (n -1)2·2],又⎩⎪⎨⎪⎧ 90=a +b 170=2a +b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =80b =10. 由题意建立不等式80n +10-300-n >70n -3n -n (n -1), 即n 2+11n -290>0,得n >12.4. ∵n ∈N *,∴取n =13.答:入世后经过13个月,该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入. 8.在等比数列{a n }中,a n >0(n ∈N *),公比q ∈(0,1),且a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8=25,又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n ,数列{b n }的前n 项和为S n ,求数列{S n }的通项公式.(3)是否存在k ∈N *,使得S 11+S 22+…+Sn n <k 对∀n ∈N *恒对立,若存在,求出k 的最小值,若不存在,请说明理由.解:(1)∵a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8=25,∴a 23+2a 3a 5+a 25=25,∴(a 3+a 5)2=25,又a n >0,∴a 3+a 5=5,又a 3与a 5的等比中项为2, ∴a 3a 5=4.而q ∈(0,1),∴a 3>a 5,∴a 3=4,a 5=1, ∴q =12,a 1=16,∴a n =16×(12)n -1=25-n .(2)∵b n =log 2a n =5-n ,∴b n +1-b n =-1, b 1=log 2a 1=log 216=log 224=4,∴{b n }是以b 1=4为首项,-1为公差的等差数列,∴S n =n (9-n )2. (3)由(2)知S n =n (9-n )2,∴S n n =9-n2.当n ≤8时,S n n >0;当n =9时,S n n =0;当n >9时,S nn <0.∴当n =8或9时,S 11+S 22+S 33+…+S nn=18最大.故存在k ∈N *,使得S 11+S 22+…+Sn n<k 对∀n ∈N *恒成立,k 的最小值为19.[高考·模拟·预测]1.数列{a n }的通项a n =n 2(cos2nπ3-sin2nπ3),其前n 项和为S n ,则S 30为( )A .470B .490C .495D .510解析:由于{cos 2nπ3-sin 2nπ3}以3为周期,故S 30=(-12+222+32)+(-42+522+62)+…+(-282+2922302)=∑k =110⎣⎡⎦⎤-(3k -2)2+(3k -1)22+(3k )2 =∑k =110⎣⎡⎦⎤9k -52=9×10×112-25=470,故选A.答案: A2.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )=12n (n +1)(2n +1)吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )A .5年B .6年C .7年D .8年解析:由题知第一年产量为a 1=12×1×2×3=3;以后各年产量分别为a n =f (n )-f (n -1)=12n (n +1)(2n +1)-12n (n -1)(2n -1)=3n 2(n ∈N *),令3n 2≤150,得1≤n ≤52⇒1≤n ≤7,故生产期限最长为7年.答案:C3.已知函数f (x )=sin x +tan x ,项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈(-π2,π2),且公差d ≠0,若f (a 1)+f (a 2)+…+f (a 27)=0,则当k 等于________时,f (a k )=0.解析:由于f (x )=tan x +sin x ,显然该函数为奇函数.若a n ∈(-π2,π2),且f (a 1)+f (a 2)+…+f (a 27)=0,可以得出等差数列{a n }的这27项在0的两侧对称分布,所以处在中间位置的a 14=0⇒f (a 14)=0.答案:144.已知数列{a n }(n ∈N *)满足a n +1=⎩⎪⎨⎪⎧a n -t ,a n ≥tt +2-a n ,a n <t,且t <a 1<t +1,其中t >2,若a n +k=a n (k ∈N *),则k 的最小值为________.解析:∵t <a 1<t +1,且t >2,∴a 2=a 1-t ,∴a 2∈(0,1),即a 2<t . 又∵a 3=t +2-a 2=t +2-(a 1-t )=2t +2-a 1>t ;∴a 4=a 3-t =(2t +2-a 1)-t =t +2-a 1<t (∵t -a 1<0,∴2+t -a 1<2<t ),∴a 5=t +2-a 4=t +2-(t +2-a 1)=a 1;同理可得,a 6=a 2,a 7=a 3,故要使a n +k =a n (k ∈Z *),则k 的最小值为4.答案:45.数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2=(1+cos2nπ2)a n +sin2nπ2,n =1,2,3,….(1)求a 3,a 4的值,并求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =a 2n -1a 2n,S n =b 1+b 2+…+b n ,求S n .解:(1)当n =1时,a 3=(1+cos 2π2)a 1+sin 2π2=a 1+1=2;当n =2时,a 4=(1+cos 22π2)a 2+sin 22π2=2a 2=4.∵当n 为奇数时,cos 2nπ20,sin 2nπ2=1,当n 为偶数时,cos 2nπ2=1,sin 2nπ2=0.∴当n 为奇数时,a n +2-a n =1,∵a 1=1,∴a 2n -1=n .∴当n 为偶数时,a n +2=2a n . ∵a 2=2,∴a 2n =2n ,∴a n=⎩⎨⎧12n +12(n 为奇数)2n2(n 为偶数).(2)由(1)可知b n =n2n ,∴S n =12+222+323+…+n -12n -1+n 2n ,①12S n =122+223+324+…+n -12n +n2n +1,② ①-②得:(1-12)S n =12+122+123+…+12n -n 2n +1,∴12S n =12122+123+…+12n -n 2n +1=1-12n -n2n +1, ∴S n =2-n +22n. [备选精题]6.已知O 为A 、B 、C 三点所在直线外一点,且OA →=λOB →+μOC →.数列{a n },{b n }满足a 1=2,b 1=1,且⎩⎪⎨⎪⎧a n =λa n -1+μb n -1+1b n =μa n -1+λb n -1+1(n ≥2).(1)求λ+μ的值;(2)令c n =a n +b n ,求数列{c n }的通项公式; (3)当λ-μ=12时,求数列{a n }的通项公式.解:(1)由A 、B 、C 三点共线,设AB →=mBC →,则 AB →=OB →-OA →=mBC →=m (OC →-OB →), 化简得:OA →=(m +1)OB →-mOC →, 所以λ=m +1,μ=-m , 所以λ+μ=1.(2)由题设得a n +b n =(λ+μ)(a n -1+b n -1)+2=a n -1+b n -1+2(n ≥2),即c n =c n -1+2(n ≥2),所以{c n }是首项为a 1+b 1=3,公差为2的等差数列,通项公式为c n =2n +1.(3)由题设得a n -b n =(λ-μ)(a n -1-b n -1)=12(a n -1-b n -1)(n ≥2),令d n =a n -b n ,则d n =12d n -1(n ≥2).所以{d n }是首项为a 1-b 1=1,公比为12的等比数列,通项公式为d n =12n -1.由⎩⎪⎨⎪⎧a n +b n =2n +1a n -b n =12n -1, 解得a n =12n +n +12.。

相关文档
最新文档