高三基础知识天天练 数学5-4人教版

第5模块 第4节

[知能演练]

一、选择题

1．一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等差数列的公差等于

( )

A ．0 B.π12

C.π6

D.π4

解析：因A 、B 、C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则B ＝π3，b 2

＝ac ，∴cos B ＝

a 2＋c 2－

b 22a

c ＝1

2

，可推出a ＝c ＝b . 答案：A

2．在如下图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为

( )

A.1

C ．3

D ．4

解析：a ＝2·(12)2＝12，b ＝52·(12)3＝5

16，

c ＝3·(12)4＝3

16

，

a ＋

b ＋

c ＝12＋516＋3

16 1.

答案：A

3．已知a n ＝3

2n －11

(n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为

( )

A ．10

B ．11

C ．12

D ．13

解析：构造函数f (x )＝32x －11，此函数关于点P (11

2，0)对称，故f (1)＋f (2)＋…＋f (10)＝

0，即S 10＝0.当n ≥11时，f (n )>0，∴a 11＝f (11)>0，∴S 11>0.此题应该选择B.

答案：B

4．设M (cos π3x ＋cos π4x ，sin π3x ＋sin π4x )(x ∈R )为坐标平面上一点，记f (x )＝|OM →|2

－2，且

f (x )的图象与射线y ＝0(x ≥0)交点的横坐标由小到大依次组成数列{a n }，则|a n ＋3－a n |＝

( )

A ．24π

B ．36π

C ．24

D ．36

解析：f (x )＝|OM →|2

－2

＝[(cos π3x ＋cos π4x )2＋(sin π3x ＋sin π

4x )2]－2

＝2cos π12，令f (x )＝2cos π

12x ＝0，

∴

π12x ＝kπ＋π2

，x ＝12k ＋6(k ∈N *

)． ∴a n ＝12n ＋6(n ∈N *

)．

∴|a n ＋3－a n |＝|12(n ＋3)＋6－(12n ＋6)|＝36. 答案：D 二、填空题

5．设x ，y 为正数，且x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则

(a 1＋a 2)2

b 1b 2

的最小值是________．

解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＝x ＋y ； 由等比数列的性质知b 1b 2＝xy ，

所以(a 1＋a 2)2b 1b 2＝(x ＋y )2xy x 2＋y 2＋2xy xy ＝2＋x 2＋y 2xy ≥2＋2xy xy ＝4，当且仅当x ＝y 时取等号．

答案：4

6．家用电器一件2000元，实行分期付款，每期付相同款数，每期一个月，购买后一个月付款一次，再过一个月又付款一次，共付12次即购买一年后付清．若按月利率1%，每月复利一次计算，则每期应付款________．(精确到0.1元)

解析：把2000元存入银行12个月，月利1%，按复利计算，则本利和为2000×(1＋1%)12.每月存入银行a 元，月利1%，按复利计算，则本利和为a ＋a (1＋1%)＋…＋a (1＋1%)11＝a ·1－(1＋1%)12

1－(1＋1%)

＝100a ·[(1＋1%)12－1]．由题意知2000(1＋1%)12＝100a ·[(1＋1%)12－1]⇒a ＝

2000(1＋1%)12

100[(1＋1%)12

－1]

≈177.7(元)． 答案：177.7元 三、解答题

7．某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门预算，若不进行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入世后第一个月起累计收入T n 与时间n (以月为单位)的关系为T n ＝an ＋b ，且入世第一个月时收入为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．

解：该公司入世后经过n 个月，改革后的累计纯收入为T n －300－n ，不改革时的累计纯收入为70n －[3n ＋n (n －1)2

·2]，

又⎩⎪⎨⎪⎧ 90＝a ＋b 170＝2a ＋b ，∴⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝80

b ＝10. 由题意建立不等式80n ＋10－300－n >70n －3n －n (n －1)， 即n 2＋11n －290>0，得n >12.4. ∵n ∈N *，∴取n ＝13.

答：入世后经过13个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入． 8．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3

与a 5的等比中项为2.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求数列{S n }的通项公式．

(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S

n n

值，若不存在，请说明理由．

解：(1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2

＝25，

又a n >0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4.

而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1， ∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×(1

2)n －1＝25－n .

(2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴b n ＋1－b n ＝－1， b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，

∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，