高等数学(上册)教案20 分部积分法

第4章 不定积分

分部积分法

【教学目的】：

1. 理解分部积分法；

2. 能熟练地运用分部积分法求解不定积分。

【教学重点】：

1. 分部积分法。

【教学难点】：

1. 分部积分法应用中u 和v 的选择。

【教学时数】：2学时

【教学过程】：

我们在求积分时，经常会遇到被积函数是两类不同函数乘积的不定积分，这类积分用我们上一节学习的换元积分法很难求出来，这一节我们就学习解决这类积分的积分方法：分部积分法．

设)(),(x v v x u u ==有连续的导数，由'')'(uv v u uv +=，得v u uv uv ')'('-=两边积分，有⎰⎰⎰-=vdx u dx uv dx uv ')'(' 即 ⎰⎰-=vdu uv udv ① 式①称为分部积分公式，使用分部积分公式求不定积分的方法称为分部积分法． 利用分部积分公式解题的关键是如何恰当的选取dv u 和，选取原则是：

（1）v 要容易求出．

（2）⎰vdu 要比原积分⎰udv 易求得．

下面通过例子说明分部积分公式适用的题型及如何选择dv u 和：

例1 求⎰xdx x cos ．

解 令 ,cos ,xdx dv x u ==则x v sin =，于是

⎰⎰⎰+--=-==C x x x xdx x x x xd xdx x )cos (sin sin sin )(sin cos

sin cos x x x C =++．

此题若令,,cos xdx dv x u ==则22

1x v =，于是

⎰⎰⎰-⋅=⎪⎭

⎫ ⎝⎛=)(cos 2121cos 21cos cos 222x d x x x x xd xdx x xdx x x x sin 2

1cos 2122⎰+=

． 这样新得到的积分⎰xdx x sin 212反而比原积分⎰xdx x cos 更难求了．所以在分部积分法中，)()(x dv dv x u u ==和的选择不是任意的，如果选取不当，就得不出结果．

例2 求⎰dx xe x ．

解 设dx e dv x u x ==,，则x e v =，于是

C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==⎰

⎰⎰． 注：在分部积分法中，dv u 及的选择有一定规律的．当被积函数为幂函数与正（余）弦或指数函数的乘积时，往往选取幂函数为u ．

例3 求⎰xdx x ln 2．

解 为使v 容易求得，选取⎪⎭

⎫ ⎝⎛===3221,ln x d dx x dv x u ，则331x v =，于是 ⎰

⎰⎰-==)(ln 31ln 31ln 31ln 3332x d x x x xdx xdx x

C x x x dx x x x +-=-=⎰332391ln 3131ln 31． 例4 求⎰xdx arctan ．

解 设dx dv x u ==,arctan ，则x v =，于是

21arctan arctan (arctan )arctan 1xdx x x xd x x x x dx x =-=-⋅

+⎰⎰⎰ 222111arctan (1)arctan ln(1)212

x x d x x x x C x =-+=-+++⎰． 注 1如果被积函数含有对数函数或反三角函数，可以用考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u ．

注2 在分部积分法应用熟练后，可把认定的u ，dv 记在心里在而不写出来，直接在分部积分公式中应用．

例6 求⎰xdx e x sin ．

解 dx x e x e x d e xdx e x x x x ⎰⎰⎰+-=-=cos cos )cos (sin

⎰⎰-+-=+-=xdx e x e x e x d e x e x x x x x sin sin cos )(sin cos ．

移项，得12)cos (sin sin 2C x x e xdx e x x +-=⎰，

故 C x x e xdx e x x +-=⎰)cos (sin 2

1sin ． 注1 如果被积函数为指数函数与正（余）弦函数的乘积，可任选项其一为u ，但一经选定，在后面的解题过程中要始终选项其为u ．

注2 有时求一个不定积分，需要将换元积分法和分部积分法结合起来使用．（如下例）

例7 求⎰dx e x ．

解 先去根号，设t x =，则tdt dx t x 2,2==，于是

⎰⎰⎰⎰-==⋅=dt e te tde tdt e dx e t t t t x 2222

()

C x e C e te x t t +-=+-=⎰1222． 例8 已知)(x f 的一个原函数是x x ln )sin 1(+，试求⎰dx x xf )('． 解 由题意知C x x dx x f ++=⎰ln )sin 1()(，得

x

x x x C x x dx x f x f sin 1ln cos ]'ln )sin 1[(]')([)(++=++==⎰ 所以 x x x x x xf sin 1ln cos )(++=．

故 ⎰⎰-=dx x f x xf dx x xf )()()('

C x x x x x x ++-++=ln )sin 1(sin 1ln cos ．

【教学小节】：

通过本节的学习，学会使用分部积分法计算不定积分。

【课后作业】：

能力训练 P117 1（1、3、6、7、9）