浅谈比较两个数大小的方法

探讨两个数比较大小问题
陕西省西乡县第二中学 王仕林
比较大小是数学及其生活中常常遇到的问题,也是每年高考考查的热点之
一。

如何比较两个数的大小，对于迎接高考或者解决现实生活都是最迫切的问题。

本专题主要是针对高一年级学生对比较大小问题的迷茫和对比较两个数大小方法的未知进行探讨。

一、比较两个数大小常用的方法：
（1）单调性法； （2）图象法； （3）引进中间数法； （4）范围比较法； （5）作差或作商法； (6) 公式法；
二、方法介绍及其例题精选：
（1）单调性法：根据两个数构造一函数，利用函数的单调性来比较两个数
的大小，这种方法叫单调性法。

例1、比较下列各组中两个数的大小.
① 0.2log 0.5和0.2log 0.3 ② 2log 3和 1.5log 3 ③ 0.30.4和0.20.4 ④ -0.1-0.75和0.1-0.75
分析：① 可构造函数0.2()log f x x =，利用对数函数0.2()log f x x =在定义域上的
单调性比较其大小；
②先把两个数化成31log 2和31log 1.5，可构造函数3()log f x x =，利用对数函数3()log f x x =在定义域上的单调性比较3log 2与3log 1.5大小；然后再利用函数1()f x x
=的单调性比较2log 3和 1.5log 3的大小。

③ 可构造函数()0.4x f x =，利用对数函数()0.4x f x =在定义域上的单调性比较其大小；
④可构造函数()0.75x f x =，利用对数函数()0.75x f x =在定义域上的单调性比
较其大小；
例2、比较下列各组中两个数的大小.
① 0.525⎛⎫ ⎪⎝⎭与0.513⎛⎫ ⎪⎝⎭ ②-12-3⎛⎫ ⎪⎝⎭与-1
3-5⎛⎫ ⎪⎝⎭ 分析：①可构造函数0.5()f x x =在()0+∞，上是单调递增的；
②可构造函数-1()f x x =在()-0∞，上是单调递减的；
例3、①定义在R 上的偶函数()f x 满足：对于任意的[)()1212x ,x 0,x x ∈+∞≠，
1212
()()0f x f x x x -<-。

则（ ） A (3)(2)(1)f f f <-< B (1)(2)(3)f f f <-<
C (2)(1)(3)f f f -<<
D (3)(1)(2)f f f <<-
分析：由题意[)()1212x ,x 0,x x ∈+∞≠时，有1212
()()0f x f x x x -<-可知函数()f x 在[)0+∞，上 递减；又因为函数()f x 在R 上是偶函数，则函数()f x 在(]-0∞，上是增函数。

所以要比较(3)(-2)(1)f f f 、与的大小，只需要比较(3)(2)(1)f f f 、与的大小即可。

②已知函数()f x 在区间()0+∞，上是减少的，试比较2(a a 1)f -+与3()4
f 的大小 分析：由于22131024a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，304>。

根据题意：()f x 在区间()0+∞，上是减 少的；同时2314a a -+>，所以23(1)f()4
f a a -+<
小结：单调性法适用于两个数中的底数或指数有一个相同，通过构造函数，利
用函数的单调性来比较两个数的大小。

（2）图象法：把要比较的两个数看成是某个函数图象上的对应函数值；因此
通过图象比较两个数大小的方法，叫图象法。

例1、比较下列各组中两个数的大小.
①-0.323⎛⎫ ⎪⎝⎭与-0.145⎛⎫ ⎪⎝⎭ ② 3.1log
2与 3.2log 2.1 ③ 3log 0.5与0.123⎛⎫ ⎪⎝⎭ 分析：①可作函数2()3x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数4()5x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的图象，并找到当0.3x =-和0.1x =-时对应的点。

观察两个点对应的函数值大小，从而即可比较两个数的大小。

②可作函数 3.1()log f x x =与函数 3.2()log f x x =的图象，并找到当2x =和2.1x =时对应的点。

观察两个点对应的函数值大小，从而即可比较两个数的大小。

③可作函数3()log f x x =与函数2()3x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，并找到当0.5x =和0.1x =时对应的点。

观察两个点对应的函数值大小，从而即可比较两个数的大小。

例2、已知二次函数2(x)ax (0)f bx c a =++>，满足关系(2+x)(2-x)f f =，试比较
(0.5)f 与()f π的大小。

分析：由于(2+x)(2-x)f f =可知：=2x 是二次函数2(x)ax (0)f bx c a =++>的对称轴
方程。

又
2-0.5π｜｜>|-2|，由图象可知，(0.5)f >()f π 小结：图像法主要是把要比较的两个数分别看成某个函数图像上对应的点的纵
坐标，可通过点的纵坐标大小来比较两个数的大小。

（3）引进中间数法：为了比较两个数的大小，需要引进一个数，分别与要比
较的两个数都有一定的关系，然后分别比较这两组数的大
小，这种比较两个数大小的方法叫引进中间数法。

例1、比较下列各组中两个数的大小.
①0.60.7与0.70.6 ②0.2log 0.3与0.3log 0.2
分析：①引进中间数0.60.6或0.70.7，然后分别比较0.60.7与0.60.6及0.70.6与0.60.6的大
小，利用不等式的性质，即可比较两个数的大小。

②引进中间数0.2log 0.2或0.3log 0.3，然后分别比较0.2log 0.3与0.2log 0.2及
0.3log 0.2与0.2log 0.2的大小，利用不等式的性质，即可比较两个数的大小。

小结：引进中间数法主要利用不等式的传递性，通过引进一个与两个有关系的
数，分别比较这两个数与中间数的大小，然后利用不等式的传递性来比 较这两个数的大小。

（4）范围比较法：为了比较两个数的大小，可先对这两个数的值进行估算，
如果这两个数分别在不同的范围内，那么可根据其不同的范
围就可对这两个数的大小进行判定，这种比较两个数大小的
方法叫范围比较法。

例5、比较下列各组中两个数的大小.
①0.834⎛⎫ ⎪⎝⎭与3log 0.5 ②1
35.3-与-2.10.7 ③ 2+1x x +与23-+4x 分析：①由于0.834⎛⎫ ⎪⎝⎭的值大于零，而3log 0.5的值小于零，因此0.8
34⎛⎫ ⎪⎝⎭>3log 0.5 ②由于135.3
-的值大于零且小于1，而-2.10.7一定大于1，因此135.3-<-2.10.7. ③由于22133+1=++244
x x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，但是233-+44x ≤，因此2+1x x +≥2+1x x +。

例6、已知125ln ,log 2,x y z e π-===，则（ ）
A x y z <<
B z x y <<
C z y x <<
D y z x <<
分析：由于ln lne 1π>=,
而551log 2log 2<=,
又因为1212
11e 12e -<=< 由此可知：ln π>1
2e ->5log 2.选D
练习：
比较20.3、2log 0.3及0.32三个数的大小.
小结：范围比较法主要通过图像或观察的方法，分别对这两个数进行估算，估
算的值分别落在不同的范围内，从而达到比较这两个数大小的方法。

（5）作差或作商法：要比较两个数的大小，可以对这两个数进行作差或作商，
并进行化简，然后判定其化简的值是大于零还是小于零，
或者是大于1还是小于1.从而确定了这两个数的大小，
这
种方法叫作差法或作商法。

例6、比较下列各组中几个数的大小.
①2
+1x x +与35 ②3log 6、5log 10和7log 14
分析: ①由于2+1x x +-35=22+5x x +=213220
x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭>0,所以2+1x x +>35 ②由于35log 6log 10-=35log 2log 2-=22
252222
log
5log 31111==0log 3log 2log 3log 5log 3log 5--->• 所以3log 6>5log 10,同理可解得：5log 10>7log 14.
由此可知：3log 6>5log 10>7log 14
小结：作差或作商法通过对要比较的两个数进行作差或作商，并进行化简，然
后与零或1进行比较，从而达到比较两个数大小的方法。

通过以上对两个数比较大小方法的探究，我们发现不管是选择、填空题还是解答题，有些方法都可以运用。

尤其是作差法，它不仅能解决两个数的大小问题，而且对恒等式证明和不等式证明都是很好的方法。

当然，比较两个数的大小，有时可能运用其中一种或多种方法才能解决。