河海大学线性代数_含答案

⎛2 5 0 ⎞
⎜
⎟
2．（本题 10 分）设 A, B 为 3 阶方阵，已知 A = ⎜ 1 1 0 ⎟ ，并且 A, B 满足： A*BA = E + A−1 ，求矩阵 B 。
⎜⎝ 0 0 −1 ⎟⎠
2
∵A*=|A|A-1
∴（A*）-1= 1 A
| A|
∴B=（A*）-1（E+A-1）A-1= 1 A （E+A-1）A-1
→
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1⎟
0 0
⎟ ⎟⎟⎠
取 α1,α 2 即为 α1,α 2 ,α3 ,α 4 的极大无关组。
（2） β1 = α1 = (1,−1,2,4) ，
1 −1 2 4
ξ1 = (
, 22
, 22
, 22
) 22
β2
=
α2
−
[α2 , β1] [β1, β1]
β1
-2 2 λ +1
∴ 特征值为λ1 = 1, λ2 = −5
当λ=-5 时
⎛− 4 - 2 - 2⎞ ⎛ 2 2 - 4 ⎞ ⎛ 2 2
⎜
⎟⎜
⎟⎜
λI − A = ⎜- 2 - 4 2 ⎟ → ⎜ - 2 - 4 2 ⎟ → ⎜ 0 - 2
⎜⎝ 2 2 - 4⎟⎠ ⎜⎝ - 4 - 2 - 2⎟⎠ ⎜⎝ 0 2
0
3
0
⎟ ⎟
，
⎜⎝ 4 0 5 ⎟⎠
则 r(BT AB) = （ B ）。
A．1 ；
B. 2 ；
C. 3 ；
D. 不确定
2. 设向量组α1,α 2 ,α3 线性无关, 则下列向量组中线性无关的是( D )。
A． α1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α1 ；
B． α1 + 2α 2 + α 3 , α 2 + α 3 , α1 + α 2 ；
（2） λ =-2 时，方程组无解。
（3） λ
=1
时，有无量多解，通解：
⎧ ⎪⎪ ⎨
x1 x2
=1− = x2
x2
−
x3
⎪
⎪⎩x3 = x3
⎛ −1 2 2 ⎞
4．（本题
12
分）求矩阵
A
=
⎜ ⎜
2
−1
−
2
⎟ ⎟
特征值与特征向量。
⎜⎝ 2 − 2 −1 ⎟⎠
解
λ +1 -2 -2 (1) λE − A = - 2 λ +1 2 = λ3 + 3λ2 − 9λ + 5 = (λ −1)2 (λ + 5) = 0
2007 年河海大学线性代数试卷-1
一．填空题（每小题 3 分，共 15 分）
2007 年 11 月
⎛0 0 0 1⎞
⎜
⎟
1．设
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 4
0 3 7
2 6 9
5 8 0
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
，则
A=
24
。
2．设 A 为三阶方阵，且 A = 2 ，则| 3 A* + 7 A−1 |=
500
。
(2)求一组与向量组 α1,α 2 ,α3 ,α 4 的极大线性无关组等价的单位正交向量组。
⎛ 1 0 3 3 ⎞ ⎛1 0 3 2⎞ ⎛1 0 3 2⎞
⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟
（1）
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
−1 2 4
3 1 2
0 7 14
1 5 10
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
→
⎜0 ⎜⎜⎜⎝ 00
3 1 2
3 1 2
3 1 2
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
2
3．设 A 是 m × n 阶矩阵， A 的秩 r( A) = r (r < m, r < n) ，则齐次线性方程组 Ax = θ 的基础解系所含解向量的个数是
n-r
。
4．设 3 阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，则 A 的伴随矩阵 2A + 6 A* 的特征值是 38，22，18 。
5．设二次型
5
且λ1α1+λ2α2+…+λmαm+λβ=0 于是向量组α1，α2，…，αm 线性相关，与已知矛盾，因此λ≠0
从而： β
=
(−
λ1 λ
)α1
+⋅⋅⋅+
(−
λm λ
)α m ，即β由α1，α2，…，αm 线性表示
下证表示法的唯一性 若β可由α1，α2，…，αm 线性表示为两种形式
β=k1α1+ k2α2+…+kmαm β=u1α1+ u2α2+…+umαm 两式相减得：（k1-u1）α1+…+（km-um）αm=0 ∵α1，…，αm 线性无关，∴k1=u1(i=1,2,…,m)故表示法唯一
( ) A． A* * = A；
( ) B. A* * = A* ；
( ) C. A* * = A−1 ；
( ) D． A* * = AT
n 1 1 ⋯1 1 n −1 1 ⋯ 1 4．设 Dn = 1 1 n − 2 ⋯ 1 ，则 Dn = （ C ）。 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ 1 1 1 ⋯1
A． n! ； C． (n −1)! ；
⎜ ⎢⎣0
⎜
⎝
0 1 0
0⎤ 0⎥⎥ 1⎥⎦
+
⎢⎢⎢⎡−113 ⎢3 ⎢0
⎢⎣
5
3 −2
3 0
0
⎤ ⎥
⎥
0⎥
⎥
− 1⎥
⎥⎦
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
=
⎡2 ⎢⎢⎢ 19 ⎢9 ⎢0 ⎢⎣
5
9 1
9 0
0⎥⎤ ⎥
0⎥ ⎥
0⎥ ⎥⎦
λχ1 + χ2 + χ3 = 1 3（本题 14 分）设方程组 χ1 + λχ2 + χ3 = λ
χ1 + χ2 + λχ3 = λ2
(1)方程组有唯一解； (2)方程组无解； (3)方程组有无穷多解,并求出通解表示式。
, 试问 λ 分别为何值时
⎛λ 1 1 1 ⎞
⎜
⎟
⎜⎛ 1 1 λ λ2 ⎟⎞
⎜⎛ 1
1
λ
λ2 ⎟⎞
解：
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
1 1
λ 1
1 λ
λ λ2
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
→
⎜1
⎜ ⎜
λ
⎜
⎝
λ 1
1 1
λ ⎟ ⎜0 λ −1 1−λ
1
⎟ ⎟
→
⎜ ⎜
0
1− λ
1− λ2
⎟⎜
Βιβλιοθήκη Baidu
⎠⎝
λ − λ2 ⎟
1 − λ3
⎟ ⎟
⎟
⎠
3
⎜⎛ 1
→
⎜ ⎜ ⎜
0 0
⎜
⎝
1 λ −1
0
λ 1− λ (1− λ)(2 + λ)
λ2
⎟⎞
λ(1− λ) ⎟
(1
+
λ
)
2
(1
−
λ
)
⎟ ⎟
⎟
⎠
∴（1） λ ≠ -2 且 λ ≠ 1 时，方程组有唯一解。
=
(0,3,1,2)
−
7 22
(1,−1,2,4)
=
1 22
(−7,73,8,16)
1 ξ2 = 5698
则 ξ1,ξ2 即为单位正交向量组。
四．证明题（共 10 分） 1．（本题 5 分）设 α1,α 2 ,⋯,α s 线性无关， α1,α 2 ,⋯,α s , β 线性相关，
证明： β 可由 α1,α 2 ,⋯,α s 唯一地线性表示。 因为α1，α2，…，β线性相关，所以在一组不全为 0 的数λ1，…，λm，λ， 使得：λ1α1+λ2α2+…+λmαm+λβ=0 下证λ≠0，假设λ=0，则λ1，λ2，…，λm 不全为 0，
三．计算题（共 54 分）
11 1 1
1．（本题 8 分）计算行列式： D4 =
1 1
2 3
4 9
8 27
。
1 4 16 64
11 1 1
12 3 12 3
解：D4= 0 1 2
3 = 3 8 15 = 0 2
2 6=
6 =12
0 3 8 15
12 42
7 26 63 0 12 24
0 7 26 63
| A|
= 1 （A+E-1）A-1= 1 （E+A-1）
| A|
| A|
25 0
|A|= 1 1 0 =3
0 0 −1
⎛ ⎜
−
1
5
0
⎞ ⎟
⎛2 5
A-1=
⎜ ⎜
1
1
0
−1
⎞
⎜
⎟ 0⎟
=
⎜ ⎜
3 1
3
3 −2
3
⎟ 0⎟
⎟
⎜ ⎝
0
0
−
1
⎟ ⎠
⎜
0
0 −1 ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎜⎛
⎜ ⎡1
∴B=
1 3
⎜ ⎜
⎢⎢0
故 A 为正定阵
6
C． α1 + α 2 + α 3 , 2α1 − 3α 2 + 22α 3 , 3α1 + 5α 2 − 5α3 ；
D． α1 + 2α 2 + 3α3 , 2α1 + 3α 2 + α3 , 3α1 + α 2 + 2α3
1
3．设 A 是 3 阶方阵，且 A = 1 ， A* 是 A 的伴随矩阵，则（ A ）。
特征向量可取为ξ1=（-1，-1，1） 当λ=1 时
4⎞ ⎛ 1 ⎟⎜
- 2⎟ → ⎜ 0 2⎟⎠ ⎜⎝ 0
1 2⎞ ⎟
1 1⎟ 0 0 ⎟⎠
⎛ 2 - 2 - 2⎞ ⎛ 1 -1 -1 ⎞
⎜
⎟⎜
⎟
λI − A = ⎜- 2 2 2⎟ → ⎜ 0 0 0⎟
⎜⎝ 2 2 2⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0⎟⎠
取特征向量为ξ2=（1，1，0），ξ3=（1，1，0），
B． n(n −1) ； 2
D． n(n +1) 2
5．设 A, B 都是 n 阶方阵，且 A 与 B 相似,则（ D ）。
A． λE − A = λE − B ；
B． A 与 B 有相同的特征值和特征向量；
C． A 与 B 都相似于一个对角矩阵；
D．对任意常数 t , tE − A 与 tE − B 相似
2．（本题 5 分）设 n 方阵 A 满足：(1) AT = A ；(2) A2 = A ；(3) A ≠ 0 ，
证明： A 是正定矩阵。
证：∵AT=A，即 A 为实对矩阵 ∵A2-A=0 ∴λ2-λ=0 设λ为 A 的任一特征根 （λ-1）λ=0
∵ A ≠ 0 ∴λ≠0
即λ=1 ∴A 的特征根全大于 0
f
(x1 , x2 , x3 )
=
2 x12
−
3x
2 2
+ 5x32
+
2x1 x2
−
4 x2 x3 ，则二次型
f
的系数矩阵为
⎛2 −1 0 ⎞
⎜
⎟
⎜1 − 3 − 2⎟
⎜⎝ 0 − 2 5 ⎟⎠
二．选择题（每小题 3 分，共 15 分）
⎛1 0 2⎞
1．设
A
是
3×
3
矩阵，且
r(
A)
=
2
，又
B
=
⎜ ⎜
4
(2)
∵
设A的特征值λi,则A
−1的特征值为
1 λi
则2E + A−1的特征值为2 + 1 ,即为 : 3或 9
λi
5
5．（本题 14 分）设 α1 = (1,−1,2,4) ,α 2 = (0,3,1,2) ,α3 = (3,0,7,14) ,α 4 = (2,1,5,10) ,
(1)求向量组 α1,α 2 ,α3 ,α 4 的一组极大线性无关组；