概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布

习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.

（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=

35147

2222=C C C P {X=1, Y=1 }=356

47221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=

3564

7

1

2

2213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353

472

223=C C C P {X=2, Y=1 }=

35124

712

1223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353

47

2

223=C C C P {X=3, Y=0 }=

35247

1233=C C C P {X=3, Y=1 }=352

47

1233=C C C P {X=3, Y=2 }=0

习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为

⎩⎨

⎧<<<<--=其它

,

0,

42,20),

6(),(y x y x k y x f

（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<

⎰⎰⎰⎰⋂=o

D G G

dy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中

⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y

x D

o

解：（1）∵⎰⎰⎰

⎰

+∞∞-+∞

∞

---=

=

20

12

)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴8

1=

k （2）8

3

)6(8

1)3,1(32

1

⎰

⎰=

--=

<

Y X P （3）32

27

)6(81),5.1()5.1(4

25.10

=

--=∞<≤=≤⎰

⎰

dy y x dx Y X P X P （4）3

2

)6(81)4(40

20

=--=

≤+⎰

⎰

-dy y x dx

Y X P x

习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

习题3-4 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为

⎩⎨

⎧≤≤=其它

,

0,1,

),(22y x y cx y x f

（1）试确定常数c ；（2）求边缘概率密度. 解: （1）l=

⎰⎰

⎰

⎰⎰

∞+∞

-+-∞+∞

-=

⇒===

4

21

21

432),(10

25

2

10

c c dy y c

ydx cx dy dxdy y x f y y

（2）⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤--==⎰其它,01

1),1(8

21421)(~4212

2x x x ydy x x f X x X ⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤==⎰+-其它

01027421)(~252y y

ydx d y f Y y y Y

习题3-5 在第7题中，（1）求条件概率密度)|(|y x f Y X ，特别，写出当21

=Y 时X 的条件概率密度；（2）求条件概率密度)|(|x y f X Y ，特别，分别写出当2

1

,31==X X 时Y 的

条件概率密度；（3）求条件概率⎭⎬⎫⎩⎨⎧

=≥

21|41X Y P ，⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

=≥21|43X Y P (注：上面提到的

7

题应为下面补充的

9

题）

x

o

y

y=x 2

习题3-6 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它

,

0,

10,||,1),(x x y y x f

求条件概率密度)|(),|(||x y f y x f X Y Y X .

习题3-7 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概

率密度为⎪⎩

⎪⎨⎧≤>=-.0,0,

0,21)(2

y y e y f y

Y

（1）求X 和Y 的联合概率密度；

（2）设含有a 的二次方程022

=++Y Xa a ，试求a 有实根的概率。

解：（1）X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它

,0)

1,0(,1)(x x f X

Y 的概率密度为

⎪⎩

⎪⎨⎧≤>=-.0,00

,2

1)(2y y e y f y

Y 且知X , Y 相互独立，

于是（X ，Y ）的联合密度为

⎪⎩⎪

⎨⎧><<==-其它

0,1021)()(),(2y x e

y f x f y x f y

Y X

（2）由于a 有实跟根，从而判别式0442

≥-=∆Y X

即：2

X Y ≤ 记}0,10|),{(2

x y x y x D <<<<=

dx e de dx dy e dx dxdy y x f X Y P x x y

y D

x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

----=-===

≤10102022

1

2

2

22

12

1),()(

1445

.08555.013413.05066312.21)5.08413.0(21))2()1((2121

2100

2

2

=-=⨯-=--=Φ-Φ-=⋅

-=⎰-

πππ

πdx e x

习题3-8 设X 和Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

⎩⎨

⎧≤>=-0,0,

0,

)(x x e x f x X λλ ⎩⎨⎧≤>=-0

,

0,

0,)(y y e y f x Y μμ 其中0,0>>μλ是常数，引入随机变量⎩⎨

⎧>≤=Y

X Y X Z 当当,

0,,

1

（1）求条件概率密度)|(|y x f Y X ；（2）求Z 的分布律和分布函数.