校园道路交通能力的数学建模

s.t.
j:( vi , v j ) A

f ij
j:( v j , vi ) A

v( f ), i s, f ji v ( f ), i t , 0, i s, t ,
(vi , v j ) A,0 fij cij ;
5.1．4 网络最大流模型求解

fij
j:( v j ,vi )A

f ji 0,
( vs , v j )A

f sj ftj
( v j , vs )A

f js v( f ), f jt v( f ),
max v( f ),
( vt ,v j )A

( v j , vt )A

即可写出如下最大流问题的线性规划模型：
关键词：网络最大流
线性规划
排队论模型
计算机模拟
§1 问题重述
一、 背景 西南交通大学犀浦校区位于成都市西北郫县犀浦镇，紧靠成都市外环线 500 米生态带，距市中心约 12 公里，校园占地约 3000 亩。犀浦校区的规划和建设都 强调和突出 “自然、 人文” 的先进理念， 按照 “一轴二带三环六区” 的规划骨架， 由南至北，逐步展开的。 从 2004 年第一批学生入住以来，犀浦校区的规模日渐扩大并趋于成熟。学 生人数也越来越多， 早上从宿舍区赶往各教学楼、 实验楼及图书馆的人络绎不绝。 二、 问题 问题 1：现有的学校道路设计规划的最大通行能力多大，能否满足学生及时 赶往教学区？ 问题 2：如果要将通行能力增加 30%，应如何改造校园道路？ 问题 3：现假设学生将要进入 1 号教学楼各教室，假设各教室均有 150 名学 生，请根据实际情况分析 1 号教学楼各出入道路设计是否合理。
§2 问题分析
2.1 问题一的分析
问题一要求求解校园道路的最大通行能力， 可抽象为在校园道路网络的最大 流问题。 首先将学生寝室、 教学楼、 实验楼、 图书馆以及各交叉路口抽象为顶点， 将各条道路抽象为有向弧， 结合实际道路通行情况计算出各条道路的单位时间最 大通行量即各弧的容量， 建立网络，将求解校园道路的最大通行量转化为求解该 网络的最大流。进而，对网络最大流模型进行分析，转化为线性规划模型，结合 LINGO 软件解出线性规划模型的最优解，即该网络的最大流，并对结果进行分析 处理。 对于学生在早高峰期间出行人数的分布规律，结合学生实际出行情况，决定 采用正态分布来表征此规律。 进而对出行人数最密集的时间段进行计算，根据此 时间段内校园网络能满足学生出行要求来判断校园道路能否满足学生及时赶往 教学区。
将各道路某一横截面上单位时间内通过的人数（即人流量）作为网络最大流 模型中的容量。考虑到学生出行方式的不同，以及校园各条道路的宽度不同，分 别对电瓶车、自行车以及步行三种出行方式分别对应的各条道路容量进行计算， 进而通过三种出行方式的比例计算得到平均的道路最大容量。 将自行车和步行者看作质点，分别取 平均速度 v自 3m / s ， v人 2m / s 质心前后间距 l自 3m ， l人 0.5m 质心左右间距 w自 1m ， w人 0.75m 对于宽度为 W 的某一道路横截面，经 t 时间通过的人数满足
§3 模型假设
1. 将南区各个园区之间的地方看作三个节点，北区所有寝室楼看作一个节点； 2. 将南区所有教学楼（1、2、4、5、6、7 号教学楼）看作一个教学区，北区所 有教学楼（8、9 号教学楼）看作一个教学区，不考虑各教学区内部的道路； 3. 假设学生在上课途中只走校内主要道路（不包括环校公路） ，不抄近道； 4. 假设学生只采取步行、骑自行车、乘校内电瓶车三种出行方式； 5. 假设学生出行早高峰集中在 7:30-7:50 半个小时内； 6. 假设步行者、自行车、校车的前进速度、前后左右间距是固定的； 7. 假设道路的最大通行能力不受路况、天气情况影响；
t
图三 校园道路网络各支路容量图
5.1．3 建立网络最大流模型
由 5.1.1 以及 5.1.2 已将该问题转化成求解网络最大流问题，根据：
容量限制条件：对每一弧
(vi , v j ) A,0 fij cij ;
j:( vi ,v j )A
（1） 平衡条件：对于中间顶点，流入量等于流出量， 对于源 vs ， 对于汇 vt ，
校园道路的交通能力研究数学建模
摘要
本文针对校园道路的交通能力计算与改造以及教学楼出入通道合理性评价 问题， 利用图论和排队论的方法， 建立了网络最大流、 线性规划以及排队论模型， 利用 LINGO 软件以及计算机模拟进行了求解，得到了校园道路的最大通行能力、 最佳改造方案、以及教学楼出入通道设计合理性的评价。 问题一， 针对求解学校现行道路的最大通行能力的问题，通过将校园道路抽 象为网络，将宿舍楼、教学楼、实验楼、图书馆抽象为节点的方式，构造出网络 最大流模型。 针对各条道路的宽度以及不同出行方式的运载能力和行驶速度，计 算出各条道路的最大通行能力最为网络中对应弧的容量， 作为最大流模型中约束 条件。 结合各节点流入流出流量相等等约束条件，利用 LINGO 软件对该网络最大 流模型进行求解，得到了校园道路的网络最大流为 48人/s 。进而结合学生实际出 行情况， 利用正态分布表征出行人数随时间的分布，将求得的最拥挤时段出行人 数与最大流作比较，得到现有校园道路可以满足学生及时到达教学楼。 问题二，针对在提高现有校园网络最大通行能力的 30%的条件下，求解最优 的道路改造方案的问题，由于存在最大通行能力的约束，且要求最优方案，因此 建立线性规划模型，以改造道路条数最少为目标函数，以网络最大流提高 30%， 道路容量改造规模不超过原来的两倍， 以及最大流模型中节点流入流出量的约束 作为约束条件。 再次利用 LINGO 软件对该线性规划模型求解，得到最优改造方案 如图四所示。 问题三， 针对一号教学楼出入通道设计合理性评价问题，由于各楼梯口出现 排队现象，将各层楼梯口看作多个服务台，学生看作该排队系统的顾客，通过楼 梯口看作服务过程，建立排队论模型。通过设计算法，利用计算机模拟仿真计算 出该系统的平均排队等待时间及平均队长， 以此为标准对一号教学楼的出入通道 的设计进行评价， 得到一号教学楼出入通道设计能够满足通行要求。该模型中只 考虑了只存在学生上行的情况， 因此在模型优化部分对于同时存在上行、下行的 情况进一步研究，对该模型加以完善。 总之， 本文对于校园交通网络最大流的求解、道路改造方案和楼道设计合理 性评估问题， 转化为网络最大流和排队论模型，将现实问题合理地抽象为数学问 题，并考虑到基本的现实条件，为问题提供了可靠的答案及实施办法。
调查统计结果显示， 学生在出行过程中采取 3 种不同方式出行的比例为校车： 自行车：步行=1:20:100，每条道路的实际容量应该将表中数据按上述比例加权 平均，结果如下图所示：
V3 12 12 V1 12 12 V5 S 12 V6 V10 12 6 V13 12 V9 30 V2 12 12 V7 6 V4 V8 12 12 V15 12 12 12 V12 12 V14 12 12 V11
t 时刻系统处于状态 n 的概率
f ij cij dij bij
v( f )
vmax Pn (t )
P0 Pn
稳定系统处于空闲状态的概率 稳定系统中有 n 个学生的概率
§5 模型建立与求解
5.1 模型一的建立与求解
问题一要求求解校园道路网络的最大通行能力问题。 将该问题抽象成求解网 络的最大流问题，把教学楼、实验楼、图书馆以及主要道路和交叉路口抽象成图 论中网络流的各个要素， 利用网络最大流的线性规划模型，结合 LINGO 软件对该 问题进行求解。
8. 假设教学楼初始状态为空，即所有学生从一楼楼梯口进入教学楼，到达其所 在教室； 9. 假设要到 2、3、4、5 层楼的学生均匀分布在上楼的人流中 10. 假设通过四个楼梯口上楼的学生数量相同；
§4 符号说明
符号
vi
说明 第 i 个道路顶点 每条道路上的流量 每条道路的容量 允许扩容后每条道路上的流量 扩容判别矩阵 整个网络通过的总流量 整个网络可通过的最大流量
q车 2
v车 l车
n
带入数据计算得到
q车 18人 / s
下表为根据上述公式计算出的不同宽度道路在仅有自行车或步行者时的容 量：
容量（ 人/s ） 道路宽度（m） 2.5 5 6.25 10 12.5 自行车 2.5 5 6.25 10 12.5 步行 20/3 40/3 50/3 80/3 100/3
2.3 问题三的分析
问题三要求评价一号教学楼的出入通道设计是否合理， 即考虑学生在进入教 室的过程中是否会产生拥挤现象以及需在楼梯口等待的时间长短。 学生进入每间 教室的过程中，在楼梯口会出现排队现象，因此考虑建立排队论模型。首先，将 各层楼梯口看作多个服务台， 同一层四个楼梯口看作同一个服务台，学生看作该 排队系统的顾客，通过楼梯口看作服务过程，建立排队论模型。通过计算机模拟 仿真计算出该系统的平均排队等待时间及平均队长， 以此为标准对一号教学楼的 出入通道的设计进行评价。
将最大流模型转化为线性规划模型， 运用 LINGO 软件编程求解上述模型即可 求解得到该网络的最大流为 48人/s 。
5.1．5 学生实际出行情况计算
由实际情况可知， 学生早上从宿舍楼出发赶往教学楼的人数随时间的分布可 近似看作正态分布：
( 2 ) 1 P (t ) e 2 2 t
2.2 问题二的分析
问题二要求求解如何对校园道路进行改造使其最大通行能力提高 30%，结合 问题一求得现有校园道路网络最大通行量为 v max ，可以得到改造后最大通行量
1.3vmax ，即需扩大道路容量。考虑到建设成本等实际因素，在现有基础校园道路
网络上，改造道路的条数越少方案越佳，故以此作为目标函数。以 bij 作为决策变 量， bij 0 时不对该道路进行扩容， bij 1 时对该道路进行扩容，由此建立一个 扩容判别矩阵。扩容后道路网络仍可使用问题一所使用的网络最大流模型思想， 并且需满足最大通行能力为 1.3vmax ，实际情况下道路最大通行容量增大不超过 100%等约束条件， 将网络最大流问题写为线性规划模型，利用 LINGO 求解模型的 最优解，得到需改造道路 vij ，同时道路改造可通过拓宽道路、改变出行方式、增 大校车数量等方式实现， 以此达到扩大道路容量的目的，可通过计算提出每条需 改造道路的具体改造方式。
(30 t 50)
下面，根据具体情况确定参数：已知犀浦校区学生总人数为 K 30000人 ， 因假设早高峰为 7:30-7:50，则 40 ，又根据早高峰时期学生出行人数比较集 中，将 确定为 4。则：
图一 西南交大犀浦校区平面图
将南区宿舍、北区宿舍、教学区、图书馆以及各个道路交叉口分别标记为顶 点 i ，将各条道路作为为网络中的有向弧，得到抽象的网络图如下：
V3 V11 V1 V4 V5 S V6 V10 V13 V7 V9 V8 V14 V12 V15
v
t
V2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图二 校园道路网络图
5.1．2 各条道路容量计算
5.1．1 网络的建立
首先将校园道路网络与网络最大流中各要素进行类比， 将学生寝室、 教学楼、 实验楼、图书馆以及各交叉路口抽象为顶点，将各条道路抽象为有向弧，设定网 络的源和汇，建立起道路的基本网络模型。 由于只考虑主要道路的通行能力情况，因此将学生宿舍分为南北两区，将教 学区分为北教学区，南教学区以及图书馆，考虑它们之间的道路连接情况。结合 犀浦校区平面图（图一） ，绘制出主要道路的道路分布图（图二） ，进而进行网络 最大流问题的处理。
vt W l w 因此单位时间内该横截面的人流量为 Q v W q t l w Q
电瓶车只在主干道（V3-V7）行驶，将电瓶车也看作质点，在该路段 电瓶车的平均速度 v车 6m / s 质心前后间距 l车 10m 每辆车的最大载客量 n 18人 在该路段，道路最多可容纳两辆电瓶车并排行驶，类比上一段的推导方法， 单位时间内可通过的人流量为