数值分析6

31.（1）解：x (k+1)=（I-αA ）x (k)+αb

因此迭代矩阵B= I-αA=1−3α−2α−α1−2α

其特征值λ1=1-4α；λ2=1-α；

因为迭代收敛的充要条件是：ρ(B)<1，等价于|λ1|<1,且|λ2|<1

因此0<α<1/2时，迭代矩阵收敛。当谱半径最小时，收敛速度最大，等价于|λ1|和|λ2|在(0,1/2)上的最小值，求得当α=3/5时，谱半径最小，迭代速度最快。

(2)已知对称正定矩阵A 的最大和最小特征值分别为：λ1和λn ，且二者均大于0.

不妨设A 的特征值为λ，特征向量为x 。则(I-αA)x=x-αAx=(1-αλ)x 即迭代矩阵B= I-αA 的特征值为1-αλ,而且迭代矩阵收敛的充要条件是ρ(B)<1，即矩阵B 的特征值绝对值最大的要小于1，即|1-αλ1|<1且|1-αλn |<1，求得0<α<2(λ1)-1；

当谱半径最小，即在区间0<α<2(λ1)-1内，|1-αλn |和|1-αλ1|<1的最小值，求得α=2/(λ1+λn )

32.

证明：因为SOR 方法的迭代矩阵L w =(D-wL)-1[(1-w)D+wU] 假设L w 存在一个特征值λ满足|λ|>1。

所以det(λI-L w )=0

所以det((D-wL)-1[(1-w)D+wU])=det(D-wL)-1*det[(1-λ-1(1-w))D-wL-λ-1wU]=0 (1)

由于矩阵A 是严格对角占优矩阵，所以a ii >0，因此(D-wL)-1的主对角

元素大于零，即det(D-wL)-1>0。

而由于|λ|>1，且0=λ-1(1-w)，即1-λ-1(1-w)>0>=w ； 同时1-λ-1(1-w)>0> |λ-1w|.

而由于矩阵A 严格对角占优，所以|a ii |>∑|a ij |n 1,j≠i ,

而对于(1-λ-1(1-w))D-wL-λ-1wU ，其主对角元素为(1-λ-1(1-w))a ii ，左侧元素为-wa ij (1

而|(1-λ-1(1-w))a ii |>∑(1−λ−1(1−w )）|a ij |i−11+∑(1−λ−1(1−

n i+1w )）|a ij |>∑w|a ij |i−11+∑|λ−1w||a ij |n i+1

所以(1-λ-1(1-w))D-wL-λ-1wU 也严格对角占优，所以det((1-λ-1(1-w))D-wL-λ-1wU)≠0

这与(1)式矛盾，因此该方法收敛。

33.解：由于矩阵A 对称正定，因此(D-U)-1和(D-L)-1存在。 （D-U ）x (k+1)=L[(D-L)-1Ux (k)+ (D-L)-1b]+b

所以x (k+1)= (D-U)-1L[(D-L)-1Ux (k)+ (D-U)-1 L(D-L)-1b+(D-U)-1b 因此C=(D-U)-1L(D-L)-1U, g=(D-U)-1 L(D-L)-1b+(D-U)-1b

下面证明其收敛性：

令W=D -1/2(D-U),P=D 1/2(D-L)-1LD -1/2,

则PP T = D 1/2(D-L)-1LD -1/2 D -1/2U(D-U)-1D 1/2= D -1/2L(D-L)-1(D-U)-1D 1/2, 而WCW -1= D -1/2(D-U) (D-U)-1L(D-L)-1U(D-U)-1 D 1/2= D -1/2L(D-L)-1(D-U)-1D 1/2

因此WCW -1=PP T

因此C 与PP T 相似，特征值均为非负实数。

而1- WCW -1= W(I-C)W -1=W(D-L)D -1(D-U)-1AW -1=W -T AW -1 所以1- WCW -1是对称正定矩阵，其特征值1-λ>0 因此C 的特征值0<=λ©<1

所以该两步迭代法收敛。

35.解;

（1）块GS 法的计算公式和收敛条件：

首先令D=A 00

A ,C=A

B B A ,L=00−B 0 则计算方法为： A x 1(k+1)

=b 1-B x 2k ; A x 2(k+1)=b 2-B x 1k+1;

迭代矩阵为I-(D-L)-1C=I-A −10−A −1BA

−1A −1*A B B A =0−A −1B 0A −1BA −1B

设其特征值为α，即 Det(αI-I+(D-L)-1C)= αI A −1B 0αI −(A −1B)^2

=α∗|αI −(A −1B)^2|=0 即GS 法收敛的充要条件是(A −1B)^2的谱半径小于1

（2）块J 法的计算方法和收敛条件：

计算方法是：

A x 1(k+1)

=b 1-B x 2k ; A x 2

(k+1)=b 2-B x 1k ; 收敛充要条件：ρ(I-D -1C)<1

而矩阵A 非奇异，其逆矩阵存在，因此

D -1=A −100A −1,I-D -1C=0−A −1B −A −1B

设迭代矩阵的特征值为λ，

满足det(λI A−1B

A−1BλI

)=0，由于λIA−1B=A−1BλI

因此上式为|λI−A−1B|*|λI+A−1B|=0，

即A−1B的谱半径要小于1为雅可比迭代法收敛的充要条件。

（3）由于ρ(B G)= ρ(B J)^2，因此GS法的收敛速度是雅可比法的2倍。

38.解;(1)

X(0)=0,CG方法求解：

第一步,r(0)= p(0)=b-Ax(0)=(0,-1)T,α0=( r(0), r(0))/( p(0),A p(0))=1/2;

因此X(1)= X(0)+ α0 p(0)=(0,-1/2)T;

第二步：r(1)= r(0)- α0Ap(0)=(3/2,0)T,

β0=( r(1), r(1))/( r(0),r(0))=9/4,

p(0)= r(1)- β0p(0)=(3/2,-9/4)T,

α1=( r(1), r(1))/( p(1),A p(1))=2/3,

X(2)= X(1)+ α1 p(1)=(1,-2)T

一般n阶矩阵只用求到第n步所以该矩阵的解为(1,-2)T