晶带、晶面间距教程文件

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晶向、晶面及晶带

5
2.晶向指数[u v w]确定步骤： ① 建立一个右手空间直角坐标系，在待测晶向上确定两个点的坐标。 ② 用终点的坐标减去起点的坐标，得到沿各坐标轴方向上的数值。 ③ 将其按比例化为最小的整数。 ④ 将此整数放在一个方括号[u v w]中。若有负号，将负号标在该数字的上方。
如[121]表示
写出立方晶系的{123}晶面族和<112>晶向族中的全部等价晶面和晶向的具体指数。
{123} (123) (123) (123) (123)
(132) (132) (132) (132)
(213) (213) (2 13) (213)
(231) (231) (231) (23 1)
通常是低指数的晶面间距较大。
因此，线密对度也称可以性看成，是这阵点6间个距的晶倒向数。并没有什么区别，晶体在这些方向上的性质是完
立方晶系中，两晶向垂直的充要条件为
3（、1,面0,间0）距、-全（晶0面相, 0夹, 0同角）和的=（晶带，1,理0,统论0）称这些方向为等效晶向，写成<100>；
阵点间距、线密度和堆垛密度
晶胞中画出（a）晶向和(b)晶面
28
要把晶向画在晶胞内，需要把原点移动到0,+1,0，起点设在原点上，则终点的坐标为：
x 1 1 1 , y 1 (2) 1, z 1 1 1
2 22
22
要画出 210 晶面，首先需要确定它的截距:
晶向 A
1.两点坐标分别为（1, 0, 0） and（0, 0, 0） 2. （1, 0, 0） - （0, 0, 0） =（ 1, 0, 0） 3. 已为最小的整数，记作 [100]
晶向B
1.两点坐标分别为（1, 1, 1） and （0, 0, 0） 2. （1, 1, 1） -（0, 0, 0） = （1, 1, 1） 3.已为最小的整数，记作 [111]

晶面指数六方晶系的晶面指数标定82523

1
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
1,0,0
0,1,0 晶面指数（233）
2
常见的晶面指数
(001)
(110)
(100)
(010)
(111)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。
19
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
六方晶系一些晶面的指数
20
六方晶系晶向指数标定
采用4轴坐标时，晶向指数的确定原则仍同前述晶向指数可用｛u v t w｝来表示，这里 u + v = - t。
六方晶系晶向指数的表示方法(c轴与图面垂直) 21
六方晶系中，三轴指数和四轴指数的相互转化
三轴晶向指数(U V W) 四轴晶向指数(u v t w)
线表示。
4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数 [120]
O
Y
●
X
4
Z
练习
●
O X
晶向符号 [221]
Y
[001] [111]
●
●
常见的晶向指数
O
●
●
[100]
[010]
5
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
[001]晶带包含的晶面有：（100）、（010）、（110）、（110）、（120）等晶面
[001]
晶带定律：凡是属于[uvw]晶
带的晶面，它的晶面指数必须

材料科学导论-第一章晶体学基础3

3、六方晶系晶面指数标定
根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3 及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这样，其晶面指数就以(h k i l）四个指数来表示。根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
三轴晶面指数(h k l) 四轴晶面指数(h k i l) i=- ( h + k )
立方晶系：
d hkl
a h k l
2 2 2
§ 1.6 晶面指数及晶面间距范例:
m/l
c
a
m/k
b
m/h
画出晶面（100），（110），（111），（201），（211），（321）
பைடு நூலகம்
c a
（100）
b
画出晶面（100），（110），（111），（201），（211），（321）
d V [h b c sin k a c sin l a b sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2hkabc (cos cos cos )
2
2kla bc(cos cos cos )
2
2hlab c(cos cos cos )]
2
2 2 2
1
2
1 2
V abc(1 cos cos cos 2cos cos cos )
单斜晶系：d＝sinβ(h2/a2＋k2sin2β/b2＋l2/c2－2hlcosβ/ac)-1/2 正交晶系：d＝[h2/a2＋k2/b2＋l2/c2]-1/2 四方晶系：d＝[(h2＋k2)/a2＋l2/c2]-1/2 六方晶系：d＝[4(h2＋hk＋k2)/3a2＋l2/c2]-1/2

第二章_固体结构-晶向晶面2.2

求法1（平移法） 1）确定坐标系
2）过坐标原点，作直线（OP）与待求晶向平行； 3）在该直线上取点（距原点最近），并确定该点P的坐标（x，y，z） 4）该值乘最小公倍数化成最小整数u，v，w并加以方括号[u v w]即是。
设坐标，求坐标，化整数，列括号
求法2（两点法）
1. 以晶胞的某一阵点为原点，以晶轴为坐标轴X、Y、Z，以晶胞的边长为三坐标轴的长度单位。 2. 确定晶向上任两点的坐标 (x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。 3. 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2-z1 ； 4. 化成最小整数比u：v：w ； 5. 放在方括号[uvw]中，不加逗号，负号记在上方。
[uv w]
1、红线代表的晶向由两个结点的坐标之差确定 2、晶向指数同乘、除一个数，晶向不改变。如[012]---[0 ½ 1]
如图为立方晶系： X轴、Y轴、
Z轴；长度单位a=b=c=1。
例： OD为[101]； Om为：坐标1/2、1、1/2；化
简后[121]；
EF为：[111]
用平行的直线连接起来，构成三维几何格架
2.1.2 晶胞组成点阵的具有代表性的基本单
元，称为晶胞
如何选取晶胞？应遵循下述原则
(1)对称性选取的平行六面体应反映点阵的最高对称性； (2)相等性平行六面体内的棱和角相等的数目应最多； (3)直角性当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目应最多。 (4)最小性在满足上述条件的情况下，晶胞体积应最小。
2.2 晶向指数和晶面指数
晶向——通过晶体中任意两个原子中心连成直线来表示晶体结构的空间的各个方向。晶面——晶体结构一系列原子所构成的平面。晶向指数和晶面指数是分别表示晶向和晶面的符号，国际上用Ｍiller指数（Ｍiller indices ）来统一标定。

测定晶体的晶面间距 (1)

测定晶体的晶面间距——X射线衍射法（布拉格法）一、前言X射线的波长非常短，与晶体的晶面间距基本上在同一数量级。

因此，若把晶体的晶面间距作为光栅，用X射线照射晶体，就有可能产生衍射现象。

科学家们深入研究了X射线在晶体中的衍射现象，得出了著名的劳厄晶体衍射公式、布拉格父子的布拉格定律等等。

在他们的带领下，人们的视野深入到了晶体的内部，开辟了X射线理论和应用的广阔天地。

他们也因自己的卓越研究，都获得了诺贝尔奖。

今天，X射线的衍射原理和方法在物理、化学、地质学、生命科学、……、尤其是在材料科学等各个领域都有了成熟的应用，而且仍在继续兴旺发展，特别是在材料的微观结构认识与缺陷分析上仍在不断揭示新的奇妙现象，正吸引着科学家们致力于开创新的理论突破！二、实验目的：1）掌握X射线衍射仪分析法（衍射仪法）的基本原理和方法；2）了解Y-2000型Ｘ射线衍射仪的结构、工作原理和使用方法。

三、实验原理1912年英国物理学家布拉格父子（W. H. B ragg & W. L. B ragg）通过实验，发现了单色X射线与晶体作用产生衍射的规律。

利用这一规律，发明了测定晶格常数（晶面间距）d的方法，这一方法也可以用来测定X射线的波长λ。

在用X射线分析晶体结构方面，布拉格父子作出了杰出贡献，因而共同获得1915年诺贝尔物理学奖。

晶面间距与X射线的波长大致在同一数量级。

当用一束单色X射线以一定角度θ照射晶体时，会发生什么现象呢？又有何规律呢？见图1：图1 晶体衍射原理图用单色X射线照射晶体：1）会象可见光照射镜面一样发生反射，也遵从反射定律：即入射线、衍（反）射线、法线三线共面；掠射角θ与衍射角相等。

2）但也有不同：可见光在0°~180°都会发生反射，X射线却只在某些角度有较强的反射，而在其余角度则几乎不发生反射，称X射线的这种反射为“选择反射”。

选择性反射实际上是X射线1与X射线2互相干涉加强的结果，如图1（b）所示。

晶面指数-六方晶系的晶面指数标定

Y
●
X
常见的晶向指数
Z
●
O X
练习
晶向符号 [221]
Y
[001] [111]
●
●
O
●
[100]
●
[010]
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
0,1,0 晶面指数（233）
常见的晶面指数
晶面指数的确定方法
1°确定平面与晶胞三个坐标轴的交点坐标（平面不能通过原点） 2°取在三个坐标轴上截距的倒数。 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数h、k、l。负数用上划线
表示。 4°用（）括起来，记为（hkl ）
0,0,1
1°确定交点坐标，X轴：1/2、 Y轴：1、 Z轴：1
2°取倒数 2、1、1 3°消除分数 2、1、1 0,1,0 4°晶面指数（211）
(001)
(110)
(100)
(010)
晶面指数的几点说明：
(111)
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。 2°指数中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例如(hk0) 晶面平行于c轴。因交点为，倒数为零。 3° (hkl）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面。
晶向指数的确定方法
b、c为晶胞参数
1 dh2kl
ah22kb22源自cl22d1 h 2k la2sh2i2nk b2 2c2sl2i2n2 ahsc cli2o ns
01
02
1 dh2k
单斜
l (12c
osc
osc
1

第1章晶体学

9
空间点阵、晶格
晶格为了便于描述空间点
阵的图形，用许多组假想
的平行直线将阵点连接起
来构成空间格子，这些空阵点的两大特点：
排列的周期性间格子称为晶格。
等同性
10
晶胞概念的由来
为了说明点阵排列的规律和特点，可以在空间点阵中取出一个最有代表性的基本单元作为点阵的组成单元，其基本单元称为晶胞。晶胞一般为平行六面体。晶胞在三维空间反复堆砌构成空间点阵。不同空间点阵由其晶胞大小和形状来区别和表征。
合，称为空间群。
经过严格证明可以得出，晶体中可能存在230
种空间群，任何一种晶体的微观结构属于且只属于
230种空间群之一。
38
1.4 晶系及布拉菲点阵
布拉菲点阵(空间点阵)
根据空间点阵中“每个阵点周围的环境相同”
的要求，布拉菲（Bravais)于1948年用数学方法
证明了空间点阵共有14种，而且只有14种。
23
24
2. 反映对称操作与反映面(m)
( Mirror Plane )
如果通过晶体作一个平面，
使晶体的各个对应点经过这个
平面反映后能够重合，如同镜子一样，那么这个平面称之为晶体的对称面，用符号m表示
25
26
3. 反演对称操作及对称中心(i) (Inversion)
晶体的每一个点均可以以i为中心作对称与其对
晶体结构——其类型取决于原子的结合方式，阵点
的位置上可以是一个或多个实际质点或者原子团，其种类可以是无限的。空间点阵——每个阵点处原子都具有相同的环境，其种类有限（仅有14种）。每种空间点阵都可以形成无限多的晶体结构。
空间点阵＋结构基元
晶体结构
15

wo3 晶格间距

wo3 晶格间距
WO3是一种常见的宽禁带半导体材料，具有多种应用价值，如光电器件、太阳能电池和气体传感器等。

在WO3晶体中，W原子和O原子以一定的配位数规则排列，形成了晶体结构。

晶格间距是晶体结构中相邻两个原子或分子的中心之间的距离。

对于WO3晶体，其晶格间距决定了其电子结构和光学性能等性质。

WO3的晶格间距可以通过X射线衍射、中子衍射或原子力显微镜等方法进行测量。

WO3的晶格间距与温度、压力等因素有关。

在常温常压下，WO3的晶格间距约为0.32nm。

当温度升高或压力增大时，WO3的晶格间距会减小，这是因为原子或分子的热运动或外力作用会导致原子或分子的位置发生变化，从而影响晶格间距。

WO3的晶格间距与其应用性能密切相关。

在光电器件中，WO3的晶格间距会影响其光学带隙和吸收光谱等性质，进而影响器件的性能。

在太阳能电池中，WO3的晶格间距会影响其光电转换效率。

在气体传感器中，WO3的晶格间距会影响其对气体分子的吸附和响应等性质。

为了获得具有优异性能的WO3材料，需要对其晶格间距进行精确调控。

可以通过物理或化学方法对WO3进行掺杂、形变或热处理等处理，以改变其晶格间距和晶体结构，从而优化其性能。

例如，通过掺杂不同浓度的W或O元素，可以改变WO3的晶格间距和电子结构，从而提高其光电性能或气体传感性能。

总之，WO3的晶格间距是影响其应用性能的重要因素之一。

为了获得具有优异性能的WO3材料，需要对其晶格间距进行精确调控，进一步深入研究其晶体结构和物理性能之间的关系。

晶面指数

引用晶面指数、晶向指数、晶面间距第二章X射线衍射方向【教学内容】1．晶体几何学基础。

2．X射线衍射的概念与布拉格方程（布拉格定律、衍射矢量方程、爱瓦德图解、劳埃方程）。

3．布拉格方程的应用与衍射方法。

【重点掌握内容】1．晶体几何学的基本概念，包括布拉菲点阵，晶面和晶向指数等。

2．布拉格方程，这是本章的重中之重。

3．关于反射级数，X射线衍射与可见光反射的区别，以及衍射产生的条件及其在实际分析工作应用。

【了解内容】1．复习晶体几何学的某些概念，如晶体、空间格子、晶带、晶带定律和晶面间距和晶面夹角的计算。

2．布拉格方程的应用和主要的衍射分析方法。

【教学难点】1．倒易点阵。

2．衍射矢量方程、爱瓦德图解。

【教学目标】1．熟练掌握X射线衍射的基本原理，尤其是布拉格方程。

2．培养学生善于利用这些理论去指导实际分析工作的能力。

【教学方法】1．以课堂教学为主，通过多媒体教学手段，使学生掌握较抽象的几何结晶学的概念和布拉格方程。

2．通过做习题加深对X射线衍射理论的理解。

一、X射线衍射的发现上章已经X射线的波动本质。

我们对X射线的应用很大程度依赖于它的波动性。

第一个成功对X射线波动性进行的研究是德国物理学家劳厄（M. V. Laue）(照片)。

1912年，劳厄是德国慕尼黑大学非正式聘请的教授。

在此之前，人们对光的波动性已经进行了很多的研究，有关的理论已相当成熟。

比如，光的衍射作用。

人们知道，当光通过与其波长相当的光栅时会发生衍射作用。

另一方面，人们对晶体的研究也达到相当的水平，认为晶体内部的质点是规则排列的，且质点间距在1-10A之间。

当时，同校的一名博士研究生厄瓦耳（P. P. Eward）正在研究关于“各向同性共振体按各向异排列时的光学散射性质”。

一天，他去向劳厄请教问题。

劳厄问他，如果波长比晶体的原子间距小，而不象可见光波那样比原子间距大很多会发生什么样的情形？厄瓦耳说他的公式应当包括这样的情况，即也应当会发生衍射作用，因为他在推导有关的公式并未使用任何近似法，还将公式抄了一份给劳厄。

晶体学基础第五章-晶面间距与晶格常数

晶面间距与晶格常数第五章晶体的质点堆积与缺陷¾ 密堆积原理 ¾ 配位数和配位多面体 ¾ 化学键和晶格类型¾ 晶体的缺陷晶体化学晶体化学：研究晶体结构和晶体化学组成与其性质之间的关系和规律性的分支学科。

材料科学：晶体结构=空间点阵+基元Na+Cl-•晶体结构中的质点（阵点或基元）可以是原子、离子或分子。

•晶体化学主要阐述这些质点的特性：离子类型、离子和原子半径等； •讨论质点在组成晶体结构时的相互作用和规律：离子或原子相互结合时的堆积方式和配位形式、键和晶格类型。

z 理论半径：将原子或离子的电子云分布视为球形，其半径为原子或离子的理论半径。

• 原子在形成化学键时，总要有一定程度的轨道重叠，而且与不同的原子分别成化学键时，原子轨道重叠的程度又各有不同，因此单纯地把原子半径理解成原子最外层电子到原子核的距离是不严格的。

z 有效半径：以键长数据为基础，由实验方法得到的原子或离子的半径，称为原子或离子的有效半径。

共价半径、金属半径、范德华半径。

• 原子或离子半径的影响因素：价态、配位数、电子自旋态• 原子和离子半径的大小，特别是相对大小对晶体结构中的质点的排列方式影响很大。

其对理解和阐明晶体结构类型的变化、晶体化学组成的变异以及有关物理性质的变化都是非常重要的。

元素的原子半径和共价半径原子或离子半径的基本规律原子或离子半径的影响因素：价态、配位数、电子自旋态z 同种元素原子半径: 共价半径 < 金属原子半径 z 同种元素离子半径:阳离子半径小于原子半径，价态高半径小；阴离子半径大于原子半径，负价高半径大；氧化态相同，配位数高半径大； z 同族元素: 原子和离子半径随周期数增加而增大 z 同周期元素: 原子和离子半径随Z的增加而减小 z 从周期表左上到右下对角线上，阳离子半径近于相等 z 镧系和锕系:阳离子半径随Z增加而略有减小 z 通常, 阳离子半径都小于阴离子半径。

X光实验LiF晶体晶面间距测量改进

0.2035
k
1
2
3
d
0.2049
0.2031
0.1975
递减趋势
分析
分析
k
2DE k 2AEcos( - ) k 2d sin k
2
2CE
k
2BEcos(
2
-
-
)=k
2d0sin(
+
)=k
d>d0
分析
出现表面不水平的原因很多：机器齿轮咬合不紧密调零用的NaCl晶体或实验使用的LiF晶体表面由于摩擦产生倾斜 LiF表面有凹陷或凸起调零结束后和换晶体过程中影响到了靶台水平
……
这对拟合直线造成的影响就是：
1、截距的出现； 2、斜率将变大。经粗略估算
0.5o 时误差为3~4%，
0.3o时误差为1.5~2%。
改进
、、
如上图，晶体平面存在倾斜，1、 2、 3 分别是k=1的衍射角、k=1与 k=2的衍射角夹角、k=2与k=3的衍射角夹角，设1 '为实际的k=1时的
X光实验 LiF晶体晶面间距的改进
回顾
回顾
布拉格公式中，令2sin X, k=Y,Y=A+BX,B=d 其中d为晶面间
距。
k1Leabharlann 1223
X
0.310
0.347
0.621
0.700
1.080
Y
6.32
7.11
12.64
14.22
21.33
本试验取向时晶面间距为0.2014nm。
分析
k1
2
d 0.2039
衍射角。
改进
根据布拉格公式
d0

晶体定向晶面符号和晶带定律课件

演示如何利用晶带定律判断晶体的对称性和物理性质。
06
总结与展望
晶体定向、晶面符号与晶带定律的重要性和意义
1 2 3
晶体定向对于材料科学和物理学的研究具有重要意义，能够确定晶体在空间中的方位，为深入研究晶体结构和性质提供了基础数据。
晶面符号是晶体的一个重要特征，可以用来识别和区分不同的晶体，同时对于晶体定向和晶带定律的研究具有关键作用。
晶面符号
如前所述，晶面符号是用来表示晶面在晶体中的相对位置和方向的符号。
关系
晶面符号与晶带定律之间存在密切关系，通过晶带定律可以确定晶面符号在晶带上的相对位置和方向。
晶体定向、晶面符号与晶带定律的综合应用
综合应用
在晶体学中，晶体定向、晶面符号和晶带定律是相互关联的基本概念，它们共同构成了晶体学的基础知识。
晶带定律揭示了晶体中晶面的排列规律，对于理解晶体结构和性质、以及材料性能的优化具有重要意义。
三者在材料科学和物理学中的应用前景
材料科学
在材料科学中，晶体定向、晶面符号和晶带定律的应用广泛，例如在材料合成、晶体工程、复合材料等领域，可以用来指导材料的设计和制备，提高材料的性能。
物理学
在物理学中，这些理论可以用来研究晶体的物理性质，如光学、电学、热学等，预测新材料的性质，以及为开发新的物理现象提供理论基础。
晶体定向晶面符号和晶带定律课件
• 晶体定向 • 晶面符号 • 晶带定律 • 晶体定向、晶面符号与晶带定律的关系 • 实验操作与演示 • 总结与展望
01
晶体定向
定义与概念
晶体定向的定义
晶体定向是确定晶体中各晶面的方位和晶向的几何过程。
晶体定向的概念
晶体定向是研究晶体结构和性质的重要手段，通过对晶体的定向研究，可以获得晶体中各晶面的方位和晶向的信息，从而了解晶体的对称性、结构特征和物理性质等。

固体物理实验方法课]第1章_晶体学基础

1.2 晶体结构与空间点阵
1.2.5 晶向、晶面及晶向、晶面指数
晶向指数的确定
1. 建立坐标系，结点为原点，三棱为方向，点阵常数为单位； 2. 在晶向上任两点的坐标(x1 , y1 , z1) (x2 , y2 , z2)。 ( 若平移晶向或坐标，让在第一点在原点则下一步更简单)； 3. 4. 5. 计算x2 - x1 ： y2 - y1 ： z2 - z1 ；化成最小、整数比 u：v：w ；
其中，a 、b、 c；α、β、γ 为正点阵参数
1.3 倒易点阵
1.3.3 倒易点阵参数的大小和方向
（1） a* b a* c b* a b* c c* a c* b 0
因此，倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵中异名矢量构成的平面。 a*垂直于b与c两个矢量构成的平面。同样b*（或c*）垂直于a与c（a与b）两个矢量构成的平面。
倒易点阵是晶体结构周期性在傅立叶空间中的数学抽象。如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换，反之晶体点阵就是倒易点阵的傅立叶逆变换。
所以，倒易点阵只是晶体点阵在不同空间 ( 波矢空间 ) 的
反映。
1.3 倒易点阵
1.3.4 倒易矢量
1、定义：从倒易点阵原点向任一倒易阵点所连接的矢量叫倒易矢量，表示为： r* = Ha* + Kb* + Lc*
晶包大小与形状
1.2 晶体结构与空间点阵
1.2.2 基本矢量与晶包
同一个点阵可以由不同的平行六面体晶胞叠成。即可以任意选择不同的坐标系与基本矢量来表示。为了表达最简单，应该选择最理想、最适当的基本矢量作为坐标系统。即是以结点作为坐标原点，（ 1 ）选取基本矢量长度相等的数目最多、（ 2 ）其夹角为直角的数目最多，且（ 3 ）晶胞体积最小。这样的基本矢量构成的晶胞称为布拉菲（BRAVAIS）晶胞。

1.4晶体的定向及晶面符号

晶体定向
5. 六方晶系：具有一个六次轴（包括六次反轴）的点群。首先选择六次轴或六次反轴作为C轴，然后将垂直于六次轴的两个二次轴或晶面法线作为a、b晶轴。为了满足六次轴的对称，a、 b轴必须满足：①单位轴长必须相等，即a0=b0；②交角为120º
晶体定向
6. 三方晶系：具有一个三次轴的点群。有2种取向方式：①六方晶
①由晶面（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）求晶带符号根据晶带定律建立方程组：
h1u＋k1v＋l1w = 0 h2u＋k2v＋l2w = 0 解出：
u:v:wk1l1:l1h1:h1k1 k2l2 l2h2 h2k2
解法：①将每一个晶面的面指数在一列上连续写2次，其指数按次序一一对应； ②将最右及最左的纵行删去，如右式； ③用交叉相乘方法，并依次取出乘积差数即可。
晶面间距好像晶体的指纹，是进行物相鉴别的重要依据。
1 晶体的定向和晶体的分类 2 晶面指数和晶棱指数 3 晶带定律 4 晶面间距
晶体定向
晶体的定向就是以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴组成,也可由X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六方晶系).
c 大拇指
Z
β
α
O
食指
γ
a
=bc
β= a c
γ=ab
中指
b
U
Y
X
120º
坐标轴符合右手定则
晶带定律
②由晶向[u1 v1 w1]和[u2 v2 w2]求晶面符号建立方程组：
得：
hu1＋kv1＋lw1 = 0 hu2＋kv2＋lw2 = 0
h:k:lv1w1:w1u1:u1v1 v2w2 w2u2 u2v2
晶带定律

立方晶格晶面间距的计算

立方晶格晶面间距的计算屈盛;杨留方;刘涵哲;马雄韬;王玉林【摘要】为了纠正补充教材和文献中有关立方晶格晶面间距的计算方法,对已有晶面间距的计算方法进行深入地总结与讨论,并给出一种利用密度比来计算晶面间距的方法,最后利用这些方法分别计算了面心立方晶格和体心立方晶格的晶面间距,不同方法的计算结果完全一致,从而验证了这些计算方法的正确性.【期刊名称】《云南民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(024)004【总页数】3页(P346-348)【关键词】面心立方晶格;体心立方晶格;晶面间距【作者】屈盛;杨留方;刘涵哲;马雄韬;王玉林【作者单位】云南民族大学电气信息工程学院,云南昆明650500;云南民族大学电气信息工程学院,云南昆明650500;云南民族大学电气信息工程学院,云南昆明650500;云南民族大学电气信息工程学院,云南昆明650500;云南民族大学电气信息工程学院,云南昆明650500【正文语种】中文【中图分类】O481晶面间距是固体物理学中的一个很重要的参数，研究晶体结构时往往会用到它.在《X射线衍射分析》和《材料科学》的不少教材中常常采用下式来计算立方晶格的晶面间距［1－3］:式中，a为立方系晶胞(单胞)的边长(即晶格常数)，而(hkl)是晶面的密勒指数，d为相应的晶面间距.在教学实践中常常看到，在计算简单立方晶格的晶面间距时，(1)式是正确无误的，但在计算面心立方(FCC)晶格和体心立方(BCC)晶格的晶面间距时，(1)式所得出的结果有时是错误的.例如，利用(1)式计算FCC晶格的(100)面和(111)面的晶面间距时，所得的结果分别为 a和 a/，即(1)式可以得出(100)面的晶面间距大于(111)面的晶面间距的结论.但由晶体学知识我们知道，FCC晶格中(111)面为最密排面，其晶面间距应该是所有晶面族中最大的.(1)式计算所得的结果与这个常识相矛盾，可见(1)式并不适用于 FCC晶格晶面间距的计算.文献［4］中指出了上述矛盾和(1)式的局限性，然而作者通过计算却得出FCC晶格中(100)面和(111)面的晶面间距是相等的(均为a/).这显然是错误的，因为FCC晶格中，(100)面和(111)面上的原子排列情况并不相同，(111)面是最密排面，而(100)面并不是最密排面，所以二者的晶面间距理应是不相同的.鉴于教材和文献中对于晶面间距的计算(尤其是对于立方晶格的晶面间距的计算)，过于笼统和不精确，本文对晶面间距的计算进行了深入的总结与讨论，并给出一种利用密度比来计算晶面间距的方法，最后利用这些方法分别计算了FCC晶格和BCC晶格的晶面间距.如果不同方法的计算结果是完全相同的，则可以验证这些计算方法都是正确的.1 晶面间距的传统计算方法1.1 以原胞基矢描述的计算在有关教材中，常常采用2种基本的重复单元来描述晶格的周期性和对称性［5－6］:一种是固体物理学原胞，另一种是晶体学单胞(也称晶胞).对于布喇菲格子来说，原胞只在其顶角处存在原子，而晶胞则在其顶角、面心、体心、底心处均可以存在原子［5－7］.因此，原胞和晶胞并不完全相同，只有简单布喇菲格子(例如简单立方、简单四方、简单正交等晶格)的晶胞才和它的原胞相同.参照文献中的习惯，为了便于区别，本文也将原胞的基矢记为a1、a2和a3，对应的晶面的参数记为(h1h2h3)，称之为面指数;而将晶胞的基矢记为a、b和c，对应的晶面的参数记为(hkl)，称之为密勒指数［7］.利用倒格矢的性质可以知道，(h1h2h3)晶面族的晶面间距可以由下式计算得到［7－9］:其中为倒格矢(i=1，2，3)为倒格子基矢.对于立方系布喇菲格子，由于a1=a2=a3，故晶面间距可表示为:实际工作中，常常用密勒指数(hkl)来表征晶面，而不是用面指数(h1h2h3)来表征晶面.由于晶胞的基矢 a、b、c和原胞的基矢 a1、a2、a3并不一定全同，因而对于同一族晶面，其密勒指数(hkl)与面指数(h1h2h3)并不一定相同，而(hkl)和(h1h2h3)相同，也并不一定表示同一晶面族［7］.所以，(2)式和(3)式并没有直接给出以(hkl)标记的晶面族的晶面间距［7］.因此，对于实际工作来说，(2)式和(3)式的使用很有限，必须找出利用密勒指数(hkl)来表示的晶面间距dhkl的公式［8］.1.2 以单胞(晶胞)基矢描述的计算根据文献［8］，利用密勒指数(hkl)表示的晶面间距dhkl的计算公式可以归纳为［8］:其中，Khkl=ha*+kb*+lc*为倒格式，而a*、b*、c*为倒格子基矢，而α=1或者2，是与结构有关的系数.对于立方系布喇菲格子，由于a=b=c，故晶面间距可表示为:由文献［7－8］可知，对于简单立方晶格，α恒等于1;而对于面心立方晶格，当h、k、l均为奇数时α等于1，否则α等于2;对于体心立方晶格，当h+k+l=偶数时α等于1;否则α等于2.也就是说，面心立方晶格的晶面间距的计算公式为［7－10］:而体心立方晶格的晶面间距的计算公式为［7，10］:显然，(5)式比(1)式更能准确地反映出立方晶系(hkl)晶面族的晶面间距，(1)式只是(5)式在特定情况下的形式，或者说，(1)式只适合于计算简单立方晶格的晶面间距，这就是本文开始部分中所提到的矛盾所产生的原因.需要指出的是，(5)式简化为(1)式的晶面条件和面心(体心)立方晶格产生X线的衍射的晶面条件相同，例如，计算面心立方(111)面的晶面间距时，由于此时满足h、k、l均为奇数的条件，故(5)式简化成了(1)式，而此时该结构的(111)晶面恰好也是对X线产生衍射的晶面.2 晶面间距的密度比的计算方法2.1 密度比的计算方法如果将晶格中单位面积内所包含的原子数目定义为面密度σ，而将单位体积内所包含的原子数目定义为体密度ρ，则可以利用下式来计算晶格的晶面间距:2.2 FCC和BCC的晶面间距的计算图1给出FCC和BCC晶格的不同晶面上的原子排布情况，表1则给出了对应的不同晶面上的三角形或四边形的面积、所含原子数目、计算得到的面密度、晶格的体密度和按照(6)式计算得到的晶面间距.表1的最后一列还给出了由(5)式计算得到的结果.由表1可以看到，(6)式的计算结果和(5)式的计算结果完全一致，因此两式可以相互验证对方的正确性.利用(6)式计算晶面间距时，应注意体密度和面密度的计算要正确.计算体密度时往往取一个晶胞来计算.例如一个体心立方晶胞和一个面心立方晶胞的体积均为a3，且分别含有2个原子和4个原子，因此体心立方晶格和面心立方晶格的体密度分别为2/a3和4/a3.而计算面密度时则稍微复杂些.例如一个体心立方晶胞和一个面心立方晶胞的(100)面的面积均为a2，且分别含有1个原子和2个原子，如图1所示，因此，体心立方晶格和面心立方晶格(100)面的面密度分别为1/a2和2/a2.故由(6)式计算得到的体心立方晶格和面心立方晶格(100)面的晶面间距均为a/2. 由上面的计算还可以知道，利用(6)式计算晶面间距比利用(5)式计算要复杂一些.但是(6)式没有使用条件，可以应用于任何一个晶面族的计算，而(5)式应用于不同晶面族的计算时，系数α有所不同，如果记不住其使用条件，那么有可能会计算错误.3 结语文中的(1)式并不能正确地计算所有立方晶格的晶面间距，在计算面心立方晶格和体心立方晶格的晶面间距时，应该使用(5)式来计算或者采用本文给出的(6)式来进行计算，(1)式只是(5)式在特定情况下的形式.从本文的例子可以看到，(5)式和(6)式的计算结果是一致的，它们可以相互验证对方的正确性.表1 利用密度比的方法来计算FCC和BCC的晶面间距时所得到的结果结构晶面三角形或四边形的面积子数目面密度体密度按(6)式计算所得晶面间距所含原按(5)式计算所得晶面间距面心立方(100) a2 2 2/a2(110) ■2)=a/2 a/(■a/2 a/(2 12+02+0■2/a2(111) ■2a2 2 ■4/a3 2 2)a/■2 2) a/(2 12+12+0■2)=a/(■3a2/2 2 4/(■3a2)3a/ 12+12+1■2=a/■3体心立方(100) a2 1 1/a2(110) ■2)=a/2a/■a/2 a/(2 12+02+0■2/a2(111) ■2a2 2 ■2/a32a/ 12+12+0■2=a/■2 3a2/21/2 1/(■3a22 3) a/(2 12+12+1■a/(■)2)=a/(2■ 3)参考文献:［1］黄胜涛.固体X射线学［M］.北京:高等教育出版社，1985:33－35.［2］陈建，严文，刘春霞.材料研究方法［M］.北京:化学工业出版社，2011:47－48.［3］石德珂.材料科学基础［M］.北京:机械工业出版社，2003:43－44.［4］马天平，谭伟石.由面心立方(111)面间距谈几何晶体学的几个基本概念［J］.物理通报，2012(2):15－17.［5］黄昆，韩汝琦.固体物理学［M］.北京:高等教育出版社，1988:6－11.［6］方俊鑫，陆栋.固体物理学(上册)［M］.上海:上海科学技术出版社，1980:13－31.［7］吴英凯.以密勒指数(hkl)标志的晶面族面间距公式［J］.大学物理，1991(10):7－14.［8］冯家显.面间距公式的一点探讨［J］.浙江师范大学学报:自然科学版，1989，12(2):84 －89.［9］冯双久，张晓红.有心立方晶格面间距的计算［J］.大学物理，2005，24(9):33 －34.［10］宫秀敏，朱勇，周一志.关于FCC和BCC点阵晶面间距计算式的证明［J］.武汉工学院学报，1991，13(1):51－57.。