§8.2 Z变换的定义、典型序列的z变换

§8.2 z变换的定义、典型序列 变换的定义、 的z变换
一、z变换的定义（直接定义） 变换的定义（直接定义）
二、典型序列的z变换 典型序列的z
（一）单位样值函数 （二）单位阶跃序列 （三）斜变序列的z变换 斜变序列的z （四）指数序列 （五）正弦与余弦序列
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变换的定义（直接定义） 一、z变换的定义（直接定义）
z Z e u(n) = z − eb z jω n 0 Z e u(n) = z − ejω0
bn
[ [
] ]
(− a
n
n ≤ −1
)
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（五）正弦与余弦序列
单边余弦序列 cos(ω0n)u(n)
ejω0n + e−jω0n 因为 cos(ω0n) = 2
Ze
[
jωn 0
z(z − cosω) z 1 z 0 + 所以 Z[cos(ωn)u(n)] = = 2 0 0 0 2 z − e jω z − e− jω z − 2z cosω +1 0
[
]
z(z − β cosω) 0 = 2 z − 2β z cosω + β 2 0
β z−1 sinω 0 Z[β n sin(ωn)u(n)] = 0 1 − 2β z−1 cosω + β 2 z−2 0 β z sinω 0 = 2 z − 2β z cosω + β 2 0
以上两式是单边指数衰减（ <1）及增幅（ 以上两式是单边指数衰减（β<1）及增幅（β>1） 的余弦、正弦序列的z 变换。其收敛域为|z|>|β |。 的余弦、正弦序列的z 变换。其收敛域为|z|>|
单边z 单边z变换 双边z 双边z变换
X (z ) = ∑ x (n )z − n
n=0 ∞
X (z ) =
n = −∞
x (n )z − n ∑
∞
复变量z 的幂级数（亦称罗朗级数）； 复变量z-1的幂级数（亦称罗朗级数）； 某些文献中也称X 某些文献中也称X(z)为x(n)的生成函数。 的生成函数。 如果x 是因果序列， 如果x(n)是因果序列， 则双边z变换与单边z变换是等同的。 双边z变换与单边z变换是等同的。
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z u(n) = z − e j ω0
]
z >1
同理 Z[sin(ωn)u(n)] = 0
z sinω z 1 z 0 − = 2 0 0 2 j z − e jω z − e− jω z − 2z cosω +1 0
同理可得
1 − β z−1 cosω 0 Z β n cos(ωn)u(n) = 0 1 − 2β z−1 cosω + z−2 0
∑n(z
n=0
−1 n−1
两边同时乘以z 两边同时乘以z-1 ，可得
Z[nu(n)] = ∑nz
n=0 ∞ −n
z = (z −1)2
z >1
同理可得
n u(n) ↔∑n z
2 n=0
∞
∞
2 −n
z(z +1) = (z −1)3
z(z2 + 4z +1) n3u(n) ↔ ∑n3z−n = (z −1)4 n=0
1．右边序列 x(n) = anu(n)
1 z = X(z) = ∑a z = −1 1− az z −a n=0
n −n ∞
z>a
当a = e , 设z > e ,
b b
则
则
a 当 = ejω0 , 设z > 1,
2. 左边序列x(n)= -anu(-n-1) 左边序列x z X(z) = z<a z −a 注意： 变换相同时，左边序列的定义。 注意：z 变换相同时，左边序列的定义。
…… ……
−1 d n x(n) ↔ Z n x(n) = z X(z) −1 dz
m m
[
]
m
n是离散变量，所以对n没有微积分运算； 离散变量 所以对n没有微积分运算 变量， 微积分运算； z是连续变量，所以对z有微积分运算。 连续变量 所以对z 微积分运算。 变量，
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（四）指数序列
z >1
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（三）斜变序列的z变换 斜变序列的z
∞ n=0
（用间接方法求） 用间接方法求）
x(n) = nu(n)， (z) = ∑nz−n =？ X
已知 Z[u( n )] = ∑z
n=0
∞
−n
1 = 1 − z −1
z >1
对式 z ∑
n=0 ∞
∞
−n
1 两边， z = 两边，对 −1求导 −1 1− z ) 1 = (1 − z−1 )2
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（一）单位样值函数
1 δ (n) = 0
Βιβλιοθήκη Baidu∞ n=0
δ (n)
1
O
n=0 n≠ 0
n
X(z) = ∑δ (n)z −n = 1
u(n) 1
⋯
（二）单位阶跃序列
1 u(n) = 0
∞ n=0
n≥ 0 n< 0
n
O
123
X(z) = ∑u(n)z −n =1 + z −1 + z −2 + z −3 +⋯ 1 z = = −1 z −1 1− z