线性变换二阶矩阵及其乘法

法也是
4.利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表 常考知
示，并能用来解决问题.
识点.
Hale Waihona Puke Baidu
一、二阶矩阵的定义
1．由4个数a，b，c，d排成的正方形数表_______ 称为
二阶矩阵．
2．元素全为0的二阶矩阵_______称为零矩阵，简记为
_ ．矩阵
称为二阶单位矩阵，记为 .
二、几种特殊线性变换
解：(MN)α＝ M(Nα)＝ 所以(MN)α＝M(Nα)． 又因为MN＝
NM＝
，所以MN≠NM.
2．求圆C：x2＋y2＝4在矩阵A＝ 曲线方程，并判断曲线的类型．
对应变换作用下的
解：设P(x，y)是圆C：x2＋y2＝4上的任一点，P1(x′，y′)是P(x，
y)在矩阵A＝
对应变换作用下新曲线上的对应点，则
知识点
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考情上 线
1.了解二阶矩阵的概念．
2.二阶矩阵与平面向量的乘法、平面图形
选考内
的变换．
容在高
(1)了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与 考中将
变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法． 以解答
线性变 (2)理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点)， 题的形
换、二 即A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.
4．投影变换 设l是平面内一条给定的直线，对平面内的任意一点P 作直线l的垂线，垂足为点P′，则称点P′为点P在直 线l上的投影，将平面上每一点P对应到它在直线l上的 投影P′，这个变换称为关于直线l的投影变换．
5．切变变换 平行于x轴的切变变换对应的二阶矩阵为________，
平行于y轴的切变变换对应的二阶矩阵为_______ ．
六、二阶矩阵的乘法
1．设A＝
则
AB＝
2．对直角坐标系xOy内的任意向量α，有A(Bα)＝ (AB).a 3．二阶矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝(AB)C . 4．AkAl＝_A_k_+l，(Ak)l＝Akl.
1．已知矩阵M＝
向量α＝
断 (MN)α与M(Nα)的关系，MN与NM的关系．
，试判
在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(0,0)、 B(1,1)、C(0,2)，求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图 形的面积．这里M＝
将
代入x2＋y2＝4，得 ＋y′2＝4，∴方程
1表示的曲线是焦点为(±2 ，0)，长轴长为8的椭圆．
3．设a，b∈R，若M＝
所定义的线性变换把直线l：
2x＋y－7＝0变换成另一直线l′：x＋y－7＝0，求a，b
的值．
解：取直线l：2x＋y－7＝0上任一点(x0,7－2x0)，则它在对 应的变换作用下有 而点(ax0，－x0＋7b－2bx0)在直线l′： x＋y－7＝0上， 即ax0－x0＋7b－2bx0＝7.由x0的任意性得
4.运用旋转矩阵，求直线2x＋y－1＝0绕原点逆时针旋转 45°后所得的直线方程．
解：旋转矩阵 直线2x＋y－1＝0上任意一点(x0，y0)旋转变换后为(x0′，y0′)，
直线2x＋y－1＝0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线
方程是 2x 2 y 2 x 2 y 1 0, 22
即
1．二阶方阵的运算关键是记熟运算法则． 2．注意运算时运算律的应用，它满足结合律即(MN)P
1．旋转变换
直线坐标系xOy内的每个点绕原点O按逆时针方向旋
转α角的旋转变换的坐标变换公式是
对应的二阶矩阵为
．
2．反射变换 平面上任意一点P对应到它关于直线l的对称点P′的线 性变换叫做关于直线l的反射．
3．伸缩变换 在直角坐标系xOy内将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2倍，其中k1，k2为非零常数， 这样的几何变换为伸缩变换．
＝M(NP)＝(MP)N.
已知M＝ 矩阵X，使MX＝N.
，求二阶
求二阶矩阵可先设出二阶矩阵X，根据矩阵乘法法 则，应用待定系数法求解.
解：设X＝
，按题意有
根据矩阵乘法法则有
解之得
1．若
，试求x的值．
解：
3x 1, x 1 . 3
伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变 换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以 看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变 换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合．
积为向量________，记为 Aa 或
，即
这是矩阵
与向量 的乘法．
五、线性变换的基本性质 性质1.设A是一个二阶矩阵，α，β是平面上的任意两个 向量，λ是一个任意实数，则
(1)A(λα)＝ λAα ； (2)A(α＋β)＝ Aα＋Aβ.
性质2.二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线 变成_直__线__（__或__一__点__）_． 定理：设A是一个二阶矩阵，α，β是平面上的任意两个 向量，λ1，λ2是任意两个实数，则 A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.
式出现，
阶矩阵 (3)了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸缩变 难度不
及其乘 换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变 大，二
法
换．
阶矩阵
3.变换的复合——二阶矩阵的乘法
及其乘
(1)了解矩阵与矩阵的乘法的意义．
法是高
(2)理解矩阵乘法不满足交换律．
考的热
(3)会验证二阶矩阵乘法满足结合律.
点．
(4)理解矩阵 乘法不满足消去律.
矩阵． 2.二阶矩阵与二元一次方程组 (1)能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意
义．
(2)会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组． (3)理解线性方程组解的存在性、唯一性．
解线性 方程组， 如求逆 矩阵， 另外特 征值与
3.变换的不变量
特征向
(1)掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向 量的求
量的意义．
三、变换、矩阵的相等 1．设σ，ρ是同一直角坐标平面内的两个线性变换，如果
对平面内的任意一点P，都有 σ（P）=ρ（P） ，则称这 两个线性变换相等． 2．对于两个二阶矩阵A与B，如果它们的_对__应__元__素__都分 别相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记作A＝B.
四、矩阵与向量的乘法 设A＝
规定二阶矩阵A与向量α的乘
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考情上 线
1.逆矩阵与二阶行列式
本部分
(1)理解逆矩阵的意义，懂得逆矩阵可能不存在． 内容将
(2)理解逆矩阵的唯一性和(AB)－1＝B－1A－1等简单 以考查
性质，了解其在变换中的意义．
矩阵的
(3)了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆 运算及
逆变换 与逆矩 阵、矩 阵的特 征向量