汉诺塔探趣

“汉诺塔”问题探趣

洞头县实验小学 502班叶钫舟

指导老师洞头县实验小学陈素萍

一、问题的提出：

一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

尽管这个传说并不可信，但现在却成就了一种益智玩具━━“汉诺塔”(如图)的诞生。对下面这个8层汉诺塔，如何按以上要求将所有的圆盘从最左边的柱子上移到最右边的柱子上来呢？并如何保证移动的步子最少呢？

对这个富有挑战性的游戏，我非常有兴趣，于是我开始了研究！

二、研究过程：

1、简化器材，方便携带，随时演练，不断研究

“汉诺塔”游戏器材，体积较大，质量也大，不方便随身携带，因而也不能让我随时随地进行演练。

考虑到它最关键的是体现由小到大的一种排列，我用扑克牌同色的1（A），2，3，4，5，6，7，8来代替这个“汉诺塔”，平时演练，只要假想桌子上有左0、中1、右2三个档位即可，将这8张扑克牌从上到下按由小到大的顺序叠放在一起，放置在左边档位0处，然后将按游戏规则将它们依次全部移到最右边档位2处即可。

我把这种用扑克牌玩“汉诺塔”游戏称为“汉诺牌”，这样就很方便了！有时忘记了带扑克牌，我就用笔在纸上写下1～8这张8张“牌”，就可以玩了！

2、简化问题，循序渐进，对比分析，寻找规律

刚开始玩这个游戏，还真有些难，走了几步后，就乱了，因为还摸不清规律。于是我想，能不能先研究一下简单一点的，就是减少层数，当然最少就是“一层汉诺”啦，这个太简单，一步就完成了！哈哈！可是没有发现什么规律呀！所以研究“二层汉诺塔”，经过几步推敲，也轻松搞定，只要3步，没有什么难度呀！那么“三层汉诺”呢？这个就有一点点难度了，但我对此进行稍许研究之后，也轻松完成！

“三层汉诺”要想从最左边移到最右边，而且不走多余步骤，只要7步就能完成，不过我还是花了五分钟时间才完全弄清楚的，并且还摸出了一点点门道，就是第一步应当把最小的移到最右边档位上才行，如果第一步错了，就会产生许多多余的步骤。

为了检验自己的走法的正确性，我立即对“四层汉诺塔”进行了研究。这个有些难，就要花一些时间了，我试着将第一小块移到最右边档位上，结果走了几步后，发现不对头，于是从新来过，结果发现，必须将第一小块移到中间档位上，才能顺利完成。对此，我又反复演练了好几遍，直到完全熟练。这个要走15步！

重新审视这几个简单的“汉诺塔”，我把它们的走法做了一个比较：

几种简单汉诺塔的走法比较

从中，我意识到，这里边一定有规律：

（1）若层数为单数，第一步应当把1（A）移到右边档位2上；若层数为双数，第一步应当把1（A）移到中间档位1上，然而再继续进行！

（2）从完成的步子数上看，从1层增至2层，增加的步数为2，从2层增至3层，增加的步数为4（2×2），从3层增至4层，增加的步数为8（4×2）！而总步数应当为（2N－1）步。

对此，我感到很高兴！我把自己的研究结果告诉了爸爸，他要求我对“五层汉诺”先根据自己研究的“规律”进行猜测，然后进行验证，看看“规律”对不对！

从表格的规律中，我猜测：“五层汉诺”的第一步应当把1（A）移到右边档位2上，并且完成的总步数应当是15＋16 = 31 = 24－1步！

然后就是进行演练验证了！

经过长达10分钟的研究，我终于熟练完成了“五层汉诺”的操作。果然与我的猜想相一致，这让我十分兴奋！

我立即跑去告诉了爸爸，爸爸对我的研究表示了肯定，并让我对“八层汉诺塔”

进行操作，看看能不能顺利完成。

我回到房间，立即着手研究“八层汉诺塔”。根据“规律”，第一步应当把1（A）移到中间档位1上，完成的总步数应当为28-1=255步，这个步数太多了，一下子无法完成。虽然我知道了第一步，但中间如果有一步走错，难免要从头再来，会浪费太多的时间，这可不比低层数的“汉诺塔”，因为低层数的总步数不多，是不会浪费太多的时间。

怎么办呢？我又去与爸爸研讨。经过他的指点，我发现只有对第二步及后边的步子都要进行认真的剖析研究，才能找到“后续步骤的行走规律”，从而保证正确完成“八层汉诺塔”的操作！

3、熟练操作，归纳心得，总结要领，修正“规律”

由于对复杂问题研究有困难，爸爸让我先对较低层级

又有多步的“三层汉诺塔”进行反复研究（如右图：“三

层汉诺塔”分步图），并对“后续步骤的行走规律”进

行剖析探讨！结果如下：

第(1)步，单数层，块1首先到2柱；

原因：“三层汉诺塔”，要移到右边柱位上，应当先让

块1和块2都移到中柱1后，才能移动块3（如右图C），

这就要求块2向中柱走时，块1不在中柱1，只能在右柱

2上（如右图B）。所以，第(1)步，块1“首先到右柱”（如

右图A）。由此，我发现，“块3要到柱2”，必须先“块

2到柱1”，而这又得先“块1到柱2”。

清楚了这一点，对“五层汉诺塔”也可类似倒推：

其他“奇数层汉诺塔”

均可类似分析出第一步是同样的走法！

（如果是双数层：块1先走中间柱；）

第(2)步，块2走到另一柱（中间柱）；

这个是必然的，只有这个地方可以走！

第(3)步，块1跟到2块处（跟到块2上来）；

只有这样，块3才能到2柱来！

对应“三层汉诺塔”分步图的图C，实质上是完成了将一个“二层汉诺塔”从左柱移到中间柱的过程之后的图样！

第(4)步，块3走到右边柱；

第(5)步及其后，就是将中间柱上的“二层汉诺塔”走到右边柱块3 上边来；

通过对“三层汉诺塔”分步剖析之后，我对每一步都有了一定的理解。这种理解