直角三角形性质应用(讲义及答案).
直角三角形性质应用讲义及答案
直角三角形性质应用（讲义）一、知识点睛1. 直角三角形两锐角 ，且任一直角边长小于 ．2. 勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 ；勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是 三角形．3. ①直角三角形斜边上的中线等于 ；②如果一个三角形 ，那么这个三角形是直角三角形．4. ①30°角所对的直角边是 ；②在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 ．5. 常用直角三角形的三边关系A C B45°1130°234211BCA BCAB CA6. 等面积法ABCC B Aa 2+b 2=c2ABC C BAβαC A B 30°CB A CBA2mmD h C BAc bay x二、精讲精练1. 下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列四个说法：①x 2+y 2=49，②x -y =2，③2xy +4=49，④x +y =9．其中说法正确的是（ ） A ．①③ B ．①②③ C ．②④ D ．①②③④2. 如图，在正方形ABCD 中，E 是DC 的中点，F 为BC 上的一点且BC =4CF ，试说明△AEF 是直角三角形．3. 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点，求证：AD 2+DB 2=DE 2．ABCDE4. 在△ABC 中，AB =15，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长是_______．FE DC B A5.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）A．10 B．45C．10或45D．10或2176.直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边长是5，则另一直角边长等于（）A．13 B．12 C．10 D．57.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为（）A．3B．3.5C．4D．4.58.△ABC周长是24，M是AB的中点，MC=MA=5，则△ABC的面积是．9.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（）A．3B．23C．33D．43EDCBAPDCB A23423410. 如图，四边形ABCD 中，∠DAB =∠DCB =90o ，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点．MN 、AC 的位置关系如何？证明你的猜想．11. 如图，在Rt △ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边BC 上的高，DE⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C （除∠C 外）相等的角的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．512. 如图，已知DE =m ，BC =n ，∠EBC 与∠DCB 互余，求BD 2+CE 2的值．BCDE13. 在△ABC 中，∠C =90°，AB =6，∠B =30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（ ）A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．214. 如图，在Rt △ABC 中，∠A =30°，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 是垂足，连接CD ，若BD =1，则AC 的长是（ ） A ．23 B ．2 C ．43 D ．4NMCD BAFEDCB AEDA15. 某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC 空地上种植草皮以美化环境，已知∠A =150°，这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A ．300a 元 B ．150a 元 C ．450a 元 D ．225a 元CBA30m20m16. 放风筝是大家喜爱的一种运动．星期天的上午小明在绿城广场上放风筝，如图他在A 处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D 处，此时风筝线AD 与水平线的夹角为30°．为了便于观察，小明迅速向前边移动边收线到达了离A 处6米的B 处，此时风筝线BD 与水平线的夹角为45°．已知点A 、B 、C 在同一条直线上，∠ACD =90°．求DC 的长度．ABCD30°45°17. 已知，在△ABC 中，∠A =45°，AC =2，AB =3+1，则边BC 的长为 ．CBAP CBA18. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到AB 的距离是（ ）A ．365B ．1225C ．94D ．33419. 如图所示，等边△ABC 内一点P 到三边距离分别为h 1，h 2，h 3，且h 1+h 2+h 3=3，其中PD =h 1，PE =h 2，PF =h 3，则△ABC 的面积S △ABC =（ ）A ．23B ．33C ．103D ．12320. 如图，△ABC 中，∠C =90°，两直角边AC =8，BC =6，在三角形内有一点P ，它到各边的距离相等，则这个距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．无法确定21. 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4=_______．l321S 4S 3S 2S 1P FEDCBACBA22. 如图，△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 的中点，点D 在BC 上，且AD =BD ，AD 、CE 相交于点F ，若∠B =20°，则∠DFE 等于（ ） A ．70° B ．60° C ．50° D ．40°23. 在锐角△ABC 中，∠BAC =60°，BN 、CM 为高，P 为BC 的中点，连接MN 、MP 、NP ，则结论：①NP =MP ；②当∠ABC =60°时，MN ∥BC ；③BN =2AN ；④::AN AB =AM AC ，一定正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、回顾与思考______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________【参考答案】 一、 知识点睛1.互余，斜边长2.平方和，平方，a 2+b 2=c 2，直角3.斜边的一半，一边上的中线等于这边的一半4.斜边的一半，30°二、精讲精练1．B 2．（略） 3．（略） 4． 42或32 5．C 6．B 7．A 8．24 9．D 10．MN ⊥AC ，证明（略） 11．BABCD EFPNM CBA12．m2+n2，证明（略）13．D14．A15．B 16．8m，求解（略）17．2 18．A19．B20．B 21．4 22．B 23．C。
《直角三角形》 讲义
《直角三角形》讲义一、直角三角形的定义在平面几何中，如果一个三角形中有一个角是直角（90 度），那么这个三角形就被称为直角三角形。
直角所对的边称为斜边，其余的两条边称为直角边。
二、直角三角形的性质1、角的性质直角三角形的两个锐角之和为 90 度。
这是因为三角形的内角和为180 度，减去直角 90 度，剩下的两个角之和必然是 90 度。
2、边的性质（1）勾股定理这是直角三角形最著名的定理之一。
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
假设直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c，那么就有 a²＋ b²＝ c²。
例如，一个直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边 c 的长度就可以通过计算 c ＝√（3²＋ 4²) ＝ 5 得到。
（2）斜边中线定理直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
3、面积性质直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半。
即面积 S ＝ 1/2 ×直角边 1 ×直角边 2 。
三、直角三角形的判定1、一个角为 90 度的三角形是直角三角形。
这是最直接的判定方法。
2、如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
这是基于勾股定理的逆定理。
3、如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
四、直角三角形中的特殊直角三角形1、等腰直角三角形两条直角边长度相等的直角三角形称为等腰直角三角形。
它的两个锐角都是 45 度。
2、常见的勾股数组合如 3、4、5；5、12、13 等。
这些勾股数在解决相关问题时可以快速判断三角形是否为直角三角形。
五、直角三角形在实际生活中的应用1、建筑工程在建造房屋、桥梁等结构时，需要确保结构的稳定性和安全性。
直角三角形的性质可以帮助工程师计算支撑结构的长度、角度和受力情况。
2、测量在无法直接测量某些长度或距离时，可以通过构建直角三角形，利用其性质进行间接测量。
初中数学 三角形模块5-3 直角三角形讲义(含答案解析)
第三部分直角三角形一、知识梳理：1.直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：222+=a b c （5）勾股数：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．2.直角三角形的判定：（1）有一个角是90°的三角形是直角三角形；（2）有两个角的三角形是直角三角形；（3）如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（4）勾股定理逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c满足关系式：222+=a b c，那么这个三角形是直角三角形．二、题型练题型一直角三角形的两锐角互余例1.若直角三角形的一个锐角为15︒，则另一个锐角等于________．75°【分析】根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵另一个锐角为15°，∴另一个锐角为180°－90°－15°＝75°，故答案为：75°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两锐角互余．变式11.如图，直线a ∥b ，直线l 与a 、b 分别相交于A 、B 两点，过点A 作直线l 的垂线交直线b 于点C ，若∠1＝60°，则∠2的度数为（）A.30°B.35°C.40°D.60°【答案】A【解析】【分析】由AC l ⊥及160∠=︒，可求得ACB ∠的度数，再由//a b 即可求出2∠的度数．【详解】∵AC l ⊥，160∠=︒∴90130ACB ∠=︒-∠=︒∵//a b∴230ACB ∠=∠=︒故选：A【点睛】本题主要考查了平行线的性质及直角三角形的性质．题型二直角三角形斜边上的中线例2.如图在ABC ∆中，CF AB ⊥于F ，BE AC ⊥于E ，M 为BC 的中点，5EF ＝，EFM ∆的周长为13，则BC 的长是（）A .6B .8C .10D .12B 【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC ＝2MF ＝2EM ，所以MF ＝EM ，然后列式整理得到△EFM的周长＝BC＋EF，代入数据进行计算即可．【详解】解：∵在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，∴BC＝2MF，BC＝2EM．∴MF＝EM．∴△EFM的周长＝MF＋EM＋EF＝BC＋EF．∵EF＝5，△EFM的周长为13，∴BC＝13－5＝8故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握性质是解题的关键．变式22.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB=90°，且AB=8，BC=14，则EF的长是（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC=14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，∴DF=12AB=4，∵BC=14，D、E分别是AB，AC的中点，∴DE=12BC=7，∴EF=DE-DF=3，故选：B【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．题型三直接考查勾股定理例3.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为（）A.4B.5C.4或5D.5C【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边长和直角边长两种情况讨论．【详解】解： 直角三角形的两边长分别为3和4，∴①4是此直角三角形的斜边长；②当45=．综上所述，斜边长为4或5故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．变式33.如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=（）A. 2.5B.3C.2D.3.5【答案】C【解析】【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再根据题意可得到AD=AC，根据BD=AB-AD即可算出答案．【详解】解：∵AC =3，BC =4，∴AB =5，∵以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，∴AD =AC ，∴AD =3，∴BD =AB -AD =5-3=2．故选C ．【点睛】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．题型四勾股数例4.下列数组是勾股数的是（）A .2、3、4B .0.3、0.4、0.5C .6、8、10D .7、12、15C【分析】根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可．【详解】A ．22223134+=≠，此数组不是勾股数；B ．0.3、0.4、0.5不是整数，此数组不是勾股数；C ．222 6810+=，此数组是勾股数；D ．222 71219315+=≠，此数组不是勾股数；故选：C ．【点睛】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC 的三边满足222+=a b c ，则△ABC 是直角三角形．变式44.如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的边长是3、5、2、3，则最大正方形E 的边长是（）A.13B.C.47D.【答案】B【解析】【分析】设中间两个正方形的边长分别为x 、y ，最大正方形E 的边长为z ，根据勾股定理进行求解．【详解】设中间两个正方形的边长分别为x 、y ，最大正方形E 的边长为z ，由勾股定理得：x 2＝32+52＝34，y 2＝22+32＝13，z 2＝x 2+y 2＝47，即最大正方形E 的面积为：z 2＝47，边长为z 故选B ．【点睛】本题考查勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解题的关键．题型五勾股定理的证明例5.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止己有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中b a >，点E 在线段AC 上，点B D 、在边AC 两侧，试证明：222+=a b c ．见解析．【分析】首先连结BD ，作DF BC ⊥延长线于F ，则AE b a =-，根据Rt ABC Rt DAE D @D ，易证90DAB ︒∠=，再根据ADE ABC ADFB DFCE S S S S D D =++四边形四边形，ADB DFB ADFB S S S ∆∆=+四边形，两者相等，整理即可得证．【详解】证明：连结BD ，作DF BC ⊥延长线于F ，则AE b a=-ADE ABC ADFB DFCES S S S D D =++四边形四边形()1122ab ab b a b =++-⋅2ab b ab=+-2b =Rt ABC Rt DAE∆≅∆ AB AD c\==ADE BAC∴∠=∠90ADEDAE °??Q 90BAC DAE °\??即90DAB ︒∠=，∴AD AB⊥∴ADB DFBADFB S S S ∆∆=+四边形()()21122c a b b a =++⋅-222111222c b a =+-即有：2222111222b c b a =+-∴222+=a b c 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ADFB 的面积是解本题的关键．变式55.勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦c 为边长所得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形EFGH 组成的，其中BF a =，AF b =．（1）请利用面积相等证明勾股定理；（2）在图1中，若大正方形ABCD 的面积是13，2BF =，求小正方形EFGH 的面积；（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形MNKT 由八个全等的直角三角形和正方形EFGH 拼接而成，记图中正方形MNKT ，正方形ABCD ，正方形EFGH 的面积分别为1S ，2S ，3S ．若12348S S S ++=，求边AB 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）4【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积证明可得结论；（2）由勾股定理可得AF 的长，从而可得小正方形的边长，进一步可求出小正方形的面积；（3）分别求出正方形MNKT ，正方形ABCD ，正方形EFGH 的边长，求出其面积，代入12348S S S ++=，进一步整理可得解．【详解】解：（1）∵Rt ABF Rt DAE Rt CDH Rt BCG∆≅∆≅∆≅∆∴BF AF DH CG a ====，AF DE CH BG b====∴小正方形EFGH 的边长=b a-又大正方形的边长为c∴正方形ABCD 的面积为2c ，4个全等直角三角形的面积和为2ab ，正方形EFGH 的面积为()2b a -，由“大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积”得;2214()2c ab b a =⨯+-∴()222c ab b a =+-经过整理可得222c a b =+（2）∵大正方形ABCD 的面积是13，∴213c =∵2BF =，且222BF AF AB +=∴2221349AF AB BE =-=-=∴3AF =(负值舍去)∴321EF =-=∴小正方形EFGH 的面积为1；（3）∵正方形MNKT 由八个全等的直角三角形和正方形EFGH 拼接而成，∴AM AF b ==，MB BF a ==，∴正方形MNKT 的边长为a b +，∴正方形MNKT 的面积为()2a b +．而正方形ABCD 的边长为c ，正方形EFGH 的边长为()b a -，∴正方形ABCD 的面积为2c ，正方形EFGH 的面积为()2b a -，∴()()22248a b c b a +++-=，整理得，2348c =，∴4c =（负值舍去）【点睛】此题考查的是勾股定理的证明和应用，能够准确识图是解答本题的关键．题型六勾股定理的实际应用例6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m ，顶端距离地面2m ，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m ，那么小巷的宽度为（）A .3.2mB .3.5mC .3.9mD .4mC【分析】如图，在Rt △ACB 中，先根据勾股定理求出AB ，然后在Rt △A ′BD 中根据勾股定理求出BD ，进而可得答案．【详解】解：如图，在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，BC ＝1.5米，AC ＝2米，∴AB 2＝1.52＋22＝6.25，∴AB ＝2.5米，在Rt △A ′BD 中，∵∠A ′DB ＝90°，A ′D ＝0.7米，BD 2＋A ′D 2＝A ′B 2，∴BD 2＋0.72＝6.25，∴BD 2＝5.76，∵BD＞0，∴BD＝2.4米，∴CD＝BC＋BD＝1.5＋2.4＝3.9米．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．变式66.小明想知道学校旗杆多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开10m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A.16mB.20mC.24mD.28m【答案】C【解析】【分析】根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【详解】解：如图：设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，在Rt△ABC中，BC=10米，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，∴x2+102=（x+2）2，解得：x=24，∴AB=24．∴旗杆的高24米，故选：C ．【点睛】本题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，解题关键是构造直角三角形利用勾股定理列出方程．题型七勾股定理的逆定理例7.下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（）A .4，5，6B .7，24，25C .5，12，13D .1，2A【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．【详解】解：A 、∵222456+≠，∴三条线段不能组成直角三角形，故A 选项符合题意；B 、∵22272425+=，∴三条线段能组成直角三角形，故B 选项不符合题意；C 、∵22251213+=，∴三条线段能组成直角三角形，故C 选项不符合题意；D 、∵22212+=，∴三条线段能组成直角三角形，故D 选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟悉定理是关键．变式77.在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 三点均在正方形格点上，若AD 是ABC 的高，则AD 的长为（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】结合格点的特点利用勾股定理求得AB 2，AC 2，BC 2，然后利用勾股定理逆定理判定△ABC 的形状，从而利用三角形面积求解．【详解】解：由题意可得：2222420AB =+=222215AC =+=2223425BC =+=∵222+AB AC BC =∴△ABC 是直角三角形又∵AD 是ABC 的高∴1122AC AB BC AD ⋅=⋅，11522AD ⨯，解得：=2AD 故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理，利用网格特点，准确计算是解题关键．题型八勾股定理的逆定理的应用例8.如图所示的网格是正方形网格，ABC ∆是（）三角形．A .锐角B .直角C .钝角D .等腰A【分析】根据勾股定理求出三边的长，再利用勾股定理逆定理可作判断．【详解】解：根据网格图可得：2224117AC =+=，2223110AB =+=，2224325CB =+=，222171025AC AB CB +=+>= ，ABC ∆∴是锐角三角形，故选：A ．【点睛】本题考查了三边的关系，会利用三边关系确定三角形的形状：若三角形的三边分别为a 、b 、c ，①当a 2＋b 2＞c 2时，△ABC 为锐角三角形；②当a 2＋b 2＜c 2时，△ABC 为钝角三角形；③当a 2＋b 2＝c 2时，△ABC 为直角三角形．变式88.甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75︒的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（）A.北偏西15︒B.南偏西75°C.南偏东15︒或北偏西15︒D.南偏西15︒或北偏东15︒【答案】C【解析】【分析】先求出出发1.5小时后，甲乙两船航行的路程，进而可根据勾股定理的逆定理得出乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，进一步即可得出答案．【详解】解：出发1.5小时后，甲船航行的路程是16×1.5=24海里，乙船航行的路程是12×1.5=18海里；∵222241857632490030+=+==，∴乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，∵甲船的航行方向是北偏东75°，∴乙船的航行方向是南偏东15°或北偏西15°．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和方位角，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．题型九勾股定理与折叠问题例9.如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝CD ＝4，AD ＝BC ＝8，∠BAD ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，使点G 与点D 重合．（1）求证：AE ＝AF ；（2）求GF 的长．（1）详见解析；（2）3【分析】（1）根据翻折的性质可得AEF CEF ∠=∠，根据两直线平行，内错角相等可得∠=∠AFE CEF ，然后求出AEF AFE ∠=∠，根据等角对等边可得AE AF =；（2）根据翻折的性质可得AE CE =，设AE CE x ==，则8BE x =-，再根据勾股定理有：2224(8)x x =+-，于是有5AE AF ==，进而得到3GF FD ==．【详解】解：（1）由翻折的性质得，AEF CEF ∠=∠，矩形ABCD 的对边//AD BC ，AFE CEF ∴∠=∠，AEF AFE ∴∠=∠，AE AF ∴=；（2）由翻折的性质得，AE CE =，设AE CE x ==，则8BE x =-，在Rt ABE ∆中，222AE AB BE =+，2224(8)x x ∴=+-，解得：5x =，5AE ∴=，又由（1）可知，5AF =，853FD AD AF ∴=-=-=，由翻折的性质得，3GF FD ==．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出AE 的长度是解题的关键．变式99.如图，在Rt ABC 中，90,5,8ACB AC BC ∠=︒==，点D 是边BC 的中点，点E是边AB 上的任意一点（点E 不与点B 重合），沿DE 翻折DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 长的最小值是（）A.2B.4-C.3D.4-【答案】B【解析】【分析】连接AD ，以D 为圆心，以CD 为半径画圆，交AD 于G ，根据题意可知点F 在D 上，当G 和F 重合时AF 有最小值，然后利用勾股定理计算长度即可．【详解】解：连接AD ，以D 为圆心，以CD 为半径画圆，交AD 于G ，根据题意可知点F 在D 上，当G 和F 重合时AF 有最小值，∵点D 是边BC 的中点，∴142CD GD BC ===,在Rt △ACD 中AD =∴4AG AD GD =-=．故选：B【点睛】本题主要考查圆的性质和勾股定理，能够找到点F 的运动轨迹是解题的关键．题型十最短距离问题例10.如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，它爬的最短距离是_____．25【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：如图所示：台阶平面展开图为长方形，根据题意得：20AC =，55515BC =++=，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：222AB AC BC =+，即2222015AB =+，∴25AB =，故答案为：25【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．变式1010.如图，正方形ABCD ，AB 边上有一点E ，3AE =，1EB =，在AC 上有一点P ，使为EP BP +最短．则最短距离EP BP +为_________．【答案】5【解析】【分析】连接DE ，交直线AC 于点P ，根据四边形ABCD 是正方形可知B 、D 关于直线AC 对称，所以DE 的长即为EP+BP 的最短距离，再根据勾股定理即可得出结论．【详解】连接DE，交直线AC于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于直线AC对称，∴DE的长即为EP+BP的最短距离，∵AE=3，EB=1，∴AD=AB=AE+BE=4，∴5==．故答案为：5．【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题、正方形的性质以及勾股定理的运用，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．实战练11.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（）A0.5km A.0.6km B.0.9km C.1.2km【答案】D【解析】【详解】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得距离为1.2km.故选D视频12.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90︒，AC ＝4，BC ＝3，把Rt △ABC 绕着点A 逆时针旋转，使点C 落在AB 边的C ′上，C'B 的长度是（）A.1B.32C.2D.52【答案】A【解析】【分析】首先由勾股定理求出AB =5，再由旋转的性质得出4AC AC '==，从而可求出BC '的长．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90︒，AC ＝4，BC ＝3，∴222AB AC BC =+∴5AB ===由旋转的性质得，4AC AC '==∴541C B AB AC ''=-=-=故选：A ．【点睛】此题主要考查了旋转的性质和勾股定理的运用，运用勾股定理求出AB =5是解答此题的关键．13.下列各组数中不是勾股数的是（）A.3，4．5B.6．8．10C.5，12．13D.4，5，6【答案】D【解析】【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方．【详解】解：A 、32+42=25=52，是勾股数，此选项不符合题意；B 、62+82＝100=102，是勾股数，此选项不符合题意；C 、52+122＝169=132，是勾股数，此选项不符合题意；D 、42+52=41≠62，不是勾股数，此选项符合题意．故选：D ．【点睛】此题主要考查了勾股数：满足a 2+b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数．注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a 2+b 2＝c 2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…14.满足下列条件的三角形：①三边长之比为3：4：5；②三内角之比为3：4：5；③n 2﹣1，2n ，n 2+1；1+1-，6．其中能组成直角三角形的是（）A.①③B.②④C.①②D.③④【答案】A【解析】【分析】欲求证是否为直角三角形，若已知三边长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方；若已知三个角的度数，只要验证是否存在直角即可．【详解】①三边长之比为3:4:5；则有222(3)(4)(5)x x x +=，为直角三角形；②三个内角度数之比为3:4:5，则各角度数分别为31804512︒⨯=︒，41806012︒⨯=︒，51807512︒⨯=︒，不是直角三角形；③22222(1)(2)(1)n n n -+=+ ，∴是直角三角形；④116++=<，∴构不成三角形．故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．15.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈10=尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为（）A.2223(1)x x -=- B.2223(10)x x -=-C.2223(1)x x +=- D.2223(10x)x +=-【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理列方程解答．【详解】解：设折断处离地面的高度为x 尺，则斜边为（10-x ）尺，根据勾股定理得：2223(10x)x +=-，故选：D ．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意得到直角三角形确定三边的关系式是解题的关键．16.如图所示，将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm ，则h 的取值范围是（）A.0＜h ≤11B.11≤h ≤12C.h ≥12D.0＜h ≤12【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图形，先找出h的值为最大和最小时筷子的位置，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝13cm，∴h＝24﹣13＝11cm．∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用问题，解答此题的关键是根据题意画出图形找出何时h有最大及最小值，同时注意勾股定理的灵活运用，有一定难度．17.某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿()方向航行．A.西南B.东北C.西北D.东南【答案】C【解析】【分析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而进行分析求解．【详解】解：根据题意得PQ=16×1.5=24(海里)，PR=12×1.5=18(海里)，QR=30(海里)．∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．由“远航号”沿东北方向航行可知，∠1=45°，则∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答．18.如图，在 ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（）A.5B. 4.8C.3D.2.4【答案】B【解析】【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形EDFB是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=BD，则EF的最小值即为BD的最小值，根据垂线段最短，知：BD的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．【详解】如图，连接BD．∵在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，∴AB 2+BC 2=AC 2，即∠ABC =90°．又∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，∴四边形EDFB 是矩形，∴EF =BD ．∵BD 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，即4.8，∴EF 的最小值为4.8，故选：B ．【点睛】此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．19.如图，在四边形ABCD 中，1AB BC ==，CD =，AD =，AB BC ⊥，则四边形ABCD 的面积是()A. 2.5B.3C. 3.5D.4【答案】A【解析】【分析】如下图，连接AC ，在Rt △ABC 中先求得AC 的长，从而可判断△ACD 是直角三角形，从而求得△ABC 和△ACD 的面积，进而得出四边形的面积．【详解】如下图，连接AC∵AB=BC=1，AB ⊥BC∴在Rt △ABC 中，，111122ABC S =⨯⨯=∵，又∵(222+=∴三角形ADC 是直角三角形∴122ADC S == ∴四边形ABCD 的面积=12+2=52故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，遇到此类题型我们需要敏感一些，首先就猜测△ADC 是直角三角形，然后用勾股定理逆定理验证即可．20.某高速公路的同一侧有A ，B 两个城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为2km AE =，3km BF =，12km EF =，要在高速公路上E 、F 之间建一个出口Q ，使A 、B 两城镇到Q 的距离之和最短，在图中画出点Q 所在位置，并求出这个最短距离．【答案】见解析，13km【解析】【分析】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点Q ，连接QB ，此时QA+QB 的值最小．作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ACD 中，利用勾股定理求出AC 即可；【详解】解：作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点Q ，则点Q 为所建的出口；此时A 、B 两城镇到出口Q 的距离之和最短，最短距离为AC 的长．作AD BC ⊥于D ，则90ADC ∠=︒，AE ⊥MN ，BF ⊥MN∴四边形AEFD 为矩形∴12AD EF ==，2DF AE ==在t R ADC 中，12AD =，5DC DF CF =+=，∴由勾股定理得：13AC ===∴这个最短距离为13km ．【点睛】本题考查作图-应用与设计，轴对称-最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．培优练21.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB 由点A 行驶向点B ，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上两点A ，B 的距离分别为300km 和400km ，又AB=500km ，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．（1）海港C 受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有小时．【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解析；（2）7．【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用等面积法得出CD的长，从而可得海港C是否受台风影响；（2）根据勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【详解】解：（1）海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2＋BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC•BC＝CD•AB∴CD＝240（km）∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受到台风影响．（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，∵ED＝70（km）∴EF＝140km∵台风的速度为20km/h，∴140÷20＝7（小时）即台风影响该海港持续的时间为7小时．故答案为：7．【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，解答此类题目的关键掌握勾股定理及其逆定理并构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．。
解直角三角形复习讲义
解直角三角形复习讲义知识要点：一、直角三角形的元素（边与角）的对应关系。
Eg ：在Rt △ABC 中，∠C=90°得：直角边： AC BC 斜边： AB 图形： .b a c锐角： ∠ B ∠A 直角：∠C二、直角三角形的相关性质：如图（1）：在Rt △ABC 中，∠C=90° 1、 两锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余。
∠A+∠B=90°2、 三边关系：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
BC 2+ AC 2 =AB 2 或（a 2+b 2=c 2）变形式子：BC 2 =AB 2- AC 2，AC 2 =AB 2 -BC 2……等的应用。
勾股定理逆定理：如果一个三角形的两条较短边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
若：BC 2+ AC 2 =AB 2 或（a 2+b 2=c 2），则：△ABC 是直角三角形，且∠C=90°3、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4、 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
5、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原来的直角三角形相似。
若：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于点D则：△ACD ∽△CBD ∽△ABC 对应边成比例6、射影定理：△ACD ∽△ABC AC 2=AD ·AB△CBD ∽△ABC BC 2=BD ·AB△ACD ∽△CBD CD 2=AD ·DB7、边角关系：锐角三角函数（1）锐角∠A 、∠B （∠A+∠B=90°）的三角函数： 互余两角的三角函数关系 取值范围 全称 简写锐角∠A 的正弦sinA=斜边的对边A ∠=cosB 0＜sinA ＜1 Sine sin锐角∠A 的余弦cosA=斜边的邻边A ∠=sinB 0＜cosA ＜1 Cosine cos锐角∠A 的正切tanA=的邻边的对边A A ∠∠=cotB tanA ＞0 Tangent tan(或tg)锐角∠A 的余切cotA=的对边的邻边A A ∠∠=tanB cotA ＞0 Cotangent cot(或 ctg 、ctn)注：对于锐角∠A 的每一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。
直角三角形的性质
-------------直角三角形性质
知识结构
例题1
BC,F是
, 与ADE
∠
例题2
1．先标出已知条件，通过已知条件推导出其中隐含的条件，再灵活运用这些条件解题；2．注意截长补短方法的运用；
3．在Rt∆中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于例题3
ABC中，
ABC．
我来试一试
中，斜边上的中线等于斜边的一半）进行处理．
例题1
ABC中，
．
ABC
是的边
，交于点
AB BC
=；
BG
EF
垂直平分
B
B A
D
ABC中，．
B
A
D
C
M
N
教师：本专题你有哪些收获和感悟？
1．回去将讲义中的练习认真完成；
2．处理几何题时一定要按步骤来，首先你要做的事将已知条件标出来，而不是拿到题目就开始想着怎么去证明；3．请随时记住：态度决定一切，细节决定成败．。
三角形讲义(一)
三角形讲义（一）知识讲解三角形：由不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫三角形。
三角形的三要素：⎪⎩⎪⎨⎧在三角形内部的角内角：相邻两边组成的端点顶点：相邻两边的公共线段边：组成三角形的三条三角形的表示方法：如果三角形的三个顶点为A 、B 、C ，三角形可表示为ABC ∆三角形三边的表示法：三角形的三边都是线段，可用表示线段的办法表示边。
用表示端点的两个大写字母或一个小写字母表示。
三角形的周长：用代数式表示为c b a C ++=。
三角形的面积：用代数式表示为Cab ah S ∠==sin 2121 三角形的稳定性：如果三角形的三边固定，那么三角形的形状和大小就固定了。
三角形的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜角三角形直角三角形按角分类等边三角形腰、底不相等等腰三角形不等边三角形按边分类三角形 三角形的三线和五心三线⎪⎩⎪⎨⎧高线中线角平分线角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线段。
定理：三角形的三条角平分线交于一点。
已知：AD,BD 分别平分ABC ∆的内角B A ∠∠,，求证：CD 平分C ∠证明：过点D 作AC DF BC DE ⊥⊥,,AB DG ⊥CCD DFDE DEDG BCDE AB DG B DFDG ACDF AB DG A ∠∴=∴=∴⊥⊥∠=∴⊥⊥∠平分平分平分,,BD ,,AD注意：角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。
三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边的中点的线段。
定理：三角形的三条中线交于一点。
已知：AF,BD 分别是ABC ∆的中线，CE 过AF,BD 的交点，求证：CE 是ABC ∆的中线。
证明：连接DF,与CE 交于点G 。
,,11//,,221212D E AC BC DF DH DF AB DG AE AB DB DG DH EB DB DG EB AE EB CE ABC ∴===∴==∴=∴=∴∆分别是的中点是的中线三角形的高线：从三角形的顶点向对边做垂涎，顶点与垂足之间的线段。
八年级下数学第一章(三角形的证明)-讲义
知识点一全等三角形的性质及判定1、全等三角形的对应边相等、对应角相等。
2、判定两三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL。
例：如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？知识点二等腰三角形的性质和判定1、等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）2、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”。
3、等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两底角的平分线长度均相等。
4、有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形。
例：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50º，则这个等腰三角形的底角是。
例:在等腰三角形ABC中,AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长。
例:如图，在ABA 1中，∠B=20º，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C 上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠A n的度数为。
知识点三等边三角形的性质和判定1、三条边都相等的三角形是等边三角形。
2、三个角都相等，且都等于60º.3、有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形；三个角或三条边都相等的三角形是等边三角形。
例：如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.M C B A 例：如图1，已知：∠MON=30º，点A 1、A 2、A 3……在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为 ．图1 图2例：如图2，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60º，得到△BAE ，连接ED ，若BC=10，BD=9，则△AED 的周长是 。
《解直角三角形》 讲义
《解直角三角形》讲义一、直角三角形的基本概念直角三角形是一个有一个角为 90 度的三角形。
在直角三角形中，这个 90 度的角被称为直角，而另外两个角则被称为锐角。
直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。
二、解直角三角形的定义解直角三角形就是已知直角三角形中的除直角外的两个元素（至少有一个是边），求出其余的未知元素。
三、解直角三角形的依据1、勾股定理如果直角三角形的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么 a²＋ b²＝ c²。
例如，一个直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边 c 的长度为：＼＼begin{align}c&＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2}＼＼＆＝＼sqrt{9 ＋ 16}＼＼＆＝＼sqrt{25}＼＼＆＝5＼end{align}＼2、锐角三角函数（1）正弦（sin）：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边与斜边的比值。
即：sin A ＝对边／斜边例如，在一个直角三角形中，角 A 的对边为 a，斜边为 c，那么 sin A ＝ a ／ c 。
（2）余弦（cos）：在直角三角形中，锐角的余弦等于邻边与斜边的比值。
即：cos A ＝邻边／斜边例如，角 A 的邻边为 b，斜边为 c，那么 cos A ＝ b ／ c 。
（3）正切（tan）：在直角三角形中，锐角的正切等于对边与邻边的比值。
即：tan A ＝对边／邻边例如，角 A 的对边为 a，邻边为 b，那么 tan A ＝ a ／ b 。
3、特殊角的三角函数值（1）30°角：sin 30°＝ 1/2 ，cos 30°＝√3/2 ，tan 30°＝√3/3 。
（2）45°角：sin 45°＝√2/2 ，cos 45°＝√2/2 ，tan 45°＝ 1 。
（3）60°角：sin 60°＝√3/2 ，cos 60°＝ 1/2 ，tan 60°＝√3 。
《直角三角形全等的判定》 讲义
《直角三角形全等的判定》讲义一、直角三角形全等的概念在平面几何中，如果两个直角三角形能够完全重合，那么它们就是全等的。
全等的直角三角形具有相同的形状和大小，对应的边和角都相等。
二、直角三角形全等的判定方法1、 SSS（边边边）如果两个直角三角形的三条边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
2、 SAS（边角边）如果两个直角三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
3、 ASA（角边角）如果两个直角三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
4、 AAS（角角边）如果两个直角三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
5、 HL（斜边、直角边）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
这是直角三角形全等特有的判定方法。
因为在直角三角形中，斜边是最长的边，当斜边和一条直角边对应相等时，由勾股定理可以推出另一条直角边也对应相等，从而满足边边边（SSS）的判定条件。
三、HL 判定方法的证明已知：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C ＝∠C' ＝ 90°，AB ＝A'B'，AC ＝ A'C' 。
求证：Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'证明：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理：BC²＝ AB² AC²在 Rt△A'B'C' 中，根据勾股定理：B'C'²＝ A'B'² A'C'²因为 AB ＝ A'B'，AC ＝ A'C' ，所以 BC ＝ B'C'因为 AB ＝ A'B'，AC ＝ A'C' ，BC ＝ B'C' ，所以 Rt△ABC ≌Rt△A'B'C'（SSS）四、直角三角形全等判定方法的应用1、证明线段相等例如，已知两个直角三角形全等，那么它们对应的边相等，从而可以证明某些线段相等。
直角三角形的性质C(教师版)
学科教师辅导讲义年级：科目：数学课时数：课题直角三角形的性质教学目的1．掌握直角三角形的性质定理和特殊直角三角形的性质定理；2．能运用直角三角形的有关性质解决简单的数学问题.教学内容【知识梳理】定理1：直角三角形的两个锐角互余定理2：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 【典型例题讲解】题型一：直角三角形两锐角互余【例1】在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为；【答案】38°【例2】如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高．(1)写出图中与∠B互余的角；(2)图中互余的角有几对，请你一一写出来．【答案】∠1∠，C；四对：∠B与∠1,∠B与∠C, ∠1与∠2, ∠2与∠C【借题发挥】1．如图，∠B=∠C=∠AED=90°，写出图中互余的角．【答案】∠A与∠1,∠A与∠D, ∠1与∠2, ∠2与∠D3．已知:如图,AD∥BC,F是AB中点,DF交CB延长线于点E,CE=CD,则图中与∠ADE相等的角有 , 与∠ADE互余的角有 .【答案】∠E,∠EDC;∠FCE,∠FCD4．已知:如图,在四边形ABCD中,M、N分别是CB、CD中点,且AM⊥BC于M,AN⊥CD于N, ∠MAN=80°,则∠B+∠D的度数是【答案】100°90，D、E、F分别是AB、BC、AC上的点，DE、DC、DF将△ABC分成四个全4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=0等的三角形，△ABC的周长是1 2厘米，求由DF、CD、DE所分成的各个小三角形的周长．【答案】6厘米【提示】根据互余关系找到相等的角题型二：直角三角形斜边中线等于斜边的一半【例3】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于E,F是AB边的中点．求证：EF∥AC．【提示】根据斜边中线等于斜边一半，∠BFE=∠FEA=∠FAE=2∠BAE=∠BAC.【例4】如图，已知∠C =90°，∠A=38°，点D是AB的中点，CF=AD，求∠E的度数．【答案】19°【提示】连结CD【例5】已知：如图，△ABC中，∠B= 20°，∠C=40°，D是BC上一点，∠BAD=90°.求证：BD=2AC．【分析】本题要证明斜边长是某条线段长度的2倍，首先想到直角三角形斜边是其中线长度的2倍.【提示】找到BC边的中点E,联接AE，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，∠AEC=∠C=40°,△AEC为等腰三角形，因此BD=2AE=2AC【借题发挥】120，AD⊥ AC，E是CD的中点．1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=0求证：△ADE是等边三角形．【提示】根据斜边中线等于斜边一半, ∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°2．已知：如图，在△ABC中，BD⊥ AC于点D，CE⊥AB于点E，M为BC的中点．求证：∠MED= ∠MDE．【提示】根据斜边中线等于斜边一半，EM=BM=MC,DM=BM=MC.3．如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD⊥BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F．求证：BD=BF．【提示】根据斜边中线等于斜边一半，∠EDC=∠BDF=∠C, 2∠ABC=2∠C=∠BDF+∠F, ∠BDF=∠F=∠C. 4．如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，EF⊥BD，垂足为F．求证：BF=DF．ADBEFC【提示】连结BE、DE，根据斜边中线等于斜边一半，BE=12AC=DE,EF是等腰三角形BED的“三线”.5．如图，AB∥CD ,BC⊥CD ，AD与BC交于点E,AC =12DE．求证：∠CAD =2∠BAD．【提示】找到ED边的中点F，联接CF.根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，CF =12DE,因此三角形ACF是等腰三角形.6．如图，已知AB=AC，BD⊥ CA于点D，∠ABD=45°，E是BC的中点，求∠EDC的度数．【答案】67.5°AB CED题型三：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半【例6】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,CD是AB边上的高．写出图中线段间存在2倍关系的等式．【答案】AC=2CD;CB=2BD;AB=2BC【说明】学生经常会遗漏CB=2BD【例7】如图，AD∥BC,AD =12BC,CE垂直平分AB，垂足为E．求证：∠1=∠2=∠3．【提示】BC=AC=2AD, 根据30°所对的直角边等于斜边的一半，∠3=30°【例8】已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD ⊥AC．求证：BC=3BD．【提示】∠B=∠C=∠BAD=30°, 根据30°所对的直角边等于斜边的一半，12CD BD=AD【借题发挥】1．已知：如图，△ABC是等边三角形，AD=12AB,，AD ⊥CD，垂足为D．求证：AD∥BC．【提示】根据30°所对的直角边等于斜边的一半，∠ACD=30°，∴∠DCB=90°2．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC = 120D°,AC边的垂直平分线交BC于E，垂足为D．求证：BE=2EC．【提示】联接AE，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，BE=2AE=2EC3．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°，MN是AC的垂直平分线，垂足为M，交BC于N．如果NN =2，求BC的长．【提示】∠B=∠C=∠NAC=30°, 根据30°所对的直角边等于斜边的一半，NC=AN=122BN = 4．如图，△ABC 中；AB=AC ，∠BAC=120°，AD j_AC ，E 是CD 的中点求证：AE=BD ．【提示】∠B=∠C=∠BAD=30°, 根据30°所对的直角边等于斜边的一半，AE=12CD BD ==AD 5．如图，Rt △ABC 中，∠C= 90°，∠A =15°,D 是AC 边上的一点，BC=12BD ． 求证：点D 在AB 的垂直平分线上．【提示】根据30°所对的直角边等于斜边的一半，∠BDC=30°=∠A+∠ABD6．（1）已知：如图19 -126，在△ABC 中，∠C=090，沿直线BE 将△ABC 折叠，点C 恰好落在AB 边的中点D ，求∠A 的度数．【提示】BC=BD=12AB ,根据30°所对的直角边等于斜边的一半,∠A=30°(2)已知，如图19 -127，在△ABC 中，∠A=060，CD ⊥AB 于点D ，BC= 2CD,求AD AB的值.【答案】1:4【提示】根据30°所对的直角边等于斜边的一半, ∠B=∠ACD=30°,AB=2AC=4AD(3)已知：如图19 -128，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD是斜边AB上的高，如果AB=4，DB=1，求∠B 的度数．【答案】60°7．如图，△ABC中，CD、CE．分别是AB边上的高和中线，且∠l= ∠2= ∠3．求证：∠ACB= 90°．【提示】过E作EF⊥BC，垂足为F,根据角平分线定理，DE=EF=12AE=12BE【随堂练习】填空题：1．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A =30°，BD是角平分线，若CD=5，则AD=_________.2．△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F，AF=3，∠FBC=20°,则∠C=___________°，AE=___________．3．如图等边△ABC中，AD=CD，CE=CA，CD平分∠ECB，则∠E=______________°.4．已知△ABC中，AD⊥ BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，以HC为直径的圆必经过点___________和点_____________．5．已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC上，且AD=2CD．则∠DAB=_________.【答案】1.10；2.50,3；3.30； 4.E,D；5. 15°.选择题：1．直角三角形中有一个30°的锐角，那么它所对的边就等于 ( )A.另一条直角边的一半 B．斜边上的高C．直角的平分线 D．斜边上的中线2.AD是Rt△ABC斜边上的高，∠CAD=30°，则下列关系式成立的是（）A．AB=2ADB．CD =2ACC．BD =2ADD．AB=2AC3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°,AD⊥AB，AD=4，则下列各式中正确的是 ( ) A．AB=8B．BC=16C．DC=4D．BD=104．如图Rt△ABC中，AC=BC，∠B=45°，AD是角平分线，DE⊥ AB于E，则下列各式中不成立的是 ( )A．AC+CD= ABB．CD=BEC．△ACD≌△AEDD．CD=BD5．锐角三角形ABC中，AB=AC，它的三条高AD、BE、CF相交于点H，那么该图形中全等三角形的对数为 ( ) A．7 B．6C．5 D．4【答案】DACDA解答题：1．已知，如图在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥ CD于D，∠ABC=∠ACB,AD=12AB求：∠DCB的度数【提示】过点C作CE⊥AB于E【答案】105°2．已知：在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线分别与BC、AB相交于点M、N两点．求证：BM=2AC【答案】略3．已知，如图正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，AF和DE交于点P．求证：CP=CD【提示】取AD的中点M，连结CM,PM【答案】略4．如图，已知∠A =90，∠D=25°, CD∥AB，B. D.E在一条直线上，ED=2BC，求∠ABC的度数．【答案】75°【提示】找到AD的中点F，连结CFDAEB C【课堂总结】【课后作业】一、基础巩固训练填空题：1．如图△ABC中，AB=AC，∠A：∠B：∠C=4:1:1，BD=DC．DE⊥ AB于E，则AE：EB=_______________________.2．在直角三角形中，两个锐角的平分线的夹角等于_________________度．3．已知，如图Rt△ABC中，∠C= 90°，AB的垂直平分线DM交AB于D，AC于E，∠1: ∠2=2：3，则∠A=_______________°．4．如图，Rt△ABC中，AC =BC，AE=BE，∠ADB=90°，∠ABD=30°，则∠EDC=________.5．等腰直角三角形斜边上的中线为lOcm，则此等腰直角三角形的面积为_____________2cm 【答案】1.1:3；2.135；3.33.75；4.15°；5.100；选择题：1．△ABC中，∠C=90°，AC=1，AB=2，点O是AB的中点，直线l是线段AO的垂直平分线，那么下列命题中，错误的是 ( )A．直线l不经过C点 B．点C在直线l上C．直线l与AC边相交 D．直线l与BC边相交2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=12AB ,D是AB的中点，DE ⊥BC于E，图中等于60°的角有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD是斜边上的高，则下列结论中，正确的是 ( ) A．AD=2BD B．2AD=5BDC．AD=3BD D．AD=4BD4．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE是斜边AB上的中线，那么下列结论中，错误的是 ( )A．∠ACD=∠BB．∠ECB=∠DCEC．∠ACD=∠ECBD．∠B = ∠A-∠ECD5．下列定理中，没有逆定理的是 ( )A．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等B．在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半C．如果两个三角形全等，那么它们的周长相等D．有两余边相等的三角形是等腰三角形【答案】ADCBC解答题：1．如图，点C在线段AB的垂直平分线上，且AC⊥ BC，CD∥AB，AB=AD，E为BD的中点．求证：AE、AD三等分∠BAC．【答案】略2．如图△ABC中，BD⊥ AC，CE⊥ AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于H，∠A=60°．DH =2,EH=1(1)求BD和CE的长．(2)若∠ACB= 45°，求△ABC的面积．【答案】BD=4，CE=5，△ABC的面积为4033．如图，△ABC中，∠C=90°，点D是AB边的中点，E、.F分别在CA、CB上，且∠EDF =90°．求证：DE=DF．CAEFDB【提示】证明△AED≌△CFD4．已知：如图19 - 122，在Rt△ABC中，∠ACB=090，CD是AB边上的高，CE是中线，CF是∠ACB的平分线．求证：∠ECF= ∠DCF．【提示】∠ACE=∠FCB, ∠ACE=∠A=∠BCD5．已知：如图，△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，M是BC的中点，MN⊥DE，垂足为N．求证：DN=EN．AENDMB C【提示】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，EM=DM=12BC。
初二直角三角形复习同步讲义
初二直角三角形复习同步讲义-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN授课类型T(知识点梳理) C 直角三角形的复习T （学法与能力主题）授课日期及时段教学内容一、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半二、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形三、勾股定理和它的逆定理：1、勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形注意：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、、2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半（请画图）3、在Rt三角形中，30°的边所对的角是斜边的一半。
（请画图）4、直角三角形的边角关系与几种特殊的三角形边角线判定直角 三角形222c b a =+两锐角互余CD=AD=BD (斜边上的中线等于斜边的一半)应用：①斜边上的中线把Rt △分成两等腰三角形；②等腰Rt △斜边上的中线把它分为两个全等的等腰Rt △。
①若∠A+∠B=90°，则△ABC 为Rt △; ②若222c b a =+， 则△ABC 为Rt △;③若CD=AD=BD ， 则△ABC 为Rt △;黄金 直角 三角形2:3:1::=c b a等腰 直角 三角形2:1:1::=c b a四、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义： 一条线段且 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到 得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在4、角的平分线性质：角平分线上的点到 的距离相等5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在注意：1、线段的垂直平分可以看作是 的点的集合，角平分线可以看作是 的点的集合。
精品 九年级数学 下册解直角三角形同步讲义+练习16页
10 3 cm,求∠B，AB 及 BC. 3
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16.在△ABC 中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8，则 BC=
． .
4 0 17.在 Rt△ABC 中,∠C=90 ,tanA= ,BC=8,则△ABC 的面积为 3
0
18.如图，某山坡的坡面 AB=200 米，坡角∠BAC=30 ，则该山坡的高 BC 的长为______米．
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解直角三角形
第 01 课 三角函数的定义
知识点： 解直角三角形的概念： 在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形 中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 ∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作 sinA，即 sin A
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例 2.探索 30 、45 、60 角的三角函数值.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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例 3.计算： (1)(1)cos60 + sin 45 －tan34 ·tan56
0 2 0 0 0
(2)已知 tanA=2，求
2 sin A cos A 的值. 4 sin A 5 cos A
0
13.如图,点 E 是矩形 ABCD 中 CD 边上一点,△BCE 沿 BE 折叠为△BFE,点 F 落在 AD 上. (1)求证：△ABE∽△DFE; (2)若 sin∠DFE=
1 ,求 tan∠EBC 的值. 3
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第 02 课 三角函数综合应用
等边三角形 直角三角形 讲义
等边三角形直角三角形讲义一、三角形的基本概念在我们开始深入探讨等边三角形和直角三角形之前，让我们先回顾一下三角形的一些基本概念。
三角形是由三条线段首尾相连组成的封闭图形。
它有三个顶点、三条边和三个内角。
三角形的内角和始终为 180 度。
二、等边三角形（一）定义与特点等边三角形，顾名思义，就是三条边长度都相等的三角形。
由于三条边相等，所以三个角的度数也相等，每个角都是 60 度。
它具有极高的对称性，无论是旋转还是翻转，都能保持不变。
（二）性质1、等边三角形的三条边相等。
2、三个内角相等，均为 60 度。
3、等边三角形是锐角三角形。
4、它的内角平分线、中线、高线三线合一。
（三）周长与面积1、周长：由于三条边相等，假设边长为 a，那么周长 C ＝ 3a 。
2、面积：可以使用公式 S ＝√3/4 a² 来计算，其中 a 为边长。
（四）实际应用等边三角形在生活中有许多应用。
例如，在建筑设计中，一些结构会采用等边三角形的元素来增加稳定性和美观性；在机械制造中，某些零件的形状可能会基于等边三角形的特点进行设计。
三、直角三角形（一）定义与特点直角三角形是指其中一个角为 90 度的三角形。
这个 90 度的角被称为直角，另外两个角则为锐角。
（二）性质1、两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理。
2、直角三角形的两个锐角互余，即它们的和为 90 度。
（三）直角三角形的种类1、等腰直角三角形：两条直角边长度相等，两个锐角都是 45 度。
2、一般直角三角形：两条直角边长度不相等。
（四）周长与面积1、周长：三边之和，即两条直角边的长度与斜边长度之和。
2、面积：通常使用公式 S ＝ 1/2 ×两条直角边的乘积。
（五）实际应用在工程测量、建筑施工、导航等领域，直角三角形都发挥着重要作用。
比如，测量建筑物的高度、确定两点之间的距离等。
四、等边三角形与直角三角形的关系等边三角形和直角三角形是两种不同类型的三角形，它们有着明显的区别。
八年级数学直角三角形教师讲义带答案
直角三角形一、直角三角形的性质重点：直角三角形的性质定理与其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;②推论：〔1〕在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半;〔2〕在直角三角形中，假如一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理与其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的推断重点：驾驭直角三角形全等的断定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等〔HL〕难点：创立全等条件与三角形中各定理联络解综合问题。
三、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的间隔相等.定理的数学表示：如图4，∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴ CF＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2.关于三角形三条角平分线的定理：〔1〕关于三角形三条角平分线交点的定理：图4三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的间隔 相等.定理的数学表示：如图6，假如AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 假设ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，那么DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. 〔2〕三角形三条角平分线的交点位置与三角形形态的关系：三角形三个内角角平分线的交点肯定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心〔即内切圆的圆心〕.3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：〔1〕会作线段的垂直平分线； 〔2〕会作角的角平分线； 〔3〕会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简洁综合问题的图形. 四、勾股定理的证明与应用 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五〞形式的勾股定理，后来人们进一步发觉并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的证明方法许多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变更 ②依据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理cba HG FEDCBA常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理提示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因此在应用勾股定理时，必需明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①直角三角形的随意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，那么c，b，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题假如三角形三边长a ，b ，c 满意222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是断定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形〞来确定三角形的可能形态，在运用这肯定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，假设它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；假设222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；假设222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 与222a b c +=只是一种表现形式，不行认为是唯一的，如假设三角形三边长a ，b ，c 满意222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描绘时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，bacbac cabcaba bcc baE D CBA这个三角形是直角三角形①可以构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以进步解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+〔2,n ≥n 为正整数〕；2221,22,221n n n n n ++++〔n 为正整数〕2222,2,m n mn m n -+〔,m n >m ，n 为正整数〕７．勾股定理的应用勾股定理可以扶植我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在运用勾股定理时，必需把握直角三角形的前提条件，理解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进展计算，应设法添加协助线〔通常作垂线〕，构造直角三角形，以便正确运用勾股定理进展求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能扶植我们通过三角形三边之间的数量关系推断一个三角形是否是直角三角形，在详细推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进展比较，切不行不加思索的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理与其逆定理的应用勾股定理与其逆定理在解决一些实际问题或详细的几何问题中，是密不行分的一个整体．通常既要通过逆定理断定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：AB C30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
中考数学复习讲义课件 第4单元 第20讲 解直角三角形及其应用
3≈277(m)． 277m.
8．(2021·娄底)我国航天事业捷报频传，“天舟二号”于 2021 年 5 月 29 日成 功发射，震撼人心．当“天舟二号”从地面到达点 A 处时，在 P 处测得点 A 的仰角∠DPA 为 30°且 A 与 P 两点的距离为 6km，它沿铅垂线上升 7.5s 后到达 B 处，此时在 P 处测得点 B 的仰角∠DPB 为 45°，求“天舟二号” 从 A 处到 B 处的平均速度．(结果精确到 1m/s，取 3≈1.732， 2≈1.414)
解：由题意，得∠DPA＝30°，∠DPB＝45°，AP＝6km，∠BDP＝90°. ∴在 Rt△APD 中，AD＝12AP＝3km，PD＝AP·cos30°＝6× 23＝3 3(km)． ∴在 Rt△BPD 中，BD＝PD·tan45°＝3 3km. AB＝BD－AD＝3 3－3≈2.196(km)＝2196(m)． 2196÷7.5≈293(m/s)． 答：“天舟二号”从 A 处到 B 处的平均速度约为 293m/s.
答：河宽 EF 的长度约为 53.3m.
10．(2021·怀化)政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼 (2014·常德)如图，A，B，C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB， BC 表示连接缆车站的钢缆．已知 A，B，C 所处位置的海拔 AA1，BB1，CC1 分别为 160 米，400 米，1000 米，钢缆 AB，BC 分别与水平线 AA2，BB2 所成 的夹角为 30°，45°，求钢缆 AB 和 BC 的总长度．(结果精确到 1 米)
解：过点 C 作 CF⊥AE 于点 F. 则 FC＝AD＝20m，AF＝DC． 在 Rt△ACF 中，∠EAC＝22°. ∵tan∠EAC＝FACF＝tan22°≈25， ∴DC＝AF≈52FC＝52×20＝50(m)．
北师大版初北师大版七年级(下)数学第四章三角形教案：全等三角形的判定讲义(含答案)
三角形全等的判定1、掌握直角三角形全等的判定方法：“斜边、直角边”；2、判断能证明三角形全等的条件；3、判断三角形全等能推出的结论；4、探索全等三角形判定的综合问题．1．斜边、直角边定理（HL ）文字描述：_______和一条______分别相等的两个直角三角形全等． 符号语言：在Rt △ABC 与Rt △DEF 中， ∠ABC=∠DEF=90°，AB DE BC EFAC DF==⎧⎨=⎩或 ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）． 图示：2．探究三角形全等的思路 （1）已知两边→⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角找直角找另一边（2）已知一边一角→→⎧⎪→⎧⎪⎨⎪→→⎨⎪⎪⎪→⎩⎩一边为角的对边找另一角找夹角的另一边一边为角的一边找夹角的另一角找边的对角（3）已知两角→⎧⎨→⎩找夹边找其中一边的对边3.什么是开放题所谓开放题，即为答案不唯一的问题，其主要特征是答案的多样性和多层次性.由于这类题综合性强、解题方法灵活多变，结果往往具有开放性，因而需观察、实验、猜测、分析和推理，同时运用树形结合、分类讨论等数学思想. 4. 开放题问题类型及解题策略 （1）条件开放与探索型问题.从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析.（2）结论开放与探索型问题.从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论.（3）条件、结论开放与探索型问题.此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性. 参考答案：1、斜边 直角边 2、(1)SAS HL SSS (2)AAS SAS ASA AAS (3)ASA AAS1．利用HL 证全等【例1】如图，已知∠A=∠D=90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB=CD ，BE=CF ．求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE ．【解析】由于△ABF 与△DCE 是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．证明：∵BE=CF ，∴BE+EF=CF+EF ，即BF=CE. ∵∠A=∠D=90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形， 在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，BF CE AB CD ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE （HL ）．点评：此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE=CF 通过等量代换得到BF=CE ． 总结：1．判定直角三角形全等共有五种方法：“SSS ”“ASA ”“AAS ”和“HL ”；一般先考虑利用“HL ”定理，再考虑利用一般三角形全等的判定方法；2．“HL ”定理是直角三角形所特有的判定方法，对于一般的三角形不成立；3．判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已有“两个直角相等”的条件，只需再找两个条件，但所找条件中必须有一组边对应相等．练1．如图，要用“HL”判定Rt △ABC 和Rt △A′B′C′全等的条件是（ ）A ．AC=A′C′，BC=B′C′B ．∠A=∠A′，AB=A′B′C ．AC=A′C′，AB=A′B′D ．∠B=∠B′，BC=B′C′ 【解析】根据直角三角形全等的判定方法（HL ）即可直接得出答案．∵在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC 一定等于B′C′， Rt △ABC 和Rt △A′B′C′一定全等， 故选C ．点评：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题． 练2．如图，已知AB ⊥CD ，垂足为B ，BC=BE ，若直接应用“HL”判定△ABC ≌△DBE ，则需要添加的一个条件是_______________．【解析】先求出∠ABC=∠DBE=90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．AC=DE ，理由是：∵AB ⊥DC ， ∴∠ABC=∠DBE=90°， 在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，AC DEBE BC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △DBE （HL ）． 故答案为：AC=DE ．点评：本题考查了全等三角形的判定定理，主要考查学生的推理能力，注意：判定两直角三角形全等的方法有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL ． 2．利用HL 证全等，再证边角相等【例2】如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ．求证：CB=CD ．【解析】根据已知条件，利用“HL ”判定Rt △ABC ≌Rt △ADC ，根据全等三角形的对应边相等即可得到CB=CD ．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B=∠D=90°．在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，AB ADAC AC=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC ． ∴CB=CD ．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定方法“HL ”的理解及运用，常用的判定方法有“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”．总结：证明角或线段相等可以从证明角或线段所在的三角形全等入手. 在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对顶角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等关系． 练3．如图，MN ∥PQ ，AB ⊥PQ ，点A 、D 、B 、C 分别在直线MN 与PQ 上，点E 在AB 上，AD+BC=7，AD=EB ，DE=EC ，则AB=_____________．【解析】可判定△ADE ≌△BCE ，从而得出AE=BC ，则AB=AD+BC ．∵MN ∥PQ ，AB ⊥PQ ， ∴AB ⊥MN ，∴∠DAE=∠EBC=90°， 在Rt △ADE 和Rt △BCE 中，DE ECAD BE=⎧⎨=⎩， ∴△ADE ≌△BEC （HL ）， ∴AE=BC ， ∵AD+BC=7，∴AB=AE+BE=AD+BC=7． 故答案为7．点评：本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质是基础知识比较简单． 练4．已知如图，∠A=90°，∠D=90°，且AE=DE ，求证：∠ACB=∠DBC ．【解析】由图片和已知，可得△ABE ≌△DCE ，则BE=CE ，然后再证明Rt △ABE ≌Rt △DCE ，即可得证．证明：∵∠A=∠D=90°，AE=DE （已知），∠AEB=∠DEC （对顶角相等）， ∴△ABE ≌△DCE （ASA ）， ∴AB=DC ，在Rt △ABE 和Rt △DCE 中，AB DCBC CB=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △DCE ， ∴∠ACB=∠DBC ．点评：本题主要考查全等三角形全等的判定，注意需证明两次全等． 3．利用HL 解决实际问题【例3】如图，A 、B 、C 、D 是四个村庄，B 、D 、C 三村在一条东西走向公路的沿线上，且D 村到B 村、C 村的距离相等；村庄A 与C ，A 与D 间也有公路相连，且公路 AD 是南北走向；只有村庄A 、B 之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AC=3千米，AE=1.2千米，BF=0.7千米．试求建造的斜拉桥至少有多少千米.【解析】根据BD=CD ，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD ，得出Rt △ADB ≌Rt △ADC ，进而得出AB=AC=3，即可得出斜拉桥长度．由题意，知BD=CD ，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD ， 则Rt △ADB ≌Rt △ADC （SAS ）， 所以AB=AC=3千米，故斜拉桥至少有3-1.2-0.7=1.1（千米）．点评：此题主要考查了直角三角形全等的判定以及性质，根据已知得出Rt △ADB ≌Rt △ADC 是解决问题的关键．总结：对于实际问题，要善于转化为数学问题，充分运用题目条件、图形条件，寻找三角形全等的条件，从而证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求对应边长或对应角的大小．练5．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD 与CD 的距离间的关系是（ ）A ．BD ＞CDB ．BD ＜CDC ．BD=CD D ．不能确定【解析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断AB=AC ，又AD=AD ，AD ⊥BC ，所以Rt △ABD ≌Rt △ACD ，所以BD=CD ．∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°， 由AB=AC ，AD=AD ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）， ∴BD=CD ． 故选C ．点评：本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；充分运用题目条件，图形条件，寻找三角形全等的条件．本题关键是证明Rt △ABD ≌Rt △ACD ． 4．全等三角形——补充条件型问题【例1】如图，点C ，F 在线段BE 上，BF=EC ，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）【解析】由已知先推出BC=EF ，添加条件AC=DF ，根据“SAS”可推出两三角形全等．解：AC=DF ． 证明：∵BF=EC ，∴BF ﹣CF=EC ﹣CF ， 即BC=EF.在△ABC 和△DEF 中12AC DFBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．总结：因为全等三角形的判定定理有“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，所以此类问题答案是不唯一的. 对于条件添加型的题目，要根据已知条件并结合图形及判定方法来添加一个条件．练6．如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．BD=CD B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD【解析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，则△ABD≌△ACD（SAS）；B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BAD=∠CAD，则△ABD≌△ACD（ASA）；故选：B．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．练7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件，使△ADB≌△CEB．【解析】要使△ADB≌△CEB，已知∠B为公共角，∠BEC=∠BDA，具备了两组角对应相等，故添加AB=BC或BE=BD或EC=AD后可分别根据AAS、ASA、AAS能判定△ADB≌△CEB．解：AB=BC，AD⊥BC，CE⊥AB，B=∠B∴△ADB≌△CEB（AAS）．答案：AB=BC．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．点评：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．添加条件时，要首选明显的、简单的，由易到难．5．全等三角形——结论探索型问题【例5】如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明．【解析】（1）根据题目所给条件可分析出△ABE ≌△CDF ，△AFD ≌△CEB ；（2）根据AB ∥CD 可得∠1=∠2，根据AF=CE 可得AE=FC ，然后再证明△ABE ≌△CDF即可．解：（1）△ABE ≌△CDF ，△AFD ≌△CEB ； （2）∵AB ∥CD ，∴∠1=∠2， ∵AF=CE ， ∴AF+EF=CE+EF ， 即AE=FC.在△ABE 和△CDF 中，12AEB CDF AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CDF （AAS ）．总结：判定两个三角形全等的一般方法有：“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”和“HL”．注意：“AAA”“SSA”不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．练8．如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=AC ，AE=AF ，则图中全等三角形的对数有（ ）A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对【解析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．做题时要从已知条件开始，结合判定方法对选项逐一验证．解：∵△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=AC ，∴BD=CD ， ∴△ABD ≌△ACD ， ∴∠BAD=∠CAD ， 又AE=AF ，AO=AO ，∴△AOE ≌△AOF ， EO=FO ，进一步证明可得△BOD ≌△COD ，△BOE ≌△COF ，△AOB ≌△AOC ，△ABF ≌△ACE ，△BCE ≌△CBF ，共7对．故选：C ．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理． 6．全等三角形——条件和结论全开放型问题【例6】有下列四个判断：①AD=BF ；②AE=BC ；③∠EFA=∠CDB ；④AE ∥BC ．请你以其中三个作为题设，余下一个作为结论，写出一个真命题并加以证明．已知： 求证： 证明：【解析】由已知AD=BF ，证出AF=BD ，再由平行线AE ∥BC 得出∠A=∠B ，证明△AEF ≌△BCD ，即可得出∠EFA=∠CDB ．解：已知：AD=BF ，AE=BC ，AE ∥BC ； 求证：∠EFA=∠CDB ； 证明：∵AD=BF ，∴AD+DF=BF+DF ， 即AF=BD. ∵AE ∥BC ， ∴∠A=∠B ， 在△AEF 和△BCD 中，AE BC A B AF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△BCD （SAS ）， ∴∠EFA=∠CDB ．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及命题与定理；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．总结：条件和结论全开放的三角形全等问题，进一步加强了对SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL 的考查．要熟练掌握全等三角形的证明思路：练9．如图，AC 交BD 于点O ，有如下三个关系式：①OA=OC ，②OB=OD ，③AB ∥DC ．(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．(用序号写出命题书写形式，如：如果⊗、⊗，那么⊗)(2)选择(1)中你写出的—个命题，说明它正确的理由．【解析】（1）如果①、②，那么③，或如果①、③，那么②，如果②、③，那么①；（2）下面选择“如果①、②，那么③”加以证明． 证明：在△AOB 和△COD 中，,,,OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOB ≌△COD ， ∴∠A＝∠C ， ∴AB ∥DC ．练10．在△ABC 和△DEF 中，AB=DE ，∠A=∠D ，若证△ABC ≌△DEF ，还需补充一个条件，错误的补充方法是（ ）A ．∠B=∠EB ．∠C=∠FC ．BC=EFD ．AC=DF【解析】根据已知及全等三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．解：A 、正确，符合判定ASA ；B 、正确，符合判定AAS ；C 、不正确，满足SSA 没有与之对应的判定方法，不能判定全等；D 、正确，符合判定SAS ． 故选：C ．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有AAS ，SAS ，SSS ，HL 等．练11．如图，已知等边△ABC ，AB=2，点D 在AB 上，点F 在AC 的延长线上，BD=CF ，DE ⊥BC 于E ，FG ⊥BC 于G ，DF 交BC 于点P ，则下列结论：①BE=CG ；②△EDP ≌△GFP ；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②④【解析】由等边三角形的性质可以得出△DEB ≌△FGC ，就可以得出BE=CG ，DE=FG ，就可以得出△DEP ≌△FGP ，得出∠EDP=∠GFP ，EP=PG ，得出PC+BE=PE ，就可以得出PE=1，从而得出结论．解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠A=∠B=∠ACB=60°．∵∠ACB=∠GCF ，∵DE ⊥BC ，FG ⊥BC ，∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°．在△DEB 和△FGC 中，DEB FGC GCF A BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB ≌△FGC （AAS ），∴BE=CG ，DE=FG ，故①正确；在△DEP 和△FGP 中，DEP FGP DPE FPG DE FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEP ≌△FGP （AAS ），故②正确；∴PE=PG ∠EDP=∠GFP≠60°，故③错误；∵PG=PC+CG ，∴PE=PC+BE ．∵PE+PC+BE=2，∴PE=1．故④正确．正确的有①②④，故选：D ．点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．练12．如图，EA⊥AB，BC⊥AB EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：（1）DE=AC（2）DE⊥AC（3）∠CAB=30°（4）∠EAF=∠ADE，其中结论正确的是（）A．（1），（3）B．（2），（3）C．（3），（4）D．（1），（2），（4）【解析】本题条件较为充分，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点可得两直角三角形全等，然后利用三角形的性质问题可解决．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．解：∵EA⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAB=∠ABC=90°Rt△EAD与Rt△ABC∵D为AB中点，∴AB=2AD又EA=AB=2BC∴AD=BC∴Rt△EAD≌Rt△ABC∴DE=AC，∠C=∠ADE，∠E=∠FAD又∠EAF+∠DAF=90°∴∠EAF+∠E=90°∴∠EFA=180°﹣90°=90°，即DE⊥AC，∠EAF+∠DAF=90°，∠C+∠DAF=90°∴∠C=∠EAF，∠C=∠ADE∴∠EAF=∠ADE故选：D．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质；全等三角形问题要认真观察已知与图形，仔细寻找全等条件证出全等，再利用全等的性质解决问题．1．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一条直角边和它所对的锐角对应相等D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等2．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A．HL B．AAS C．SSS D．ASA3．已知：如图所示，△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△ABD（HL）成立，还需要加的条件是（）A．∠BAC=∠BAD B．BC=BD或AC=ADC．∠ABC=∠ABD D．AB为公共边4．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（）A．40°B．50°C．60°D．75°5．如图1，已知△ABC的六个元素，则图2甲、乙、丙三个三角形中和图1△ABC全等的图形是（）A．甲乙B．丙C．乙丙D．乙6．如图，在△ABC中，AB=AC，AE=AF，AD⊥BC于点D，且点E、F在BC上，则图中全等的直角三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对7.已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD．（1）请你写出两个正确结论：①__________；②__________；（2）当∠B=60°时，还可以得出哪些正确结论？（只需写出一个）（3）请在图中过点D作于DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．求证：△DBM≌△DCN．1．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件_____________．2．如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=_____________度．3．如图所示，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，滑梯BC与地面夹角∠ABC=35°，则滑梯EF与地面夹角∠DFE的度数是_______________．4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长．5．如图，这是建筑物上的人字架，已知：AB=AC，AD⊥BC，则BD与CD相等吗？为什么？6．请从以下三个等式中，选出一个等式天在横线上，并加以证明．等式：AB=CD，∠A=∠C，∠AEB=∠CFD，已知：AB∥CD，BE=DF，_______求证：△ABE≌△CDF．证明：参考答案：当堂检测1．【解析】A 、两条直角边对应相等，可利用全等三角形的判定定理SAS 来判定两直角三角形全等，故本选项正确；B 、两个锐角对应相等，再由两个直角三角形的两个直角相等，AAA 没有边的参与，所以不能判定两个直角三角形全等；故本选项错误；C 、一条直角边和它所对的锐角对应相等，可利用全等三角形的判定定理ASA 来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；D 、一个锐角和锐角所对的直角边对应相等，可以利用全等三角形的判定定理ASA 或AAS 来判定两个直角三角形全等；故本选项正确；故选B ．2．【解析】∵OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，∴∠AEO=∠AFO=90°，又∵OE=OF ，AO 为公共边，∴△AEO ≌△AFO ．故选A ．3．【解析】需要添加的条件为BC=BD 或AC=AD ，理由为：若添加的条件为BC=BD ，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∵BC BD AB AB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ）；若添加的条件为AC=AD ，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∵AC AD AB AB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ）．故选B ．4．【解析】∵∠B=∠D=90°，在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，BC CD AC AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC （HL ），∴∠2=∠ACB=90°﹣∠1=50°．故选B ．5．【解析】根据全等三角形的判定定理（SAS ，ASA ，AAS ，SSS ）逐个判断即可．解：已知图1的△ABC 中，∠B=50°，BC=a ，AB=c ，AC=b ，∠C=58°，∠A=72°，图2中，甲：只有一个角和∠B 相等，没有其它条件，不符合三角形全等的判定定理，即和△ABC 不全等；乙：符合SAS 定理，能推出两三角形全等；丙：符合AAS 定理，能推出两三角形全等；故选：C ．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．6．【解析】如图，运用等腰三角形的性质证明BD=CD ，DE=DF ；证明△ABD ≌△ACD ，△AED ≌△AFD ，即可解决问题．解：如图，∵AB=AC ，AE=AF ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ，DE=DF ；在△ABD 与△ACD 中，AD AD ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SAS ），同理可证△AED ≌△AFD ；故选：B ．点评：该题主要考查了全等三角形的判定问题、等腰三角形的性质及其应用问题；灵活运用全等三角形的判定问题、等腰三角形的性质是解题的关键．7.【解析】（1）根据中点的性质及全等三角形的判定，写出两个结论即可；（2）根据等边三角形的判定定理可得△ABC 是等边三角形；（3）先证明△ABD ≌△ACD ，再证明△DBM ≌△DCN ．解：（1）①BD=CD ；②△ABD ≌△ACD ；（2）∵AB=AC ，∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形．（3）在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠ABD=∠ACD ，在Rt △DBM 和Rt △DCN 中，MBD NCD B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△DBM ≌△DCN ．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．家庭作业1．【解析】还需添加条件AB=AC ，∵AD ⊥BC 于D ，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，AD AD AB AC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ），故答案为：AB=AC ．2．【解析】在直角△ABC 与直角△ADC 中，BC=DC ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC ，∴∠2=∠ACB ，在△ABC 中，∠ACB=180°﹣∠B ﹣∠1=50°，∴∠2=50°．故填50°3．【解析】在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，BC EF AC DF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ），∴∠DEF=∠ABC=35°，∴∠DFE=90°﹣35°=55°．故答案为：55°．4．【解析】（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．∴∠D=∠AEC ．又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA ，在△DBC 和△ECA 中，∵90D AEC DBC ECA BC AC ∠=∠⎧⎪∠==⎨⎪=⎩,∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE=CD ．（2）解：由（1）得AE=CD ，AC=BC ，在Rt △CDB 和Rt △AEC 中，AE CD AC BC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CDB ≌Rt △AEC （HL ），∴BD=CE ，∵AE 是BC 边上的中线，∴BD=EC= BC= AC ，且AC=12cm ．∴BD=6cm ．5．【解析】BD=CD ，理由：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直定义），在Rt △ABD 与Rt △ACD 中， AB AC AD AD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ），∴BD=CD （全等三角形的对应边相等）．6．【解析】先加上条件，再证明，根据所加的条件，利用证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠D ，在△ABE 和△CDF 中，AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE ≌△CDF ．点评：本题是一道开放性的题目，考查了全等三角形的判定，是基础知识比较简单．。
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直角三角形性质应用（讲义）
课前预习
1.根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三
角形的边长．
2.下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．
知识点睛
直角三角形性质梳理：
1.从边与角的角度来考虑
①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______．
②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____；
勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形．
2.添加一些特殊的元素（中线或30°角）
①直角三角形斜边上的中线等于______________；
如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形．
②30°角所对的直角边是_____________________；
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于_____________．
3.特殊的直角三角形
4.垂直（多个）①等面积法
②弦图结构
外弦图（赵爽弦图）内弦图（毕达哥拉斯图） 精讲精练
1.如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，
分别过点C ，E 作BC ，AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________．
第1题图
第2题图2.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，
BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）．
3.如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，
且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，AC =6.5，则AB 的长为______．
第3题图
第4题图4.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 的中点，点D
在BC 上，且AD =BD ，AD ，CE 相交于点F ．若∠B =20°，则∠DFE 等于（
）A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°5.已知△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC =MA =5，则
△ABC 的面积是__________．
6.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边
中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是（
）A ．10
B ．45
C ．10或45
D ．10或217
7.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在AC 上，
若∠CBD =30°，则AD DC
=_________．
8.Rt△ABC和Rt△DEF按如图方式放置，A，B，D在同一直线
上，EF∥AD，∠CAB=∠EDF=90°，∠C=45°，DE=8，EF=16，则BD=__________．
第8题图第9题图
9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，
∠BDA=90°，∠CBE=30°，∠CEB=45°，AE=4EC，BC=2，则BE=__________，CD=__________．
10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3，以斜边
AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长为________．
第10题图第11题图
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB为边向外作
正方形ABDE，且正方形的对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=62，则另一直角边BC的长为__________．12.如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方
形BCDE，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=22，那么AC的长为__________．
【参考答案】 课前预习 1.
33，233；22，22；3，3；2，22.
略 知识点睛1.
①互余，斜边长②平方和，平方；平方和，第三边的平方，直角2.
①斜边的一半，一边上的中线等于这边长的一半②斜边的一半；30°3.①112::，132::，125::，345:: 精讲精练1.
52 2.
22m n +3.
124.
B 5.
246.
C 7.
13-+8.
1243-9.13+，2610.2911.712.8。