不定积分公式和定义

sin xdx cosx C
cosxdx sin x C
sec2xdx tan x C
csc2xdx cot x C

1 dx arcsinx C arccosx C 1 x2

1
1 x2
dx

arctanx

C

arc
称为被积表达式C， 称为积分常数。
例、求函数f x 1 的不定积分。
x
解 因为 In x ' 1 (x 0) ， 所以 x x'dx 1 xr1 C r 1
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几何意义：设Fx为函数 f x在区间 I上的一个原函数，则曲线 y Fx
称为 函数 f x 的一条积分曲线，将这条积分曲线沿 y 轴向上或
不定积分
定义 设 Fx是f x 在 I 区间 f x上 的一个原函数，则f x在区间I 上的
全体原函数 Fx C（C为任意常数）称为f x 的不定积分，记
为 f xdx，即
f xdx Fx C
其中 称为积分号，x 称为积分变量，f x称为被积分函数，f xdx
数（或微分）的不定积分等于函数簇Fx C
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公式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
0dx C
x' dx 1 xr1 C, r 1
r 1

1 x
dx

In
x

C,
a0, 且a

1
axdx ex C
2 xdx x
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cosx sin xdx
cosxdx sin xdx
sin x cos x C
例、求不定积分 tan2xdx
解 tan2xdx (sec2x 1)dx
sec2xdx 1dx
tan x x C
向下平移长度为 C 的距离将得到 f x的另一条积分曲线 y F x C
由于C可取任意实数，故可得到f x的无穷多条积分曲线，它们构
成
一曲线簇C，称为积分曲线F簇x。C'不 F定'x积 f分x就表示这积分曲线簇，又因
为不论 取何值，都有
。因此，在积分曲线簇中所
有曲线上凡横坐标相同点处的切线彼此平行。
不定积分的性质
性质1：求不定积分与求导互为逆运算。
（1） f xdx ' f x 或 d f xdx f xdx
（2） F'xdx Fx C或 dFx Fx C
即不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）；函数F x 的导
(2)因为 f x gx' f 'x gx,所以
f x gxdx f xdx gxdx
例、求不定积分
cos2x cosx sin
dx x
解
cos 2x cos x sin
dx x


cos2 cos
x x

sin sin
cot
x

C
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性质2：设f x, gx有不定积分， k为常数，则
(1) kf xdx k f xdx (2) f x gxdx f xdx gxdx
证明：（1）因为kf x' kf 'x,所以
kf xdx k f xdx
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