材料力学B试题7应力状态_强度理论
材料力学考试题
2010—2011材料力学试题及答案A一、单选题（每小题2分，共10小题，20分）1、工程构件要正常安全的工作，必须满足一定的条件。
下列除（）项，其他各项是必须满足的条件。
A、强度条件B、刚度条件C、稳定性条件D、硬度条件2、内力和应力的关系是（）A、内力大于应力B、内力等于应力的代数和C、内力是矢量，应力是标量D、应力是分布内力的集度3、根据圆轴扭转时的平面假设，可以认为圆轴扭转时横截面（）。
A、形状尺寸不变，直径线仍为直线。
B、形状尺寸改变，直径线仍为直线。
C、形状尺寸不变，直径线不保持直线。
D、形状尺寸改变，直径线不保持直线。
4、建立平面弯曲正应力公式zIMy=σ,需要考虑的关系有（）。
A、平衡关系,物理关系，变形几何关系；B、变形几何关系，物理关系，静力关系；C、变形几何关系，平衡关系，静力关系；D、平衡关系, 物理关系，静力关系；5、利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（）来确定积分常数。
A、平衡条件。
B、边界条件。
C、连续性条件。
D、光滑性条件。
6、图示交变应力的循环特征r、平均应力mσ、应力幅度aσ分别为（）。
A -10、20、10；B 30、10、20；C 31-、20、10；D 31-、10、20 。
7、一点的应力状态如下图所示，则其主应力1σ、2σ、3σ分别为（）。
A 30MPa、100 MPa、50 MPa B 50 MPa、30MPa、-50MPa C 50 MPa、0、-50Mpa、 D -50 MPa、30MPa、50MPa8、对于突加载的情形，系统的动荷系数为（）。
A、2B、3C、4D、59、压杆临界力的大小，（）。
A与压杆所承受的轴向压力大小有关； B 与压杆的柔度大小有关； C 与压杆材料无关； D 与压杆的柔度大小无关。
10、利用图乘法计算弹性梁或者刚架的位移，要求结构满足三个条件。
以下那个条件不是必须的（）A、EI为常量B、结构轴线必须为直线。
C、M图必须是直线。
材料力学第七章应力状态和强度理论
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学B试题7应力状态_强度理论.docx
40 MPa.word 可编辑 .应力状态强度理论1. 图示单元体，试求60100 MPa(1)指定斜截面上的应力；(2)主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。
解： (1)x y xy cos 2x sin 276.6 MPa22xy sin 2x cos232.7 MPa231 (2)max xy( x y) 2xy281.98MPa39.35min22121.98181.98MPa，2，3121.98MPa12xy12000arctan()arctan39.352x y24020060602. 某点应力状态如图示。
试求该点的主应力。
129.9129.9解：取合适坐标轴令x25 MPa，x由120xy sin 2xy cos20 得y2所以m axx y( xy ) 2xy 2m in 22129.9 MPa2525(MPa)125MPa50752( 129.9)250 150100 MPa2001 100MPa，20 ，3200MPa3. 一点处两个互成45 平面上的应力如图所示，其中未知，求该点主应力。
解：y150 MPa，x120 MPa.word 可编辑 .由得45xy sin 2xy cos 2x 15080 22x10MPa所以max xy(x y)2222xy min yx454545214.22 MPa 74.221214.22 MPa，20 ，45374.22MPa4.图示封闭薄壁圆筒，内径 d 100 mm，壁厚 t 2 mm，承受内压 p 4 MPa，外力偶矩 M e 0.192 kN·m。
求靠圆筒内壁任一点处的主应力。
0.19210 3解：xπ(0.10440.14)0.05 5.75MPat32x y pd MPa504tpd MPa1002tM e p M emax x y(x y ) 2xy2min22100.7 MPa 49.351100.7MPa，249.35 MPa，3 4 MPa5.受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。
材料力学习题应力状态和强度理论
应力状态分析与强度理论基 本 概 念 题一、选择题1. 三种应力状态分别如图(a )、(b )、(c )所示，则三者间的关系为（ ）。
A ．完全等价B ．完全不等价C ．图(b )、图(c )等价D ．图(a )、图(c )等价题1图2. 已知应力情况如图所示，则图示斜截面上的应力为（ ）。
（应力单位为 MPa)。
A ．70-=ασ，30-=ατB ．0=ασ，30=ατC ．70-=ασ，30=ατD ．0=ασ，30-=ατ3. 在纯剪切应力状态中，其余任意两相互垂直截面上的 正应力，必定是（ ）。
A ．均为正值B ．一为正值一为负值C ．均为负值 题2图D ．均为零值4. 单元体的应力状态如图所示，由x 轴至1σ方向的夹角为（ ）。
A ．︒5.13 B ．︒-5.76 C ．︒5.76 D ．︒-5.13题4图 题5图5. 单元体的应力状态如图所示，则主应力1σ、2σ分别为（ ）。
(应力单位MPa). -33-A ．901=σ，102-=σB ．1001=σ，102-=σC ．901=σ，02=σD ．1001=σ，02=σ 6. 如图6所示单元体最大剪应力m ax τ为（ ）。
A ．100 MPaB ．50 MPaC ．25 MPaD ．0题6图 题7图7. 单元体如图所示，关于其主应力有下列四种答案，正确的是（ ）。
A ．1σ＞2σ，03=σ B ．3σ＜2σ＜0，03=σ01=σ C ．1σ＞0，2σ= 0，3σ＜0，1σ＜3σ D ．1σ＞0，2σ= 0，3σ＜0，1σ＞3σ8. 已知应力圆如图7-22所示，图(a )、(b )、(c )、(d )分别表示单元体的应力状态和A 截面的应力，则与应力圆所对应的单元体为( )。
A ．图(a )B ．图(b )C ．图(c )D ．图(d )题8图9. 在图示四种应力状态中，其应力圆具有相同的圆心和相同的半径是（ ）。
-34-题9图A ．图(a )、图(d )B ．图(b )、图(c )C ．图(a )、图(b )、图(c ) 、图(d )D ．图(a )、图(d )、图(b )、图(c )10. 如图所示，较大体积的钢块上开有一贯穿的槽，槽内嵌入一铝质立方体，铝块受到均布压力P 作用，假设钢块不变形，铝块处于（ ）。
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
【孙训方】材料力学第7章应力状态和强度理论.pdf
W 03D
03D
03D
D
03D
03D
$
V R V
D D
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D
V V 03D
%
V[ D
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]
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D V D 03D W D 03D V 03D V V 03D
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F V 03D V V 03D D $
G V 03D V 03D V D $
03D 03D
VD
)V $
FRV D
d >V @
)V
>V @$
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WD
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VLQ D
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>V @ )W
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VLQ D
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D $ )V >V @$ )W >V @$
D $ )V >V @$ )W >V @$
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材料力学试卷试题(附参考答案)
一、简单计算题（共38分）1．如图所示是一枚被称为“孔方兄”的中国古钱币，设圆的直径为d ，挖去的正方形边长为b ，若2/d b =，求该截面的弯曲截面系数Z W 。
（6分）2. 已知某点处的应力状态如图所示，,MPa 100,MPa 60==στ弹性模量GPa 200=E ，泊松比25.0=ν，求该点处的三个主应力及最大正应变。
（6分）3．试画出低碳钢的拉伸应力－应变曲线，并在图上标出4个极限应力。
（4分）y4．已知交变应力的,MPa 5,MPa 3min max -==σσ， 求其应力循环特征r 及应力幅度a σ。
（4分）5．如图所示为矩形截面悬臂梁，在梁的自由端突然加一个重为Q 的物块，求梁的最大弯曲动应力。
（4分）Qhb6．如图所示为两根材料相同的简支梁，求两梁中点的挠度之比b a w w /。
（4分）7．两块相同的钢板用5个铆钉连接如图所示，已知铆钉直径d ，钢板厚度t ，宽度b ，求铆钉所受的最大切应力，并画出上钢板的轴力图。
（6分）)(b2/L 2/L )(a P8．超静定结构如图所示，所有杆件不计自重，AB为刚性杆，试写出变形协调方程。
（4分）Pa a a 2/AF二、作图示梁的剪力图与弯矩图。
（10分）三、不计剪力的影响，已知EI ，试用能量法求图示悬臂梁自由端的挠度A w 。
（12分）四、铸铁梁的载荷及截面尺寸如图所示，其中4cm 5.6012,mm 5.157==Z C I y 。
2A C已知许用拉应力MPa 40][=t σ，许用压应力MPa 160][=C σ。
试按正应力条件校核梁的强度。
若载荷不变，但将截面倒置，问是否合理？为什么？ （14分）五、圆截面直角弯杆ABC 放置于图示的水平位置，已知cm 50=L ，水平力（单位：mm ）200kN 40=F ，铅垂均布载荷m /kN 28=q ，材料的许用应力MPa 160][=σ，试用第三强度理论设计杆的直径d 。
材料力学 第七章 应力状态和强度理论
y
2
2 xy
tan 2a0
2 xy x
y
max
1
2
3
主应力符号与规定： 1 2 3 （按代数值）
§7-3 空间应力状态
与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
max 1 min 3
max
1
3
2
最大切应力位于与 1 及 3 均成45的截面上
针转为正，顺时针转为负。
tg 2a 0
2 x x
y
在主值区间，2a0有两个解，与此对应的a0也有两个解，其中落
在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
三、应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
a
x y
2
a x
x
y
2
y cos2a
2
sin 2a x c
x s os2a
in
2a
广义胡克定律
1、基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
同理
2
1 E
2
3
1
广义胡克定律
3
1 E
3
1
2
7-5, 7-6
§7-4 材料的破坏形式
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已 知条件。
《材料力学》第1到8章复习题
材料力学第一章复习题1，下列结论中正确的是（）A,内力是应力的代数和B,应力是内力的平均值C应力是内力的集度D内力必大于应力2. 一对自平衡的外载产生杆件的哪种基本变形只对杆件的某一局部存在影响。
( )A 拉伸与压缩B 剪切C扭转D弯曲3，已设计好的构件，若制造时仅对其材料进行更换通常不会影响其( )A稳定性 B 强度C几何尺寸D刚度4. 根据均匀性假设，可认为构件的下列各量中的( )在各点处都相同A屈服极限B材料的弹性常数C应力D应变第二章轴向拉伸压缩与剪切挤压的实用计算1.塑性材料的极限应力是A屈服极限B强度极限c比例极限D弹性极限2.脆性材料的极限应力是。
A屈服极限B比例极限C强度极限D弹性极限3.受轴向拉压的杆件内最大切应力为80 Mpa，则杆内最大正应力等于A160Mpa B 80Mpa C40Mpa D20Mpa4.在低碳钢Q235的拉伸试验中，材料暂时失去了抵抗变形能力是发生在哪个阶段A弹性B屈服C强化D缩颈断裂5材料进入强化阶段卸载，在室温中放置几天再重新加载可以获得更高的()。
A比例极限B强度极限C弹性变形D塑性变形6直径为d的圆截面钢杆受轴向拉力作用，已知其纵向线应变为e，弹性模量为E，杆轴力大小为()。
填空题(5.0分)7.在连接件上，剪切面和挤压面分别（)于外力方向8.连接件剪切强度的实用计算中去，许用切应力是由( )9.插销穿过水平放置的平板上的圆孔，在其下端受拉力F作用。
该插销的剪切面面积和挤压面面积分别等于( a)。
填空题(5.0分)10.低碳钢拉伸试验中滑移线是( )造成的。
11.外力消失后，变形也消失,这种变形为( )12.当延伸率小于( )时为脆性材料，当延伸率大于( )时为塑性材料13.一个结构中有三根拉压杆，设由这三根杆的强度条件确定的结构许用载荷分别为F1、F2、F3，且F1<F2<F3，则该结构的实际许可载荷[F]为判断题(5.0分)14低碳钢的抗拉能力小于抗剪能力（）A对 B 错15. 试求图中1-1，2-2，3-3截面上的轴力，并作轴力图。
德州学院,材料力学,期末试题7章习题讲解
德州学院,材料⼒学,期末试题7章习题讲解第七章⼒和应变分析强度理论 §7.1应⼒状态概述1.过受⼒构件内⼀点，取截⾯的不同⽅位，这⼀点在各个⾯上的（D ）. （A ）正应⼒相同，切应⼒不同；（B ）正应⼒不同，切应⼒相同；（C ）正应⼒和切应⼒都相同；（D ）正应⼒和切应⼒都不同。
2.关于单元体的描述，下列正确的是A（A ）单元体的三维尺⼨必须是微⼩的；（B ）单元体是平⾏六⾯体；（C ）单元体必须是正⽅体；。
（D ）单元体必须有⼀对横截⾯。
3.对于图⽰承受轴向拉伸的锥形杆上的A 点，哪⼀种应⼒状态是正确的Dxτxx4.在单元体的主平⾯上（）。
（A ）正应⼒⼀定最⼤；（B ）正应⼒⼀定为零；（C）切应⼒⼀定最⼩；（D ）切应⼒⼀定为零。
§7.2⼆向应⼒状态实例1. Q235钢制成的薄壁圆筒形蒸汽锅炉，壁厚δ，内径D ，蒸汽压⼒p ，试计算锅炉壁内任意⼀点处的三个主应⼒。
注：薄壁圆筒受⼒均匀，因此，任意点的应⼒状态均相同。
1.求⽔平⽅向上的正应⼒σx2.求竖直⽅向上的正应⼒σy3.求垂直于纸⾯⽅向上的正应⼒σz 薄壁圆筒与纸⾯垂直⽅向上的σz 为零.总结：薄壁圆筒的三个主应⼒为：薄壁圆筒为两向应⼒状态注意事项：1.注意单位配套使⽤；2. 纵向截⾯上正应⼒是横截⾯正应⼒的两倍；3.按规定排列正应⼒。
课本215页例7.1如下由Q235钢制成的蒸汽锅炉，壁厚δ=10mm，内径D=1m，蒸汽压⼒p=3MPa，试计算锅炉壁内任意⼀点处的三个主应⼒。
经分析，薄壁圆筒为两向应⼒状态2. 圆球形容器的壁厚为δ，内径为D，内压为p，求容器内任意⼀点的应⼒。
注：薄壁圆球受⼒均匀，因此，任意点的应⼒状态均相同。
1.求⽔平⽅向上的正应⼒σx2.求竖直⽅向上的正应⼒σy3.求垂直于纸⾯⽅向上的正应⼒σz薄壁圆筒与纸⾯垂直⽅向上的σz为零.球形薄壁容器的三个主应⼒为：受内压的球形薄壁容器为⼆向应⼒状态§7.3 ⼆向应⼒状态分析——解析法⼆向应⼒状态下，单元体各⾯上应⼒分量皆为已知，如下图所⽰：求垂直于xy平⾯的任意斜截⾯ef上的应⼒及主应⼒和主平⾯⼀.符号规定1.正应⼒正负号规定2.切应⼒正负号规定使微元或其局部顺时针⽅向转动为正；反之为负。
《材料力学》第7章应力状态和强度理论习题解.
第七章 应力状态和强度理论 习题解[习题7-1] 试从图示各构件中A 点和B 点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。
[习题7-1（a ）]解：A 点处于单向压应力状态。
224412d F d F F A N A ππσ-=-==[习题7-1（b ）]解：A 点处于纯剪切应力状态。
3316161d T d T W T P A ππτ-===MPa mm mm N 618.798014.310816336=⨯⋅⨯⨯=[习题7-1（b ）]解：A 点处于纯剪切应力状态。
0=∑AM04.028.02.1=⨯--⨯B R )(333.1kN R B =)(333.1kN R Q B A -=-=MPa mmN A Q A 417.01204013335.15.12-=⨯⨯-=⨯=τB 点处于平面应力状态MPamm mm mm N I y M zB B 083.21204012130103.0333.1436=⨯⨯⨯⋅⨯⨯==σMPa mm mm mmN b I QS z zB 312.0401204012145)3040(1333433*-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==τ[习题7-1（d ）]解：A 点处于平面应力状态MPa mm mm N W M zA A 064.502014.3321103.39333=⨯⨯⋅⨯==σMPa mm mm N W T PA 064.502014.3161106.78333=⨯⨯⋅⨯==τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540⨯的矩形。
在与轴线成045=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。
试求试样所受的轴向拉力F 。
解：AFx =σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 20x yx τσστ+-=A F 2045=τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时，1502045≤=AFτ kN N mm mm N A F 6060000540/30030022==⨯⨯==[习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。
第7章-应力状态和强度理论03
3）最大切应力理论(第三强度理论)
假设最大切应力max是引起材料塑性屈服的因 素，则：
max jx
对低碳钢等塑性材料，单向拉伸时的屈服是 由45°斜截面上的切应力引起的，因而极限应力 jx可由单拉时的屈服应力求得，即：
jx
因为： max
ss
2
常数
s1 s 3
对图示平面应力状态，不能分别用
s max [s ]
max [ ]
来建立，因为s与之间会相互影响。 研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一 定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这 就是强度理论的研究内容。
4）材料破坏的形式 常温、静载时材料的破坏形式大致可分为： • 脆性断裂型： 例如： 铸铁：拉伸、扭转等； 低碳钢：三向拉应力状态。 • 塑性屈服型： 例如： 低碳钢：拉伸、扭转等； 铸铁：三向压缩应力状态。 可见：材料破坏的形式不仅与材料有关，还与 应力状态有关。
单拉： s r 4 3 s s s 由此可得： s
1
3 [ ] 0.577[s ] 0.6[s ]
s s 0.577s s
例：两端简支的工字钢梁承受荷载如图a所示。已 知材料（Q235钢）的许用应力为[s]=170MPa和[]= 100MPa。试按强度条件选择工字钢号码。
W 508 10 m
6
3
再按切应力强度条件进行校核。对28a号工 字钢，查表可得截面几何性质为：
I z 71.14 10 6 m 4
Iz S z ,max
d 0.85 10 m
2
24.62 10 2 m
中性轴处的最大切应力（纯剪应力状态）为：
max
材料力学习题 应力状态分析答案详解
13、在图示梁的A点测得梁在弹性范围内的纵横方向的线应变 、 后，所能算出的材料常数有（ D ）。
（A）只有E；（B）只有v；（C）只有G；（D）E、v和G均可算出。
解析：中间段为纯弯曲，A点为单向拉伸，
则
14、纯剪应力状态下，各向同性材料单元体的体积改变有四种答案，正确答案是（ C ）。
解答：
确定 ， 确定
6、 物体内某一点，载荷系统Ⅰ和载荷系统Ⅱ单独作用时产生的应力状态分别如图（a）和（b）所示。试求两载荷系统同时作用时（仍处于弹性小变形）的主单元体和主应力。
解答：
7、构件上某点处的应力状态如图所示。试求该点处的主应力及最大切应力之值，并画出三向应力状态的应力圆。
解答：
8、图示单元体，已知 、 及该点的最大主应力 。求该点的另外两个主应力 、 及最大切应力 。
解答：
确定
确定
2、已知应力状态如图。试求主应力及其方向角，并确定最大切应力值。
解答：
确定
所以 确定
3、图示单元体，求：（1）指定斜截面上的应力：（2）主应力大小，并将主平面标在单元体图上。
解答：
确定
所以 确定
4、用解析法求图示单元体ab面上的应力（ ），并求 及主应力。
解答：
5、试求图示单元体主应力及最大切应力，并将主平面在单元体上标出。
由第三强度理论 安全
10、直径为20mm的圆截面折杆受力情况如图所示，已知：F＝0.2kN，材料的许用应力为 。试用第三强度理论确定折杆的长度a的许用值。
解答：
在危险截面A上危险点在七上下边缘
由第三强度理论
取
11、AB、CD两杆互相垂直，在水平面内，C点的集中力2F及D点的集中力F与刚架平面垂直。已知F＝20kN，l＝1m，各杆直径相同d＝10cm， 。试按最大切应力强度理论校核强度。
家电公司研发部资料材料力学习题答案(七)
第七章 应力状态和强度理论7-1 围绕受力构件内某点处取出的微棱柱体的平面图如图所示，已知该点处于平面应力状态，AC 面上的正应力σ＝－14MPa ，切应力为零，试从平衡方程确定σx 和τx 值。
答：σx ＝37.9MPa ,τx ＝74.2MPa 解：利用公式求解x x x x x cos 2sin 222sin 2cos 22yyyαασσσσσατασστατα+-=+--=+代入数据得x x x x x 9292140.3430.94229200.940.3432σστστ+--=+⨯-⨯-=⨯+⨯σx ＝37.9MPa ,τx ＝74.2MPa7-2 试绘出图示水坝内A 、B 、C 三小块各截面上的应力（只考虑平面内受力情况）。
A: B: C:7-3 已知平面应力状态如图所示，已知σx ＝100MPa ，σy =40MPa,以及该点处的最大主应力σ1＝120MPa ，试用应力圆求该点处的τx 及另外两个主应力σ2，σ3和最大剪应力τmax。
答：MPa,60,0MPa,20max 32===τσσx τ＝40 MPa 解：由应力圆分析可得A BC题 7 - 2 图题 7 - 1 图111(100,),(40,),(,0)x x c D D C ττσ'-x 121004070MPa221207050MPa 705020MPayc c c r r σσσσσσσ++====-=-=∴=-=-=是平面应力状态3=0σ∴222x x 13max (100)40MPa120060MPa 22c r σττσστ∴=-+⇒=--===7-4 已知平面应力状态一点处互相垂直平面上作用有拉应力90MPa 和压应力50MPa ，这些面上还有剪应力，如果最大主应力为拉应力100MPa ，试求：(1) 上述面上的切应力； (2) 此平面上另一主应力； (3) 最大切应力平面上的正应力； (4) 最大切应力。
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应力状态强度理论1.图示单元体，试求 (1) 指定斜截而丄的应力；(2) 主应力大小及主平而位置，并将主平而标在单元体上。
F<T r — CT V解：(1) (y (/ = — ----- + ---------- cos 2a 一 g sin 2& = 76.6 MPar r/ = ----- sin + r v cos2a =-32.7 MPaCc£X-50 ± 加 +(—129.9)2 = _50 ±1506=100 MPa, (r 2 = 0 , 6=-200 MPa解：b 、=150 MPa,「=—120 MPayx由 r = ----------- sin 2Q +「cos 2a = —~~— = -804522得 6 =-10 MPa3.—点处两个互成45°平面上的应力如图所示,其屮<7未知，求该点主应力。
max bmin81.98 MPa-121.98a = 81.98 MPa, <r 2 = 0 , cr 3 = -121.98 MPa^0=larctan(^^) = l arctan2 CT X -cr v 2402.某点应力状态如图示。
试求该点的主应力。
解：取合适坐标轴令6=25 MPa, r x =-129.9 MPa120"-- ----- sin 2a + T cos 2a = 0 得 = -125 MPa 2 -100MPa-200150 MPacr cr + cr所以max= __ ±2214.22MPa一74.226=214.22 MPa, cr2 = 0, <r3 = -74.22 MPa4.图示封闭薄壁圆筒，内径d=100 mm,壁厚f = 2 mm,承受内床“ =4 MPa, 外力偶矩M“=0・192 kN-mo求靠圆筒内壁任一点处的主应力。
解・・r常九严停32a=^- = 5Q MPax 4t<r v二四= 100 MPa、2tmax bmin 100.7MPa 49.356=100.7 MPa, 6=49.35 MPa, (r3 = -4 MPa5.受力体某点平面JL的应力如图示，求其主应力大小。
材料力学 第七章 应力状态与强度理论
取三角形单元建立静力平衡方程
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
2 2
cos 2 x sin 2
2 x y 2 x y ( ) ( cos 2 x sin 2 )2
2
2
x y
sin 2 x cos 2
( 0) (
x y
2
2
sin 2 x cos 2 )
max x y x y 2 x 2 2 min
2
max
1 3
2
例7-2 试求例7-1中所示单元体的主应力和最大剪应力。
（1）求主应力的值
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x y x y 2 2 x min 2
复杂应力状态下（只就主应力状态说明） 有三个主应力
1 , 2 , 3
1
E
由 1引起的线段 1应变 1
由 2引起的线段 1应变 1
2
由 3引起的线段1应变 1
3
E
E
沿主应力1的方向的总应变为：
1 1 1 1
1 42.4 1 3 2 0 MPa 由 max 3 2.4 2
材料力学习题应力状态分析答案详解
1、图示应力状态，按第三强度理论的强度条件为 。
（注： ）
解答：
2、第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为 及 ，对于纯剪切应力状态，恒有 / ＝ 。
解答：纯剪应力状态
3、一般情况下，材料的塑性破坏可选用最大剪应力或形状改变能密度强度理论；而材料的脆性破坏则选用最大拉应力或最大伸长线应变强度理论（要求写出强度理论的具体名称）。
解答：
17、一体积为10×10×10mm3的立方铝块，将其放入宽为10mm的刚性槽中，已知v（铝）=0.33，求铝块的三个主应力。
解答：
18、外径为D、内径为d的空心圆轴受扭转时，若利用一电阻应变片作为测力片，用补偿块作为温度补偿，采用半桥接线。问：（1）此测力电阻片如何粘贴可测出扭矩；（2）圆轴材料的E、v均为已知， 为测得的应变值，写出扭矩计算式。
解答：
7、构件上某点处的应力状态如图所示。试求该点处的主应力及最大切应力之值，并画出三向应力状态的应力圆。
解答：
8、图示单元体，已知 、 及该点的最大主应力 。求该点的另外两个主应力 、 及最大切应力 。
解答：
9、试确定图示单元体的最大切应力，以及图示斜截面上的正应力和切应力。
解答：
10、已知受力构件某处的 ， ， ，材料的E＝200GPa，v＝0.3。试求该点处的 、 。
解答：在危险截面A上危险点在七上下边缘
由第三强度理论
不安全
12、图示齿轮传动轴内电机带动，作用在齿轮上的力如图示，已知轴的直径d＝30mm，P＝0.8kN，Q＝2kN，l＝50mm，齿轮节圆直径D＝200mm。试用第三强度理论校核轴的强度。已知轴的 。
13、图示传动轴，皮带轮Ⅰ直径D1＝80cm，皮带轮Ⅱ直径D2＝40cm，已知轴的许用应力 。试以第四强度理论设计轴的直径d，并指出危险截面位置，画出危险点的应力状态。
材料力学 应力状态和强度理论答案
7-1(7-3) 一拉杆由两段杆沿m-n面胶合而成。
由于实用的原因，图中的角限于范围内。
作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。
现设胶合缝的许用切应力为许用拉应力的3/4，且这一拉杆的强度由胶合缝的强度控制。
为了使杆能承受最大的荷载F，试问角的值应取多大？解：按正应力强度条件求得的荷载以表示：按切应力强度条件求得的荷载以表示，则即：当时，，，时，，，时，，时，，由、随而变化的曲线图中得出，当时，杆件承受的荷载最大，。
若按胶合缝的达到的同时，亦达到的条件计算则即：，则故此时杆件承受的荷载，并不是杆能承受的最大荷载。
返回7-2(7-7)试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。
解：=由应力圆得返回7-3(7-8)各单元体面上的应力如图所示。
试利用应力圆的几何关系求：（1）指定截面上的应力；（2）主应力的数值；（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。
解：（a），，，，（b），，，，（c）, , ,（d），，，，，返回7-4(7-9) 各单元体如图所示。
试利用应力圆的几何关系求：（1）主应力的数值；（2）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。
解：（a），，，（b），，，（c），，，（d），，，返回7-5(7-10)已知平面应力状态下某点处的两个截面上的应力如图所示。
试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角值。
解：由已知按比例作图中A，B两点，作AB的垂直平分线交轴于点C，以C为圆心，CA或CB为半径作圆，得（或由得半径）（1）主应力（2）主方向角（3）两截面间夹角：返回7-6(7-13) 在一块钢板上先画上直径的圆，然后在板上加上应力，如图所示。
试问所画的圆将变成何种图形？并计算其尺寸。
已知钢板的弹性常数E=206GPa，=0.28。
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(2) 主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。
解：(1) MPa6.762sin 2cos 22=--++=ατασσσσσαx yx yxMPa 7.322cos 2sin 2-=+-=ατασσταx yx(2)22min max )2(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=98.12198.81-=MPa 98.811=σMPa ，02=σ，98.1213-=σMPa35.3940200arctan 21)2arctan(210==--=yx xyσστα2. 解：取合适坐标轴令25=x σ MPa ，9.129-=x τ由02cos 2sin 2120=+-=ατασστxy yx得125-=y σMPa所以22m in m ax )2(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=20010015050)9.129(755022-=±-=-+±-= MPa1001=σ MPa ，02=σ，2003-=σ MPa3. 一点处两个互成 45平面上的应力如图所示，其中σ未知，求该点主应力。
解：150=yσ MPa ，120-=x τ MPa由 ατασστ2cos 2sin 245xy yx +-=802150-=-=x σ得 10-=x σ MPa所以 22min max )2(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=22.7422.214-=MPa22.2141=σ MPa ，02=σ，22.743-=σ4. 图示封闭薄壁圆筒，内径100=d mm ，壁厚2=t mm ，承受内压4=p MPa ，外力偶矩192.0=e M kN ·m 。
求靠圆筒内壁任一点处的主应力。
解：75.505.032)1.0104.0(π10192.0443=⨯-⨯=x τ MPa 504==t pd x σ MPa1002==tpd y σ MPa35.497.100)2(222min max =+-±+=xy y x y x τσσσσσσ MPa7.1001=σ MPa ，35.492=σ MPa ，43-=σ MPa5. 受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。
解：取坐标轴使100=xσMPa ，20=x τατασσσσσα2sin 2cos 22x yx yx --++='45-M e40120sin 20120cos 21002100=--++= yyσσ得1.43=yσMPa22min max )2(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=77.3633.106=MPa 33.1061=σMPa ，77.362=σMPa ，03=σ6.解：22min max )2(2xyy x y x τσσσσσσ+-±+=16.4216.5216.47540252203022-=±=+±-=MPa 所以2.521=σMPa ，102=σMPa ，16.423-=σMPa2.47231max =-=σστMPa7. 图示工字形截面梁AB ，截面的惯性矩61056.72-⨯=z I m 4，求固定端截面翼缘和腹板交界处点a 的主应力和主方向。
解：17.361056.7207.075.0105063=⨯⨯⨯⨯=-σ MPa （压应力） 8.81056.7203.01085301501050693=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--τ MPa22min max )2(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=2.3803.2-= MPa 03.21=σ MPa ，02=σ，2.383-=σ MPa05.7717.368.82arctan 21)2arctan(210=⨯-=--=y x xy σστα50kN AB0.75mσ305.77τaσaσ18. 图示矩形截面拉杆受轴向拉力F ，若截面尺寸b 、h 和材料的弹性模量E ，泊松比ν均已知，试求杆表面 45方向线段AB 的改变量=∆AB L ？ 解：bhFx=σ，0=y σ，0=xy τ bh F2=ασ，bh F 22=+απσ（ 45=α所以)1(2)22(145v EbhF bh F bh F E -=-=νεEbF Ebh Fh AB L AB 2)1(2)1(2245ννε-=-⨯==∆9. 一边长为50 mm 的正方形硬铝板处于纯剪切状态，若切应力80=τ MPa ，并已知材料的弹性模量72=E GPa ，泊松比34.0=ν。
试求对角线AC 的伸长量。
解：8045=σMPa ，80135-=σMPa 39451048.1)8034.080(10721-⨯=⨯+⨯=ε 25=AC L00105.01048.1253=⨯⨯=∆-AC L mm10. 一变形体A 四周和底边均与刚性边界光滑接触，上边受均布压力0σ。
已知材料的的弹性模量E ，水平方向上的应变和应力。
解：0σσ-=y，z x σσ=，0==z x εε0)]([1=+-=z y x x Eσσνσε，得到10-==ννσσσz x )121()]12([1)]([12000ννσννσνσσσνσε---=---=+-=E E E z x y y11. 设地层由石灰岩组成，其密度3105.2⨯=ρ kg/m 3，泊松比2.0=ν。
计算离地面200m 深处的地压应力。
解： 9.42008.9105.23-=⨯⨯⨯-=y σ MPaz xσσ=，0==z x εε0)]9.4(2.0[1=+-⨯-=z x x Eσσε得到22.1-==z xσσ MPa12. 一体积为101010⨯⨯ mm 3的立方铝块，将其放入宽为10 mm 的刚性槽中。
已知铝的泊松比ν33.0=解： 6001.001.010633-=⨯⨯-=σMPa, 01=σ 由 0)6033.0(122=⨯+=σεE得 8.192-=σ13. 直径为D 的实心圆轴，受外力偶e M 作用如图。
测得轴表面点A 与轴线成 45方向的线应变为ε，试导出用e M 、D 、ε表示的切变弹性模量G 的表达式。
解：τσ=-45， τσ-=45τνε)1(145+=E，所以ετG 2= 又316D M e πτ=，所以ED M G e38π=14. 直径100=d mm 的圆轴，受轴向拉力F 和力偶矩e M 作用。
材料的弹性模量200=E GPa ，泊松比3.0=ν。
现测得圆轴表面200mσxσzσy的轴向线应变6010500-⨯=ε， 45方向的线应变64510400-⨯=ε，求F 和e M 。
解：7850=⋅=A E F ε kN 设力偶矩引起的切应力为ττσ+=-5045，τσ-=5045)(1454545 νσσε-=-E ]10)50(3.010)50[(102001669⨯-⨯-⨯+⨯=ττ 610400-⨯=6.34=τ MPa ，又3)1.0(π16⨯=M τ8.6=e M kN ·m15. 直径100=d mm 的实心钢球，受静水压力42=p MPa 作用。
求直径和体积的缩减量。
设钢球的弹性模量210=E GPa ，泊松比3.0=ν。
解：因为42321-=-===q σσσ MPa所以333211024.042310210)3.021()(21-⨯-=⨯⨯⨯⨯--=++-=σσσνθE533211108102108.16)]([1-⨯-=⨯-=+-=σσνσεE 得 23310257.1100)6(1024.0--⨯-=⨯⨯⨯-==∆πθV V mm 3351108100108--⨯-=⨯⨯-==∆d d ε mm16. 边长10=a 0 mm 的立方体，已知弹性模量200=E GPa ，泊松比3.0=ν。
如将立方体沉入100 m 深的水中，求其体积变化。
解：因为1321-=-===gh ρσσσMPa)(21321σσσνθ++-=E 63106)3(102006.01-⨯-=-⨯⨯-= 61.01.01.01066-=⨯⨯⨯⨯--==∆-V V θ mm 3ττ17. 图示拉杆，F ，b ，h 及材料的弹性常数E 、ν均为已知。
试求线段AB 的正应变和转角。
解：bhF x =σ，bhF 213545==σσ所以)1(2)(!13545ννσσε-=-=bhEF E AB 又因为bhE F x =ε，bhEFv y -=ε所以bhEv F bhE vF bhE F AB )1()(45+-=+-== γϕ18. 图示曲拐ABC 在水平面内，悬臂端C 处作用铅垂集中力F 。
在上表面E 处，沿与母线成 45方向贴一应变片，已测得线应变45ε，求载荷F 值。
已知长度l 、a 、直径d 及材料的常数E 、v 。
解：应力状态如图示，332d Fl πσ=，316d Faπτ= τσσ+=245，τσσ-=-245所以)(!454545--=σσεv E所以)1(16)1(16345v a v l dE F ++-=πε19. 三个弹性常数之间的关系：)]1(2/[ν+=E G 适用于(A)任何材料在任何变形阶段； (B)各向同性材料在任何变形阶段；(C)各向同性材料应力在比例极限范围内； (D)任何材料在弹性变形范围内。
答：C20. 一实心均质钢球，当其外表面处迅速均匀加热，则球心O 点处的应力状态。
(A)单向拉伸应力状态； (B)二向拉伸应力状态； (C)三向等值拉伸应力状态； (D)三向压缩应力状态。
答：C/2στσ/2σ21. 混凝土立方体试样作单向压缩试验时，若在其上、下压板面上涂有润滑剂，则试样破坏时将沿纵向剖面裂开的主要原因。
(A)最大压应力； (B)最大切应力； (C)最大伸长线应变； (D)存在横向拉应力。
答：C22. 已知单元体的主应力为1σ，2σ，推证两相互垂直的截面上的正应力之和为常数 。
证：ασσσσσα2cos 222121-++=)90(2cos 222121︒+-++=ασσσσσβ=+=+21σσσσβα常数 得证。
23. 受内压的薄壁圆筒，已知内压为p ，平均直径为D ，壁厚为t ，弹性常数为E 、ν。
试确定圆筒薄壁上任一点的主应力、主应变及第三、第四强度理论的相当应力。
解：tpD 21=σ，tpD 42=σ，03=σ)2(4)42(1)(1211νννσσε-=-=-=tE pD t pD t pD E E)21(4)24(1)(1122νννσσε-=-=-=tE pD t pD t pD E EtEpD t pD E E 43]430[1)](0[1213ννσσνε-=-=+-= tpD231r3=-=σσσ ])()()[(21213232221r4σσσσσσσ-+-+-=tpD43=24. 图示正方形截面棱柱体，弹性常数E 、ν均为已知。