海盗博弈论

海盗博弈论

Charlesgao发表于2011-06-09 17:39:44

海盗分金是一个非常古老的问题，在1999年《科学美国人》正式把它发表之前，已经至少流行10年了，相信很多人都有所耳闻，也知道解法。此前死理性派也对这个问题也有所涉及。今天我们就来回顾一下这个有意思的问题，并且在把问题推广到大规模海盗团伙后，会得出一些非常有意思的结论。

分金的规则

有五个非常聪明的海盗，他们都是死理性派，编号分别是P1、P2、P3、P4、P5。他们一同抢夺了100个金币，现在需要想办法分配这些金币。

海盗们有严格的等级制度：P1

海盗们的分配原则是：等级最高的海盗提出一种分配方案。然后所有的海盗投票决定是否接受分配，包括提议人。并且在票数相同的情况下，提议人有决定权。如果提议通过，那么海盗们按照提议分配金币。如果没有通过，那么提议人将被扔出船外，由下一个最高等级的海盗再提出新的分配方案。

海盗们基于三个因素来做决定。首先，要能留在船上存活下来。其次，要使自己的利益最大化(即得到最多的金币)。最后，在所有其他条件相同的情况下，优先选择把别人扔出船外（这是因为每个海盗都想夺占这条船的控制权）。

海盗的逻辑

现在，假如你是等级最高的P5，你会做何选择？直觉上，为了保住自己的生命，你可能会选择留给自己很少的金币，以便让大家同意自己的决策。然而，结果和此大相径庭。

解决这个问题的关键在于换个思维方向。与其苦思冥想你要做什么决策，不如先想想最后剩下的人会做什么决策。假设现在只剩下P1和P2了，P2会做什么决策？很明显，他将把100金币留给自己，然后投自己一票。由于在票数相同的情况下提议人有决定权，无论P1同不同意，P2都能毫无危险地将所有金币收入囊中。

现在再把P3考虑进来。P1知道，如果P3被扔下海，那么游戏就会出现上述的情况，自己终将一无所获。由于他们都很聪明，P3同样能看到这一点，所以他知道，只要给P1一点点利益，P1就会投票支持他的决策。所以P3最终的决策应该是：( P3,P2,P1 ) → ( 99,0,1 ) P4的策略也类似：由于他需要50%的支持率，所以他只需贿赂1个金币给P2就可以了。P2一定会支持他(否则轮到P3做决策，他就一无所获啦)。所以P4最终的决策是：

( P4,P3,P2,P1 ) → ( 99,0,1,0 )

P5的情况稍有不同：由于这次一共有5个人，他至少需要贿赂两个海盗才能使自己的决议通过。所以决策就是：( P5,P4,P3,P2,P1 ) → ( 98,0,1,0,1 )

这个结果是不是很出乎意料？你不但可以保全自己，还能得到绝大部分的利益！其实这里面蕴含着递归的思想，它是解决许多问题(如汉诺塔问题，全排列问题，整数划分问题等)的有利手段。好了，看到这里，想必你一定在感慨：哎，还是做上司(等级高)好啊！且慢！问题还没有结束。

如果有更多的海盗

真实情况下海盗的数目肯定不止5个。继续按照这个逻辑推理，P6的决策将是：

( P6,P5,P4,P3,P2,P1 ) → ( 98,0,1,0,1,0 )

一直到P200，它会给自己留1个金币，同时给剩下所有偶数编号的海盗1个金币。

如果海盗数是201个，那么P201该怎么做呢？他好像没有足够的钱去贿赂别的海盗了。不过，为了保住自己的性命，他可以把自己手中的金币全分出去，即给每个奇数编号的海盗(P1~P199)一个金币。这样虽然空手而归，但不至于人财两空。

如果海盗数是202个，P202也只能把这100个金币全部贿赂给其他100个海盗，而这100个海盗必须是在P201做决策时什么也得不到的海盗。由于符合这样条件的海盗有101个(所有偶数编号的海盗+P201)，P202的决策不再是唯一的！有101种方案供他选择。

可怜的是P203，由于人数众多，他实在没有足够的钱去贿赂其他海盗以获得足够的支持(他至少还需要获得101个人的支持，但只有100个金币)。所以，不论P203做什么决策，他都难逃被扔出船外的厄运了。不过P203并没有我们想象中的那么悲剧，除非船上正好有且只有203个海盗。不妨再来看增加一个海盗P204的情况。P204明白，P203现在的唯一愿望就是活下来…不论他做什么决策，P203都会举双手支持他(当然举多少手都只能算一

票)。所以P204可以靠他自己的一票，P203的一票和贿赂另外100个海盗获得正好50%的支持。

P205就没有那么幸运了。他不能无偿的得到P203和P204的支持。所以如果轮到P205

做决策，他也必定被扔到船外。P206也一样，尽管他能得到P205的免费支持，但是这还不够。P207需要得到至少104个海盗的支持，所以有了P205,P206的无偿支持还是不够。P208就比较幸运了，他需要得到104个海盗的支持，P205,P206,P207为了保命会无偿支持他，加上他自己，再贿赂100个海盗，正好104票。

到这里我们又看出了新的规律：

从P201之后，在每两个能够作出决策保住自己生命的海盗之间，存在着一些无论如何决策都会被扔到船外的海盗。而这些海盗会支持在这之后的那个能够做出决策的海盗以保命。用数学来表达，设在P201之后，能在轮到自己作决策时，保住性命的海盗编号所组成的序列为a(n)。我们有

a(0)=202 (1)

a(n)-a(n-1)+100= [a(n)/2] (2)

对于(2)，

若a(n)是偶数，则a(n)=2a(n-1)-200

若a(n)是奇数，则a(n)=2a(n-1)-199

给定一个固定的初值，数列的下一项有两个可能解：一个奇数解、一个偶数解，且偶数解比奇数解小1。再考虑我们原问题的意义，当达到偶数解时，偶数编号的海盗已经能够做出决策保全自己。这说明我们应该舍弃所有奇数解（因为相同情况下，海盗会选择把决策人扔出船外）。