激光原理与技术 第7讲 高斯光束的聚焦和准直
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高斯光束与准直器简介
Z A 2p
N0
1.5868
8.14 103
2
A
0.3238
5.364103
2
2.626104
4
• 其中p为透镜周期，透射端与反射端的G-lens周期p分别为 0.23与0.25
基模高斯光束q参数
• q参数 描述高斯光束传播至Z轴某一坐标时的性质
R
典型光学系统的传输矩阵
准直器传输矩阵
C-lens系统等于上页所举三个系统的组合，那么它的传输矩阵M等 于三个系统各自矩阵的乘积。
M
1 1
n
R
n0 10
L1 10
0 1
n
AC CC
BC
DC
G-lens由于具有渐变的折射率分布，传输矩阵比C-lens复杂 可以在供应商的网站上查到各型号G-lens对应的传输矩阵
Re
1 q3
0
对于结构确定的lens与pigtail来说，左式中只 有z1与z2变量，则最终将得到一个
z2 f (z1)
的关系式，由此得出一条工作距离与后截距的 曲线。
准直器出射光束腰和工作距离
另外，由上方程组计算可得：
出射光束腰w02与 后截距z1的关系
02 01
高斯光束与准直器简介
(2011年3月)
编写: 豆西博
摘要
• 高斯光束 • 准直器传输矩阵 • q参数 • 准直器模型与系统结构模拟 • 高斯光束耦合 • 插损、回损的测试
• 高斯光学，也称近轴光学，是指只考虑与轴紧邻的那 些点和光线，在计 算中略去离轴距里或者光线和轴的
激光聚焦PPT课件
料逐点去除，其先进性在于标记过程为非接触性加工，
不产生机械挤压或机械应力，因此不会损坏被加工物
品；由于激光聚焦后的尺寸很小，热影响区域小，加
工精细，因此，可以完成一些常规方法无法实现的工
艺。
4
.
激光打孔 随着近代工业和科学技术的迅速发展，使用硬度大
、能：熔满点足高某的些材工料艺越要来求越。多，而传统的加工方法已不
面上的高斯光束光斑半 径。
提取
1
2
'
0
F1 2 22 0 1 l 0 2 2 F 2 222l
则
'2 0
2F 2 22 l
0'
2F2 22 l
l
F21
当 l F直接可知
l'
F
lFF2
lF2
022
F 1
F
.
2
lF
l02F
l' F
22
6
一个个细微的、高能量密度光斑，焦斑 位于待加工面附近，以瞬间高温熔化或
.
激光聚焦的应用
激光焊接 普通电焊是靠电焊条接触时产生的高温来融化原材料，
融化的电焊条材料会和原材料混合，如果两种材料融 合不好，焊点就不太结实。 激光焊接是一种新型的焊接方式，靠激光融化原材料， 然后融合在一起，激光焊接主要针对薄壁材料、精密 零件的焊接，可实现点焊、对接焊、叠焊、密封焊等， 其特点有：
.
2
0'
F
2 2 0
F
l 2
02
2
16
1、F一定时， 随0' l变化的情况
.
2
0'
F
2 2 0
F
高斯光束-聚焦与准直
2 2
高斯光束的聚焦
F f
ω0 ' ω0
(2)F< f
ω0 ' ω0
１ F f
1
f 1+ ( F ) 2
2
1
有：
ω0' =1 ω0
ω0
0
F− F − f2
F
F+ F2 −f 2
l
结论： ①若F< f,总有聚焦作用 ②若F ＞ f,只有
l < F − F2 − f 2
1
f 1+( F) 2
证：令 ω
'
(2)
① ②
+ z2 =1 f
1 1 1 1− i 1 1 1 λ (= )= = = − i (= − ) q z + if 1+ i 2 2 2 R πω 2 2λ 1 λ 1 1 ω= = = π πω 2 2 R 2
R = 2m
=
2 × 3 .14 × 10 − 6 = 1 .414 mm 3 .14
ω0' 有极大值 ω0
ω0' = ω0
1 1 + ( )2 f
F =l+
f2 l
高斯光束的聚焦 将 F =l+
代入
ω0' = ω0
ω0' = ω0
f 2 l2 + f 2 = l l F (l − F ) 2 + f 2
2 2
(3) F = R(l ) = (l + (4)F →∞时，
l + f l f4 + f l2
λ z2 (f + ) π f
2 2
R( z ) = z +
高斯光束的聚焦
F f
ω0 ' ω0
(2)F< f
ω0 ' ω0
１ F f
1
f 1+ ( F ) 2
2
1
有：
ω0' =1 ω0
ω0
0
F− F − f2
F
F+ F2 −f 2
l
结论： ①若F< f,总有聚焦作用 ②若F ＞ f,只有
l < F − F2 − f 2
1
f 1+( F) 2
证：令 ω
'
(2)
① ②
+ z2 =1 f
1 1 1 1− i 1 1 1 λ (= )= = = − i (= − ) q z + if 1+ i 2 2 2 R πω 2 2λ 1 λ 1 1 ω= = = π πω 2 2 R 2
R = 2m
=
2 × 3 .14 × 10 − 6 = 1 .414 mm 3 .14
ω0' 有极大值 ω0
ω0' = ω0
1 1 + ( )2 f
F =l+
f2 l
高斯光束的聚焦 将 F =l+
代入
ω0' = ω0
ω0' = ω0
f 2 l2 + f 2 = l l F (l − F ) 2 + f 2
2 2
(3) F = R(l ) = (l + (4)F →∞时，
l + f l f4 + f l2
λ z2 (f + ) π f
2 2
R( z ) = z +
3.14 高斯光束的聚焦与准直资料
1 0' 2
1
02
0
R(l ) / 2
R (l )
F
一、高斯光束的聚焦
2. l一定时，ω0’随F 的变化情况 表明，当l一定时，透镜的焦距只有小于光束 在透镜处波阵面曲率半径的一半时，透镜对高斯 光束才有聚焦作用。
一、高斯光束的聚焦
例题1：波长为3.14微米的高斯光束，束腰半径1 毫米，使用焦距F=0.1m的透镜对它进行聚焦， 分别将透镜置于束腰处、距离束腰2m处，求：聚 焦后的束腰半径及位置。
1 03 F2 f1 2 F2 f1 2 M ' 1 ( ) 1 ( ) 2 3 01 01 F1 f1 F1
F2 F1 2 F2 1 ( ) M F1 f1 F1 F2 M (几何压缩比） F1
二、高斯光束的准直
3. l1>>F1时，利用望l一定时，ω0’随F 的变化情况
1 2 0'
1
02
0
R(l ) / 2
R (l )
F
一、高斯光束的聚焦
2. l一定时，ω0’随F 的变化情况
令式中0 0' F 2 (l F ) 2 f 2 l 2 F 2 2lF f 2 1 f2 1 F (l ) R(l ) 2 l 2 R(l )为透镜处波阵面的曲率半径, 1 1 1 当F R (l )时， 2 2 , 即0 ' 0 2 0 ' 0
一、高斯光束的聚焦
② 当 l >>F 时，有：
02 F 02 F F 0 ' 2 2 2 f (l ) 0 (l ) l 2 l f (l ) f 0 1 ( ) f
1
02
0
R(l ) / 2
R (l )
F
一、高斯光束的聚焦
2. l一定时，ω0’随F 的变化情况 表明，当l一定时，透镜的焦距只有小于光束 在透镜处波阵面曲率半径的一半时，透镜对高斯 光束才有聚焦作用。
一、高斯光束的聚焦
例题1：波长为3.14微米的高斯光束，束腰半径1 毫米，使用焦距F=0.1m的透镜对它进行聚焦， 分别将透镜置于束腰处、距离束腰2m处，求：聚 焦后的束腰半径及位置。
1 03 F2 f1 2 F2 f1 2 M ' 1 ( ) 1 ( ) 2 3 01 01 F1 f1 F1
F2 F1 2 F2 1 ( ) M F1 f1 F1 F2 M (几何压缩比） F1
二、高斯光束的准直
3. l1>>F1时，利用望l一定时，ω0’随F 的变化情况
1 2 0'
1
02
0
R(l ) / 2
R (l )
F
一、高斯光束的聚焦
2. l一定时，ω0’随F 的变化情况
令式中0 0' F 2 (l F ) 2 f 2 l 2 F 2 2lF f 2 1 f2 1 F (l ) R(l ) 2 l 2 R(l )为透镜处波阵面的曲率半径, 1 1 1 当F R (l )时， 2 2 , 即0 ' 0 2 0 ' 0
一、高斯光束的聚焦
② 当 l >>F 时，有：
02 F 02 F F 0 ' 2 2 2 f (l ) 0 (l ) l 2 l f (l ) f 0 1 ( ) f
高斯光束的聚焦和准直
0 F1 f
八、高斯光束的自再现变换与稳定球面腔
• 利用透镜实现自再现变换
当透镜的焦距等于高斯光束入射在透镜表面上的波 面曲率半径的一半时，透镜对该高斯光束作自再现 变换。
• 球面反射镜对高斯光束的自再现变换
当球面镜的曲率半径与高斯光束入射在球面镜表面 上的波前曲率半径相等时，球面镜对该高斯光束作 自再现变换。
基模高斯光束的特征参数 用参数0（或f）及束腰位置表征高斯光束 用参数(z)和R(z)表征高斯光束 高斯光束的q参数 • 高阶高斯光束（厄米特－高斯光束和拉盖尔高 斯光束，存在于什么腔型中？）
六、高斯光束q参数变换规律
• 高斯光束的q参数与点光源发出光波的等 相位面半径R在光学系统中的变换规律相 A B 同。当高斯光束经过一个变换矩阵为 C D 的光学系统时，若入射及出射的q参数分 别为q1和q2，则遵循以下变换规律
主要内容： • 概述－光腔理论的一般问题 • 共轴球面腔的稳定性条件 • 开腔模式和衍射理论分析方法 • 稳定球面腔中的模结构 • 高斯光束的基本性质及特征参数 • 高斯光束q参数变换规律 • 高斯光束的聚焦和准直 • 高斯光束的自再现变换与稳定球面腔 • 光束衍射倍率因子M2 • 非稳腔
本章总结
2
2 0 (F l) ( )2 2
2 F 2 0
(1)若F一定， 当l<F时， 0随l的减小而减小； 当l=0时， 0达到最小值；当l>F时， 0随l的 增大而减小； 当l时， 00， l F ；当 l= F时， 0达到极大值， 0＝(F/0)。
d1 d2
R1=∞
F
R2=∞
第二章作业（二） • 基本题：书本98－100页10、15、17、23、 27 • 附加题： 26、24（主镜口径改为10cm）
八、高斯光束的自再现变换与稳定球面腔
• 利用透镜实现自再现变换
当透镜的焦距等于高斯光束入射在透镜表面上的波 面曲率半径的一半时，透镜对该高斯光束作自再现 变换。
• 球面反射镜对高斯光束的自再现变换
当球面镜的曲率半径与高斯光束入射在球面镜表面 上的波前曲率半径相等时，球面镜对该高斯光束作 自再现变换。
基模高斯光束的特征参数 用参数0（或f）及束腰位置表征高斯光束 用参数(z)和R(z)表征高斯光束 高斯光束的q参数 • 高阶高斯光束（厄米特－高斯光束和拉盖尔高 斯光束，存在于什么腔型中？）
六、高斯光束q参数变换规律
• 高斯光束的q参数与点光源发出光波的等 相位面半径R在光学系统中的变换规律相 A B 同。当高斯光束经过一个变换矩阵为 C D 的光学系统时，若入射及出射的q参数分 别为q1和q2，则遵循以下变换规律
主要内容： • 概述－光腔理论的一般问题 • 共轴球面腔的稳定性条件 • 开腔模式和衍射理论分析方法 • 稳定球面腔中的模结构 • 高斯光束的基本性质及特征参数 • 高斯光束q参数变换规律 • 高斯光束的聚焦和准直 • 高斯光束的自再现变换与稳定球面腔 • 光束衍射倍率因子M2 • 非稳腔
本章总结
2
2 0 (F l) ( )2 2
2 F 2 0
(1)若F一定， 当l<F时， 0随l的减小而减小； 当l=0时， 0达到最小值；当l>F时， 0随l的 增大而减小； 当l时， 00， l F ；当 l= F时， 0达到极大值， 0＝(F/0)。
d1 d2
R1=∞
F
R2=∞
第二章作业（二） • 基本题：书本98－100页10、15、17、23、 27 • 附加题： 26、24（主镜口径改为10cm）
第7讲 高斯光束的聚焦和准直(PPT文档)
f F2
0 F
2
C
0
F
7.2 高斯光束的聚焦
– 高斯光束的聚焦，指的是通过适当的光学系统 减小像方高斯光束的束腰半径，从而达到对其 进行聚焦的目的。
– 1、F一定时，ω’0随着l变化的情况 我们将通过前面得到的高斯光束通过薄透镜变 换时束腰半径变换规律研究其规律：
激光原理与技术·原理部分
第7讲 高斯光束的聚焦、准直
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
– 已知入射高斯光束束腰半径为ω0，束腰位置
与透镜的距离为l，透镜的焦距为F，各参数相
互关系如下图，则有：
L
–
z=0处，q(0)
q0
i
2 0
/
0
0 ' C
– 在A面处：q(A) q0 l
–
在B面处：q(1B)
0
2
1 F2
0
2
1
l
2 0
2
2 F 2
2
2(l
)
'0
(l)
F
此时
l'
F
(l
(l F)2
F )F 2
2 0
/ 2
lF F
0
F
7.2 高斯光束的聚焦
若同时满足
l
f
2
a ib
其中：
f
2 0
F 2(F l)
a
(F
高斯光束的基本性质及特征参数PPT课件
§2.8 高斯光束的自再现变换
自再现变换：如果一个高斯光束通过透镜后其结构不发生变化，即参数0或f不变，
或同时满足0 = 0、 l=l。
•利 用 透 镜 实 现 自 再 现 变 换 ：
令 •当 透 镜 的 焦 距 等 于 高 斯 光 束 入 射 在 透 镜 表 面
该高斯光束
l F
作
自(l
(l F
• 参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知道了高斯光束在某位置处的q参数值， 可由下式求出该位置处(z)和R(z)的数值
1 Re[ 1 ]
R(z)
q(z)
1 2 (z)
Im[ 1 ] q(z)
用q0=q(0)表示z=0处 的参数值（purely
imaginary），得出
1 q0
1 q(0)
如果知道了某给定位置处的(z)和R(z)，可决
定高斯光束腰斑的大小0和位置z
00
(高x, y斯, z)光 束c 的exqp参{i数k r2
(z)
2
[
1 R(z)
i
2 (
z)
]
}ex
p
[i(kz
arctg
z f
)]
引入一个新的参数q(z)，定义为
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
第6页/共40页
0 >>f
F ，l
0
l F
不l=论F，l的值0为达多到大极，大只值要，F<f满足，就能，实现一定 的且聚焦作用，。仅当F<f时，透镜才有聚焦作用。
第20页/共40页
l 确定， 0随F变化情况
当 F R(l) 2 ，透镜才能对高斯光束起聚焦作用。F 愈小，聚集效果愈好
高斯光束和准直器简介.ppt
r
M r'
'
称矩阵M为介质的光线变换矩阵。
r'' C AD B r
M C AD B
伴轴子午光学系统的变换矩阵
• 若光线连续通过变换矩阵为M1,M2…Mn的光学系统
r00 M 1 M 2 M nrnn
则，
rnnMnM2M1r00
即整个光学系统的变换矩阵M=Mn*…M2*M1
z
1
2
1
z
2
2 0
Lateral shift misalignment
e
r 0
2
r
Waist mismatch misalignment
41222 12 22
2
光无源器件中高斯光束耦合损耗分析
LOS1 Sl0og
• 各种耦合失配一般是同时发生的；例如振动，冲击，受潮…
• 调节过程中常出现的失配现象；
准直器的q传输计算实例（c-lens）
通过q传输理论，我们可以简单的得到准直器的出射光束腰大小及工作距 离与输入光束腰，位置的关系。选择合适的准直器工作距离和束腰是器件 设计的一项重要工作。
根据q传输ABCD公式，有
q0
i
2 01
q1 q 0 z1
q2
Aq Cq
1 1
B D
q3 q2 z2
SMF28 光纤，L3.85*R1.8 c-lens
如何控制准直器的出射光束腰大小，位置？
• 准直器的设计决定了出射光束腰大小，位置的可调节范围。
– 增大/减小入射光束腰w01, 出射光束腰减小/增大，工作距离可调范 围减小/增大；增大/减小c-lens的曲率半径R,出射光束腰增大/减小， 工作距离可调范围增大/减小；可通过设计透镜长度控制后截距的大 小，适应不同器件的需要；改变透镜的折射率特性可改变出射光的 特性，目前c-lens的材料业界已基本统一为SF11。
激光物理第1.3章 高斯光束
1 1 i 2 q( z ) ( z ) ( z )
z = 0 ，ρ(0)→∞，
(0) 0
1 1 1 i q0 q( 0 ) ( 0 ) 2 ( 0 )
02 q0 i iz0
可将高斯光束表示为
0 E ( x , y , z ) E0 e z
(1.3.30)
注意到类透镜介质中传播距离z时的变换矩阵为
A B cos z C D sin z sin z cos z 1
Aq0 B qz Cq0 D
1.4 基横模高斯光束变换的ABCD定律
证明
Aq1 B q2 Cq1 D
2 02
( f l1 )
（1.3.8）
得:
dP z 2 dQ z Q z r 2iQz 2k kr k 2 2r 2 0 dz dz
2 2
上式要对任意r值均成立,必然要求r2项的系数与其余 项分别为0,即
dQz 2 2 Q z k k 0 dz dPz iQz k 0 dz
（二）远场发散角
定义在基模高斯光束强度的1/e2点的远场发散角 (半角)为
0 lim
z
( z )
z
0
(1.3.22)
由此式可见，腰斑越小，发散角越大。 高斯光束在傍轴近似条件下，可以将它看成是一 种曲率中心与曲率半径都随传播过程而不断改变的 非均匀球面波，这是因为它的等相位面是球形，但
dy1
令 则
y2 v , B
1 2
s
2
1 A i q B 1
激光原理-(9)-高斯光束
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
方法二：
Aq1 + B q2 = Cq1 + D
πω λ
1 = q2
D C+ q1 = B A+ q1
2
D iλ D (C + )− πω1 2 R1 B iλ B (A+ )− πω1 2 R1
2 2
B πω1 2 2 2 A B + + λ R 1 = 2
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
ω0
A B l′
ω 0′ ω c
C
q0
l
q A qB
lC
qC
若出射面在薄透镜面上，
lC ： =0
1 1 1 ωB = ω A , = − RB RA F
NJUPT
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程 求： l ′、ω 0 ′
R1 = R2 = ∞
2 ′ = ω0 2 πω ( F − l )2 + ( 0 ) λ 变换前后的束腰大小关系
ω ( z ) ω 0，z ⇒ R( z ) θ 0 2. 任一 坐标 z 处的光斑半径 ω ( z )及等相面曲率半径 R( z )
ω 0（或共焦参量 f ）与腰位置 z
ω ( z )
ω 0 ⇒ R( z ) z
NJUPT
高斯光束的 q 参数（复曲率半径）
x2 + y2 ω0 x2 + y2 exp − 2 ) − ϕ ( z ) u00 ( x , = y, z ) c exp − i k ( z + 2 R( z ) ω(z) ω (z)
第7讲 高斯光束的聚焦和准直
ω '0 = ω0 ω0 = 2 2 1 + (πω 0 / λ ) 1+ ( f / F )
F2 F 此时像方高斯光束束腰位置： 此时像方高斯光束束腰位置：l ' = F 1 − = F 2 + (πω 20 / λ ) 2 1 + ( F / f ) 2 < F
而垂轴放大率： 而垂轴放大率： k =
(l − F ) F λ 此时 l ' = F + → ω '0 ≈ F 2 F + 0 ≈ F 2 l >> F 2 (l − F ) + (πω 0 / λ ) πω (l )
2
7.2 ;> = f λ
则
F ω '0 = ω 0 l
1 1 πω 0 2 l 2 f 2 1 l 2 l 2 = 2 1 + ≈ 2 2 2 = 2 Fω 0 ω'0 F λ f F ω 0 f
•
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
• 如果令 lC = F ，即像方高斯光束束腰位于透镜前焦面，可以利用前面的公式求出束腰 即像方高斯光束束腰位于透镜前焦面， 的半径： 的半径： πω 20 f = λ 2 2 F (F − l) F f F 2( F − l ) qC = +i = a + ib 其中： a = 其中： 2 2 2 2 ( F − l )2 + f 2 (F − l) + f (F − l) + f F2 f b = ( F − l )2 + f 2 1 a b 1 λ
更进一步的，如果满足 l 更进一步的，
F2 F 此时像方高斯光束束腰位置： 此时像方高斯光束束腰位置：l ' = F 1 − = F 2 + (πω 20 / λ ) 2 1 + ( F / f ) 2 < F
而垂轴放大率： 而垂轴放大率： k =
(l − F ) F λ 此时 l ' = F + → ω '0 ≈ F 2 F + 0 ≈ F 2 l >> F 2 (l − F ) + (πω 0 / λ ) πω (l )
2
7.2 ;> = f λ
则
F ω '0 = ω 0 l
1 1 πω 0 2 l 2 f 2 1 l 2 l 2 = 2 1 + ≈ 2 2 2 = 2 Fω 0 ω'0 F λ f F ω 0 f
•
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
• 如果令 lC = F ，即像方高斯光束束腰位于透镜前焦面，可以利用前面的公式求出束腰 即像方高斯光束束腰位于透镜前焦面， 的半径： 的半径： πω 20 f = λ 2 2 F (F − l) F f F 2( F − l ) qC = +i = a + ib 其中： a = 其中： 2 2 2 2 ( F − l )2 + f 2 (F − l) + f (F − l) + f F2 f b = ( F − l )2 + f 2 1 a b 1 λ
更进一步的，如果满足 l 更进一步的，
《激光原理》复习解析
一. 选择题（单选）（共20分，共10题，每题2分)1. 下列表达式哪一个不是激光振荡正反馈条件： D 。
A. q kL π22= B. q LCq 2=ν C. q L q 2λ= D. q kL π=2 2. 下列条件哪一个是激光振荡充分必要条件： A 。
（δφ为往返相移） A. lr r G q )ln(,2210-≥-=απδφ B. 0,2≥∆-=n q πδφ C. 0,20≥∆-=n q πδφ D. 0,20≥-=G q πδφ3. 下列腔型中，肯定为稳定腔的是 C 。
A. 凹凸腔 B. 平凹腔 C. 对称共焦腔 D. 共心腔4. 下面物理量哪一个与激光器阈值参数无关， D 。
A. 单程损耗因子 B. 腔内光子平均寿命 C. Q 值与无源线宽 D. 小信号增益系数5. 一般球面稳定腔与对称共焦腔等价，是指它们具有： A 。
A.相同横模 B.相同纵模 C.相同损耗 D . 相同谐振频率6. 下列公式哪一个可用于高斯光束薄透镜成像 A 其中if z q +=，R 为等相位面曲率半径，L 为光腰距离透镜距离。
A ．F q q 11121=-；B. F R R 11121=-；C. F L L 11121=-；D.FL L 11121=+ 7. 关于自发辐射和受激辐射，下列表述哪一个是正确的？ C 。
A. 相同两能级之间跃迁，自发辐射跃迁几率为零，受激辐射跃迁几率不一定为零；B. 自发辐射是随机的，其跃迁速率与受激辐射跃迁速率无关；C. 爱因斯坦关系式表明受激辐射跃迁速率与自发辐射跃迁速度率成正比；D. 自发辐射光相干性好。
8.入射光作用下， CA. 均匀加宽只有部份原子受激辐射或受激吸收；B. 非均匀加宽全部原子受激辐射或受激吸收；C. 均匀加宽原子全部以相同几率受激辐射或受激吸收 ；D. 非均匀加宽全部原子以相同几率受激辐射或受激吸收。
9. 饱和光强 CA ．与入射光强有光 B. 与泵浦有关； C. 由原子的最大跃迁截面和能级寿命决定； D. 与反转集居数密度有关。
高斯光束
物理与光电信息科技学院
《激光原理与技术》
Lasers Principles and Technologies
主讲教师：陈 建 新 、朱莉莉、陈荣
福建师范大学物理与光电信息科技学院
（第三章）
物理与光电信息科技学院
《激光原理与技术》
第三章 高斯光束
赫姆霍兹方程在缓慢振幅近似下的一个特解，对应着具有 圆对称光学谐振腔的振荡模式。
（第三章）
物理与光电信息科技学院
《激光原理与技术》
在垂直于光束的任意一个横截面上，振幅的分布为:
2 r l l 2r 2 r 2 cosl Apl r , , z [ ] L p [ 2 ] exp 2 sin l w( z ) w z w z
（第三章）
物理与光电信息科技学院
《激光原理与技术》
高斯光束的基本性质
波动方程的基模解 在标量近似下稳态传播的电磁场满足的赫姆霍茨方程：
u0 k u0 0
2
在z的缓变振幅近似下（忽略 解出上式微分方程的一个特解：
2 z 2
），利用“试探法”
此特解叫做基模高斯光束
光斑半径随z的变化规律为：wz w 0 当
z z 1 w 1 0 z w 2 0 0
2 2
z z0 时 wz0 2w0
从最小光斑面 积增大到它的 二倍的范围是 瑞利范围， 从最小光斑处 算起的这个长 度叫瑞利长度
（第三章）
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《激光原理与技术》
w0 r2 z r2 u0 x , y , z { exp i kz arctan( 2 ) exp[i ] w 2 z exp w z 2 R ( z ) w 0
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（第三章）
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第三章 高斯光束
赫姆霍兹方程在缓慢振幅近似下的一个特解，对应着具有 圆对称光学谐振腔的振荡模式。
（第三章）
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在垂直于光束的任意一个横截面上，振幅的分布为:
2 r l l 2r 2 r 2 cosl Apl r , , z [ ] L p [ 2 ] exp 2 sin l w( z ) w z w z
（第三章）
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高斯光束的基本性质
波动方程的基模解 在标量近似下稳态传播的电磁场满足的赫姆霍茨方程：
u0 k u0 0
2
在z的缓变振幅近似下（忽略 解出上式微分方程的一个特解：
2 z 2
），利用“试探法”
此特解叫做基模高斯光束
光斑半径随z的变化规律为：wz w 0 当
z z 1 w 1 0 z w 2 0 0
2 2
z z0 时 wz0 2w0
从最小光斑面 积增大到它的 二倍的范围是 瑞利范围， 从最小光斑处 算起的这个长 度叫瑞利长度
（第三章）
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w0 r2 z r2 u0 x , y , z { exp i kz arctan( 2 ) exp[i ] w 2 z exp w z 2 R ( z ) w 0
第7讲 高斯光束的聚焦和准直
0 ' 0
高斯光束经过均匀介质块后，光束发散角 不发生变化。
例题
入射高斯光束在介质块左侧界面处q参 数为q1：
0 2 q1 i l1
经过平面介质界面折射的传输矩阵为：
1 0 则进入介质块左侧界面的q 参数q2为： 2 1 0 q2 q1 i 0 l1
例题
入射高斯光束束腰位置处 q参数为q0，经过自由空间 l1后的q参数为q1，经过介 质块后出射的q参数为q2。
q1 q0 l1
故：
l 1 折射率为n的介质块的光纤传输矩阵为： 0 1
q2 q1
L
q0 l1
l2 l1
0 2 l2 l1 i l1
0 '2 02 i i z 1 l 1
高斯光束入射到均匀介质中，其束腰半径不发生变化，束腰位置向右移动。
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
– 已知入射高斯光束束腰半径为ω0，束腰位置与透 镜的距离为l，透镜的焦距为F，各参数相互关系如 下图。
高斯光束束腰的变换关系式
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
束腰位置
(l F ) F 2 l' F 2 (l F )2 20 /
束腰半径
1 1 l 2 1 0 2 2 1 2 2 ' 0 0 F F
0
L
0 '
C
l
q(0)
A
B
lC
C q(C)
q(A) q(B)
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
方法一：分步计算
高斯光束-聚焦与准直
2 2 2 2 2 2 2 2 2
透镜对高斯光束的变换公式
l2 + f 2 )ω0 F 2l ∴ω0'= ω0 = 2 2 2 2 (l − F) + f l +f 2 2 [l − ( )] + f 2l l2 + f 2 l2 + f 2 2 2 ( )ω 0 ( )ω0 ( l + f )ω 2l 0 2l = 2l = = = ω0 (l 2 − f 2 )2 2 l2 + f 2 ( l 2 + f 2 )2 + f 4l 2 2l 4l 2 (
l
l′
0.1( 2 + i ) 0.1(2 + i )(-1.9 + i ) = −0.104 + 0.00217 i = 0.1 − 2 − i (-1.9 − i )(-1.9 + i )
l ′ = 0 .099 m
l ′ = 0.104m
ω0 ' =
3.14 × 10 −6 × 0.00217 λf ' = = 0.0466mm 3.14 π
ω0' 有极大值 ω0
ω0' = ω0
1 1 + ( )2 f
F =l+
f2 l
高斯光束的聚焦 将 F =l+
代入
ω0' = ω0
ω0' = ω0
f 2 l2 + f 2 = l l F (l − F ) 2 + f 2
2 2
(3) F = R(l ) = (l + (4)F →∞时，
l + f l f4 + f l2
透镜对高斯光束的变换规律I—q参数变换 q =l+if q′=-l′+if ′
透镜对高斯光束的变换公式
l2 + f 2 )ω0 F 2l ∴ω0'= ω0 = 2 2 2 2 (l − F) + f l +f 2 2 [l − ( )] + f 2l l2 + f 2 l2 + f 2 2 2 ( )ω 0 ( )ω0 ( l + f )ω 2l 0 2l = 2l = = = ω0 (l 2 − f 2 )2 2 l2 + f 2 ( l 2 + f 2 )2 + f 4l 2 2l 4l 2 (
l
l′
0.1( 2 + i ) 0.1(2 + i )(-1.9 + i ) = −0.104 + 0.00217 i = 0.1 − 2 − i (-1.9 − i )(-1.9 + i )
l ′ = 0 .099 m
l ′ = 0.104m
ω0 ' =
3.14 × 10 −6 × 0.00217 λf ' = = 0.0466mm 3.14 π
ω0' 有极大值 ω0
ω0' = ω0
1 1 + ( )2 f
F =l+
f2 l
高斯光束的聚焦 将 F =l+
代入
ω0' = ω0
ω0' = ω0
f 2 l2 + f 2 = l l F (l − F ) 2 + f 2
2 2
(3) F = R(l ) = (l + (4)F →∞时，
l + f l f4 + f l2
透镜对高斯光束的变换规律I—q参数变换 q =l+if q′=-l′+if ′
3.14 高斯光束的聚焦与准直
一高斯光束的聚焦一高斯光束的聚焦一高斯光束的聚焦一高斯光束的聚焦一高斯光束的聚焦一高斯光束的聚焦一高斯光束的聚焦一高斯光束的聚焦随l的变化情况1l
3.14 高斯光束的聚焦与准直
高斯光束的聚焦与准直
聚焦： 经过光学系统（透镜）使高斯光束的腰斑变小， （需要研究ω0’、l、F的变化规律） 准直： 利用光学系统改善光束的方向性（压缩束散
F
一、高斯光束的聚焦
2. l一定时，ω0’随F 的变化情况
令式中0 0' F 2 (l F ) 2 f 2 l 2 F 2 2lF f 2 1 f2 1 F (l ) R(l ) 2 l 2 R(l )为透镜处波阵面的曲率半径, 1 1 1 当F R (l )时， 2 2 , 即0 ' 0 2 0 ' 0
F1 02 , l1 ' F1 F1 2 f1 2 1 ( ) 1 ( ) f1 F1
01
(短焦距）
l2=F2时,
F2 F2 F2 03 02 1 f2 02 01
f1 2 F1
二、高斯光束的准直
2. l1=0情况下，利用望远镜准直高斯光束 望远镜对高斯光束的准直倍率为：
二、高斯光束的准直
当0'达到极大值时， '达到极小。 什么条件下，0'达到极大值？ l F时，0'极大， F 此时，0 ' 0 F , 代入上式得: f 0
' 0 02 ，可见： 0 ' F （）在 1 l F 条件下，0 ' 极小，因而 ' 可达到极大；
角），这个问题通常称为高斯光束的准直问题。
一、高斯光束的聚焦
3.14 高斯光束的聚焦与准直
高斯光束的聚焦与准直
聚焦： 经过光学系统（透镜）使高斯光束的腰斑变小， （需要研究ω0’、l、F的变化规律） 准直： 利用光学系统改善光束的方向性（压缩束散
F
一、高斯光束的聚焦
2. l一定时，ω0’随F 的变化情况
令式中0 0' F 2 (l F ) 2 f 2 l 2 F 2 2lF f 2 1 f2 1 F (l ) R(l ) 2 l 2 R(l )为透镜处波阵面的曲率半径, 1 1 1 当F R (l )时， 2 2 , 即0 ' 0 2 0 ' 0
F1 02 , l1 ' F1 F1 2 f1 2 1 ( ) 1 ( ) f1 F1
01
(短焦距）
l2=F2时,
F2 F2 F2 03 02 1 f2 02 01
f1 2 F1
二、高斯光束的准直
2. l1=0情况下，利用望远镜准直高斯光束 望远镜对高斯光束的准直倍率为：
二、高斯光束的准直
当0'达到极大值时， '达到极小。 什么条件下，0'达到极大值？ l F时，0'极大， F 此时，0 ' 0 F , 代入上式得: f 0
' 0 02 ，可见： 0 ' F （）在 1 l F 条件下，0 ' 极小，因而 ' 可达到极大；
角），这个问题通常称为高斯光束的准直问题。
一、高斯光束的聚焦
第7讲 高斯光束的聚焦和准直
f2 F2 l F F 1 2 F 2 2 2 2 2 F f F f 0 F f
这与几何光学中当l F 时不能成实像的情况不同。
F 2 0 F
0 l F
F 2 l F l lC F 2 l F f2 2 1 1 f2 l 1 2 Im q 2 1 F F 2 0 c 0
0
F
根据高斯光 束参数定义
F 2 l F l lC F 2 l F f2 2 1 1 f2 l 1 2 Im q 2 1 F F 2 0 c 0
激光原理与技术
第七讲 高斯光束的聚焦、准直
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
已知入射高斯光束束腰半径为0，束腰位置与透镜的距离为l， 透镜的焦距为F，各参数相互关系如下图，则有：
1 1 1 在B面处： q B q A F
02 z 0处：q 0 q0 i
1 当C 面取在像方束腰处，此时RC ， Re 0，可以得到 qc
F l
2
f
2
i
F2 f
F l
2
f2
得到的式子是高斯光束束腰的变换关系式。
02 f
3
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
l 2 f 当满足 l F 或 1 条件时，由束腰位置关系公式： F F
l f 1 1 F F
2 2
随F的变化规律如图所示：从结果 当 0 和l一定时， 0 Rl
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激光原理与技术
第七讲 高斯光束的聚焦、准直
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
已知入射高斯光束束腰半径为0，束腰位置与透镜的距离为l，
透镜的焦距为F，各参数相互关系如下图，则有：
z
0处：q 0
q0
i
02
在B面处： q
1
B
q
1
A
1 F
在A面处：q A q0 l 在C面处：q C q B lC
研究其规律：
1
02
1
02
1
l F
2
f2
F
2
d dl
2 0
02
2 F2
l
F
d0
dl
03 02 F
2
F
l
7
7.2 高斯光束的聚焦
A、l F：
d0
dl
03 02 F
2
F
l
0
0 将随着l的减小而减小，
因此当l 0时有最小值：
此时像方高斯光束束腰位置：l
lC
F
F2 0 F 0 F 2 f 2
4
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
当不满足以上条件时，则不能套用几何光学的结论。
当l F时，可以求出l F，此时物方、像方高斯光束的束腰都位于 焦点处，这与几何光学中平行光成像于无穷远处的结论不相符。
当l F时，l仍可解出大于零的解。 例如当时l 0，即入射的物方高斯光束的束腰位于透镜上，可以得到：
2
0 F l k 0 l F l
几何光学薄透 镜成像垂轴
放大率公式
束腰半径是高斯光束所有光斑半径的最小值，可以将其类比为几何光学中
光束的焦点，在满足假设条件的情况下，物方、像方高斯光束经过薄透镜
后束腰位置和半径的变换规律与几何光学中的物、像规律相符， 由此可见
当满足条件时可以用几何光学的方法粗略的研究近轴高斯光束。
0，可以得到
lC
lF l f 2 F F l 2 z02
F2 f
qc i F l 2 f
0
2
1
02
F2l F l lC F l F 2 f 2
Im
1 qc
1
02
1
l F
2
f2 F2
得到的式子是高斯光束束腰的变换关系式。
f 02
3
F
1F /
f
2
F
而垂轴放大率：k 0
1
1
0 1 f / F 2
可见当l 0时，不论F为何值，都可以对高斯光束进行聚焦，且像方束腰
位置在前焦点以内；如果进一步满足F 02 f 的条件，
则0
0
F f
0
F，l
F，
此时像方束腰位于透镜前焦面上，
而且聚焦效果随着F的减小而增强。
8
7.2 高斯光束的聚焦
可知，l一定时，只有当满足条件F
Rl
2
时，才能对F
高斯光束起聚焦作用，且F 值越小，聚焦效果越好。
l2
f 2l
2
1 2
l
1
f l
2
Rl
2
12
7.2 高斯光束的聚焦
从上面的讨论可以得出结论，要获得尽可能好的聚焦效果， 可以采取的方法有：
1、尽量采用短焦距的透镜； 2、使高斯光束束腰位置远离透镜的焦平面，满足条件l F，l f 3、使高斯光束束腰位置位于透镜上，即l 0，并设法满足条件：
F2
02
f2
f 0
0
F l
0
可以得出结论，当物方高斯光束束腰远离透镜时，距离l的 增加以及焦距F的减小都会引起像方高斯光束束腰半径的减 小，即聚焦效果的增强。
以上的讨论都没有考虑透镜孔径引起的衍射效应。
10
7.2 高斯光束的聚焦
C、当l F时，0 有极大值：0
F f
0
而且可以得出：l F，从0 的公式可以看出，只有在
F f 时，才有聚焦的作用。
综合以上三点的讨论，我们可以用下图来总结F 为
定值时0 随l
变化的规律：
11
7.2 高斯光束的聚焦
2、l一定时，0 随F的变化情况
由薄透镜变换公式：1
02
1
2 0
1
l F
2
f2
F
2
若要求0 0 ，则
1
l F
2
f F
2
1
当0和l一定时，0 随F的变化规律如图所示：从结果
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
当满足
02
2
l
F
2
或
f F
2
1
l F
2
条件时，由束腰位置关系公式：
F2 l F
l F
l F 2 z02
l F F 2 lF lF lF
1 l
1 l
1 F
几何光学薄透 镜成像公式
由束腰半径的关系公式：
1
02
1
02
1
l F
2
f2
F
由上面的q(C ) 可以确定经过
薄透镜传输后
的高斯光束特
性，下面分情
况讨论薄透镜
的变换规律。
2
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
由上一页的方程联立可以求出：
lF l f 2
F2 f
qc lC F F l 2 f 2 i F l 2 f 2
当C面取在像方束腰处，此时RC
，Re
1 qc
F
F2 f
l2
f
2
1
C2
a2
b
b2
f F2
0 F
2
c
0
F
F
6
7.2 高斯光束的聚焦
高斯光束的聚焦，指的是通过适当的光学系统减小像方高斯 光束的束腰半径，从而达到对其进行聚焦的目的。
1、F一定时，0 随着l变化的情况
我们将通过前面得到的高斯光束通过薄透镜变换时束腰半径变换规律
2
lF F
0
0
l
F
F
根据高斯光 束参数定义
F2l F
l lC F l F 2 f 2
1
02
1
Im
qc
1 02
1
l F
2
f2 F2
9
7.2 高斯光束的聚焦
若同时满足l 02 f 则
1
f 2 l 2 f 2 1 l2 l 2
02
F
2 2 0
1
f
l
F
F2 0 F 0 F 2 f 2
F
1
F2 F2 f
2
f2
F
F
2
f2
0 l F
这与几何光学中当l F时不能成实像的情况不同。
F2l F
l lC F l F 2 f 2
1
02
Im
1 qc
1
02
1
l F
2
f2 F2
5
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
如果令lC F，即讨论l为任意值时像方焦平面上的光斑尺寸，可以利用前面的公式
求出的像方焦平面上的光斑尺寸：
F2 F l
F2 f
qc
F
l2
f2
i
F
l2
f2
a ib
其中：a
f 02
F2F l F l2 f
2
1
a
b
1
qC a2 b2 i a2 b2 RC i C2
b
B、l F :
d0
dl
03 02 F
2
F
l
0
当l F时，有
0 随着l的增大而单调的减小，
当l 时，由公式可以得出
结论：0 0, l F
1
02
1
02
1
l F
2
f F
2 2
f2
F
2 2 0
1
l f
2
2 2F
2
02
1
l f
2
2 2F
2
2
l
此时
l F
F2l F l F 2 f
第七讲 高斯光束的聚焦、准直
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
已知入射高斯光束束腰半径为0，束腰位置与透镜的距离为l，
透镜的焦距为F，各参数相互关系如下图，则有：
z
0处：q 0
q0
i
02
在B面处： q
1
B
q
1
A
1 F
在A面处：q A q0 l 在C面处：q C q B lC
研究其规律：
1
02
1
02
1
l F
2
f2
F
2
d dl
2 0
02
2 F2
l
F
d0
dl
03 02 F
2
F
l
7
7.2 高斯光束的聚焦
A、l F：
d0
dl
03 02 F
2
F
l
0
0 将随着l的减小而减小，
因此当l 0时有最小值：
此时像方高斯光束束腰位置：l
lC
F
F2 0 F 0 F 2 f 2
4
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
当不满足以上条件时，则不能套用几何光学的结论。
当l F时，可以求出l F，此时物方、像方高斯光束的束腰都位于 焦点处，这与几何光学中平行光成像于无穷远处的结论不相符。
当l F时，l仍可解出大于零的解。 例如当时l 0，即入射的物方高斯光束的束腰位于透镜上，可以得到：
2
0 F l k 0 l F l
几何光学薄透 镜成像垂轴
放大率公式
束腰半径是高斯光束所有光斑半径的最小值，可以将其类比为几何光学中
光束的焦点，在满足假设条件的情况下，物方、像方高斯光束经过薄透镜
后束腰位置和半径的变换规律与几何光学中的物、像规律相符， 由此可见
当满足条件时可以用几何光学的方法粗略的研究近轴高斯光束。
0，可以得到
lC
lF l f 2 F F l 2 z02
F2 f
qc i F l 2 f
0
2
1
02
F2l F l lC F l F 2 f 2
Im
1 qc
1
02
1
l F
2
f2 F2
得到的式子是高斯光束束腰的变换关系式。
f 02
3
F
1F /
f
2
F
而垂轴放大率：k 0
1
1
0 1 f / F 2
可见当l 0时，不论F为何值，都可以对高斯光束进行聚焦，且像方束腰
位置在前焦点以内；如果进一步满足F 02 f 的条件，
则0
0
F f
0
F，l
F，
此时像方束腰位于透镜前焦面上，
而且聚焦效果随着F的减小而增强。
8
7.2 高斯光束的聚焦
可知，l一定时，只有当满足条件F
Rl
2
时，才能对F
高斯光束起聚焦作用，且F 值越小，聚焦效果越好。
l2
f 2l
2
1 2
l
1
f l
2
Rl
2
12
7.2 高斯光束的聚焦
从上面的讨论可以得出结论，要获得尽可能好的聚焦效果， 可以采取的方法有：
1、尽量采用短焦距的透镜； 2、使高斯光束束腰位置远离透镜的焦平面，满足条件l F，l f 3、使高斯光束束腰位置位于透镜上，即l 0，并设法满足条件：
F2
02
f2
f 0
0
F l
0
可以得出结论，当物方高斯光束束腰远离透镜时，距离l的 增加以及焦距F的减小都会引起像方高斯光束束腰半径的减 小，即聚焦效果的增强。
以上的讨论都没有考虑透镜孔径引起的衍射效应。
10
7.2 高斯光束的聚焦
C、当l F时，0 有极大值：0
F f
0
而且可以得出：l F，从0 的公式可以看出，只有在
F f 时，才有聚焦的作用。
综合以上三点的讨论，我们可以用下图来总结F 为
定值时0 随l
变化的规律：
11
7.2 高斯光束的聚焦
2、l一定时，0 随F的变化情况
由薄透镜变换公式：1
02
1
2 0
1
l F
2
f2
F
2
若要求0 0 ，则
1
l F
2
f F
2
1
当0和l一定时，0 随F的变化规律如图所示：从结果
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
当满足
02
2
l
F
2
或
f F
2
1
l F
2
条件时，由束腰位置关系公式：
F2 l F
l F
l F 2 z02
l F F 2 lF lF lF
1 l
1 l
1 F
几何光学薄透 镜成像公式
由束腰半径的关系公式：
1
02
1
02
1
l F
2
f2
F
由上面的q(C ) 可以确定经过
薄透镜传输后
的高斯光束特
性，下面分情
况讨论薄透镜
的变换规律。
2
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
由上一页的方程联立可以求出：
lF l f 2
F2 f
qc lC F F l 2 f 2 i F l 2 f 2
当C面取在像方束腰处，此时RC
，Re
1 qc
F
F2 f
l2
f
2
1
C2
a2
b
b2
f F2
0 F
2
c
0
F
F
6
7.2 高斯光束的聚焦
高斯光束的聚焦，指的是通过适当的光学系统减小像方高斯 光束的束腰半径，从而达到对其进行聚焦的目的。
1、F一定时，0 随着l变化的情况
我们将通过前面得到的高斯光束通过薄透镜变换时束腰半径变换规律
2
lF F
0
0
l
F
F
根据高斯光 束参数定义
F2l F
l lC F l F 2 f 2
1
02
1
Im
qc
1 02
1
l F
2
f2 F2
9
7.2 高斯光束的聚焦
若同时满足l 02 f 则
1
f 2 l 2 f 2 1 l2 l 2
02
F
2 2 0
1
f
l
F
F2 0 F 0 F 2 f 2
F
1
F2 F2 f
2
f2
F
F
2
f2
0 l F
这与几何光学中当l F时不能成实像的情况不同。
F2l F
l lC F l F 2 f 2
1
02
Im
1 qc
1
02
1
l F
2
f2 F2
5
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
如果令lC F，即讨论l为任意值时像方焦平面上的光斑尺寸，可以利用前面的公式
求出的像方焦平面上的光斑尺寸：
F2 F l
F2 f
qc
F
l2
f2
i
F
l2
f2
a ib
其中：a
f 02
F2F l F l2 f
2
1
a
b
1
qC a2 b2 i a2 b2 RC i C2
b
B、l F :
d0
dl
03 02 F
2
F
l
0
当l F时，有
0 随着l的增大而单调的减小，
当l 时，由公式可以得出
结论：0 0, l F
1
02
1
02
1
l F
2
f F
2 2
f2
F
2 2 0
1
l f
2
2 2F
2
02
1
l f
2
2 2F
2
2
l
此时
l F
F2l F l F 2 f