激光原理与技术 第7讲 高斯光束的聚焦和准直

F
F2 f
l2
f
2
1
C2
a2
b
b2
f F2
0 F
2
c
0
F
F
6
7.2 高斯光束的聚焦
高斯光束的聚焦，指的是通过适当的光学系统减小像方高斯 光束的束腰半径，从而达到对其进行聚焦的目的。
1、F一定时，0 随着l变化的情况
我们将通过前面得到的高斯光束通过薄透镜变换时束腰半径变换规律
激光原理与技术
第七讲 高斯光束的聚焦、准直
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
已知入射高斯光束束腰半径为0，束腰位置与透镜的距离为l，
透镜的焦距为F，各参数相互关系如下图，则有：
z
0处：q 0
q0
i
02
在B面处： q
1
B
q
1
A
1 F
在A面处：q A q0 l 在C面处：q C q B lC
2
lF F
0
0
l
F
F
根据高斯光 束参数定义
F2l F
l lC F l F 2 f 2
1
02
1
Im
qc
1 02
1
l F
2
f2 F2
9
7.2 高斯光束的聚焦
若同时满足l 02 f 则
1
f 2 l 2 f 2 1 l2 l 2
02
F
2 2 0
1
f
F
1F /
f
2
F
而垂轴放大率：k 0
1
1
0 1 f / F 2
可见当l 0时，不论F为何值，都可以对高斯光束进行聚焦，且像方束腰
位置在前焦点以内；如果进一步满足F 02 f 的条件，
则0
0
F f
0
F，l
F，
此时像方束腰位于透镜前焦面上，
而且聚焦效果随着F的减小而增强。
8
7.2 高斯光束的聚焦
如果令lC F，即讨论l为任意值时像方焦平面上的光斑尺寸，可以利用前面的公式
求出的像方焦平面上的光斑尺寸：
F2 F l
F2 f
qc
F
l2
f2
i
F
l2
f2
a ib
其中：a
f 02
F2F l F l2 f
2
1
a
b
1
qC a2 b2 i a2 b2 RC i C2
b
4
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
当不满足以上条件时，则不能套用几何光学的结论。
当l F时，可以求出l F，此时物方、像方高斯光束的束腰都位于 焦点处，这与几何光学中平行光成像于无穷远处的结论不相符。
当l F时，l仍可解出大于零的解。 例如当时l 0，即入射的物方高斯光束的束腰位于透镜上，可以得到：
F2
02
f2
f 0
0
F l
0
可以得出结论，当物方高斯光束束腰远离透镜时，距离l的 增加以及焦距F的减小都会引起像方高斯光束束腰半径的减 小，即聚焦效果的增强。
以上的讨论都没有考虑透镜孔径引起的衍射效应。
10
7.2 高斯光束的聚焦
C、当l F时，0 有极大值：0
F f
0
而且可以得出：l F，从0 的公式可以看出，只有在
2
0 F l k 0 l F l
几何光学薄透 镜成像垂轴
放大率公式
束腰半径是高斯光束所有光斑半径的最小值，可以将其类比为几何光学中
光束的焦点，在满足假设条件的情况下，物方、像方高斯光束经过薄透镜
后束腰位置和半径的变换规律与几何光学中的物、像规律相符， 由此可见
当满足条件时可以用几何光学的方法粗略的研究近轴高斯光束。
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
当满足
02
2
l
F
2
或
f F
2
1
l F
2
条件时，由束腰位置关系公式：
F2 l F
l F
l F 2 z02
l F F 2 lF lF lF
1 l
1 l
1 F
几何光学薄透 镜成像公式
由束腰半径的关系公式：
1
02
1
02
1
l F
2
f2
F
可知，l一定时，只有当满足条件F
Rl
2
时，才能对F
高斯光束起聚焦作用，且F 值越小，聚焦效果越好。
l2
f 2l
2
1 2
l
1
f l
2
Rl
2
12
7.2 高斯光束的聚焦
从上面的讨论可以得出结论，要获得尽可能好的聚焦效果， 可以采取的方法有：
1、尽量采用短焦距的透镜； 2、使高斯光束束腰位置远离透镜的焦平面，满足条件l F，l f 3、使高斯光束束腰位置位于透镜上，即l 0，并设法满足条件：
B、l F :
d0
dl
03 02 F
2
F
l
0
当l F时，有
0 随着l的增大而单调的减小，
当l 时，由公式可以得出
结论：0 0, l F
1
02
1
02
1
l F
2
f F
2 2
f2
F
2 2 0
1
l f
2
2 2F
2
02
1
l f
2
2 2F
2
2
l
此时
l F
F2l F l F 2 f
研究其规律：
1
02
1
02
1
l F
2
f2
F
2
d dl
2 0
02
2 F2
l
F
d0
dl
03 02 F
2
F
l
7
7.2 高斯光束的聚焦
A、l F：
d0
dl
03 02 F
2
F
l
0
0 将随着l的减小而减小，
因此当l 0时有最小值：
此时像方高斯光束束腰位置：l
lC
F
F2 0 F 0 F 2 f 2
由上面的q(C ) 可以确定经过
薄透镜传输后
的高斯光束特
性，下面分情
况讨论薄透镜
的变换规律。
2
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
由上一页的方程联立可以求出：
lF l f 2
F2 f
qc lC F F l 2 f 2 i F l 2 f 2
当C面取在像方束腰处，此时RC
，Re
1 qc
F f 时，才有聚焦的作用。
综合以上三点的讨论，我们可以用下图来总结F 为
定值时0 随l
变化的规律：
11
7.2 高斯光束的聚焦
2、l一定时，0 随F的变化情况
由薄透镜变换公式：1
02
1
2 0
1
l F
2
f2
F
2
若要求0 0 ，则
1
l F
2
f F
2
1
当0和l一定时，0 随F的变化规律如图所示：从结果
l
F
F2 0 F 0 F 2 f 2
F
1
F2 F2 f
2
f2
F
F
2
f2
0 l F
这与几何光学中当l F时不能成实像的情况不同。
F2l F
l lC F l F 2 f 2
1
02
Im
1 qc
1
02
1
l F
2
f2 F2
5
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
0，可以得到
lC
lF l f 2 F F l 2 z02
F2 f
qc i F l 2 f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
2
1
02
F2l F l lC F l F 2 f 2
Im
1 qc
1
02
1
l F
2
f2 F2
得到的式子是高斯光束束腰的变换关系式。
f 02
3