【最新】北师大版八年级数学下册第一章 《等腰三角形(二) 》公开课课件.ppt
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2021年北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明等腰三角形 2》公开课课件.ppt
为__3_5_°__,35°__。
想一想:
刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么?
A
重合的线段
重合的角
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝∠ADC =90°B
D
C
是真是假
性质2等腰等三腰角三形角的形顶顶角角平分的线平与分底线边平上分的底中线边，并底 边上的高且互垂相直重于合底边.
重合的线段
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
重合的角
∠B ＝ ∠C. ∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC B
A
D
C
大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?
猜想与论证
猜想 等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=？
A
(等腰三角形三线合一)
B
D
C
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
⌒
x D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
2x
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm, 则它的周长是 10 cm 或 11 c；m
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm, 则它的周长是 19 cm。
等腰三角形是轴对称图形吗？
※等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 找出其中重合的线段和角.
想一想:
刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么?
A
重合的线段
重合的角
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝∠ADC =90°B
D
C
是真是假
性质2等腰等三腰角三形角的形顶顶角角平分的线平与分底线边平上分的底中线边，并底 边上的高且互垂相直重于合底边.
重合的线段
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
重合的角
∠B ＝ ∠C. ∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC B
A
D
C
大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?
猜想与论证
猜想 等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=？
A
(等腰三角形三线合一)
B
D
C
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
⌒
x D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
2x
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm, 则它的周长是 10 cm 或 11 c；m
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm, 则它的周长是 19 cm。
等腰三角形是轴对称图形吗？
※等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 找出其中重合的线段和角.
八年级数学下册 1.1 等腰三角形(第1课时)课件 (新版)北师大版.pptx
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第1课时
1
ห้องสมุดไป่ตู้
1.能说出证明三角形全等的几种方法,学会证明的基本步骤 和书写格式.
2.会证明等腰三角形的有关性质定理及其推论. 3.灵活运用等腰三角形的性质进行计算和证明.
2
前面我们已经学习了如果两个三角形满足条件SSS,SAS,ASA, 那么这两个三角形全等;若满足条件AAS, SSA,AAA,这两个三角形还会全等吗?
解:∵AB=AC,BD=CD, ∴AD平分∠BAC,AD⊥BC. ∴∠CAD=∠BAD=40°,∠ADC=90°. ∵AD=AE, ∴∠ADE=∠AED=70°. ∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=20°.
5
1.全等三角形的判定方法共有四种,分别是___S_S_S__,__S_A_S___, __A_S_A___,___A_A_S___.
2.全等三角形的性质:全等三角形的对应边_相__等__,对应角_相__等__. 3.等腰三角形的性质:(1)等边对等角;(2)“三线合一”.
6
3
1.如图,点A,D,C在同一直线上,AB∥EC,AC=CE,∠B=∠EDC.
求证:BC=DE.
证明:∵AB∥EC, ∴∠A=∠DCE. 在△ABC 和△CDE 中, ∠B = ∠EDC, ∠A = ∠DCE, AC = CE,
∴△ABC≌△CDE（AAS）. ∴BC=DE.
4
2.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD.若∠BAD=40°且AD=AE, 求∠CDE的度数.
1.1 等腰三角形
第1课时
1
ห้องสมุดไป่ตู้
1.能说出证明三角形全等的几种方法,学会证明的基本步骤 和书写格式.
2.会证明等腰三角形的有关性质定理及其推论. 3.灵活运用等腰三角形的性质进行计算和证明.
2
前面我们已经学习了如果两个三角形满足条件SSS,SAS,ASA, 那么这两个三角形全等;若满足条件AAS, SSA,AAA,这两个三角形还会全等吗?
解:∵AB=AC,BD=CD, ∴AD平分∠BAC,AD⊥BC. ∴∠CAD=∠BAD=40°,∠ADC=90°. ∵AD=AE, ∴∠ADE=∠AED=70°. ∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=20°.
5
1.全等三角形的判定方法共有四种,分别是___S_S_S__,__S_A_S___, __A_S_A___,___A_A_S___.
2.全等三角形的性质:全等三角形的对应边_相__等__,对应角_相__等__. 3.等腰三角形的性质:(1)等边对等角;(2)“三线合一”.
6
3
1.如图,点A,D,C在同一直线上,AB∥EC,AC=CE,∠B=∠EDC.
求证:BC=DE.
证明:∵AB∥EC, ∴∠A=∠DCE. 在△ABC 和△CDE 中, ∠B = ∠EDC, ∠A = ∠DCE, AC = CE,
∴△ABC≌△CDE（AAS）. ∴BC=DE.
4
2.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD.若∠BAD=40°且AD=AE, 求∠CDE的度数.
北师大版八年级下册数学1.1等腰三角形课件(共17张PPT)
D
60°
A120°BCDE
拓展提升
如图，在风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC。
（1）分别在AB,AD中点E,F处拉两根彩线
A
EC,FC,证明：这两根彩线长度相等。
E
F
（2）如果AE= AB,AF= AD ,那 么这两
根彩线长度相等吗？
B
D
如果AE= AB,AF= AD.那么这两根彩线长 度相等吗？
1．等腰三角形的顶角为40°，则两个 底角为 70°70°．
2.已知等腰三角形腰长为5，底边长为6，
则底边上的中线长等于 4
．
定理: 等腰三角形的两个底角相等.
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合.
等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分 线（底边上的中线、底边上的高）所在 的直线是它的对称轴。
例1 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
E
BD、CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE．
1
B
证明： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)
∵∠1= 1∠ABC，∠2= ∠1ACB，
2
2
∴∠1=∠2
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2
求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
3 3 如图，在风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC。 1 等边三角形两条中线相交所成锐角的度数 AD= AC，AE= 1 AB呢?由此你得到什么结论? （2）如果AE= AB,AF= AD ,那 么这两
4 4 在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在AC,AB上
60°
A120°BCDE
拓展提升
如图，在风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC。
（1）分别在AB,AD中点E,F处拉两根彩线
A
EC,FC,证明：这两根彩线长度相等。
E
F
（2）如果AE= AB,AF= AD ,那 么这两
根彩线长度相等吗？
B
D
如果AE= AB,AF= AD.那么这两根彩线长 度相等吗？
1．等腰三角形的顶角为40°，则两个 底角为 70°70°．
2.已知等腰三角形腰长为5，底边长为6，
则底边上的中线长等于 4
．
定理: 等腰三角形的两个底角相等.
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合.
等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分 线（底边上的中线、底边上的高）所在 的直线是它的对称轴。
例1 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
E
BD、CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE．
1
B
证明： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)
∵∠1= 1∠ABC，∠2= ∠1ACB，
2
2
∴∠1=∠2
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2
求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
3 3 如图，在风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC。 1 等边三角形两条中线相交所成锐角的度数 AD= AC，AE= 1 AB呢?由此你得到什么结论? （2）如果AE= AB,AF= AD ,那 么这两
4 4 在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在AC,AB上
北师大版(新)初中数学八年级下册 1,1等腰三角形 第二课时【优质课件】
归纳
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
已知：如图, 在△ABC 中，AB= AC=BC.
求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
证明：∵AB = AC，
∴∠ B = ∠ C (等边对等角).
又∵AC = BC，
∴∠A= ∠ B (等边对等角).
∴∠A= ∠ B = ∠ C.
B
在△ABC 中，∠A+∠ B+∠ C = 180°.
∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
A C
等边三角形的定义：
三条边都相等的三角形叫做等边三角形(也叫正三角形).
等边三角形是特殊的等腰三角形.
A
B
C
满足什么条件的三角形是 等腰三角形？ 方法一：从边看 有两边相等的三角形是等 腰三角形（定义）
方法二：从角看
有两个角相等的三角形 是等腰三角形.
满足什么条件的三角形是 等边三角形？ 方法一： 三边都相等的三角形是等 边三角形（定义）
方法二：
三个角都相等的三角形是 等边三角形.
例3 如图，已知△ABC 是等边三角形，D，E，F 分别是三边 AB，AC，BC 上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB， 计算△DEF 各个内角的度数．
即等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60°.
2 如图，在△ABC 中，D，E 是BC 的三等分点，且△ADE
是等边三角形，求∠BAC 的度数.
A
解：由题意易知，
BD＝DE＝AD，
∴∠DBA＝∠BAD.
B
D
E
C
又∵∠DBA＋∠BAD＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝30°.同理可得，∠CAE＝30°，
北师大版数学八年级下册 课件 1.1 等腰三角形 (共26张PPT)
●
C′
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考 4
几何的三种语言
B
●●
性质公理: 全等三角形的对应边、对应角相等
A
●
●● ●
∵ △ABC≌△A′B′C′ ∴
AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′ A′
●
B′
●●
C
●● ●
（全等三角形的对应边相等 ）; （全等三角形的对应角相等 ）.
C′
∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′
例1证明：等腰三角形两底角的角平分线相等
【演示】：
议一议
A
如图1-5，在∆ABC中，AB=AC,点D、E 分别在边AC与AB上， 1 1 （1）如果∠ABD= 3 ∠ABC, ∠ABD= ∠ABC, 3 那么BD=CE吗？
1 1 如果∠ABD= 4 ∠ABC, ∠ABD= 4 ∠ABC,
D
E
那么BD=CE吗？ 由此你能得到一个什么结论？
②∵AB=AC, BD=CD (已知). ∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
③∵AB=AC, AD⊥BC(已知). ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一） 轮换条件∠1=∠2, AD⊥BC,BD=CD,可得三线合一的 三种不同形式的运用.
1.证明:等边三角形的三个角都相等,并且每个 角都等于60°. A
●
B′
C
●●
C′
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考 6
几何的三种语言
B
推论: 两角及其一角的对边对应相 等的两个三角形全等（AAS）.
′
在△ABC与△A′B′C′中 ∵∠A=∠A′ ∠C=∠C′ A′ AB=A′B′ ∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.
【最新】北师大版八年级数学下册第一章《等腰三角形(2)》公开课课件.ppt
A
Q
P
B
C
等腰三角形中的相等的线段(2)
议一议
A
1.已知:如图,在△ABC中,
ED
(1)如果∠ABD=
1 2
ABC
,
∠ACE=
1 ACB 2
,
那么BD=CE吗?
如果∠ABD=
1 3
ABC
,
∠ACE=
1 3
ACB
B 呢?
C
这里是一
′
由此你能得到一个什么结论?
(2)如果AD=
1 2
AC
,
AE=
1 AB 2
•你能证明你的结论吗？
小结
B
C
•顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；
•底角的两条平分线相等； A
A
A
•两条腰上的中线相等；
•两条腰上的高线相等。 E
D
N MQ
P
●
●●
B ● C ●● B
CB
C
“等腰三角形的两底角的平分线相等”的证明
【例1】证明:等腰三角形两底角的平分线相等.
已知: 如图, 在△ABC中, AB=AC, BD,CE 是△ABC角平分线.
北师大版八年级下册第一章 三角形的证明
等腰三角形 知 识 回 顾
【定义】有两边相等的三角形叫做等腰三角形; A
【性质定理】等腰三角形的两个底角相等.
简称: 等边对等角.
腰 顶角 腰
【性质定理 等腰三角形顶角的平分线、
底角 底角
的推论】 底边上的中线、底边上的高 B 底边 C
互相重合。(简称:“三线合一”)
∵AB=AC, BD=CD (已知). ∴∠1=∠2,AD⊥BC(三线合一).
北师大版八年级数学下册1.1.3《等腰三角形》课件(共16张PPT)
A 则∠ B=_8_0__度，∠A=_2_0__度
（2）如图，房屋的顶角∠BAC=100º， B
过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC,
则∠B=__4_0_度、∠C=__4_0_度、
A
∠BAD=__5_0_度、∠CAD=__5_0_度.
BD=__D_C_、AD平分∠_B_A_C__. B
D
CD
C
知识等角对等边）
例1、已知：如图AB=DC，BD=CA. 求证：△AED 是等腰三角形. 证明：∵ AB=DC，BD=CA，AD=DA， ∴ △ABD≌△DCA（SSS） ∴ ∠ADB =∠DAC （全等三角形的对应角相等） ∴ AE=DE（等角对等边） ∴ △AED是等腰三角形
以胜利，也可以失败，但你不能屈服。越是看起来极简单的人，越是内心极丰盛的人。盆景秀木正因为被人溺爱，才破灭了成为栋梁之材的梦。
树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。生活的激流已经涌现到万丈峭壁，只要再前进一步，就会变成壮丽的瀑布。生命很残酷，用悲伤让你了解 什么叫幸福，用噪音教会你如何欣赏寂静，用弯路提醒你前方还有坦途。山涧的泉水经过一路曲折，才唱出一支美妙的歌通过云端的道路，只亲吻攀登者的足 迹。敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光明。骄傲，是断了引线的风筝，稍纵即逝；自卑，是剪了双翼的飞鸟，难上青天。这两者都是成才的大向你的美好 的希冀和追求撒开网吧，九百九十九次落空了，还有一千次呢。只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活。激流勇进者方能领略江河源头的奇 观胜景忙于采集的蜜蜂，无暇在人前高谈阔论有一个人任何时候都不会背弃你，这个人就是你自己。谁不虚伪，谁不善变，谁都不是谁的谁。又何必把一些人， 一些事看的那么重要。有一种女人像贝壳一样，外面很硬，内在其实很软。心里有一颗美丽的珍珠，却从来不轻易让人看见。人生没有绝对的公平，而是相对 公平。在一个天平上，你得到越多，势必要承受更多，每一个看似低的起点，都是通往更高峰的必经之路。你要学会捂上自己的耳朵，不去听那些熙熙攘攘的 声音；这个世界上没有不苦逼的人，真正能治愈自己的，只有你自己。时间会告诉你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误；有些东 西，要等到你真正放下了，才知道它的沉重。时间并不会真的帮我们解决什么问题，它只是把原来怎么也想不通的问题，变得不再重要了。 生活不是让你用来 妥协的。你退缩得越多，那么可以让你喘息的空间也就是越少。胸怀临云志，莫负少年时唯有行动才能解除所有的不安。明天的希望，让我们忘记昨天的痛！ 如果你不努力争取你想要的，那你永远都不会拥有它。过去属于死神，未来属于你自己其实每一条都通往阳光的大道，都充满坎坷。所有的胜利，与征服自己 的胜利比起来，都是微不足道。我已经看见，多年后的自己。自信！开朗！豁达！努力的目的在于让妈妈给自己买东西时像给我买东西一样干脆。被人羞辱的 时候，翻脸不如翻身，生气不如争气。成长道路谁都会受伤，我们才刚刚起航，必须学会坚强。每个人都是自己命运的建筑师。在成长的过程中，我学会了坚
（2）如图，房屋的顶角∠BAC=100º， B
过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC,
则∠B=__4_0_度、∠C=__4_0_度、
A
∠BAD=__5_0_度、∠CAD=__5_0_度.
BD=__D_C_、AD平分∠_B_A_C__. B
D
CD
C
知识等角对等边）
例1、已知：如图AB=DC，BD=CA. 求证：△AED 是等腰三角形. 证明：∵ AB=DC，BD=CA，AD=DA， ∴ △ABD≌△DCA（SSS） ∴ ∠ADB =∠DAC （全等三角形的对应角相等） ∴ AE=DE（等角对等边） ∴ △AED是等腰三角形
以胜利，也可以失败，但你不能屈服。越是看起来极简单的人，越是内心极丰盛的人。盆景秀木正因为被人溺爱，才破灭了成为栋梁之材的梦。
树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。生活的激流已经涌现到万丈峭壁，只要再前进一步，就会变成壮丽的瀑布。生命很残酷，用悲伤让你了解 什么叫幸福，用噪音教会你如何欣赏寂静，用弯路提醒你前方还有坦途。山涧的泉水经过一路曲折，才唱出一支美妙的歌通过云端的道路，只亲吻攀登者的足 迹。敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光明。骄傲，是断了引线的风筝，稍纵即逝；自卑，是剪了双翼的飞鸟，难上青天。这两者都是成才的大向你的美好 的希冀和追求撒开网吧，九百九十九次落空了，还有一千次呢。只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活。激流勇进者方能领略江河源头的奇 观胜景忙于采集的蜜蜂，无暇在人前高谈阔论有一个人任何时候都不会背弃你，这个人就是你自己。谁不虚伪，谁不善变，谁都不是谁的谁。又何必把一些人， 一些事看的那么重要。有一种女人像贝壳一样，外面很硬，内在其实很软。心里有一颗美丽的珍珠，却从来不轻易让人看见。人生没有绝对的公平，而是相对 公平。在一个天平上，你得到越多，势必要承受更多，每一个看似低的起点，都是通往更高峰的必经之路。你要学会捂上自己的耳朵，不去听那些熙熙攘攘的 声音；这个世界上没有不苦逼的人，真正能治愈自己的，只有你自己。时间会告诉你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误；有些东 西，要等到你真正放下了，才知道它的沉重。时间并不会真的帮我们解决什么问题，它只是把原来怎么也想不通的问题，变得不再重要了。 生活不是让你用来 妥协的。你退缩得越多，那么可以让你喘息的空间也就是越少。胸怀临云志，莫负少年时唯有行动才能解除所有的不安。明天的希望，让我们忘记昨天的痛！ 如果你不努力争取你想要的，那你永远都不会拥有它。过去属于死神，未来属于你自己其实每一条都通往阳光的大道，都充满坎坷。所有的胜利，与征服自己 的胜利比起来，都是微不足道。我已经看见，多年后的自己。自信！开朗！豁达！努力的目的在于让妈妈给自己买东西时像给我买东西一样干脆。被人羞辱的 时候，翻脸不如翻身，生气不如争气。成长道路谁都会受伤，我们才刚刚起航，必须学会坚强。每个人都是自己命运的建筑师。在成长的过程中，我学会了坚
北师版八年级数学下册1.1. 等腰三角形(第2课时) 课件(共24张ppt)
折痕为BE；两边AC，BC重叠在一起，折痕为CF，如图所
示，你能发现什么现象吗？
A
A ∠A=∠B=∠AC=60°．
F E
B
CB
CB
C
D
D
探究新新知知探究
结论： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
探究新新知知探究
已知：在△ABC中，AB=AC=BC， 求证：∠A=∠B=∠C=60°．
同理可证， 等腰三角形两腰上的中线相等， 两腰上的高相等.
探究新新知知探究
议一议 如图，在△ABC中，AB=AC，
点D，E分别在边AC和AB上.
A
（1）如果∠ABD= 1 ∠ ABC ，
∠ACE= 1∠ACB,那3么BD=CE吗？如果
E
D
3
∠ABD= 1 ∠ABC，∠ACE= 1 ∠ACB B
C
4
呢？由此能得到一个什么结论？
A
E
D
B
C
探究新新知知探究
解：（2）BD=CE.
证明：∵AB=AC，AD= 1 AC，AE= 1
2
2
AB,
∴AD=AE.
在△ABD和△ACE中
∵AD=AE,∠A=∠A，AB=AC,
∴△ABD≌△ACE.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等）.
A
E B
D C
探究新新知知探究
那么 BD=CE.
n
n
在△ABC中，AB=AC，AD= 1AC，AE= 1AB,那么 BD=CE.
n
n
3．等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
再见
北师版八年级数学下册
第一章 三角形的证明 1.1 等腰三角形 第 2 课时
北师大版八年级数学下册第一章《等腰三角形》优质公开课课件
达标检测二：
1、如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边 上的高，找出图中有哪些等腰直角三角形。
C
A
B
答：图中的等腰直角三角形有： 等腰Rt△ABC、等腰Rt△ADC和 等腰Rt△ CDB
2、已知：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC
求证：AB=AD
A
D
B
C
证明：∵AD ∥BC（已知） ∴∠ADB= ∠CBD（两直线平行，内错 角相等）
证法二：作AD⊥BC，垂足为D
在 △BAD和△CAD中，
∠ADB= ∠ADC，
B
D
∠B=∠C, C AD=AD(公共边），
∵△BAD≌△CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边 相等）
请同学们想一想：作等腰三角形底边上的 中线可以证明吗？为什么？
已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C 求证：AB=AC=BC A
例 如图，求证：如果三角形一个
外角的平分线平行于三角形的一边，
那么这个三角形是等腰三角形.
E
1
A2
B
已知：如图， D ∠CAE是△ABC
的外角， ∠1=∠2， AD∥BC C 求证：AB=AC
解：∵AD∥BC， ∴∠1= ∠B (两直线平行，同位角相等）， ∠ 2 ＝ ∠C(两直线平行，内错角相等）， ∴ ∠1= ∠2 ∵ ∠1= ∠2 ∴ ∠B ＝ ∠C ∴AB=AC (等角对等边）
1 等腰三角形
请同学们回答下面的问题：
1、等腰三角形的性质是什么？
①有两个相等的角. ②有两条相等的边. ③底边上的中线、高和顶角的平分线重合.
2、什么叫互逆命题，什么叫互逆定理？
答：在两个命题中，如果第一个命题的题设是 第二个命题的结论，而第一个命题的结论 又是第二个命题的题设，那么这两个命题 叫做互逆命题.如果一个定理的逆命题经过 证明是真命题，那么它是一个定理，这两 个定理叫做互逆定理.
北师大版数学八年级下册《等腰三角形》课件
∴∠PBC=∠MPB=∠PCB=∠NPC（等量代换）
∠ = ∠
在△MBP与△NCP中
=
∠ = ∠
∴△MBP≌△NCP(SAS). ∴MP=NP(全等三角形的对应边相等).
②△AMN的周长是 − .
A
M
B
P
N
C
教学过程——随堂练习
做一做
课本第9页“随堂练习”.
所以假设不成立，即△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
B
C
教学过程——新知探究
第一章 三角形的证明
知识点2 反证法
用反证法证明命题
从上面的证明过程可知，反证法与我们平时的上面方法不同.
注意：利用反
证法证明，假
反证法的定义：
设原命题的结
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已
论不成立时，
D. 直角三角形中有一个锐角不大于45°
2.如图，CE是△ABC的外角平分线，且AB//CE，则△ABC
一定是（ D ）
A. 任意三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰三角形
B
E
A
C
D
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
A
C
例1 如图，已知直线AB//CD，直
线AB⊥ , 用反证法证明：CD⊥ .
M
B
N
D
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
证明：假设直线CD与 直线 不垂直，
则∠CNM≠90°.
A
C
∵AB⊥ ，
∴∠AMN=90°.
∴∠AMN+∠CNM≠180°.
∠ = ∠
在△MBP与△NCP中
=
∠ = ∠
∴△MBP≌△NCP(SAS). ∴MP=NP(全等三角形的对应边相等).
②△AMN的周长是 − .
A
M
B
P
N
C
教学过程——随堂练习
做一做
课本第9页“随堂练习”.
所以假设不成立，即△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
B
C
教学过程——新知探究
第一章 三角形的证明
知识点2 反证法
用反证法证明命题
从上面的证明过程可知，反证法与我们平时的上面方法不同.
注意：利用反
证法证明，假
反证法的定义：
设原命题的结
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已
论不成立时，
D. 直角三角形中有一个锐角不大于45°
2.如图，CE是△ABC的外角平分线，且AB//CE，则△ABC
一定是（ D ）
A. 任意三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰三角形
B
E
A
C
D
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
A
C
例1 如图，已知直线AB//CD，直
线AB⊥ , 用反证法证明：CD⊥ .
M
B
N
D
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
证明：假设直线CD与 直线 不垂直，
则∠CNM≠90°.
A
C
∵AB⊥ ，
∴∠AMN=90°.
∴∠AMN+∠CNM≠180°.
【北师大版】数学八年级下册：1.1《等腰三角形》ppt课件(2)
课堂小结
等边三角形的性质: 名 称 等 边 三 角 形 图 形 性 三条边都相等 质
A
B
三个角都相等，且都为 60° C 三线合一
轴对称图形，有三条对称轴
布置作业
1.从教材习题中选取 2.完成练习册本课时的习题
第2课时 等边三角形的性质
北师大版 八年级下册
复习旧知
名 称 等 腰 三 角 形 图 形
A
性
质
两腰相等
C
B
等边对等角 三线合一
轴对称图形
情景导入
一.情景导入，初步认知
问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角
平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等
的线段吗？
获取新知
二.思考探究，获取新知
探究 1.在等腰三角形中自主作出一些线段(如
E D
探究新知
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就 是底边与腰相等，这时，三角形三边相等。 等边三角形: 三条边都相等的三角形. (正三角形) 等边三角形是特殊的等腰三角形.
探究2.求证：等边三角形三个内角都相等并且每 个内角都等于60°. 已知：在△ABC中，AB=BC=AC． 求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：在△ABC中，∵AB=AC， ∴∠B=∠C(等边对等角)． 同理：∠C=∠A， ∴∠A=∠B=∠C（等量代换）． 又∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A=∠B=∠C＝60°
【归纳结论】
等边三角形三个内角都相等并且每个内 角都等于60°.
等边三角形有“三线合一”的性质吗?为 什么? A
B
C
结论:等边三角形每条边上的中线,高和 所对角的平分线都三线合一。
等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴?
北师版八年级数学下册1.1.1 等腰三角形的性质 课件(共28张ppt)
导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三 角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质 求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两 种情况求解．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
例题精析
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角 为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角 为40°或70°.
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合. 2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是 证明角相等、边相等的重要方法.
课堂精练
7. 【中考·台州】如图，在等腰三角形ABC中，AB ＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰 AC于点E，则下列结论一定正确的是( C ) A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
课堂精练
8. 【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D 为 BC的 中 点 ， ∠ BAD ＝ 35° ， 则 ∠ C 的 度 数 为 () A．35° B．45° C．55° D．60°
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
例题精析
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角 为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角 为40°或70°.
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合. 2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是 证明角相等、边相等的重要方法.
课堂精练
7. 【中考·台州】如图，在等腰三角形ABC中，AB ＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰 AC于点E，则下列结论一定正确的是( C ) A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
课堂精练
8. 【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D 为 BC的 中 点 ， ∠ BAD ＝ 35° ， 则 ∠ C 的 度 数 为 () A．35° B．45° C．55° D．60°
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
新北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形(第二课时)课件
2014年3月10日星期一 00:27:50
你 能 吗 ？
证明： AB AC ACB ABC (等边对等角) 1 1 ABD ABC，ACE ACB 4 4 ABD ACE(等量代换) 在ABD和ACE中
你 能 吗 ？
你能得到什么结论？
ABD ACE AB AC A A ABD ACE( ASA) BD CE (全等三角形的对应边相等)
公理.
两边及其夹角 对应相等的两个
三角形全等（SAS）.
知 识 回 顾
公理. 两角及其夹边 对应相等的两个
三角形全等（ASA）.
公理.
三边
对应相等的两个
三角形全等（SSS）. 定理 两角及其中一角的对边 对应相等 的两个三角形全等（AAS）.
2014年3月10日星期一 00:27:50
全等三角形的 对应角 相等.
2014年3月10日星期一 00:27:50
请作出等腰三角形各角的平分线，
你发现了什么？
探 索 新 等腰三角形两底角的平分线相等 . 知
你能证明这个结论吗？
2014年3月10日星期一 00:27:50
证明：等腰三角形两底角的平分线相 等.
已知：如图，在ABC中，AB AC， BD、CE是ABC的角平分线. 求证：BD CE.
2014年3月10日星期一 00:27:50
你 能 吗 ？
1 1 证明： AD AC，AE AB 2 2 AD AE (等量代换) 在ADB和AEC中 AD AE A A AB AC ADB AEC ( SAS ) BD CE (全等三角形的对应边相等)
你 行 吗 ？
2014年3月10日星期么？试证明你的结论.
你 能 吗 ？
证明： AB AC ACB ABC (等边对等角) 1 1 ABD ABC，ACE ACB 4 4 ABD ACE(等量代换) 在ABD和ACE中
你 能 吗 ？
你能得到什么结论？
ABD ACE AB AC A A ABD ACE( ASA) BD CE (全等三角形的对应边相等)
公理.
两边及其夹角 对应相等的两个
三角形全等（SAS）.
知 识 回 顾
公理. 两角及其夹边 对应相等的两个
三角形全等（ASA）.
公理.
三边
对应相等的两个
三角形全等（SSS）. 定理 两角及其中一角的对边 对应相等 的两个三角形全等（AAS）.
2014年3月10日星期一 00:27:50
全等三角形的 对应角 相等.
2014年3月10日星期一 00:27:50
请作出等腰三角形各角的平分线，
你发现了什么？
探 索 新 等腰三角形两底角的平分线相等 . 知
你能证明这个结论吗？
2014年3月10日星期一 00:27:50
证明：等腰三角形两底角的平分线相 等.
已知：如图，在ABC中，AB AC， BD、CE是ABC的角平分线. 求证：BD CE.
2014年3月10日星期一 00:27:50
你 能 吗 ？
1 1 证明： AD AC，AE AB 2 2 AD AE (等量代换) 在ADB和AEC中 AD AE A A AB AC ADB AEC ( SAS ) BD CE (全等三角形的对应边相等)
你 行 吗 ？
2014年3月10日星期么？试证明你的结论.
【最新】北师大版八年级数学下册第一章《等腰三角形(二)》公开课课件.ppt
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
A
证明：在ΔABC中，∵AB=AC，
∴∠B=∠C(等边对等角).BLeabharlann C同理：∠C=∠A，
∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
∴∠A=∠B=∠C＝60°.
随堂练习 及时巩固
• 如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形, A
• 求证:AE=CD
B EC D
证明:
∵ △ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD ∴ △ABE≌△CBD ∴AE=CD
课时小结
1.等腰三角形中还有那些相等的线段？ 2.等边三角形有哪些性质？ 3.本节课你学到的探索问题的方法是什么？
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021
想一想, 做一做
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你 能发现其中一些相等的线段吗? 你能证明你的结论吗?
作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分线相等；两 腰上的高、中线也分别相等．
我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠．这就需要以公理 和已证明的定理为基础去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信 它．
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
北师大版数学 八年级下册 第一章第3课时 等腰三角形的判定与反证法 优秀课件
由题得AB=15×2=30（海里）
N B 72° 36° C
∵ ∠A= ∠C
∴ BC=AB=30 （海里）
36°
A
2、如图， △ABC中， ∠A=36°，AB=AC, BD平分 ∠ABC, DE∥BC, EF平分∠AED，问在这个图形中，有 那几个等腰三角形？请分别写出来.
A
△ABC、 △BCD 、△EBD、 △EDF 、△FAE 、△ADE、 △ABD
的形式．而已知中的角平分线和平 行线告诉我们图形中有等腰三角形
M
D
出现，因此，找到问题的突破口． B
N C
4、已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数 中至少有一个大于或等于1/5.
证明: 设这五个正数为a1、a2、a3、a4、a5 假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,即都小于1/5, 那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1. 这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾. 因此, 假设不成立，即这五个数中至少有一个大于或等于 1/5成立.
36°
F
E 36°72°D
73263°°6°
B
72°
C
想一想
小明说, 在一个三角形中，如果两个角不相等, 那么这两个角所对的边也不相等.
即在△ABC中, 如果∠B≠∠C, 那么AB≠AC.
A
B
C
你认为这个结论成立吗? 如果成立, 你能证明它吗?
小明是这样想的:
如图, 在△ABC中, 已知∠B≠∠C, 此时, AB与AC要
B
C
在△ABD和 △ACD中
D
∵∠B＝∠C. ∠ADB＝∠ADC.AD=AD
北师大版八年级数学下册课件 1.1.2等腰三角形课件(新版)北师大版(共17张PPT)
A
D C
想一想, 做一做
刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中 比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还 有其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什 么启示?
把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线 段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢?
想一想, 做一做
1．在等腰三角形ABC中，
(1)如果∠ABD= 1∠ABC，∠ACE= ∠1ACB，那么BD=CE
证法2：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和 CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． 又∵∠3=∠4． 在△ABC和△ACE中， ∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A． ∴△ABD≌△ACE(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
在等腰三角形中作出一些线段(如 角平分线、中线、高等)，你能发现其 中一些相等的线段吗?你能证明你的结 论吗?
探究相等线段
（一）证明“等腰三角形两底角的平分线相等”
证法1：已知：如图，在△ABC中， AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分 线． 求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵∠1=∠ABC，∠2=∠ABC， ∴∠1=∠2． 在△BDC和△CEB中， ∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
（三）证明“等腰三角形两腰上的高线相等”
方法二： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD 和CE是△ABC两腰上的高线． 求证：BD=CE． 证明：∵BD和CE是△ABC两腰上的高线 ∴∠AEC=∠ADB=90°（垂直的定 E
义）． 在△AEC和△ADB中， ∠A=∠A，AB=AC，∠AEC=∠ADB．B ∴△AEC≌△ADB (AAS)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
北师大版八年级下册1.1等腰三角形课件 (共27张PPT)
A
证明: 作△ABC 的中线AD
∴ BD＝CD
在△ABD和△ACD中
AB＝AC （已知）
BD＝CD （已证） B
D
C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SSS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
A
证明: 作△ABC 的高线AD
∴ ∠ADB＝∠ADC ＝90º
在Rt△ABD和Rt△ACD中
在△ABC，∠A=36º，∠ABC=∠C=72º.
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高
互相重合，简称“三线合 一”
1、必做题： 教科书 P143 练习第1~3题 教科书 P149 习题14.3第1~3题
2、选做题： 教科书P151 第13题
3、预习作业： 等腰三角形的判定定理是什么？
形还能用全等的知识来证明吗?刚才的折纸给我们 什么启发?
想办法构造两个全等的三角形
如何构造两个全等的三角形?
A
证明: 作顶角的平分线AD
∴ ∠1＝∠2
12
在△ABD和△ACD中
AB＝AC （已知）
∠1＝∠2 （已证） B
D
C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SAS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
A①
解:如图,在三角形ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠C(等边对等角)
36º
由三角形内角和定理得:
∠B=∠C= 1(18 0A )1(18 3 0)672
B
C
2
2
②
A
36º
解:如图,在三角形ABC中,AB=AC, ∴∠B=∠C =36º(等边对等角) 由三角形内角和定理得:
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第一节 等腰三角形(二)
想一想, 做一做
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、 高等)，你能发现其中一些相等的线段吗? 你能证明你的 结论吗?
作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分 线相等；两腰上的高、中线也分别相等．
我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠．这 就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们 坚定不移地去承认它，相信它．
4
4
小结
（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= 1∠ABC， n
∠ACE= 1∠ACB，那么BD=CE. n
（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD= 1 AC， n
AE= 1 AB，那么BD=CE. n
简述为：
（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么 BD=CE.
（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
C
1. 证明: 等腰三角形两腰上的高相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的高．
求证：BD=CE．
A E B
D C
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两 个三角形的全等．
2. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.
A
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的中线．
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020 3:39:18 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/162020/12/162020/12/16Dec-2016-Dec-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/162020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
E
E
A
B
F
A
B
F
C
A
B
F
课时小结
1.等腰三角形中还有那些相等的线段？ 2.等边三角形有哪些性质？ 3.本节课你学到的探索问题的方法是什么？
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020
1. 求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。 A 求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在ΔABC中，∵AB=AC，
B
C
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理：∠C=∠A，
∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
∴∠A=∠B=∠C＝60°.
随堂练习 及时巩固
• 如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,
• 求证:AE=CD
A
B EC
D
证明: ∵ △ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD ∴ △ABE≌△CBD ∴AE=CD
.将不全等的两个等边三角形△ABC和等边三角形△DEF任意摆放,请 你画出不少于5种的摆放示意图,使得AE=CF,同时满足在重合的一 条直线上有C且只有三个顶点(重合的顶点算一C个),并说明理由.
下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰 三角形两底角的平分线相等．
用心想一想，马到功成
A
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE．
E 1
B
D 2
C
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．
E
求证：BD=CE．
B
D C
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两 个三角形的全等．
想一想, 做一做
刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比 较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有 其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么 启示?
把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线 段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢?
∵∠1= 1∠ABC，∠2= ∠1ACB，∴∠1=∠2．
2
2
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．
∴△BDБайду номын сангаас≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
用心想一想，马到功成
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等. A
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．
E
求证：BD=CE．
3
B
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠3= ∠1ABC，∠4= ∠1ACB， ∴∠3=∠4．
2
2
在△ABD和△ACE中，
∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
D 4
议一议
1．在等腰三角形ABC中， (1)如果∠ABD= 1∠ABC，∠ACE= 吗?如果∠ABD= 3 ∠ABC1，∠ACE=
4 能得到一个什么结论?
∠1ACB，那么BD=CE 3∠ACB呢1?由此，你
4
(2)如果AD= 1 AC，AE= 1 AB，那么BD=CE吗?如果
3
3
AD= 1 AC，AE= 1AB呢?由此你得到什么结论?
想一想, 做一做
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、 高等)，你能发现其中一些相等的线段吗? 你能证明你的 结论吗?
作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分 线相等；两腰上的高、中线也分别相等．
我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠．这 就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们 坚定不移地去承认它，相信它．
4
4
小结
（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= 1∠ABC， n
∠ACE= 1∠ACB，那么BD=CE. n
（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD= 1 AC， n
AE= 1 AB，那么BD=CE. n
简述为：
（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么 BD=CE.
（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
C
1. 证明: 等腰三角形两腰上的高相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的高．
求证：BD=CE．
A E B
D C
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两 个三角形的全等．
2. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.
A
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的中线．
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020 3:39:18 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/162020/12/162020/12/16Dec-2016-Dec-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/162020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
E
E
A
B
F
A
B
F
C
A
B
F
课时小结
1.等腰三角形中还有那些相等的线段？ 2.等边三角形有哪些性质？ 3.本节课你学到的探索问题的方法是什么？
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020
1. 求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。 A 求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在ΔABC中，∵AB=AC，
B
C
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理：∠C=∠A，
∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
∴∠A=∠B=∠C＝60°.
随堂练习 及时巩固
• 如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,
• 求证:AE=CD
A
B EC
D
证明: ∵ △ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD ∴ △ABE≌△CBD ∴AE=CD
.将不全等的两个等边三角形△ABC和等边三角形△DEF任意摆放,请 你画出不少于5种的摆放示意图,使得AE=CF,同时满足在重合的一 条直线上有C且只有三个顶点(重合的顶点算一C个),并说明理由.
下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰 三角形两底角的平分线相等．
用心想一想，马到功成
A
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE．
E 1
B
D 2
C
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．
E
求证：BD=CE．
B
D C
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两 个三角形的全等．
想一想, 做一做
刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比 较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有 其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么 启示?
把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线 段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢?
∵∠1= 1∠ABC，∠2= ∠1ACB，∴∠1=∠2．
2
2
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．
∴△BDБайду номын сангаас≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
用心想一想，马到功成
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等. A
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．
E
求证：BD=CE．
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B
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠3= ∠1ABC，∠4= ∠1ACB， ∴∠3=∠4．
2
2
在△ABD和△ACE中，
∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
D 4
议一议
1．在等腰三角形ABC中， (1)如果∠ABD= 1∠ABC，∠ACE= 吗?如果∠ABD= 3 ∠ABC1，∠ACE=
4 能得到一个什么结论?
∠1ACB，那么BD=CE 3∠ACB呢1?由此，你
4
(2)如果AD= 1 AC，AE= 1 AB，那么BD=CE吗?如果
3
3
AD= 1 AC，AE= 1AB呢?由此你得到什么结论?