高考数学专题研究：平面向量的综合应用ppt课件(50页)

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新课标版 ·高三数学（理）
(2)f(x) ＝ 5cos(2x － α) ＋ cos2x ＝ 5cos2xcosα ＋ 5sin2xsinα ＋ cos2x＝3cos2x＋4sin2x＋cos2x＝4sin2x＋4cos2x＝4 2sin(2x＋ π4)，∴f(x)max＝4 2.
当 0<2α＋π4≤π2，即－π8<α≤π8时，f(α)单调递减； 当π2<2α＋π4<54π，即π8<α<π2时，f(α)单调递增．
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故函数 f(α)的单调递增区间为(π8，π2)， 单调递减区间为(－π8，π8]． 因为 sin(2α＋π4)∈(－ 22，1]， 故函数 f(α)的值域为[－ 2，1)．
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例 2 已知 O 为坐标原点，向量O→A＝(sinα，1)，O→B＝(cosα， 0)，O→C＝(－sinα，2)，点 P 满足A→B＝B→P.
(1) 记函数 f(α)＝P→B·C→A，α∈(－π8，π2)，讨论函数 f(α)的单调 性，并求其值域；
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(2)O→P＝(2cosα－sinα，－1)，O→C＝(－sinα，2)，由 O，P，
C 三点共线，可得(－1)×(－sinα)＝2×(2cosα－sinα)，得 tanα＝
43，sin2α＝si2ns2iαn＋αccoossα2α＝1＋2tatannα2α＝2245.
|O→A＋O→B|＝
sinα＋cosα2＋1＝
2＋sin2α＝
74 5.
【答案】 (1)增区间为(π8，π2)，减区间为(－π8，π8)，值域为[－
2，1)
74 (2) 5
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探究 2 这类试题的难度一般不大，但解题时要细心，要正 确利用向量的相关知识，特别是向量中的共线、垂直关系．
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f(α) ＝ P→B ·C→A ＝ (sinα － cosα ， 1)·(2sinα ， － 1) ＝ 2sin2α － 2sinαcosα－1＝－(sin2α＋cos2α)＝－ 2sin(2α＋π4)．又 α∈(－π8， π2)，故 0<2α＋π4<54π.
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方法二：(基向量法)∵C→P＝C→A＋A→P，B→A－B→C＝C→A， ∴C→P·(B→A－B→C)＝(C→A＋A→P)·C→A ＝C→A2＋A→P·C→A＝9－A→P·A→C ＝9－|A→P||A→C|cos∠BAC＝9－3|A→P|cos∠BAC. ∵cos∠BAC 为正且为定值， ∴当|A→P|最小即|A→P|＝0 时，C→P·(B→A－B→C)取得最大值 9. 【答案】 9
思考题 2 设 a＝(1，cosα)，b＝(sinα＋cosα，－2)，若 α ∈(0，π2)，a·b＝15.
(1)试求 sin2α 及 sinα，cosα 的值； (2)设 f(x)＝5cos(2x－α)＋cos2x(x∈R)，试求 f(x)的最大值及 取得最大值时 x 的值．
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【思路】 以直角顶点为原点建立平面直角坐标系，用参数 表示出点 P、C、B、A 的坐标，进而表示出|P→A＋3P→B|，然后转 化为函数问题求解．
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新课标版 ·高三数学（ຫໍສະໝຸດ ）【解析】 建立平面直角坐标系如图所示．设 P(0，y)，C(0， b)，则 B(1，b)，A(2,0)，则P→A＋3P→B＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b －4y)．
(2)若 O，P，C 三点共线，求|O→A＋O→B|的值．
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【解析】 (1)A→B＝(cosα－sinα，－1)，设O→P＝(x，y)，则B→P ＝(x－cosα，y)．
由A→B＝B→P，得 x＝2cosα－sinα，y＝－1. 故O→P＝(2cosα－sinα，－1)． P→B＝(sinα－cosα，1)，C→A＝(2sinα，－1)．
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思考题 1 (2014·西安模拟)已知△ABC 的三边长 AC＝3， BC＝4，AB＝5，P 为 AB 边上任意一点，则C→P·(B→A－B→C)的最大 值为________．
【解析】 方法一： (坐标法)以 C 为原点，建立平面直角 坐标系如图所示，设 P 点坐标为(x，y)且 0≤y≤3,0≤x≤4，则 C→P·(B→A－B→C)＝C→P·C→A＝(x，y)·(0,3)＝3y，当 y＝3 时，取得最大 值 9.
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专题研究 平面向量的综合应用
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例 1 (2014·潍坊模拟)已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC， ∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动点，则|P→A＋3P→B |的最小值为________．
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【解析】 (1)∵a·b＝sinα＋cosα－2cosα＝sinα－cosα＝15， ①
∴1－2sinαcosα＝215，∴sin2α＝2245. ∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝4295. ∵α∈(0，π2)，∴sinα＋cosα＝75.② ∴sinα＝45，cosα＝35，sin2α＝2245.
∴|P→A＋3P→B|2＝25＋(3b－4y)2(0≤y≤b)． 当 y＝34b 时，|P→A＋3P→B|最小，|P→A＋3P→B|min＝5.
【答案】 5
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探究 1 平面几何问题的向量解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具 体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问 题得到解决． (2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构 造关于设定未知量的方程来进行求解．