第四章 4.2.1 指数函数的概念

§4.2 指数函数 4．2.1 指数函数的概念学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用．知识点一 指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 思考 为什么底数应满足a >0且a ≠1?答案 ①当a ≤0时，a x 可能无意义；②当a >0时，x 可以取任何实数；③当a ＝1时，a x ＝1 (x ∈R )，无研究价值．因此规定y ＝a x 中a >0，且a ≠1. 知识点二 两类指数模型1．y ＝ka x (k >0，a >0且a ≠1)，当a >1时为指数增长型函数模型． 2．y ＝ka x (k >0，a >0且a ≠1)，当0<a <1时为指数衰减型函数模型．1．y ＝x x (x >0)是指数函数．( × )2．y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)是指数函数．( × ) 3．y ＝⎝⎛⎭⎫12x是指数衰减型函数模型．( √ ) 4．若f (x )＝a x 为指数函数，则a >1.( × )一、指数函数的概念例1 (1)给出下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3；⑤y ＝(－2)x .其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 B解析 ①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数；②中，y ＝3x ＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，3x 的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x 一项，故③是指数函数；④中，y ＝x 3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数．(2)若函数y ＝(2a －1)x (x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．[0,1)∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 答案 C解析 依题意得2a －1>0，且2a －1≠1， 解得a >12，且a ≠1.反思感悟 判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求． (2)a x 前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求．跟踪训练1 (1)下列是指数函数的是( ) A ．y ＝－3x B ．y ＝212x -C ．y ＝a xD ．y ＝πx答案 D解析 根据指数函数的特征知，A ，B ，C 不满足．(2)若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则a 的值为________． 答案 2解析 由指数函数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1， ①a >0且a ≠1， ②由①得a ＝1或2，结合②得a ＝2. 二、求指数函数的解析式或函数值例2 (1)若函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12a －3·a x是指数函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．－2 2 D ．2 2 答案 D解析 因为函数f (x )是指数函数，所以12a －3＝1，所以a ＝8，所以f (x )＝8x ，f ⎝⎛⎭⎫12＝128＝2 2.(2)已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，且f (0)＝3，f (1)f (0)＝12，f (2)f (1)＝12，…，f (n )f (n －1)＝12，n ∈N *，求函数y＝f (x )的一个解析式．解 当x 增加1时函数值都以12的衰减率衰减，∴函数f (x )为指数衰减型， 令f (x )＝k ⎝⎛⎭⎫12x(k ≠0)，又f (0)＝3，∴k ＝3，∴f (x )＝3·⎝⎛⎭⎫12x . 反思感悟 (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．跟踪训练2 指数函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，那么f (4)f (2)等于( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64 答案 D解析 由指数函数y ＝f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，可得a －2＝14，解得a ＝2，函数的解析式为y ＝2x ，f (4)f (2)＝24·22＝64. 三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用例3 某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.(1)若经过x 年后，该林区的木材蓄积量为y 万立方米，求y ＝f (x )的表达式，并求此函数的定义域；(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．解 (1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)．经过2年后木材蓄积量为：200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2. ∴经过x 年后木材蓄积量为200(1＋5%)x .∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.函数的定义域为x∈N*.(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象见下图．x 0123…y 200210220.5231.5…作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0，300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．∵8<x0<9，则取x＝9(计划留有余地，取过剩近似值)，即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．反思感悟解决有关增长率问题的关键和措施(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．(2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可．(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．跟踪训练3春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．答案19解析假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．1．下列各函数中，是指数函数的是()A ．y ＝(－4)xB ．y ＝－4xC ．y ＝3x －1 D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x答案 D解析 A 中函数的底数不满足大于零且不等于1，故不是指数函数；B 中函数式中幂值的系数不是1，故不是指数函数；C 中的指数是x －1，不是指数函数． 2．若函数y ＝(m 2－m －1)·m x 是指数函数，则m 等于( ) A ．－1或2 B ．－1 C ．2 D.12答案 C解析 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，m >0且m ≠1，解得m ＝2(舍m ＝－1)．3．碳14的半衰期为5 730年，那么碳14的年衰变率为( ) A.15 730B.⎝⎛⎭⎫12 5 730C.1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1573014答案 C解析 设碳14的年衰变率为m ，原有量为1， 则m 5 730＝12，解得m ＝1573012⎛⎫⎪⎝⎭，所以碳14的年衰变率为1573012⎛⎫⎪⎝⎭.4．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝________. 答案 (2)x解析 由题意，设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)， 则由f (2)＝a 2＝2，得a ＝2，所以f (x )＝(2)x .5．若函数f (x )＝(4－3a )x 是指数函数，则实数的取值范围是________． 答案 (－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫1，43解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a>0，4－3a≠1，解得a<43且a≠1.1．知识清单：(1)指数函数的定义．(2)指数增长型和指数衰减型函数模型．2．方法归纳：待定系数法．3．常见误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1.1．函数f(x)＝(2a－3)a x是指数函数，则f(1)等于()A．8 B.32C．4 D．2答案 D解析∵函数f(x)＝(2a－3)a x是指数函数，∴2a－3＝1，解得a＝2.∴f(x)＝2x，∴f(1)＝2.2．函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有() A．f(xy)＝f(x)f(y) B．f(xy)＝f(x)＋f(y)C．f(x＋y)＝f(x)f(y) D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)答案 C解析f(x＋y)＝a x＋y＝a x a y＝f(x)f(y)．3．函数y＝(a2－4a＋4)a x是指数函数，则a的值是()A．4 B．1或3C．3 D．1答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a≠1，a2－4a＋4＝1，解得a＝3.4．若函数y ＝a 2(2－a )x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或－1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1 D ．a >0且a ≠1答案 C解析 因为函数y ＝a 2(2－a )x 是指数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2－a >0，2－a ≠1，即a ＝－1.5．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按此规律，设2020年的湖水量为m ，从2020年起，经过x 年后湖水量y 与x 的函数关系为( ) A ．y ＝500.9xB ．y ＝5010.1xm ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．y ＝500.9xm D ．y ＝(1－0.150x )m答案 C解析 设每年的衰减率为q %， 则(1－q %)50＝0.9，所以1－q %＝1500.9，所以y ＝m ·(1－q %)x＝500.9xm .6．下列函数中是指数函数的是________．(填序号) ①y ＝2·(2)x ；②y ＝2x －1；③y ＝⎝⎛⎭⎫π2x ； ④y ＝13x- ；⑤y ＝13x .答案 ③解析 ①中指数式(2)x 的系数不为1，故不是指数函数；②中y ＝2x －1，指数位置不是x ，故不是指数函数；④中指数不是x ，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．7．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )＝ 4－x －2，且g (m )＝f (m )，则m ＝________. 答案 1 －1解析 因为函数的图象过点(－1,2)，所以⎝⎛⎭⎫12－a＝2，所以a ＝1，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，g (m )＝f (m )可变形为4－m －2－m －2＝0， 解得2－m ＝2，所以m ＝－1.8．f (x )为指数函数，若f (x )过点(－2,4)，则f (f (－1))＝________. 答案 14解析 设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)， 由f (－2)＝4，得a －2＝4，解得a ＝12，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x， 所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 所以f (f (－1))＝f (2)＝⎝⎛⎭⎫122＝14.9．已知函数f (x )＝(a 2＋a －5)a x 是指数函数． (1)求f (x )的表达式；(2)判断F (x )＝f (x )－f (－x )的奇偶性，并加以证明． 解 (1)由a 2＋a －5＝1，可得a ＝2或a ＝－3(舍去)， ∴f (x )＝2x .(2)F (x )＝2x －2－x ，定义域为R ，∴F (－x )＝2－x －2x ＝－F (x )， ∴F (x )是奇函数．10．有一种树栽植5年后可成材．在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案： 甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐． 乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次． 请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？ 解 设该种树的最初栽植量为a ，甲方案在10年后的木材产量为 y 1＝a (1＋20%)5(1＋10%)5＝a (1.2×1.1)5≈4.01a . 乙方案在10年后的木材产量为 y 2＝2a (1＋20%)5＝2a ·1.25≈4.98a .∵a>0，∴4.98a>4.01a，即y2>y1，∴乙方案能获得更多的木材．11．已知函数f(x)＝121,0,2,0,xx xx-⎧⎪->⎨⎪≤⎩则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19等于()A．4 B.14C．－4 D．－14答案 B解析∵f ⎝⎛⎭⎫19＝1－1219-⎛⎫⎪⎝⎭＝1－3＝－2，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f(－2)＝2－2＝14.12．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日内，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为()A．赚723元B．赚145元C．亏145元D．亏723元答案 D解析由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5≈10×0.992 77＝9.927 7；100 000－99 277＝723，故股民亏723元．13．若函数y＝(m2－5m＋5)⎝⎛⎭⎫2－m3x是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数m＝________.答案 1解析依题意知⎩⎪⎨⎪⎧m2－5m＋5＝1，2－m3>1，解得m＝1(舍m＝4)．14．某厂2018年的产值为a万元，预计产值每年以7%的速度增加，则该厂到2022年的产值为________万元．答案a(1＋7%)4解析2018年产值为a，增长率为7%.2019年产值为a＋a×7%＝a(1＋7%)(万元)．2020年产值为a(1＋7%)＋a(1＋7%)×7%＝a(1＋7%)2(万元)．……2022年的产值为a(1＋7%)4万元．15．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份()A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相等D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案 A解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝m(m＋8a)，因为y21－y22＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．16．截止到2018年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x年后，此市人口数为y(万)．(1)求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域；(2)若按此增长率，2029年年底的人口数是多少？(3)哪一年年底的人口数将达到135万？解(1)2018年年底的人口数为130万；经过1年，2019年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；经过2年，2020年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；经过3年，2021年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万)．……所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万)．即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*)．(2)2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万)．(3)由(2)可知，2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134<135.2030年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万)，2031年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万)．所以2031年年底的人口数将达到135万．。