1．y ＝x x (x >0)是指数函数．( × )
2．y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)是指数函数．( × ) 3．y ＝⎝⎛⎭⎫12x
是指数衰减型函数模型．( √ ) 4．若f (x )＝a x 为指数函数，则a >1.( × )
一、指数函数的概念
例1 (1)给出下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋
1；③y ＝3x ；④y ＝x 3；⑤y ＝(－2)x .其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 B
解析 ①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数；②中，y ＝3x ＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，3x 的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x 一项，故③是
指数函数；④中，y ＝x 3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数．
(2)若函数y ＝(2a －1)x (x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．[0,1)∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) D.⎣⎡⎭
⎫1
2，＋∞ 答案 C
解析 依题意得2a －1>0，且2a －1≠1， 解得a >1
2
，且a ≠1.
反思感悟 判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求． (2)a x 前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求．
跟踪训练1 (1)下列是指数函数的是( ) A ．y ＝－3x B ．y ＝2
1
2x -
C ．y ＝a x
D ．y ＝πx
答案 D
解析 根据指数函数的特征知，A ，B ，C 不满足．
(2)若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则a 的值为________． 答案 2
解析 由指数函数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－3a ＋3＝1， ①a >0且a ≠1， ②
由①得a ＝1或2，结合②得a ＝2. 二、求指数函数的解析式或函数值
例2 (1)若函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12a －3·a x
是指数函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．－2 2 D ．2 2 答案 D
解析 因为函数f (x )是指数函数，所以1
2a －3＝1，
所以a ＝8，
所以f (x )＝8x ，f ⎝⎛⎭⎫12＝1
2
8＝2 2.
(2)已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，且f (0)＝3，f (1)f (0)＝12，f (2)f (1)＝12，…，f (n )f (n －1)＝12，n ∈N *，求函数y
＝f (x )的一个解析式．
解 当x 增加1时函数值都以1
2的衰减率衰减，
∴函数f (x )为指数衰减型， 令f (x )＝k ⎝⎛⎭⎫12x
(k ≠0)，
又f (0)＝3，∴k ＝3，∴f (x )＝3·⎝⎛⎭
⎫12x . 反思感悟 (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．
跟踪训练2 指数函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫－2，1
4，那么f (4)f (2)等于( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64 答案 D
解析 由指数函数y ＝f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，可得a －2＝1
4，解得a ＝2，函数的解析式为y ＝2x ，f (4)f (2)＝24·22＝64. 三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
例3 某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x 年后，该林区的木材蓄积量为y 万立方米，求y ＝f (x )的表达式，并求此函数的定义域；
(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
解 (1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)．
经过2年后木材蓄积量为：200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2. ∴经过x 年后木材蓄积量为200(1＋5%)x .
∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.函数的定义域为x∈N*.
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象见下图．
x 0123…
y 200210220.5231.5…
作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0，300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．
∵8反思感悟解决有关增长率问题的关键和措施
(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．(2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可．
(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
跟踪训练3春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
答案19
解析假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．
1．下列各函数中，是指数函数的是()
