高数教案两个重要极限及无穷小的比较

合集下载

两个重要极限和无穷小的比较

§5 两个重要极限、无穷小比较 1 x
令 t = − x,
1 x 1 −t ∴ lim (1 + ) = lim (1 − ) = lim (1 + 1 ) t x → −∞ t → +∞ x t t −1 t → +∞
1 t −1 1 ) (1 + ) = lim (1 + t −1 t −1 t → +∞
又 ∵ lim 1 = 1,
x→0
设 α 为某过程中的无穷小 ,
sin α 1 lim = 1; 某过程 α
0
数学分析
第一章函数与极限
§5 两个重要极限、无穷小比较
例3
1) 求 lim 1 − cos x x
2 x→0
.
x 2) lim , x →0 tan 5 x
arcsin x 3) lim x→0 x
§5 两个重要极限、无穷小比较
显然 x n + 1 > x n , ∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + + < 1 + 1 + + + n −1 n! 2 2! 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1 n ∴ lim x n 存在. 记为 lim (1 + ) = e (e = 2.71828 ) n→ ∞ n→ ∞ n
二、两个重要极限
(1)
C
B
o
π
x
sin x lim =1 x→0 x
D
A
设单位圆 O , 圆心角 ∠AOB = x , (0 < x < ) 2

两个重要极限教案(修改

两个重要极限教案教学目标：1. 理解极限的定义和性质。

2. 掌握两个重要极限的表达式和应用。

3. 能够运用两个重要极限解决实际问题。

教学内容：第一章：极限的定义和性质1.1 极限的定义1.2 极限的性质1.3 极限的存在条件第二章：两个重要极限2.1 极限lim(x->0) (sin x / x) = 12.2 极限lim(x->∞) (sin x / x) = 02.3 两个重要极限的证明和应用第三章：极限的计算方法3.1 直接计算法3.2 因式分解法3.3 代数运算法第四章：无穷小和无穷大4.1 无穷小的定义和性质4.2 无穷大的定义和性质4.3 无穷小和无穷大的比较第五章：极限的运算法则5.1 极限的基本运算法则5.2 极限的复合运算法则5.3 极限的逆运算教学过程：第一章：1.1 引入极限的概念，引导学生理解极限的定义。

1.2 引导学生通过举例和观察，总结极限的性质。

1.3 引导学生探讨极限的存在条件，并举例说明。

第二章：2.1 引导学生理解两个重要极限的表达式，并通过图形和实例进行解释。

2.2 引导学生掌握两个重要极限的证明方法，并能够运用到实际问题中。

2.3 引导学生通过练习题，巩固两个重要极限的应用。

第三章：3.1 引导学生学习直接计算法，并通过例子进行演示。

3.2 引导学生学习因式分解法，并通过例子进行演示。

3.3 引导学生学习代数运算法，并通过例子进行演示。

第四章：4.1 引导学生理解无穷小的概念，并通过例子进行解释。

4.2 引导学生理解无穷大的概念，并通过例子进行解释。

4.3 引导学生掌握无穷小和无穷大的比较方法，并能够运用到实际问题中。

第五章：5.1 引导学生学习极限的基本运算法则，并通过例子进行演示。

5.2 引导学生学习极限的复合运算法则，并通过例子进行演示。

5.3 引导学生学习极限的逆运算，并通过例子进行演示。

教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。

2. 学生的参与度和积极性。

两个重要极限、无穷小的比较

例如，在解决物理问题时，我们需要用到无穷小的概念和性质来建立数学模型；在解决经济问题时，我们也需要用到无穷小的概念和性质来建立数学模型。
04
两个重要极限和无穷小的关
系
两个重要极限与无穷小的关系
两个重要极限是：lim x->0+ (1/x) = +∞ 和 lim x->∞ (1/x) = 0。这两个极限描述了函数在x趋向于0和无穷大时的情况，与无穷小密切相关。
两个重要极限、无穷小的比较
• 两个重要极限的介绍 • 无穷小的比较 • 无穷小在极限中的应用 • 两个重要极限和无穷小的关系 • 总结与展望
目录
01
两个重要极限的介绍
第一个重要极限
总结词
该极限描述了函数(1+1/x)^x在x趋向于无穷大时的行为，其结果为自然常数e。
详细描述
当x趋向于正无穷大时，函数(1+1/x)^x趋向于e，约等于2.71828。这个极限在数学、物理和工程等领域有广泛应用，是微积分学中的一个基本概念。
05
总结与展望
总结两个重要极限和无穷小的性质和应用
两个重要极限
1
无穷小的比较
2
应用场景
3
对未来研究和学习的展望
结合计算机科学进行数值计算和模拟
探索无穷小在数学和物理中的应用
深入研究极限理论
01
03 02
感谢观看
THANKS
无穷小量比较
通过两个重要极限，我们可以比较不同无穷小量的阶，从而更好地理解极限的概念。
微分学
在微分学中，两个重要极限用于定义导数和积分，是研究函数行为的关键工具。
02
无穷小的比较
等价无穷小

高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.6-1.7 两个重要极限无穷小比较

课时授课计划课次序号：05一、课题：§1.6极限存在准则两个重要极限§1.7 无穷小的比较二、课型：新授课三、目的要求：1.了解极限的两个存在准则，并会利用它们求极限；2.掌握利用两个重要极限求极限的方法；3.掌握无穷小阶的概念以及利用等价无穷小替换求极限的方法.四、教学重点：利用两个重要极限以及等价无穷小替换求极限.教学难点：利用极限的存在准则求极限.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–6 1（1）（6），2（3）；习题1–7 1，4（3）八、授课记录：九、授课效果分析：复习1.无穷小与无穷大的概念以及它们之间的关系；2.极限运算法则：无穷小运算法则、四则运算法则、复合函数极限运算法则. 有些函数的极限不能（或者难以）直接应用极限运算法则求得，往往需要先判定极限存在，再用其他方法求得.下面先介绍判定函数极限存在的两个准则，然后介绍两个重要极限.在此基础上，进一步介绍无穷小的比较与等价无穷小的性质．第六节极限存在准则两个重要极限一、极限存在准则1. 夹逼准则定理1 如果数列{}{}n n y x 、及{}n z 满足下列条件：（1）()...321，，=≤≤n z x y nn n ，（2），，a z a y n n n n ==∞→∞→lim lim 那么数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 。

证 ,,a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>∃>∀N N ε1,n n N y a ε>-<当时,恒有 2,n n N z a ε>-<当时,恒有},,max{21N N N =取上两式同时成立, ,εε+<<-a y a n 即 ,εε+<<-a z a n所以恒有时当,N n >,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n.lim a x n n =∴∞→例1 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim 解11112222+<++++<+n n nn n nn n ，而 11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n ，所以原式极限为1.定理1/ 设在点x 0的某去心邻域有12()()()F x f x F x ≤≤, 且0lim x x →F 1(x )= 0lim x x →F 2(x )=A ，则0lim ()x x f x →=A .证由已知条件, ∃δ1＞0,当x ∈0U (x 0,δ1)时, 12()()()F x f x F x ≤≤.又由0lim x x →F 1(x )=0lim x x →F 2(x )=A 知: ∀ε＞0,∃δ2＞0,当x ∈0U (x 0,δ2)时,｜F 1(x )-A ｜＜ε,∃δ3＞0,当x ∈0U (x 0,δ3)时,｜F 2(x )-A ｜＜ε.取δ=min(δ1,δ2,δ3),则当x ∈0U (x 0,δ)时,得 A -ε＜12()()()F x f x F x ≤≤＜A +ε.由极限定义可知，0lim ()x x f x A →=.夹逼定理虽然只对x →x 0的情形作了叙述和证明,但是将x →x 0换成其他的极限过程,定理仍成立,证明亦相仿.例如,若∃X ＞0使x ＞X 时有12()()()F x f x F x ≤≤,且lim x →+∞F 1(x )=lim x →+∞F 2(x )=A , 则lim x →+∞f (x )=A.2. 单调有界准则定义数列{}n x 的项若满足x 1≤x 2≤…≤x n ≤x n +1≤…，则称数列{}n x 为单调增加数列；若满足x 1≥x 2≥…≥x n ≥x n +1≥…，则称数列{}n x 为单调减少数列．当上述不等式中等号都不成立时，则分别称{}n x 是严格单调增加和严格单调减少数列．定理2 单调有界数列必有极限．该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去．例2 证明数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭收敛．证只需证明11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调增加且有上界．当a ＞b ＞0时，有 a n +1-b n +1=(a -b )(a n +a n -1b +…+ab n -1+b n )＜(n +1)(a -b )a n , 即a n ［(n +1)b -na ］＜b n +1．（8）取a =1+1n ，b =1+11n +代入(8)式，得 11n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜1111n n +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，即数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是单调增加的．取a =1+12n ，b =1代入(8)式，得 112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜2，从而2112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4，n =1，2，…，又由于 211121n n -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭＜2112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4，所以11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4对一切n =1，2，…成立，即数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭有界，由收敛准则可知11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭收敛．我们将11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的极限记为e ，即 1l i m 1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=e ．二、两个重要极限利用夹逼定理，可得两个非常重要的极限.1. 第一个重要极限 0sin lim1x x x→=我们首先证明0sin lim1x x x+→=.因为x →0+，可设x ∈（0，2π）.如图1－35所示，其中， EAB为单位圆弧，且OA =OB =1，∠AOB =x ，则OC =cos x ，AC =sin x ，DB =tan x ，又△AOC 的面积＜扇形OAB 的面积＜△DOB 的面积，即 cos x sin x ＜x ＜tan x .因为x ∈（0，2π），则cos x ＞0，sin x ＞0，故上式可写为cos x ＜sin x x＜1cos x.由0lim cos 1x x →=，01lim1cos x x→=，运用夹逼定理得 0sin lim 1x x x+→=. 注意到sin x x是偶函数，从而有0sin sin()sin limlim lim 1x x z x x z xxz--+→→→-===-.图1－35综上所述，得 0s i n l i m1x x x →=.例3 证明0tan lim1x x x→=.证 0tan sin 1limlimcos x x x x xxx→→=⋅sin 1limlim1cos x x x xx→→=⋅=.例4 求21cos limx xx→-.解 22220002(sin )sin1cos 1122lim lim lim 222x x x xx x xx x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪⎪⎝⎭. 例5 求3tan sin lim x x xx →-.解 33tan sin sin (1cos )limlimcos x x x xx x xx x→→--=20s i n 1c o s 11l i m c o s 2x x x x x x→-=⋅⋅=.例6 求1lim sinx x x→∞.解令u =1x，则当x →∞时，u →0，故01sin lim sinlim1x u u x x u→∞→==.从以上几例中可以看出，0sin lim1x x x→=中的变量可换为其他形式的变量，只要在极限过程中，该变量趋于零.即如果在某极限过程中有lim ()0u x =（()u x ≠0），则sin ()lim1()u x u x =.2.第二个重要极限 1lim (1)e x x x→∞+=前面我们已证明了1lim (1)e nn n→∞+=.对于任意正实数x ，总存在n ∈N ，使n ≤x ＜n +1，故有1+11n +＜1+1x≤1+1n，及1111(1)(1)(1)1nxn n xn++<+<++.由于x →+∞时，有n →∞，而11(1)11lim (1)lime 1111n nn n n n n +→∞→∞+++==+++，1111lim (1)lim (1)(1)e n nn n nnn+→∞→∞+=++= ，由夹逼定理使得1lim (1)e xx x→+∞+=.下面证1lim (1)e xx x→-∞+=.令x =-（t +1），则x →-∞时，t →+∞，故(1)(1)11lim (1)lim (1)lim ()11xt t x t t t xt t -+-+→-∞→+∞→+∞+=+=++lim ()()e 11tt t t t t →+∞==++.综上所述，即有 1l i m (1)e xx x→∞+=.在上式中，令z =1x，则当x →∞时，z →0，这时上式变为1lim (1)e z z z →+=.为了方便地使用以上公式，常将它们记为下列形式：（1）在某极限过程（x →x 0，x →∞，x →-∞，x →+∞）中，若lim ()u x =∞，则()1lim 1e ()u x u x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦；（2）在某极限过程中，若lim ()0u x =，则 []1()lim 1()e u x u x +=.例7 求lim (1)xx k x→∞+（k ≠0）.解 l i m (1)l i m (1)xkxk x x k k xx →∞→∞+=+ l i m (1)ekx kkx k x →∞⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦. 例8 求1lim 2xx x x →∞+⎛⎫⎪+⎝⎭. 解 22111lim lim 1lim 1222xxx x x x x x x x +-→∞→∞→∞+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111lim 1lim 1e22x x x x x +--→∞→∞--⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ .例9 求0ln(1)limx x x→+.解 1ln(1)limlim ln(1)ln e =1x x x x x x→→+=+=.例10 求0e 1limxx x→-.解令u =e x -1，则x =ln （1+u ），当x →0时，u →0，故e 11limlimlim1ln(1)ln(1)xx u u u u xu u→→→-===++.例11 求ln ln limx ax a x a→--（a ＞0）.解令u =x -a ，则x =u +a ，当x →a 时，u →0，故ln ln ln()ln limlimx au x a u a ax au→→-+-=-011limln(1)au u u aaa→=+=.第七节无穷小的比较同一极限过程中的无穷小量趋于零的速度并不一定相同，研究这个问题能得到一种求极限的方法，也有助于以后内容的学习.我们用两个无穷小量比值的极限来衡量这两个无穷小量趋于零的快慢速度.一、无穷小阶的概念定义设(),()x x αβ是同一极限过程中的两个无穷小量：lim ()0,lim ()0x x αβ==.若()lim0()x x αβ=，则称()x α为()x β的高阶无穷小，记为α（x ）= o （β（x ））. 若()lim()x x αβ=∞，则称()x α为()x β的低阶无穷小，记为β（x ）= o （α（x ））. 若()lim ()x A x αβ=（A ≠0），则称()x α是()x β的同阶无穷小. 特别地，当A =1时，则称α（x ）与β（x ）是等价无穷小，记为α（x ）~β（x ）. 若在某极限过程中，α是βk的同阶无穷小量（k ＞0），则称α是β的k 阶无穷小. 例如：因为01cos lim0x xx →-=，所以当x →0时，1-cos x 是x 的高阶无穷小量，即1-cos x =o （x ）（x →0）.因为21cos 1lim2x xx→-=，所以当x →0时，1-cos x 是x 2的同阶无穷小量，即1-cos x =O （x 2）（x →0）.因为0sin lim1x x x→=，所以当x →0时，与sin x 与x 是等价无穷小量，即sin x x （x →0）.二、等价无穷小的性质等价无穷小在极限计算中有重要作用.定理1 设α ，β为同一极限过程的无穷小量，则()o αββαα⇔=+ .定理2 设,,,ααββ''为同一极限过程的无穷小量，,ααββ'' ，若limαβ存在，则 limlimααββ'='.证因为,ααββ'' ，则lim1αα'=,lim1ββ'=，由于αααββαββ'''=',又limαβ存在，所以 l i m l i m l i ml i m l i m αααβαβαβββ''==''. 定理2表明,在求极限的乘除运算中，无穷小量因子可用其等价无穷小量替代，这个结论可写为以下的推论.推论1 设,ααββ'',若()lim f x αβ存在或为无穷大量，则 ()()limlimf x f x ααββ'='.推论2 设αα' ，若lim ()f x α存在或为无穷大，则 lim ()lim ()f x f x αα'=. 在极限运算中，常用的等价无穷小量有下列几种：当x →0时，sin ,tan ,arcsin ,arctan ,x x x x x x x x ，1-cos x ~212x ，ex-1~x ，ln （1+x ）~x，1~2x ，(1)a x +-1~αx （α∈R ）.例1 当x →0时,22~2x x x -,232~x x x -, 2sin ~x x x +, c o s ~2x x .例2 求0tan 7limsin 5x x x→.解因为x →0时，tan7x ~7x ，sin5x ~5x ，所以 00tan 777limlimsin 555x x x x xx→→==.例3 求0eelimsin sin axbxx ax bx→-- (a ≠b ).解 ()0e ee [e 1]limlimsin sin 2cossin22axbxbx a b xx x a ba b ax bxx x-→→--=+--()0e e1limlim cos2sin22bx a b xx x a b a b xx-→→-=+- 0()lim1()22x a b x a b x→-==- .例4 求223lim ln(1)x x x→∞+. 解当x →∞时，2233ln(1)xx+，故222233lim ln(1)lim 3x x x x xx→∞→∞+== .例5 当x →0时，tan x -sin x 是x 的几阶无穷小量？解 23330tan sin tan (1cos )12limlimlim2x x x xx x xx x xxx →→→⋅--===，所以，当x →0时，tan x -sin x 是x 的三阶无穷小量. 例6求21limsin 2x x x→+.解211~()~22x x x +，2sin 2~sin 2~2x x x x +，所以20112limlim sin 224x x xx xx →→==+. 课堂总结1.极限的存在准则：夹逼准则、单调有界准则；2.两个重要极限：1sin 1lim1,lim (1)e lim (1)e xx x x x x x xx→→∞→=+=+=或；3.无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、等价、k 阶；4.等价无穷小替换求极限的方法.。

第五两个重要极限与无穷小的比较

，分子、分母中的因子可用等价无穷小替换（替换后极限情况不变）。
例5 求 lim tan2 2x .
x0 1 - cos x
解当x 0时, 1 - cos x ~ 1 x2,
2
原式 = lim (2x)2 = 8.
x0 1 x2 2
例6
求
lim
x0
arc 2(1 -
sin x cos 2 x
1
x
-x
x
(1
1 )-x
= 1. e
-x
例12 求 lim(3 x)2x . (1 型)
x 2 x
解原式 = lim[(1 1 ) x2 ]2 (1 1 )-4 = e 2 .
x
x2
x2
例13 求 lim x 1 2x x0 1
解原式 = lim(1 2x) x (1 型) x0
x0 nx
x0
= m lim sinmx /limcos x n x0 mx x0
= m。 n
例7 求
arcsin x
lim
x0
x
(0 型) 0
解 lim arcsin x y=arcsin x
x0
x
lim y y0 sin y
= 1.
例8 求
lim
n
2n-1
sin
x 2n
( 0型)
原式
=
lim
x0
1 x3 2 (2 x )3
=
1. 16
2
注意：只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小项不能作等价无穷小代换（但是，可以象例4中那样利用等价无穷小）.
x 2

两个重要极限无穷小比较

注1：无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极限过程谈无穷小量,如sinx是x0时的无穷小量, 但 lim sin x 1.因此，它不是 x 时的无穷小 . 2 x
2
39
例1
(1) lim x2 0, x 0 时, x2 是一个无穷小量 .
x0
(2) limsin x 0, x 0 时, sin x 是一个无穷小量 .
( k为常数 )
3. lim f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x )
f ( x ) lim f ( x ) 4. lim g ( x ) lim g ( x ) ( lim g ( x ) 0 )
5. lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n
( 即 k = 2 的情形)
29
对于 ( 1 )型极限问题中常使用指数公式
(i)
a xy a

x y
a

kx

y k
(ii)
a a
x
xk k
a xk a k
1 化为 lim 1 e型极限 x x
x
30
例12
x 1 求 lim x x 1
y g ( x)
O
x0
x0 x0
x
8
例1
2 求 lim x . x 0 x
由取整函数的定义, 有 2 2 2 1 , x x x
解
故当 x 0 时, 当 x 0 时,
2 2 x x 2; x 2 2 x x 2, x
x

两个重要极限教案

两个重要极限教案两个重要极限教案作为一名无私奉献的老师，有必要进行细致的教案准备工作，借助教案可以更好地组织教学活动。

那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？下面是小编收集整理的两个重要极限教案，仅供参考，大家一起来看看吧。

一、教材分析两个重要极限是在学生系统学习了数列极限、函数极限以及函数极限运算法则的基础上进行研究的，它在求函数极限中起着重要作用，也是今后研究各种基本初等函数求导公式的工具，所以两个重要极限应重点研究。

二、学情分析一方面，学生已经学习了有界函数和无穷小乘积的极限，他们可以通过类比的方法研究这第一个重要极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生基础比较薄弱，对以前所学的三角函数关系、二倍角公式等运用还不够熟练，所以现在在角的转化上面还存在一定困难。

三、教学目标根据以上两点分析并结合本节教材的特点，现把本节课的目标、重点、难点定为：教学目标：（1）知识与技能：使学生掌握重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数极限；（2）过程与方法：提高学生的自学意识，培养学生类比、观察、归纳、举一反三等方面的'能力；（3）情感态度与价值观：通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。

教学重点与难点：重点：重要极限公式及其变形式难点：的灵活应用四、教法与学法的选择本节课我是以学案为载体，采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。

学法上以课前自学为主要方式，在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，让学生自己出题，把思路方法和需要解决的问题弄清。

五、教学环节的设计（1）课前尝试利用学案导学，让学生明确课前要做的作业，课堂采用的方法，需要达到的要求，在尝试练习中，让学生通过练习，类比，引入新课。

极限存在准则两个重要极限无穷小的比较

第三讲极限存在准则两个重要极限无穷小的比较教学目的 1.了解两个极限存在准则.2．理解掌握并会运用两个重要极限.3．了解无穷小阶概念，会用等价无穷小求极限.教学重点两个重要极限及等价无穷小的概念. 教学难点用两个重要极限和等价无穷小求极限. 教学时数 2学时. 教学过程一、极限存在准则准则I 如果数列{nX }，{n Y }及{n Z }满足下列条件：(1)),3,2,1.( =≤≤n Z XY n nn ,(2) ay n n =∞→lim ，aZ n n =∞→lim ,那么数列{nX }的极限存在，且aXnn =∞→lim .证因为ay n n =∞→lim所以0,ε∀>∃正整数N 1，当1N n >时，有ε<-a y n ,又a Z n n =∞→lim ，所以对上述0>ε，∃正整数2N ，当2N n >时，ε<-a Z n ，取},m a x {21N N N =，则当N n >时，有εε<-<-a Z a y n n ,同时成立，即.εε+<<-a y a n .εε+<<-a Z a n ,又因为nX 介于nY 和nZ 之间，所以当N n >时，有.εε+<≤≤<-a Z X y a n n n 即ε<-a X n 成立，这就证明了aX n n =∞→lim将数列极限存在准则推广到函数的极限：准则I 如果(1) 当),(0r x U x∈(或Mx >)时，有)()()(x h x f x g ≤≤,(2)Ax g x x x =∞→→)(lim )(0，A x h x x x =∞→→)(lim )(0，那么)(lim )(0x f x x x ∞→→存在，且等于A ．以上称为夹逼准则．准则II 单调有界数列必有极限．单调增数列：如果数列{n X }满足条件≤≤≤≤≤≤+1321n n x x x x x ,单调减数列：如果数列{n X }满足条件1321+≥≥≥≥≥n n x x x x x .准则II 可具体为：单调增数列有上界或单调减数列有下界时必有极限．准则II 设函数)(x f 在点0x 的某个左领域内单调并且有界,则)(x f 在0x 的左极限)(0-x f 必定存在．例1 求证：1cos lim 0=→x x .证当20π<<x 时,2)2(22sin2cos 11cos 0222xxx x x =⋅<=-=-<，即2c o s 102xx <-<, 当0→x 时，022→x,由准则'I ，有0)cos 1(lim 0=-→x x ,所以1cos lim 0=→x x .注用准则I 时，必须构造出两个具有相同极限的函数，并且在要求的函数的两侧．二、两个重要极限1．1sin lim=→xx x函数xx x f sin )(=对于一切0≠x 都有定义，当0→x 求极限时可限制x为锐角．如图1所示的单位圆中，设圆心角)20(π<<=∠x x AOB ，点A 处的切线与OB的延长线相交于D ，又OABC ⊥，则s i n ,,t a n x C B xA B x A D ===．因为AOB ∆的面积<圆扇形 AOB的面积A O D ∆<面积，所以x x x t a n2121s i n 21<<，即x x x t a n s i n <<将上述不等式两边都除以x sin ，就有x xx cos 1sin 1<<或1sin cos <<xx x ，因为当x用x -代替时，x cos 与xxsin 都不变，所以上面的不等式对于开区间)0,2(π-内的一切x 也是成立的．由例1知1cos lim 0=→x x ，11lim 0=→x ,由极限存在准则I '知1sin lim=→xx x .(1) 公式1sin lim=→xx x ，1cos 1sin limtan lim=⋅=→→xxx xx x x .(2)11sinsin 1limlim1x tx t x txt=→→∞=−−→.(3) 注意公式的形式1sin lim=⊗⊗→⊗.例2 求x xx tan lim0→.解1cos sin limtan lim0=⋅=→→x xx x x x x .例3 求xx x 2sin lim→.解=→xx x 2sin lim222sin 2lim=→xx x .注一定要符合重要极限形式．因为0→x 时02→x ，按公式有122sin lim2=→xx x .例4 求20cos 1limxxx -→.解 =-→2cos 1limxxx 212sin2lim22=→xx x 21)2(2sin lim22=→x xx .例5 求xxx arcsin lim0→.解令x t arcsin =，则t x s i n =．当0→x 时，有0→t ,于是有x x x a r c s i n lim→=1sin lim 0=→t tx .例6 求)0(,sin sin lim≠→b bxax x .解 bx ax x sin sin lim 0→==→x bx x axx sin sin lim0b a bx bx axax b a x =→sin sin lim 0.注在求极限时，可上下同除非零数x ．2. 1lim (1)xx ex →∞+=考虑x 取正整数n 而趋于∞+的情形．设nn n x )11(+=，则(1){n X }单调增加．因为nn nx )11(+==n n n n n n n n n n n n n n n n 1!)1()1(1!3)2)(1(1!2)1(1!1132⋅+--++⋅--+⋅-+⋅+=)11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!2111nn n n n n n n ----++--+-++类似地=+1n x++-+-++-++)121)(111(!31)111(!2111n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+11111)!1(1111121111!1n n n n n n n n n比较nx ，1+n x 的展开式，可以看到除两项外，nx 的每一项都小于1+n x 的对应项，并且1+n x 还多了最后一项，其值大于0，因此n x <1+n x ，这就说明数列{n x}是单调增加的．又因为32132112111212111!1!31!211111<-=--+=++++<+++++<--n nn n n x ，数列{nx }有界．由数列存在准则Ⅱ，这个数列{nx }的极限存在，通常用字母e 来表示它，即exxx =+∞→)11(lim .可以证明，当x 取实数而趋于∞+或∞-时，函数xx )11(+的极限都存在且等于e ．因此ex xx =+∞→)11(lim ，这个e 是无理数，它的值是e=2.71828.(1) 这个重要极限必须是∞1型，且第二项与幂指数为到数关系：e=⊗+⊗∞→⊗)11(lim .(2) =-∞→xx x )11(lim 11})]1(1{[lim ---∞→=-+exxx .(3)xt xxx 1)11(lim =+∞→=1lim (1)t t ot e→+=，这是重要极限的等价形式．例7 求xx x)21(lim +∞→.解 ∞→x lim(1+x2)xx.=∞→x lim[(1+x2)2x]2=e 2. 例8 求∞→x lim(1-x 31)x.解 ∞→x lim {[1+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 31]x3-}31-=e 31-.注必须是1∞型，且第二项与幂指数为倒数关系才能用重要极限公式,即∞→-x 3lim[1+)3(1x -])3(x -=e.例9 求0lim→x (1+2x)x 1. 解 0lim→x (1+2x)x1= 0lim→x [(1+2x)x21]2=e 2.注这里用的是公式：02lim→x (1+2x)x21=e.三、无穷小的比较由无穷小的概念知：0lim→x x=0,lim→x x 2=0,0lim→x x 3=0．当x →0时，x ，x 2，2x ，x 3均为无穷小，它们商的极限可以是各种情况．如lim→x 23xx =0，lim→x 2xx =∞,0lim→x x x2=2,即可以是无穷小，也可以是常数．其商的极限也可以不存在．两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度不同．定义设α,β是在同一变化过程中的无穷小且α≠0．limαβ也是在这个变化过程中的极限(1) 如果lim αβ=0,就是说β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α),(2) 如果lim αβ=∞,就是说β是比α低阶的无穷小，(3) 如果lim αβ=c ≠0,就是说β与α同阶的无穷小，(4) lim 0≠=c kαβ,k>0,就说是β关于α的k 阶无穷小,(5) 如果lim βααβαβ~,1是等价无穷小，记做与就说=.注 (1) 等价无穷小是同阶无穷小的特殊情况，c=1．(2) 已知等价无穷小有：x →0时，x s i n ～x , x tan ～x ,x x ~arcsinx x ac ~tan ,(3) 由复合函数的极限运算法则知，当0)(→Φx 时，sin )(x Φ )(x Φ,说明等价无穷小的公式可以灵活运用．例如x 时0→,x x ~sin ,33~sin x x ,x x ~sin等等．例10 求证：2~cos 12xx - (x 0→). 证因为0lim→x 2cos 12xx-=122lim22sin lim2222==→→x xxx x x .所以由等价定义可知x2~cos 102xx -→时，．注由xo→时,21cos ~2xx -,可得2~1c o s 2xx --.,2~cos1x x -,2~cos 142xx-等等．例11 证明：当xn x x n~110-+→时，.证：因为1]1......)1()1([1)1(lim11lim21=+++++-+=-+--→→nn n n nn x nx x x nx x nx x ，所以xn x x n~110-+→时，.注比较常用的特例有：当n=2时，2~11xx -+．当n=3时3~113x x -+.定理一 β与α是等价无穷小的充分必要条件为：)(αοαβ+=. 证必要性设0)1lim(lim,~=-=-αβααββα则.所以βααβαοα--=是比高阶的无穷小量，即（）.所以βαοα=+（）充分性设1)(limlim),(=+=+=ααοααβαοαβ则所以~αβ定理2 设,~,~''ββαα且αβlim存在，则''limlimαβαβ=．证 lim lim lim..lim'''''ββαααβββαβ=='''''limlim αβαααβ=.注求两个无穷小之比的极限时，分子分母都可以用等价无穷小来代替，这是一种求00型的极限的一种有效方法.例12 求x xx 5sin 2tan lim0→.解当x 0→时，x x 2~tan ;x x 5~5sin ,5252lim5sin 2tan lim0==→→xx xx x x .注此题也可以用重要极限公式去求．但用等价无穷小代换来求极限比较方便简单.例13 求1cos 1)1(lim3/12--+→x x x .解当x 0→时，(1+x 2).2~1cos ,3~1223/1xx x---原式=3/22131lim22-=-→x xx .例14 求x x xx 3sin lim30+→.解当x 0→时，x x ~sin ,无穷小x ，所以与它本身显然是等价的x 33+x x xx 3sin lim3+→=3131lim3lim230=+=+→→x xx xx x .例15 求x x x x 3sinsin tan lim-→.解 xx x x 3sinsin tan lim-→=21cos 1.tan lim)cos 1(tan lim203=-=-→→xx x x xx x x x . 注在用等价无穷小替换求函数极限时要注意在乘积(商)的情况可直接代其中的因式，在和或差的情况下不能代其中的项．四、总结1．极限存在的两个准则，两个重要极限公式都是求极限的方法； 2．等价无穷小替换是求极限的又一重要方法；3．两个重要极限公式在运用时一定要注意结合它们的形式．。

两个重要极限

两个重要极限、无穷小量的比较一、教学内容两个重要极限、无穷小量的比较；二、教学目的1．掌握用两个重要极限求极限的方法 2．掌握利用等价无穷小求极限的方法；三、教学重点 1．两个重要极限四、教学难点 1．两个重要极限§4 两个重要极限一夹逼定理定理1 如果函数)(x f ，)(x g 及)(x h 满足下列条件：（1）δ<-0x x （且 0x x ≠ ），（或 M x >）时，有)()()(x h x f x g ≤≤成立。

（2）A x h A x g x x x x x x ==∞→∞→→→)(lim ,)(lim )(0)(0，那么，)(lim )(0x f x x x ∞→→ 存在，且等于 A 。

2、两个重要极限（1）limsin x xx→=01证明：记 f x x x()sin = ，由于 f x f x ()()-=，我们不妨只究 1sin lim 00=+→xxx 这一情形加以证明，如下图所示：从几何图形上可清楚地看出：弦弧弦CD x BC x AB x =<=<=sin tan 于是有两边夹的不等式cos sin x x x<<1而 lim cos x x →=01 事实上，当 x →+00，有：11122122121222←>=-⋅≥-⋅=-→cos (sin )()x x x x 据两边夹准则，我们有： lim sin x x x→+=001而 f x x x()sin = 是偶函数，故 lim sin x x x→-=001由函数的左右极限的性质知， lim sin x x x→=01单调有界准则单调有界数列必有极限。

（2）lim()n nne →∞+=11 极限还可推广到更一般的情形：e xxx =+∞→)11(lim 原极限可变成一种新的形式 e z zz =+→1)1(lim例求 xx x x 2)1222(lim ++∞→解：12111222++=++x x x ，令 121+=x z ，而0→⇔∞→z x ，且)11(21-⋅=z x例求极限 xxx )11(lim 2-∞→ 解：令tx =-，x t →∞⇔→∞e ttt t t tx x t t t x 1)11(lim 1)11(1lim )11(lim )11(lim =+=+=-+=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x )11(lim )11(lim )11()11(lim -⋅+=-+=∞→∞→∞→原式11=⋅=ee四、无穷小与无穷大 1、无穷小无穷小的定义：0>∀ε，0>∃δ（或0>X ），当δ<-<00x x (或X x >)时，有 ε<)(x f 成立，则称函数)(x f 为当0x x →（或∞→x ）时的无穷小，记作)0)(lim (0)(lim 0==∞→→x f x f x x x 或定理在自变量的同一变化过程 x x →0(或 x →∞ )中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之，如果函数可表示成常数与无穷小之和的形式，则该常数就是函数的极限。

第六讲--两个重要极限无穷小的比较

第六讲两个重要极限无穷小量的比较一、回顾上一讲的内容1.极限的运算法则；2.极限准则.二、本节教学内容：1、无穷小的比较； 2. 两个重要极限；[教学目的与要求]1. 熟练掌握用两个重要极限求极限；2. 熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的性质及一些常见的等价无穷小.[教学重点与难点]无穷小比较阶的概念，两个重要极限的应用§1.6 极限存在准则、两个重要极限（下）一、0sin lim1x xx→= 利用准则Ⅰ可以证明下面的第一重要极限：1sin lim0=→xxx .证先证1sin lim 0=+→xxx .由于+→0x ，不妨设02x π<<.作单位圆并设圆心角x AOB =∠则 AOB AOD AOB S S S ∆∆<<扇形∵ x BC OA S AOB sin 2121=⋅=∆， x x OA OA AB OA S AOD 212121=⋅⋅=⋂⋅=扇形， 11tan 22AOD S OA AD x ∆=⋅=，∴tgx x x 2121sin 21 ，即 sin tan x x x <<，从而有 11sin cos x x x <<或sin cos 1xx x<<.∵ 22201cos 2sin 20(0)222x x x x x +⎛⎫<-=⋅=→→ ⎪⎝⎭，，∴ 1cos lim 0=+→x x ∴ 1sin lim 0=+→xxx 又 1sin lim sin lim 00=---=+-→→t t t x x x t x ∴ 1sin lim 0=→xxx .一般有公式： 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ （表面特性[]sin[]，本质特性“”0）例1 0tan limx x x →=1)cos 1sin (lim 0=⋅→xx x x .例2 0tan sin limx x x →=1)sin sin sin (lim 0=⋅→xxx x tg x .例3 =-→20cos 1lim x x x =→2202sin 2limx x x 2122sin lim 2120=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x x . （或者原式＝21)cos 11sin (lim 220=+⋅→x xx x ）. 例4 x x x xxnn n n n n =⋅=∞→∞→22sinlim 2sin2lim ，但 1sin lim ≠∞→xx x .二、1lim 1xx e x →+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭令t x=1，可得另外一种形式 ()e x x x =+→101lim一般情况，e x h x h x h =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→)()()(11lim ，()e x x x =+→)(10)()(1lim ϕϕϕ.例1 x x x 21lim 0-→()xx x 1021lim -=→()22210)2(1lim ---→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=e x x x .例2 21)11()11(lim 11lim e e e xx x x x xx xx ==-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→. k xx e x k =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→1lim 例3 1)11()11(lim 11lim 1=⋅=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→+∞→e e xxx xx x xx .或者原式xx x x x --+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)11(lim 10)(lim ===-+∞→e e xxx .例4 已知4lim e c x c x xx =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→，则?=c . 左==c e 2右，所以2=c .§1.7 无穷小的比较三、无穷小的比较已知极限为0的函数为无穷小量，但它们趋于0的快慢程度往往不同，如,03lim 0=→x x ,0sin lim 0=→x x ,0lim 20=→x x但 ,03lim 20=→xx x ,313sin lim0=→x x x ∞=→203lim x xx故有必要比较一下它们的快慢，这里用阶的概念来表示. 1. 定义：设0lim =α，0lim =β 若 0lim=αβ，则称β是比α高阶无穷小，记)(0αβ=；若 0lim≠=c αβ，则称β与α同阶；若 )0(0lim≠=k k αβ，则称β是α的k 阶无穷小；若 1lim =αβ，则称β与α等价，记β～α.如：0→x 时，)3(02x x =， x sin 与x 3同阶， x sin ～x2. 等价无穷小在求极限中可作代换以简化计算定理：若α～'α，β～'β，且''lim αβ存在，则=αβlim ''lim αβ . 证 =αβlim=⋅⋅αααβββ''''lim ''lim αβ .在使用中要注意：（1）要记准一些函数的等价无穷小；（2）代换时要么分子、分母一起换，要么只换分子或者分母，要么代换分子或分母中的部分因子，不可代换加式.0→x 时，x ～x sin ～tgx ～x arcsin ～)1ln(x +～1-x e ～)11(2-+x ，x cos 1-～221x 等.例1 )1ln(11lim 20x x x x +-++→x x x x 2lim 20+=→2121lim 0=+=→x x . 或者原式21)11(lim 22=++++=→x x x x x x . 例2 x x tgx x 30sin sin lim-→0lim 30=-=→xxx x （×）. 应该是原式=-=→x x x x 20sin cos cos 1lim 21cos 21lim 220=→x x xx . 例3 当0→x 时,x x x tan ,sin ,都是无穷小, 因为1sin lim0=→x x x ,以及1cos 1sin lim tan lim 00==→→xx x x x x x ,所以, 当0→x 时, x ~x sin ~x tan .例4 当0→x 时,1ln )1ln(lim )1ln(lim100==+=+→→e x xx x x x ，1)1ln(lim )1(1lim 00=+=-==-→→u ue u x e u x x x 令.所以, 当0→x 时, x ~)1ln(x +~1-x e . 例5 设α为实数,容易验证,()ln 100(1)11lim lim x x x x e x x αα+→→+--==()()()ln 10ln 11lim .ln 1xx x e x xαααα+→+-=+所以, 当0→x 时, x x αα~1)1(-+.小结1、两个重要极限； 2. 无穷小的比较.作业作业: p24 习题 1.6: 1 (1),(3),(5)；2 (2),(4),(6). p26 习题 1.7: 3，4 (2),(4),(6)，5，预习：第一章1.8，1.9。

无穷小（大）与极限运算（无穷小的比较）及两个重要极限

⽆穷⼩（⼤）与极限运算（⽆穷⼩的⽐较）及两个重要极限第4、5讲⽆穷⼩（⼤）与极限运算（⽆穷⼩的⽐较）及两个重要极限⼀、计划学时：2节⼆、内容三、要求四、重点五、难点六、教学过程：（⼀）⽆穷⼩与⽆穷⼤⼀、⽆穷⼩量定义1 在某⼀极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的⽆穷⼩量，简称为⽆穷⼩。

⽆穷⼩量只是极限的⼀个特殊情况（A =0），因⽽可由极限的不等式定义得到⽆穷⼩的精确定义，共有七种，先以x →x 0为例给出⽆穷⼩的精确定义：定义2 设函数f (x )当|x |充分⼤时有定义。

若 ? M >0，? X >0，? |x |> X ? ?f (x ) ?>M ，则称函数f (x )当x →∞时为⽆穷⼤量，记为)()(∞→∞→x x f 或∞=∞→)(lim x f x . 注由⽆穷⼤定义知，⽆穷⼤不是数，再⼤的数也不是⽆穷⼤。

且若函数是⽆穷⼤，则函数必⽆极限。

但为描述函数的这种变化趋势的性态，也称函数的极限是⽆穷⼤。

如：x →0时，x 1是⽆穷⼤；x → -1时，2)1(1x +也是⽆穷⼤；x →∞时，1-ln x 是⽆穷⼤。

显然这些⽆穷⼤的变化趋势不相同，随着x →∞，的值⾮负且越来越⼤，⽽1-ln x 则取负值且绝对值越来越⼤，在数学上加以区别就是正⽆穷⼤+∞与负⽆穷⼤-∞。

将定义2中的“|x |> X ”相应地改为“x < X ”和“x >-X ”即可得到x →∞时正⽆穷⼤和负⽆穷⼤的定义。

共有21种⽆穷⼤的定义。

例2 证明∞=-→11lim 1x x . 证 ? M >0，要使?f (x ) ?=│11-x │>M ，只要 | x -1|< M 1，取δ =M1，则当δ<-<|1|0x 时，│11-x │>M ，∴ ∞=-→11lim1x x . 注? 证明⽆穷⼤的思想⽅法完全同于极限证明部分。

从图形(图10—13)上看直线 x =1是曲线y = 的垂直渐近线。

两个重要极限教案(修改

两个重要极限教案（修改）一、教学目标：1. 让学生理解两个重要极限的概念和意义。

2. 让学生掌握两个重要极限的推导过程。

3. 让学生能够运用两个重要极限解决实际问题。

二、教学内容：1. 极限概念的引入。

2. 两个重要极限的定义和推导。

3. 两个重要极限的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：两个重要极限的概念、推导和应用。

2. 教学难点：两个重要极限的推导过程和实际应用。

四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解两个重要极限的概念、推导和应用。

2. 利用多媒体课件，展示两个重要极限的推导过程和实际应用。

3. 进行课堂练习，巩固学生对两个重要极限的理解和应用。

五、教学过程：1. 引入极限概念，引导学生理解极限的思想。

2. 讲解两个重要极限的定义和推导，让学生掌握推导过程。

3. 进行课堂练习，让学生运用两个重要极限解决实际问题。

4. 总结两个重要极限的应用，强调其在数学和物理中的重要性。

5. 布置课后作业，巩固学生对两个重要极限的理解和应用。

教学评价：通过课堂讲解、课堂练习和课后作业，评价学生对两个重要极限的概念、推导和应用的掌握程度。

关注学生在解决问题时的思维过程和方法，培养学生的数学思维能力。

六、教学目标：1. 让学生理解极限的基本性质和运算规则。

2. 让学生掌握极限的求解方法，如直接求极限、夹逼定理、单调有界定理等。

3. 让学生能够运用极限的性质和求解方法解决实际问题。

七、教学内容：1. 极限的基本性质：保号性、保不等式性、保单调性等。

2. 极限的运算规则：加减乘除、乘方、对数等。

3. 极限的求解方法：直接求极限、夹逼定理、单调有界定理等。

4. 极限的实际应用：解决函数的极值、曲线的切线等问题。

八、教学重点与难点：1. 教学重点：极限的基本性质、运算规则和求解方法。

2. 教学难点：极限的求解方法和实际应用。

九、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解极限的基本性质、运算规则和求解方法。

2. 利用多媒体课件，展示极限的求解过程和实际应用。

两个重要极限无穷小的比较

从而有1
x 1 , sin x cos x
o
x
C
A
于是
cos 1, lim1 1, 所以 lim 因为 lim x 0 x 0
sin x 1 x 0 x
1 1 1 sin x x tan x, 2 2 2 sin x cos x 1. x
例1.4.1 例1.4.2
故当 x 时 f ( x ) 和 g( x ) 不能比较.
(3)如果 lim ，则称是比低阶的无穷小
常用等价无穷小:
当x 0时,
sin x ~ x, tan x ~ x, e x 1 ~ x,
ln(1 x) ~ x, 1 2 1 cos x ~ x . 2 1 n 1 x 1 ~ x, n
2.等价无穷小替换定理1.4.1(等价无穷小替换定理)
sin 3 x x 0 sin 7 x x3 x ) x
例1.4.6
求 lim( x
解
x 0 时， 1 cos 3
1 (3 x) 2 ,sin x 2
x,
1 (3x)2 1 cos3x 9 2 lim lim . x 0 x 0 x sin x xx 2
等价代换法.
x x0
则
x x0
lim f ( x) A
证明：作单位圆，其中 0 x 2 ，AT与圆相切，BC⊥AO,所以

B
T
1 2 S AOB 1 sin x, 2 S△AOB 1 12 x, 2 1 2 S AOT 1 tan x, 2 由于S AOB <S△AOB < S AOT , 因此
小结
一、两个重要极限

两个重要极限与无穷小量的比较

x0 , x x0- , x , x 对于 x x - 等情况的无穷小比较的定义可类似。
定义设 lim a( x ) 0
x x0
x
lim b ( x ) 0
x0
b( x) 0 , 则称 b (x ) 是比a( x ) （1 ）如果 lim x x 0 a( x ) 高阶的无穷小 , 记为 b ( x ) o(a( x )) b( x) , 则称 b (x ) 是比a( x ) （2 ）如果 lim x x 0 a( x )
-x
-4
1 e -4 x
3
例3 lim1 x
x 0
1 x
1 解令 t x
当 x 0 时
1 x
t
有t
所以
lim1 x
x 0
1 x
1 e lim 1 t t
1 ( x)
lim 1 x e lim 0[1 ( x )] ( x )
x 0
e
(1)
1

1 1 lim 1 e lim 1 ( x ) x x ( x)
注意： lim 1 x e ,
x 1 x
x
( x)
e （3）倒数关系
x
( 2) (1 )
1 lim 1 e x 0 x
练习
1. 求 lim(1 tan x ) 5 cot x ;
x 0
( x ) 0
lim [1 ( x )]
1 tan x ]5 x)
1 ( x)
e
解 lim(1 tan x )

1.6 两个重要极限无穷小的比较

x 0 2 x
(5) lim(1 x)
x 0
1 x
1 1 x 7 lim (sin cos ) x x x
三、无穷小的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x 2 lim 0, x 比3 x要快得多; 观 x0 3 x 察各 lim sin x 1, sin x与x大致相同; 极 x0 x 1 2 限 x sin 1 x 0 lim lim sin 不存在. 不可比. 2 x 0 x 0 （型） x x 0 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
注:
lim
0
sin
1;
1 cos x . 例1 求 lim 2 x 0 x
x x 2 x 2 sin sin sin 1 1 2 lim 2 2 )2 解原式 lim lim ( x 0 x0 x2 2 x0 x 2 x 2 ( ) 2 2 1 2 1 1 . 2 2
三、小结
1.两个重要极限
(1)
lim
0
sin
1;
(2)
lim 1
1 1 e 或 lim 0

1
e
三、小结
2、无穷小的比较
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
则当 x 0 时, 有 u 0,
1 ln(1 u)
1 u
ex 1 u lim lim lim u 0 x 0 u0 ln(1 u) x

u 0
1 lim ln(1 u)

高等数学教案第4课极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较

课题极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握极限存在准则与两个重要极限。

（2）理解无穷小阶的比较。

思政育人目标：通过学习极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：极限存在准则Ⅰ、极限存在准则Ⅱ教学难点：利用两个重要极限公式求极限的方法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（35 min）→问题讨论（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（35 min）⏹【教师】讲解准则Ⅰ与第一个重要极限，并通过例题讲解介绍其应用准则Ⅰ（夹逼准则）设数列{}na，{}nb，{}nc满足：（1）00N n N+∃∈>Z，时，n n na c b，（2）lim limn nn na b a→∞→∞==（a为常数），则limnnc a→∞=．学习极限存在准则与两个重要极限。

边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化2例1 求222111lim 2n n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+π+π+π⎝⎭．解对n ∀∈N ，有22221112n nn n n n n n n n n ⎛⎫+++⋅=⎪+π+π+π+π+π⎝⎭， 2222221112n n n n n n n n n n ⎛⎫+++⋅=⎪+π+π+π+π+π⎝⎭，而1limlim 11n n n n n→∞→∞==π+π+，2221lim lim 11n n n n n →∞→∞==π+π+．由夹逼准则可知222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+π+π+π⎝⎭．上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限：准则Ⅰ'（夹逼准则）若函数()()()f x g x h x ，，在点0x 的某去心邻域内满足：（1）()()()g x f x h x ，（2）0lim ()lim ()x x x x g x h x A →→==，则有0lim ()x x f x A →=．作为准则Ⅰ及准则Ⅰ'的应用，下面证明一个重要极限：0sin lim1x xx→=．证明在图1-25所示的单位圆中，设圆心角BOA x ∠=，AD 切圆O 于A ，且与OB 延长线相交于D ，于是有AOB AOB OAD S S S <<△△△扇形，即111sin tan 222x x x <<，sin tan x x x <<，不等式两边同时3除以sin x 得11sin cos x x x<<，不等式两边同时取倒数得sin cos 1x x x <<，02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．当02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，02x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，有sin()cos()1x x x--<<-，同样可得sin cos 1x x x <<．所以当22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，sin cos 1xx x<<．又因为0limcos cos01x x →==，0lim11x →=，由判别准则I 知0sin lim 1x xx →=．图1-25例2 求0tan limx xx→．解 00tan sin 11limlim 11cos cos0x x x x x x x →→=⋅=⋅=．例3 求0sin limx kxx→．解设t kx =，则当0x →时，0t kx =→，于是4000sin sin sin limlim lim 1x x t kx k kx tk k k x kx t →→→==⋅=⨯=．例4 求0sin limsin x axbx→．解 0000sin sin limsin lim lim sin sin sin lim x x x x ax axax a x x bx bx bx bx x→→→→===．例5 求sin 2()limx x x →π-π-π．解设t x =-π，则x →π时，0t →，所以0sin 2()sin 2limlim 2x t x tx t→π→-π==-π．⏹ 【学生】掌握准则Ⅰ与第一个重要极限⏹ 【教师】讲解准则Ⅱ与第二个重要极限，并通过例题讲解介绍其应用定义1 如果数列{}n a 满足121n n a a a a +，则称数列是单调递增的；如果数列{}n a 满足121n n a a a a +，则称数列是单调递减的．单调递增数列与单调递减数列统称为单调数列．准则Ⅱ（单调有界原理）单调有界的数列必存在极限．不妨设{}n a 是一单调递增的数列，且0M ∃>，使对n ∀，n a M ，则数列{}n a 的通项n a 随n 的增大而不断在数轴上向右平移，但不会超过点M ．因此，n a 必然无限接近于某个实数()n a a a M <<，a 便是数列{}n a 的极限，如图1-26所示．图1-265证明：1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（详见教材）例6 求4lim 1xx x →∞⎛⎫+⎪⎝⎭．解法1 设4t x=，则当x →∞时，0t →，所以 4144004lim 1lim(1)lim[(1)]e xt t x t t t t x →∞→→⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭．解法2 44444444lim 1lim 1lim 1e xxxx x x x x x ⋅→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．例7 求21lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭．解22(2)2111lim 1lim 1lim 1e x x xx x x x x x --⋅---→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．例8 求431lim 12x x x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解43432221111lim 1lim 1lim 1lim 11e 2222x x x x x x x x x x x --⋅→∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结论一般地，有公式lim 1e bx cab x a x +→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．例9 求123lim 21x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭．解63121233112323e 22lim lim lim lim 1e 1212111e 122xxx x x x x x x x x x x x x x +→∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅=⋅== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪+ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⏹ 【学生】掌握准则Ⅱ与第二个重要极限问题讨论（10 min ）⏹ 【教师】组织学生讨论以下问题1．夹逼准则与极限的定义有何内在联系？2．单调递增（递减）有上界（下界）的数列一定是有界数列吗？⏹ 【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解第二节课知识讲解（20 min ）⏹ 【教师】讲解无穷小阶的比较，并通过例题讲解介绍其应用定义1 设α，β是同一变化过程中的两个无穷小量，（1）若lim0αβ=，则称α是比β高阶的无穷小量，记为()o αβ=．（2）若limαβ=∞，则称α是比β低阶的无穷小量．（3）若lim c αβ=（c 是不等于零的常数），则称α与β是同阶无穷小量．特别地，若1c =，则称α与β是等价无穷小量，记作~αβ．例1 证明：当0x →时，211cos ~2x x -．证明因为22220002sin sin1cos 22lim lim lim 1222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪ ⎪⎝⎭，所学习无穷小阶的比较。

高数教案 两个重要极限及无穷小的比较

两个重要极限和无穷小的比较

两个重要极限教案(修改

两个重要极限、无穷小的比较

高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.6-1.7 两个重要极限 无穷小比较

第五两个重要极限与无穷小的比较

两个重要极限无穷小比较

两个重要极限教案

极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较

两个重要极限

第六讲--两个重要极限无穷小的比较

无穷小（大）与极限运算（无穷小的比较）及两个重要极限

两个重要极限教案(修改

两个重要极限 无穷小的比较

两个重要极限与无穷小量的比较

1.6 两个重要极限 无穷小的比较

高等数学教案 第4课 极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较

高数教案两个重要极限及无穷小的比较

高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.6-1.7 两个重要极限无穷小比较

极限存在准则两个重要极限无穷小的比较

两个重要极限无穷小的比较

1.6 两个重要极限无穷小的比较

高等数学教案第4课极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较