第十一章 自适应均衡
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Y ( n)
1 (t ) 设 PN (t ) RN 若 CN (t 1)和 PN (t 1) 已有，当接收到一个新的信号 CN (t ) 时间更新的递推计算： YN (t ) 时， ˆ(t ) Y T (t )C (t 1) 计算输出 I N N ˆ(t ) 计算误差 eN (t ) I (t ) I
T PN (t 1)YN (t ) K ( t ) 计算增益向量 N T YN (t ) PN (t 1)YN (t ) 1 T P ( t ) [ PN (t 1) K N (t )YN (t ) PN (t 1)] 更新相关矩阵 N
更新函数 CN (t ) CN (t 1) K N (t )eN (t ) C N (t 1) PN (t )YN (t )eN (t )
2. 算法过程
T RN (t ) t nYN (n)YN ( n) n 0
t
RN (t ) — 信号相关矩阵
— 测量矩阵 — 加权因子 自适应中，信号相关矩阵R的性质： ① Hermite矩阵 R RT ② 不同特征值的特征向量正交 ③ R是正定矩阵，对于任意向量 V H RV 0 ④ 所有特征值之和等于矩阵迹 T T ⑤ 分解：R Ra jRb Ra Ra Rb Rb ⑥ y W T X 时， E[| y |2 ] W H RW
（1）收敛特性 步长参数 选择参数 使上式最陡下降收敛
max max是C矩阵的最大特征值
0 2
（2）算法加速 收敛速率步长参数 大 最佳收敛点找不到 小 收敛慢（局部最优问题） 变化步长参数，大步长开始，不断减小 0 1 2 3 m
梯度估值
Gk | k |2 Ck T T [(I k Ck U k )(I k Ck U k ) ] Ck T T [| I k |2 CkH U k U k Ck 2 Re( I k U k Ck )] Ck T 2U kU k Ck 2 I kU k T 2U k (U k Ck I k ) 2 kU k ~ ~ ~ Ck 1 Ck Gk ~ Ck 2 kU k ~ Ck kU k (递推算法)
2. LMS算法 对于迭代参数 ck
ck 1 ck Gk ck Gk
速率因子 变化梯度向量
ˆ k Ik I k ˆ c U I k k j
j
对于k时刻， T k I k Ck Uk
T 转置（'） 共轭 H 共轭转置
| k |2代替均方误差
一. 基本原理
x ( n)
h( n)
y ( n)
e(n)
d ( n)
离散系统
x(n) 输入信号 h(n) 滤波参数 y (n) 自适应滤波器输出信号 d (n) 期望的响应信号 e(n) e(n) d (n) y(n) 误差信号
① 滤波参数随外部环境的变化而改变 ② 自动调节达到最佳滤波效果—— e(n)的最优化问题
这就是RLS直接形式的卡尔曼算法。 CN (t ) CN (t 1) YN (t )eN (t ) ] [对应最速下降法的标记为：
( j K ,, K )
第j个系数在 t kT 时刻的值 k I k Iˆk 是 t kT 时刻的误差信号
基本递推算法 c (jk 1) c (jk ) k I k j
调制速率因子，一直迭代计 算，直到 k 达到归零的要求
为 E( k I k j )的估计值，利用某 一时刻的 k I k j 替代E( k I k j ) 值
二. 自适应线性均衡器 D (c)
1. 迫零算法 峰值失真准则：选择均衡器系数{ck }，使 D(c)最小 目标函数建立 ˆ （ I 期望信息序列） 迫零算法：取 k I k I k k 使其与期望的信息序列{I k }的互相关为零 ˆ E ( I ) E ( I I ) E ( I I 即 k k j k k j k k j )
三. 自适应均衡递推最小二乘ห้องสมุดไป่ตู้法
① LMS算法采用误差输出模的瞬时平方值 | k |2 的梯度近似代替均方误差 E[| k |2 ] 的梯度。 问题：收敛性，收敛速率，局部最优
② 直接考察一个由平稳信号输入的自适应系统 在一段时间内的输出信号的平均功率，使该 平均功率达到最小作为测量自适应系统性能 的准则 —— 递归最小二乘算法 —— （RLS算法）
1. 算法建立 递推最小二乘（卡尔曼）算法
N t n | eN (n, t ) |2
' eN (n, t ) I (n) C N (t )YN (n) n 0 t
加权因子，0 1
已观测到向量 YN (n) 加权平方误差最小。
n 0,1,, t
要求出均衡器系数向量 CN (t ) ，取时间平均
1 (t ) 设 PN (t ) RN 若 CN (t 1)和 PN (t 1) 已有，当接收到一个新的信号 CN (t ) 时间更新的递推计算： YN (t ) 时， ˆ(t ) Y T (t )C (t 1) 计算输出 I N N ˆ(t ) 计算误差 eN (t ) I (t ) I
T PN (t 1)YN (t ) K ( t ) 计算增益向量 N T YN (t ) PN (t 1)YN (t ) 1 T P ( t ) [ PN (t 1) K N (t )YN (t ) PN (t 1)] 更新相关矩阵 N
更新函数 CN (t ) CN (t 1) K N (t )eN (t ) C N (t 1) PN (t )YN (t )eN (t )
2. 算法过程
T RN (t ) t nYN (n)YN ( n) n 0
t
RN (t ) — 信号相关矩阵
— 测量矩阵 — 加权因子 自适应中，信号相关矩阵R的性质： ① Hermite矩阵 R RT ② 不同特征值的特征向量正交 ③ R是正定矩阵，对于任意向量 V H RV 0 ④ 所有特征值之和等于矩阵迹 T T ⑤ 分解：R Ra jRb Ra Ra Rb Rb ⑥ y W T X 时， E[| y |2 ] W H RW
（1）收敛特性 步长参数 选择参数 使上式最陡下降收敛
max max是C矩阵的最大特征值
0 2
（2）算法加速 收敛速率步长参数 大 最佳收敛点找不到 小 收敛慢（局部最优问题） 变化步长参数，大步长开始，不断减小 0 1 2 3 m
梯度估值
Gk | k |2 Ck T T [(I k Ck U k )(I k Ck U k ) ] Ck T T [| I k |2 CkH U k U k Ck 2 Re( I k U k Ck )] Ck T 2U kU k Ck 2 I kU k T 2U k (U k Ck I k ) 2 kU k ~ ~ ~ Ck 1 Ck Gk ~ Ck 2 kU k ~ Ck kU k (递推算法)
2. LMS算法 对于迭代参数 ck
ck 1 ck Gk ck Gk
速率因子 变化梯度向量
ˆ k Ik I k ˆ c U I k k j
j
对于k时刻， T k I k Ck Uk
T 转置（'） 共轭 H 共轭转置
| k |2代替均方误差
一. 基本原理
x ( n)
h( n)
y ( n)
e(n)
d ( n)
离散系统
x(n) 输入信号 h(n) 滤波参数 y (n) 自适应滤波器输出信号 d (n) 期望的响应信号 e(n) e(n) d (n) y(n) 误差信号
① 滤波参数随外部环境的变化而改变 ② 自动调节达到最佳滤波效果—— e(n)的最优化问题
这就是RLS直接形式的卡尔曼算法。 CN (t ) CN (t 1) YN (t )eN (t ) ] [对应最速下降法的标记为：
( j K ,, K )
第j个系数在 t kT 时刻的值 k I k Iˆk 是 t kT 时刻的误差信号
基本递推算法 c (jk 1) c (jk ) k I k j
调制速率因子，一直迭代计 算，直到 k 达到归零的要求
为 E( k I k j )的估计值，利用某 一时刻的 k I k j 替代E( k I k j ) 值
二. 自适应线性均衡器 D (c)
1. 迫零算法 峰值失真准则：选择均衡器系数{ck }，使 D(c)最小 目标函数建立 ˆ （ I 期望信息序列） 迫零算法：取 k I k I k k 使其与期望的信息序列{I k }的互相关为零 ˆ E ( I ) E ( I I ) E ( I I 即 k k j k k j k k j )
三. 自适应均衡递推最小二乘ห้องสมุดไป่ตู้法
① LMS算法采用误差输出模的瞬时平方值 | k |2 的梯度近似代替均方误差 E[| k |2 ] 的梯度。 问题：收敛性，收敛速率，局部最优
② 直接考察一个由平稳信号输入的自适应系统 在一段时间内的输出信号的平均功率，使该 平均功率达到最小作为测量自适应系统性能 的准则 —— 递归最小二乘算法 —— （RLS算法）
1. 算法建立 递推最小二乘（卡尔曼）算法
N t n | eN (n, t ) |2
' eN (n, t ) I (n) C N (t )YN (n) n 0 t
加权因子，0 1
已观测到向量 YN (n) 加权平方误差最小。
n 0,1,, t
要求出均衡器系数向量 CN (t ) ，取时间平均