自控原理习题参考答案(8)
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第八章习题参考答案
8-3 设系统如图8-30所示，其中继电器非线性特性的a ＝1。试用描述函数法分析系统是否会出现自持振荡？如存在，试求出系统自持振荡的振幅和频率的近似值。
解：死区继电特性的描述函数为： 2
)(
14=
)(A
a A
πM A N － （A ≥a ）
将M =1，a =1代入上式得：
2
2
)1(
14=
)(
14=
)(A
A
πA a A
πM A N －－
当A 令F (A )=－1/N (A )，则 232 2 ) 1()2(4=)(－－－ A A A πdA A dF 由 0=dA )A (dF ，得2= A 。 ＜０－－－－ πA A A πdA )A (F d A A =) 1(1)2+(4 =2 = 3 2 2 2 2 = 2 2 因此，当2=A 时，负倒描述函数有最大值： 7.51=2 =1 4 =) (1= ) (12 = 2 22 = －－ －－ －－πA A πA N A N A A max 负倒描述函数曲线如下图所示。 系统线性部分传递函数为：) 2+)(1+(10= )(s s s s G 图8-30 题8-3图 r c + -e m 0a 1 10(1)(2) s s s ++ 其频率特性为：) 2+)(1+(10 = )(j ωj ωωj ωj G 幅频特性和相频特性分别为： ) 4+)(1+(10 = |)(2 2 ωωωωj G |， ω.a r c t a n ωa r c t a n ωφ5090=)(－－－ 令 180=)(－ωφ，即 180=5090=)(－－－－ω.arctan ωarctan ωφ 90 =50+ω.arctan ωarctan → 90 =.501.512 ω ωarctan － 解得2=ω，此时7 .61≈35=18 210 = ) 4+)(1+(10 = |)2(2 2ωωωj G | 因此，当2=ω时，线性部分奈氏曲线ΓG 与负实轴的交点坐标为（－1.67，j 0）。 ΓG 曲线如下图所示。由图可见，ΓG 曲线和－1/N (A )曲线存在两个交点。 由1 4 =)(1)2+)(1+(10= )(2 2－－ ＝－A A πＡＮj ωj ωωj ωj G 解得两组解：2 =1ω，2.21=1A 和2 = 2ω，37.1=2A 根据周期运动稳定性判据，A 1和ω1对应不稳定的周期运动；A 2和ω2对应稳定的周期运动。 当初始条件或外扰动使A A 1，则系统运动存在自振荡： t sin .)t (e 2731= () jY ω() X ωω=∞ ω=7.61－7.1５－ ) (1 A N －