图像的几何变换
图像几何变换(旋转和缩放)
图像几何变换的重要性
图像几何变换可以帮助我们更好地理 解和分析图像内容，例如在人脸识别 、目标检测和跟踪、遥感图像处理等 领域。
通过变换可以纠正图像的畸变，提高 图像的清晰度和可读性，从而改善图 像的质量。
图像几何变换的应用场景
医学影像处理
在医学领域，通过对医学影像进行几何变换，可以更好地 观察和分析病变部位，提高诊断的准确性和可靠性。
图像旋转
图像旋转的基本概念
图像旋转是指将图像围绕一个点 进行旋转的操作。这个点被称为
旋转中心或原点。
旋转角度是旋转的度数，通常以 度（°）为单位。
旋转可以是顺时针或逆时针方向， 取决于旋转角度的正负值。
图像旋转的算法实现
图像旋转可以通过多种算法实现，其 中最常用的是矩阵变换和插值算法。
插值算法通过在旋转过程中对像素进 行插值，以获得更平滑的旋转效果。 常用的插值算法包括最近邻插值、双 线性插值和双三次插值等。
矩阵变换算法通过将图像表示为一个 矩阵，并应用旋转矩阵来计算旋转后 的像素坐标。
图像旋转的优缺点
优点
图像旋转可以用于纠正倾斜的图像、 增强图像的视觉效果、实现特定的艺 术效果等。
缺点
图像旋转可能会改变图像的比例，导 致图像失真或变形。此外，对于大尺 寸的图像，旋转操作可能需要较长时 间和较大的计算资源。
双线性插值和双三次插值等。
重采样算法
重采样算法通过重新计算每个像 素的灰度值来实现图像缩放。这 种方法通常比插值算法更精确，
但计算量较大。
多项式拟合算法
多项式拟合算法通过拟合原始图 像中的像素点，然后根据多项式 函数来计算新的像素值。这种方 法适用于对图像进行复杂变换的
情况。
图像缩放的优缺点
图像几何变换
实验二 图像几何变换一、实验目的1结合实例学习如何在视频显示程序中增加图像处理算法；2理解和掌握图像的平移、垂直镜像变换、水平镜像变换、缩放和旋转的原理和应用；二、实验原理1 初始坐标为（x , y ）的点经过平移（0x ，0y ），坐标变为（'x ，'y ），两点之间的关系为：⎩⎨⎧+=+=0''y y y x x x ，以矩阵形式表示为：⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11 0 0y 1 0 0 11''00y x x y x2 图像的镜像变换是以图象垂直中轴线或水平中轴线交换图像的变换，分为垂直镜像变换和水平镜像变换，两者的矩阵形式分别为：⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11 0 00 1 0 0 0 11''y x y x ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11 0 00 1- 0 0 0 11''y x y x 3 图像缩小和放大变换矩阵相同： ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11 0 00 0 0 0 1''y x y x S S y x 当1 ,1≤≤y x S S 时，图像缩小；1 ,1≥≥y x S S 时，图像放大。
4 图像旋转定义为以图像中某一点为原点以逆时针或顺时针方向旋转一定角度。
其变换矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11 0 00 cos sin 0 sin cos 1''y x y x θθθθ 该变换矩阵是绕坐标轴原点进行的，如果是绕一个指定点（b a ,）旋转，则现要将坐标系平移到该点，进行旋转，然后再平移回到新的坐标原点。
三、实验步骤1 启动MA TLAB 程序，对图像文件分别进行生成、失真和校正。
数学几何变换的方法
数学几何变换的方法几何变换是数学中一项重要的研究内容，通过对图形进行不同的操作，可以实现平移、旋转、缩放等效果。
这些变换方法不仅在几何学中有着广泛的应用，还在计算机图形学、机器人学等领域发挥着重要作用。
本文将介绍几何变换的常见方法及其应用。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着指定方向上移动一定距离的操作。
其数学表达式为：平移后的坐标 = 原坐标 + 平移矢量平移矢量的大小和方向决定了平移的距离和方向。
平移变换常用于游戏开发、图像处理等领域，可以实现图形的移动、平移动画效果等。
二、旋转变换旋转变换是指将图形围绕某个中心点按一定角度进行旋转的操作。
其数学表达式为：旋转后的坐标 = 中心点坐标 + R * (原坐标 - 中心点坐标)其中，R为旋转矩阵，通过矩阵乘法将原坐标进行旋转。
旋转变换常用于计算机图形学中，实现图像的旋转、三维模型的变换等。
三、缩放变换缩放变换是指改变图形的尺寸大小的操作。
其数学表达式为：缩放后的坐标 = 原坐标 * 缩放因子缩放因子可以是一个比例因子，用于确定缩放的大小，也可以是一个矩阵，对各个坐标轴进行不同程度的缩放。
缩放变换常用于计算机辅助设计、图像处理等领域，可以实现图形的放大、缩小、图像的拉伸等效果。
四、对称变换对称变换是指将图形绕着中心轴进行镜像翻转的操作。
其数学表达式为：对称后的坐标 = 中心轴坐标 + S * (原坐标 - 中心轴坐标)其中，S为对称矩阵，通过矩阵乘法将原坐标进行对称。
对称变换常用于图像处理中，实现图像的镜像翻转、对称图案的生成等。
五、投影变换投影变换是指将三维物体投影到二维平面上的操作，常见的有透视投影和正交投影两种形式。
投影变换常用于计算机图形学中，实现三维物体的绘制和显示。
总结：数学几何变换的方法包括平移、旋转、缩放、对称和投影等。
这些变换方法在各个领域中都有重要应用，比如游戏开发、图像处理、计算机辅助设计等。
掌握几何变换的方法对于理解和应用相关领域的技术具有重要意义。
图像的几何变换ppt课件
在下面的算法中直接采用了前一种做法。实际上，这 也是一种插值算法， 称为最邻近插值法（Nearest Neighbor Interpolation）。
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ppt课件.
2、图像比例缩放
最简单的比例缩小是当 fx=fy=1／2时，图像被缩到一 半大小，此时缩小后图像中的(0， 0)像素对应于原图 像中的(0， 0)像素； (0， 1)像素对应于原图像中的(0， 2)像素； (1， 0)像素对应于原图像中的(2， 0)像素， 依此类推。
因此，2D图像中的点坐标(x, y)通常表示成齐次坐标 （Hx, Hy, H），其中H表示非零的任意实数，当H＝1 时，则(x, y, 1)就称为点(x, y)的规范化齐次坐标。
由点的齐次坐标（Hx, Hy, H）求点的规范化齐次坐标(x, y, 1)，可按如下公式进行：
x Hx y Hy
11
H
比例缩放前后两点P0(x0, y0)、P(x, y)之间的 关系用矩阵形式可以表示为：
x
fx
0
0
x
0
y 0
fx
0
y
0
1
0
0
0
1
其中fx,fy>1为放大， fx,fy<1 为缩小。
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2、图像比例缩放
放大 后
(x , y) (x0 , y0)
O
x
缩放 前
6
多见于影视特技及广告的制作。
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1.1齐次坐标
设点P0(x0,y0)进行平移后，移到P(x,y),其中x方向的 平移量为x,y方向的平移量为y。那么，点P(x,y) 的坐标为：
x x0 x y y0 y
数字图像处理---图像的几何变换
数字图像处理---图像的⼏何变换图像的⼏何变换图像的⼏何变换包括了图像的形状变换和图像的位置变换图像的形状变换图像的形状变换是指图像的放⼤、缩⼩与错切图像缩⼩图像的缩⼩是对原有的数据进⾏挑选或处理，获得期望缩⼩尺⼨的数据，并尽量保持原有的特征不消失分为按⽐例缩⼩和不按⽐例缩⼩两种最简单的⽅法是等间隔地选取数据图像缩⼩实现设原图像⼤⼩为M ∗N ,缩⼩为K 1M ∗K 2N (K 1<1,K 2<1)1. 设原图为F (i ,j ),i =1,2,...,M ,j =1,2,...,N ；压缩后地图像为G (x ,y ),x =1,2,...,k 1M ,y =1,2,...,k 2N2. G (x ,y )=F (c 1∗i ,c 2∗j );其中,c 1=1/k 1,c 2=1/k 2图像放⼤图像放⼤时对多出的空位填⼊适当的值，是信息的估计最简单的思想是将原图像中的每个像素放⼤为k ∗k 的⼦块图像放⼤实现设原图像⼤⼩为M ∗N ,缩⼩为K 1M ∗K 2N (K 1>1,K 2>1)1. 设原图为F (i ,j ),i =1,2,...,M ,j =1,2,...,N ；压缩后地图像为G (x ,y ),x =1,2,...,k 1M ,y =1,2,...,k 2N2. G (x ,y )=F (c 1∗i ,c 2∗j );其中,c 1=1/k 1,c 2=1/k 2图像错切图像错切变换实际上是平⾯景物在投影平⾯上的⾮垂直投影效果图像错切的数学模型x ′=x +d x y y ′=y(x ⽅向的错切,dx =tan θ)x ′=x y ′=y +d y x(y ⽅向的错切,dy =tan θ)图像的位置变换图像的位置变换是指图像的平移、镜像与旋转，即图像的⼤⼩和形状不发⽣变化主要⽤于⽬标识别中的⽬标配准图像平移公式：{{x ′=x +Δx y ′=y +Δy图像镜像图像镜像分为⽔平镜像和垂直镜像，即左右颠倒和上下颠倒公式：图像⼤⼩为M*Nx ′=x y ′=−y (⽔平镜像)x ′=−x y ′=y(垂直镜像)由于不能为负，因此需要再进⾏⼀次平移x ′=x y ′=N +1−y (⽔平镜像)x ′=M +1−xy ′=y(垂直镜像)图像旋转公式：x ′=xcos θ−ysin θy ′=xsin θ+ycos θ由于计算结果值所在范围与原有值不同，因此需要在进⾏扩⼤画布、取整、平移等处理画布扩⼤原则：以最⼩的⾯积承载全部的画⾯信息⽅法：根据公式x ′=xcos θ−ysin θy ′=xsin θ+ycos θ计算x ′min ,x ′max ,y ′min ,y ′max旋转后可能导致像素之间相邻连接不再连续，因此需要通过增加分辨率的⽅式填充空洞插值最简单的⽅式就是⾏插值(列插值)⽅法1. 找出当前⾏的最⼩和最⼤的⾮背景点坐标，记作:(i,k1)、(i,k2)2. 在(k1,k2)范围内进⾏插值，插值⽅法为空点的像素值等于前⼀点的像素值3. 重复上述操作直⾄没有空洞图像的仿射变换图像的仿射变换即通过通⽤的仿射变换公式，表⽰⼏何变换{{{{{{{齐次坐标原坐标为(x,y),定义齐次坐标为(wx,wy,w)实质上是通过增加坐标量来解决问题仿射变换通式通过齐次坐标定义仿射变换通式为x ′=ax +by +Δx y ′=cx +dy +Δy⇒x ′y ′=a b Δx c dΔyx y⼏何变换表⽰1. 平移x ′y ′1=10Δx 01Δy 001x y12. 旋转x ′y ′1=cos θ−sin θ0sin θcos θ0001x y 13. ⽔平镜像x ′y ′1=−10001001x y14. 垂直镜像x ′y ′1=1000−10001x y15. 垂直错切x ′y ′1=1d x 00−10001x y16. ⽔平错切x ′y ′1=100d y −10001x y1图像的⼏何校正由于图像成像系统的问题，导致拍摄的图⽚存在⼀定的⼏何失真⼏何失真分为{[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][]1. 系统失真:有规律的、可预测的2. ⾮系统失真：随机的⼏何校正的基本⽅法是先建⽴⼏何校正的数学模型，其次利⽤已知条件确定模型参数，最后根据模型对图像进⾏⼏何校正步骤：1. 图像空间坐标的变换2. 确定校正空间各像素的灰度值（灰度内插）途径：1. 根据畸变原因，建⽴数学模型2. 参考点校正法，根据⾜够多的参考点推算全图变形函数空间坐标变换实际⼯作中利⽤⼀幅基准图像f(x,y)，来校正失真图像g(x′,y′)根据⼀些控制点对，建⽴两幅图像之间的函数关系，通过坐标变换，以实现失真图像的⼏何校正两幅图像上的f(x,y)=g(x′,y′)时，称其为对应像素（同名像素）通过表达式x′=h1(x,y)y′=h2(x,y)表⽰两幅图像之间的函数关系通常⽤多项式x′=n∑i=0n−i∑j=0a ij x i y jy′=n∑i=0n−i∑j=0b ij x i y j来近似h1(x,y)、h2(x,y)当多项式系数n=1时，畸变关系为线性变换x′=a00+a10x+a01yy′=b00+b10x+b01y六个未知数需要⾄少三个已知点来建⽴⽅程式当多项式系数n=2时，畸变关系式为x′=a00+a10x+a01y+a20x2+a11xy+a02y2y′=b00+b10x+b01y+b20x2+b11xy+b02y2 12个未知数需要⾄少6个已知点来建⽴⽅程式当超过已知点数⽬超过要求时，通过最⼩⼆乘法求解n=2时多项式通式为B2∗n=H2∗6A6∗n(n为待求点数)B2∗n=x′1x′2⋯x′n y′1y′2⋯y′n{ []H 2∗6=a 00a 10a 01a 20a 11a 02b 00b 10b 01b 20b 11b 02A 6∗n =11⋯1x 1x 2⋯x n y 1y 2⋯y n x 21x 22⋯x 2n x 1y 1x 2y 2⋯x n y ny 21y 22⋯y 2n同名点对要求1. 数量多且分散2. 优先选择特征点直接法利⽤已知点坐标，根据x ′=h 1(x ,y )y ′=h 2(x ,y )⇒x =h ′1(x ′,y ′)y =h ′2(x ′,y ′)x =n ∑i =0n −i∑j =0a ′ij x ′i y′jy =n ∑i =0n −i∑j =0b ′ijx ′i y ′j解求未知参数；然后从畸变图像出发，根据上述关系依次计算每个像素的校正坐标，同时把像素灰度值赋予对应像素，⽣成校正图像由于像素分布的不规则，导致出现像素挤压、疏密不均等现象，因此最后还需要进⾏灰度内插，⽣成规则图像间接法间接法通过假定⽣成图像的⽹格交叉点，从⽹格交叉点(x,y)出发，借助已知点求取未知参数，根据x ′=n ∑i =0n −i∑j =0a ij x i y jy ′=n ∑i =0n −i∑j =0b ij x i y j推算⽹格交叉点(x,y)对应畸变图像坐标(x',y'),由于对应坐标⼀般不为整数，因此需要通过畸变图像坐标周围点的灰度值内插求解，作为⽹格交叉点(x,y)的灰度值间接法相对直接法内插较为简单，因此常采⽤间接法作为⼏何校正⽅法像素灰度内插最近邻元法最近邻元法即根据四邻域中最近的相邻像素灰度决定待定点灰度值该⽅法效果较佳，算法简单，但是校正后图像存在明显锯齿，即存在灰度不连续性双线性内插法[][]{{双线性内插法是利⽤待求点四个邻像素的灰度在两个⽅向上作线性内插该⽅法相较最近邻元法更复杂，计算量更⼤，但是没有灰度不连续的缺点，且具有低通滤波性质，图像轮廓较为模糊三次内插法三次内插法利⽤三次多项式S(x)来逼近理论最佳插值函数sin(x)/xS(x)=1−2|x|2+|x|30≤|x|<1 4−8|x|+5|x|2−|x|31≤|x|<20|x|≥2该算法计算量最⼤，但是内插效果最好，精度最⾼{Processing math: 100%。
重要 图像的几何变换
图像的几何变换，是指使用户获得或设计的原始图像，按照需要产生大小、形状和位置的变化。
从变换的性质分，图像的几何变换有位置变换(平移、镜像、旋转）、形状变换（比例缩放、错切）和复合变换等。
1. 图像的位置变换主要包括图像平移变换、图像镜像变换和图像旋转变换等，下面针对这三个主要的位置变换进行分析。
平移变换的几点说明:(1)平移后图像上的每一点都可以在原图像中找到对应的点。
对于不在原图像中的点，可以直接将它的像素值统一设置为0或者255（对于灰度图就是黑色或白色）。
(2)若图像平移后图像不放大,说明移出的部分被截断。
(3) 若不想丢失被移出的部分图像，将新生成的图像扩大.图像镜像变换图像的镜像变换不改变图像的形状。
图像的镜像(Mirror)变换分为三种：水平镜像，垂直镜像和对角镜像。
1. 图像水平镜像图像的水平镜像操作是将图像左半部分和右半部分以图像垂直中轴线为中心进行镜像对换。
2. 图像垂直镜像图像的垂直镜像操作是将图像上半部分和下半部分以图像水平中轴线为中心进行镜像对换。
3. 图像对角镜像图像的对角镜像操作是将图像以图像水平中轴线和垂直中轴线的交点为中心进行镜像对换。
相当于将图像先后进行水平镜像和垂直镜像。
图像旋转变换旋转(rotation)有一个绕着什么转的问题，通常的做法是以图像的中心为圆心旋转，将图像上的所有像素都旋转一个相同的角度。
图像的旋转变换是图像的位置变换，但旋转后，图像的大小一般会改变。
和图像平移一样，在图像旋转变换中既可以把转出显示区域的图像截去，旋转后也可以扩大图像范围以显示所有的图像。
2. 图像形状变换图像比例缩放变换图像比例缩放是指将给定的图像在x轴方向按比例缩放fx倍，在y轴方向按比例缩放fy倍，从而获得一幅新的图像。
(1). 图像的比例缩小变换从数码技术的角度来说，图像的缩小是将通过减少像素个数来实现的，因此，需要根据所期望缩小的尺寸数据，从原图像中选择合适的像素点，使图像缩小之后可以尽可能保持原有图像的概貌特征不丢失，下面介绍两种简单的图像缩小变换。
图像变换
如普通坐标系的点(2,3)的齐次坐标可以是：
(1,1.5,0.5)，(4,6,2)，(6,9,3)等。
普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”
普通坐标w =>齐次坐标 齐次坐标/w =>普通坐标 当w = 1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”
f(x,y) 减去背景图像b(x,y) g(x,y) 添加蓝色背景
图像的错切效果
在这个错切变换中，蒙娜丽莎的图像被变形，但是中心的 纵轴在变换下保持不变。（注意：角落在右边的图像中被 裁掉了。）蓝色的向量，从胸部到肩膀，其方向改变了， 但是红色的向量，从胸部到下巴，其方向不变。因此红色 向量是该变换的一个特征向量，而蓝色的不是。因为红色 向量既没有被拉伸又没有被压缩，其特征值为1。所有沿着 垂直线的向量也都是特征向量，它们的特征值相等。它们 构成这个特征值的特征空间。
=
图像的或运算
模板运算：提取感兴趣的子图像
=
图像的与运算
0 1＝0 1 0＝0 0 0＝0 求两个子图像的相交子图
1 1＝1
^
= 模板运算：提取感兴趣的图像^=图像加法运算举例
＋
＝
图像加法运算举例
图像加法运算举例
图像加法运算举例
图像减法运算举例
=
图像减法运算举例
因为前n个坐标是普通坐标系下的n维坐标。
图像的仿射变换
—— 齐次坐标的特点
(x,y)点的齐次坐标为（xw，yw,w) xw=wx，yw=wy,w≠0
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线 ：
xw yw
wx wy
zw
第四章--图像的几何变换
7 9 10 11 12 13 15 16 17 18 25 27 28 29 30 31 33 34 35 36
i=[1,6], j=[1,6]. x=[1,6*06]=[1,4], y=[1,6*0.75=[1,5]. x=[1/0.6,2/0.6,3/0.6,4/0.6]=[i2,i3,i5,i6], y=[1/0.75,2/0.75,3/0.75,4/0.75,5/0.75]=[j1,j3,j4,j5,j6].
素值的填充是不连续的。 因此可以采用插值填充的方法来解决。
4.1.3.3 图像旋转的后处理
最简单的方法是行插值（列插值）方法
1. 找出当前行的最小和最大的 非背景点的坐标，记作：
(i,k1)、(i,k2)。
4.1.3.3 图像旋转的后处理
2. 在(k1,k2)范围内进行插值， 插值的方法是：空点的像素 值等于前一点的像素值。
•注意：平移后的景物与原图像相同，但“画 布”一定是扩大了。否则就会丢失信息。
4.1.2 图像的镜像
镜像分为水平镜像和垂直镜像
水平镜像计算公式如下（图像大小为M*N）：
x' y'
x
(水平镜#39; x
平移：
y
''
y '
N
1
N
1
y
123 1
2
3
-1 -2 -3 1
2
3
N 3
图像的旋转计算公式如下： x' x cos y sin y' x sin y cos
• 这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。 • 这个计算公式计算的结果值所在范围与原来的值所在 的范围不同。
• 因此需要前期处理：扩大画布，取整处理，平移处理
图像变换原理
图像变换原理图像变换是一种通过改变图像的像素值或空间关系，以得到新的视觉效果或数据表示的技术。
它在计算机图形学、计算机视觉、图像处理等领域中具有重要的应用。
图像变换可以分为两类：几何变换和像素变换。
几何变换是通过改变图像的形状、位置、大小或者方向来实现的。
常见的几何变换包括平移、旋转、缩放和错切等操作。
平移是通过将图像在水平和垂直方向上的像素值进行移动来实现的，旋转是将图像绕着某个中心点旋转一定角度，缩放是通过改变图像的像素间距来改变图像的大小，而错切是通过改变图像像素之间的相对位置来改变图像的形状。
像素变换是通过改变图像的像素值来实现的。
常见的像素变换包括亮度调整、对比度调整、颜色空间转换和直方图均衡化等操作。
亮度调整是通过改变图像的亮度值来调整图像的明暗程度，对比度调整是通过改变图像的像素值范围来调整图像的清晰程度，颜色空间转换是将图像从一个颜色空间转换到另一个颜色空间，而直方图均衡化是通过改变图像的像素分布来增强图像的对比度和细节。
图像变换的原理主要包括以下几个方面：1. 像素级处理：图像变换是在图像的每个像素上进行的，通过改变每个像素的数值或颜色来实现图像的变换。
2. 空间转换：图像变换可以在图像的整个空间范围内进行，也可以只在图像的局部区域进行。
3. 插值方式：在对图像进行变换时，需要对新像素的像素值进行估计。
插值是一种常用的方法，通过对周围已知像素的像素值进行加权平均或其他数学处理来估计新像素的像素值。
4. 变换模型：不同的图像变换可以使用不同的数学模型来描述。
常见的变换模型包括仿射变换、透视变换和非线性变换等。
图像变换的原理和方法是计算机图形学和图像处理领域的基础知识，它为我们理解图像的特征提取、目标识别、图像增强和图像生成等问题提供了重要的工具和思路。
随着计算机技术的不断发展，图像变换的应用和研究也在不断深入和扩展，为我们实现更加丰富多样的图像处理和图像生成效果提供了可能。
图像几何变换的原理及应用
图像几何变换的原理及应用1. 引言图像几何变换是指通过对图像进行旋转、平移、缩放和仿射变换等操作，改变图像的位置、大小和形状，以达到特定的目的。
在计算机视觉、图像处理和计算机图形学等领域中，图像几何变换被广泛应用于图像的校正、增强、变换和特征提取等任务。
2. 原理图像几何变换的原理基于几何学的相关理论。
对于二维图像来说，可以通过变换矩阵对图像进行坐标变换，从而实现图像的几何变换。
以下是常见的图像几何变换操作及其原理：2.1 旋转旋转是指将图像按一定角度绕某个中心点进行旋转变换。
旋转操作可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 00 0 1其中，θ表示旋转的角度。
通过对每个像素进行坐标变换，可以实现图像的旋转。
2.2 平移平移是指将图像沿着水平或垂直方向进行平移操作，即改变图像的位置。
平移操作可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：1 0 tx0 1 ty0 0 1其中，tx和ty分别表示在x轴和y轴上的平移距离。
通过对每个像素进行坐标变换，可以实现图像的平移。
2.3 缩放缩放是指改变图像的尺寸大小。
缩放操作可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：sx 0 00 sy 00 0 1其中，sx和sy分别表示在x轴和y轴上的缩放比例。
通过对每个像素进行坐标变换，并根据缩放比例进行采样，可以实现图像的缩放。
2.4 仿射变换仿射变换是指通过线性变换和平移来对图像进行变换。
仿射变换可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：a11 a12 txa21 a22 ty0 0 1其中，a11、a12、a21和a22分别表示仿射变换的线性变换部分，tx和ty分别表示平移部分。
通过对每个像素进行坐标变换，并根据变换矩阵进行计算，可以实现图像的仿射变换。
3. 应用图像几何变换在各个领域中有着广泛的应用，以下列举了一些常见的应用场景：3.1 图像校正在图像处理中，由于各种因素的影响，例如相机畸变、透视变换等，图像可能会出现失真或畸变。
图像的几何变换
3.2 图像的镜像变换
1． 理论基础
图像的镜像变换分为两种：一种是 水平镜像,另一种是垂直镜像。
图像的水平镜像操作是以原图像的 垂直中轴线为中心，将图像分为左右两 部分进行对称变换；
以此类推。在原图基础上，每行隔一个像素取一 点，每割一行进行操作。如下图3-4所示。
●●
●
●●
（a）原图中的某4个像素 素
（b）对应新图的1个像
从上可见图，3-放4 大图像与缩缩小示小意的图原理不同。
2. 理论验证
（a）原图
（b）长宽缩小0.5倍的效果图
(c）长宽各放大2倍的效果图
3.流程设计
(1) 取得原图的数据区指针。 (2) 通 过 对 话 框 获 得 放 大 整 数 比 例 ：
1. 理论基础
tx
坐标原点
(x0,y0)
ty
(x1,y1)
图3-1 像素平移示意图
显然（x0,y0）和（x1,y1）的关系如下：
x1=x0+tx y1=y0+ty
2. 理论验证
x
(y
3. 流程设计
(1) 取得原图的数据区指针。 (2) 通过对话框输入偏移量tx,ty。 (3) 开辟一个同样大小的缓冲区。 (4) 对原图依次循环每个像素，每读入一
第3章 图像的几何变换
本章要点：
➢ 图像的平移 ➢ 图像的镜像变换 ➢ 图像的缩放 ➢ 图像的转置 ➢ 图像的旋转
3.1 图像的平移
1. 理论基础
图 像 平 移 （ Translation ） 是 将 图 像中所有的点都按照指定的平移量,进 行水平、垂直移动。
10、图像的几何变换——平移、镜像、缩放、旋转、仿射变换
10、图像的⼏何变换——平移、镜像、缩放、旋转、仿射变换1.⼏何变换的基本概念 图像⼏何变换⼜称为图像空间变换，它将⼀副图像中的坐标位置映射到另⼀幅图像中的新坐标位置。
我们学习⼏何变换就是确定这种空间映射关系，以及映射过程中的变化参数。
图像的⼏何变换改变了像素的空间位置，建⽴⼀种原图像像素与变换后图像像素之间的映射关系，通过这种映射关系能够实现下⾯两种计算：原图像任意像素计算该像素在变换后图像的坐标位置变换后图像的任意像素在原图像的坐标位置对于第⼀种计算，只要给出原图像上的任意像素坐标，都能通过对应的映射关系获得到该像素在变换后图像的坐标位置。
将这种输⼊图像坐标映射到输出的过程称为“向前映射”。
反过来，知道任意变换后图像上的像素坐标，计算其在原图像的像素坐标，将输出图像映射到输⼊的过程称为“向后映射”。
但是，在使⽤向前映射处理⼏何变换时却有⼀些不⾜，通常会产⽣两个问题：映射不完全，映射重叠映射不完全输⼊图像的像素总数⼩于输出图像，这样输出图像中的⼀些像素找不到在原图像中的映射。
上图只有(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)四个坐标根据映射关系在原图像中找到了相对应的像素，其余的12个坐标没有有效值。
映射重叠根据映射关系，输⼊图像的多个像素映射到输出图像的同⼀个像素上。
上图左上⾓的四个像素(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)都会映射到输出图像的(0,0)上，那么(0,0)究竟取那个像素值呢？要解决上述两个问题可以使⽤“向后映射”，使⽤输出图像的坐标反过来推算改坐标对应于原图像中的坐标位置。
这样，输出图像的每个像素都可以通过映射关系在原图像找到唯⼀对应的像素，⽽不会出现映射不完全和映射重叠。
所以，⼀般使⽤向后映射来处理图像的⼏何变换。
从上⾯也可以看出，向前映射之所以会出现问题，主要是由于图像像素的总数发⽣了变化，也就是图像的⼤⼩改变了。
在⼀些图像⼤⼩不会发⽣变化的变换中，向前映射还是很有效的。
简述图像几何变换的类型与方法
程序开始⎩简述图像几何变换的类型和方法数字图像处理，就是利用数字计算机或则其他数字硬件，对从图像信息转换而得到的电信号进行某些数学运算，以提高图像的实用性。
例如从卫星图片中提取目标物的特征参数， 三维立体断层图像的重建等。
总的来说，数字图像处理包括点运算、几何处理、图像增强、图像复原、图像形态学处理、图像编码、图像重建、模式识别等。
目前数字图像处理的应用越来越广泛，已经渗透到工业、医疗保健、航空航天、军事等各个领域，在国民经济中发挥越来越大的作用。
图像的几何变换，通常包括图像的平移、图像的镜像变换、图像的转置、图像的缩放和图像的旋转等。
程序基本框架如下：图 图 图 图 图 像 像 像 像 像 的 的 的 的 的 平 移镜 像 转 置 缩 放旋 转1 图像的平移图像的平移是几何变换中最简单的变换之一。
1．1 理论基础图像平移就是将图像中所有的点都按照指定的平移量水平、垂直移动。
设（x0，y0）为原图像上的一点，图像水平平移量为 tx ，垂直平移量为 ty ， 则平移后点（x0，y0）坐标将变为（x1，y1）。
显然（x0，y0）和（x1，y1）的关系如下：⎧ x 1 = ⎨y 1 = x 0 + txy 0 + ty1程序结束读写 BMP 图像用矩阵表示如下：⎡x1⎤⎡1 0 tx⎤⎡x0⎤⎢y1⎥=⎢0 1 ty⎥⎢y0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣1⎥⎦⎢⎣001⎥⎦⎢⎣1⎥⎦对该矩阵求逆，可以得到逆变换：⎡x0⎤⎡1 0-tx⎤⎡x1⎤⎢y0⎥=⎢0 1-ty⎥⎢y1⎥即⎧x0 = x1 -tx⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎨y0 = y1 -ty ⎢⎣1 ⎥⎦⎢⎣00 1⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎩这样，平移后的图像上的每一点都可以在原图像中找到对应的点。
例如，对于新图中的（0，0）像素，代入上面的方程组，可以求出对应原图中的像素（-tx，-ty）。
如果tx 或ty 大于0，则（- tx，- ty）不在原图中。
对于不在原图中的点，可以直接将它的像素值统一设置为0 或则255（对于灰度图就是黑色或白色）。
图像几何变换实验报告
图像几何变换实验报告图像几何变换实验报告引言：图像几何变换是计算机视觉领域的重要研究方向之一。
通过对图像进行旋转、缩放、平移等变换操作，可以改变图像的形状、大小和位置，从而实现图像处理和分析的目的。
本实验旨在通过编程实现常见的图像几何变换算法，并对其效果进行评估和分析。
一、图像旋转变换图像旋转变换是指将图像按照一定的角度进行旋转操作。
在实验中，我们使用了旋转矩阵来实现图像的旋转。
通过调整旋转角度，我们可以观察到图像在不同旋转角度下的变化。
实验结果显示，当旋转角度较小时，图像的形状基本保持不变，但会出现一定程度的畸变。
随着旋转角度的增加，图像的形状逐渐发生变化，出现明显的扭曲和形变现象。
二、图像缩放变换图像缩放变换是指改变图像的尺寸大小。
在实验中，我们通过调整缩放系数来实现图像的缩放操作。
实验结果表明，当缩放系数小于1时，图像会变小，细节信息会丢失；而当缩放系数大于1时，图像会变大，但可能会出现像素过度拉伸的情况。
因此，在进行图像缩放时，需要根据实际需求选择合适的缩放系数，以保证图像的质量和清晰度。
三、图像平移变换图像平移变换是指将图像沿着水平或垂直方向进行移动操作。
在实验中，我们通过调整平移距离来实现图像的平移。
实验结果显示，当平移距离较小时，图像的位置变化不明显；而当平移距离较大时，图像的位置会发生明显的偏移。
因此，在进行图像平移时，需要根据实际需求选择合适的平移距离，以确保图像的位置调整符合预期。
四、图像仿射变换图像仿射变换是指通过线性变换和平移变换来改变图像的形状、大小和位置。
在实验中，我们通过调整仿射变换矩阵的参数来实现图像的仿射变换。
实验结果表明，仿射变换可以实现图像的旋转、缩放和平移等多种操作，且变换后的图像形状基本保持不变。
然而，当仿射变换矩阵的参数设置不当时，可能会导致图像的形变和失真现象。
五、图像透视变换图像透视变换是指通过透视投影将图像从一个平面映射到另一个平面。
在实验中，我们通过调整透视变换矩阵的参数来实现图像的透视变换。
变换图像的操作方法
变换图像的操作方法变换图像有许多不同的操作方法，可以通过修改图像的几何属性、颜色属性或者根据特定的应用进行变换。
下面将介绍几种常用的图像变换操作方法。
1. 几何变换几何变换是通过对图像的几何属性进行修改，改变图像的位置、形状、大小和方向。
常见的几何变换包括平移、旋转、缩放和剪裁等。
- 平移：平移是将图像沿着水平和垂直方向移动一定的距离。
平移操作可以通过对图像每个像素坐标进行加法运算来实现。
例如，将一个图像向右平移10个像素，就可以将图像的x坐标都加上10。
- 旋转：旋转是将图像围绕一个中心点进行旋转一定的角度。
旋转操作可以通过对图像每个像素坐标进行旋转矩阵运算来实现。
例如，将一个图像顺时针旋转30，就可以将图像的x和y坐标都根据旋转矩阵进行变换。
- 缩放：缩放是改变图像的大小。
缩放操作可以通过对图像的每个像素进行插值运算来实现。
常用的插值方法有最近邻插值、双线性插值和双三次插值等。
- 剪裁：剪裁是将图像从一个大的尺寸截取到一个较小的区域。
剪裁操作可以通过对图像的像素坐标进行判断，只保留指定区域内的像素值。
2. 色彩变换色彩变换是通过修改图像的色彩属性来变换图像。
常见的色彩变换包括调整亮度、对比度、饱和度和色调等。
- 调整亮度：调整图像的亮度可以通过对每个像素的RGB值进行加减操作来实现。
增加亮度时，可以将RGB值都加上一个较大的常数；减小亮度时，可以将RGB值都减去一个较大的常数。
- 调整对比度：调整图像的对比度可以通过拉伸图像的灰度值范围来实现。
可以使用直方图均衡化等方法将图像的灰度值分布拉伸到更广的范围。
- 调整饱和度：调整图像的饱和度可以通过修改图像的色彩空间来实现。
可以将RGB空间转换为HSV空间，然后修改饱和度分量的值，再将HSV空间转换回RGB空间。
- 调整色调：调整图像的色调可以通过修改图像的色相值来实现。
可以将RGB 空间转换为HSV空间，然后修改色调分量的值，再将HSV空间转换回RGB空间。
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图像旋转
• 一般图像的旋转是以图像的中心为原点，将 图像上的所有像素都旋转一个相同的角度。
• 图像的旋转变换是图像的位置变换，但旋转 后，图像的大小一般会改变。
– 图像旋转变换后，既可以把转出显示区域的图像 截去，也可以扩大图像范围以显示所有的图像。
• (0，1)像素对应于原图中的(0，0.5)像素，该像素不 存在，可以近似为(0，0)也可以近似(0，1)。
• (0，2)像素对应于原图像中的(0，1)像素。 • (1，0)像素对应于原图中的(0.5，0)，它的像素值近
似于(0， 0)或(1，0)像素。 • (2，0)像素对应于原图中的(1，0)像素。依此类推
的形变式换后后的，点便集矩可阵实现＝所变有换矩二阵维T 变图换像前的几点何集矩变阵
换的图像基上各本点变的新换齐。次坐标
图像上各点的原齐次坐标
Hx1 Hx2 Hy1 Hy2 H H
Hxn
Hyn
x1 x2
T
y1
y2
H 3n
1 1
xn
yn
1 3n
a b p
变换矩阵 T c
d
q
0
y0
1 0
0 1 1
x0 cos
y0
sin
1 0
sin c os
0
0 x 0 y 11
图像旋转
• 如果图像旋转是绕一个指定点(a, b)旋转， 则先要将坐标系平移到该点，再进行旋转 ，然后将旋转后的图像平移回原来的坐标 原点。
图像旋转（Matlab编程）
• %-------------Image (M×N) Rotation---------------• function [ImR,MR, NR] = ImageRotation (Im, theta) • %（1）将图像（Im）平移，使图像中心移至坐标原点 • %（2）将平移后的图像旋转角度theta • %（3）平移图像使得坐标原点对应图像的左上角 • %（4）注意：因为图像为一个矩形区域，旋转必然导致矩形区域扩大，所以旋转后图
图像比例缩放（线性插值）
• 【线性插值原理】
– 当求出的分数地址与像素点不一致时，求出周围 四个像素点的距离比，根据该比率，由四个邻域 的像素灰度值进行线性插值。
线性插值法示意图
gx, y 1 q1 p gx,y p gx1,y q 1 p gx,y1 p gx1,y1
图像比例缩放（编程）
图像旋转
x0 r cos
θr
(x0, y0) (x, y)
y0 r sin
α
x r cos r cos sin r sin cos x0 cos y0 sin
y
r
sin
r sin
cos
r
cos
s in
x0
sin
y0
cos
x cos sin 0 x0
y
s in
c os
宽T 功0 能1 。y
P T P0 0
1
y
y0
y0
y
y
0 0 1
0 0 1 1 1 1
• 这种用n＋1维向量表示n维向量的方法称为 齐次坐标表示法。
– 二维图像中的点坐标(x, y)通常表示成齐次坐标 (Hx, Hy, H)。
• H表示非零的任意实数。
1. 齐次坐标（几何意义）
图像图的像几比例何缩变放换
图像平移 图像镜像 图像旋转 图像复合变换 透视变换
几何变换基础
• 【问题】
– 变换中心在坐标原点的比例缩放、反射、错切 和 换旋 矩转 阵表等示二和维图实T像现的。ac几db何 变换可以用2×2的变
– 2×2的变换矩阵不能实现图像的平移以及绕任 意点的比例缩放、反射、错切和旋转等二维图 像的几何变换。
l m s
二维点集矩阵
xi
yi
2n
齐次坐标形式 的点集矩阵
xi
yi
1 3n
新齐次坐标的 点集矩阵
Hx1 Hy1
Hx2 Hy2
H H
Hxn
Hyn
新齐次坐标规范化 后的点集矩阵
x1
y1
x2 y2
H 3n
1 1
xn
yn
1 3n
几何变换基础
图像图的像几比例何缩变放换
• 【解决方法】
– 在点的坐标列矩阵[x y]T中引入第三个元素，增 加 ， y)实一 这现个 样平P附用移加 三T 变P坐维0 换标空10。，间10 扩点yx展(xxy,1为00y,31×xy0)0 表1的xy示 列二xy矩维阵空[间x y点1(]xT,
1. 齐次坐标
• 通常1 将0 2×x 3阶矩阵扩充1为0 3×x3x0阶 矩x0 阵x以拓x
• 【解决方法】
1. 齐次坐标
• 变点 移换前P量后0分(的x坐0别,标y关为0系)平Δx移、xy到Δ xyyP00。(xxy, y)。x、 y方向的平
• 变换的矩阵表示形式 x
y
1 0
0 1
x0 y0
x y
a T c
b 平面上点的变换矩阵中没有引入平移常量，无论a、b、c、d取什
d
–①直接赋值为和它最相近的像素值——最邻近 插值法(Nearest Neighbor Interpolation)。
• 最近邻插值法计算简单，但会出现马赛克现象。
–②通过（线性、样条、…）插值算法计算相应 的像素值。
• 处理效果要好，但运算量也相应增加。
图像的尺寸减半
图像比例缩放（缩小）
• 最简单的比例缩小是当fx=fy=1/2时，图像被 缩到一半大小，此时缩小后图像中的(0，0) 像素对应于原图像中的(0，0)像素； (0，1) 像素对应于原图像中的(0，2)像素； (1，0) 像素对应于原图像中的(2， 0)像素，依此 类推。
么值，都不能实现上述的平移变换。
T
1 0
0 1
x 引入2×3阶变换矩阵（第一、二列构成单位矩阵，第三列元素 y 为平移常量）。
只需将变换矩阵（2×3）乘以图像的点集矩阵（2×n）即可 实现二维图像的几何变换。
1. 齐次坐标
• 【问题】
– 二维图像对应的点集矩阵是2×n阶的，而扩展 后 相的 乘变时换要矩求阵前者是的2×列3数阶与的后矩者阵的，行这T 数不10相符10等合的矩yx 规阵 则。
图像比例缩放（放大）
1 9 13 7 4206 10 8 15 14 11 3 12 5
放大两倍（最近邻插值）
放大两倍（线性插值）
119 119 442 442 10 10 8 10 10 8 11 11 3 11 11 3
9 13 13 7 7 9 13 13 7 7 20066 20066 8 15 15 14 14 8 15 15 14 14 3 12 12 5 5 3 12 12 5 5
像（ImR）的尺寸变大。 • %为了找到旋转后图像每个像素在原图像中的对应位置 • %（5）首先将旋转后的图像平移，使得图像中心移至坐标原点 • %（6）将平移后的图像旋转角度-theta • %（7）最近邻插值 • % Im： Image • % theta： 旋转角度（-pi~pi） • % ImR： Image rotated with theta • % MR： 旋转后图像的行数 • % NR： 旋转后图像的列数 • %--------------------------------------------------
x x0 x y y0 y
x0 1 0 x x
y0
0
1
y y
1 0 0 1 1
x0 x x y0 y y
图像平移
• 平移后的图像上的每一点不一定都可以在 原图像中找到对应的点。
– 例如，对于新图中的（0，0）像素，代入上面 的方程组，可以求出对应坐标为（-Δx，-Δy） 。
0
y
1 1
x0 fWidth x y0 y
x 1 0
0 x0
y
0
1
f
Height
y0
1 0 0
1 1
x0 1 0
0 x
y0
0
1
fHeight y
y0 fHeigth y
图像镜像（编程）
图像镜像（实例）
几何变换基础
图像图的像几比例何缩变放换
几何变换基础
图像图的像几比例何缩变放换
图像平移 图像镜像 图像旋转 图像复合变换 透视变换
图像平移
• 图像的平移是将一幅图像上的所有点都按照 给定的偏移量在水平方向沿x轴、在垂直方向 上沿y轴移动，平移后的图像与原图像相同。
图像平移
x 1 0 xx0
y
0
1
y
y0
1 0 0 1 1
• 图像缩小之后，因为承载的信息量小了， 所以画布可相应图缩像缩小小一。半 此时，只需在原图 像基础上，每行隔一个像素取一点，每隔 一行进行操作，即取原图的偶（奇）数行
图像按任意比例缩小
图像比例缩放（缩小）
• 如果图像按任意比例缩小，则需要计算选择 的行和列。
• M×N大小的原图像F(x，y)缩小为kM×kN大 小（k<1）的Ix新, y图 F像intIc(xx，,intyc)，yc=1/k。
图像平移（编程）
图像平移（实例）
原图像
平移后的（显示区域 大小不变）图像
平移后的（显示区 域扩大）图像
几何变换基础
图像图的像几比例何缩变放换
图像平移 图像镜像 图像旋转 图像复合变换 透视变换
图像镜像
• 图像的水平镜像操作是将图像左半部分和右 半部分以图像垂直中轴线为中心进行镜像对 换。