多元统计分析——均值向量和协方差阵检验

一元正态总体均值向量的检验
(1)一元的回顾 一元的回顾
2 2 设有 k 个总体 G1 , G2 ,L , Gk ，它们的分布分别是 N ( µ1 , σ ),L , N ( µ k , σ ) ，
从它们中分别抽取了样本如下： 从它们中分别抽取了样本如下：
(1) X 1(1) ,L , X n1 (2) X 1(2) ,L , X n 2
−1
～T
2
（p,n-1）
T 2 与 F 分布的关系: n− p 2 在 H0 条件下 F = T (n −1) p
实例
对某地区农村的 6 名 2 周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，得样本数据如表 2.1 所示。根据以往资料，该地区城市 2 周岁男婴的这三个指标的均值 µ0 = (90, 58,16)′ ， 现欲在多元正态性假定下检验该地区农村男婴是否与城市男婴有相同的均值。
2、P 维单个正态总体均值向量的检验 考虑假设检验问题
H 0 : µ = µ 0 ， H1 : µ ≠ µ0
设 x1 , x2 , L, xn 是取自总体 N p ( µ , ∑ ) 的一个样本，给定显著性水平 α 。 （1） ∑ 已知。
当假设成立时，
2 T02 = n ( X − µ 0 )' ∑ −1 ( X − µ 0 ) ～ χ p
一元情况的回顾 考虑假设检验问题
H0 : µ1 = µ2 ， H1 : µ1 ≠ µ2
2 的样本， 设 x1 , x2 ,L, xn1 是取自总体 N(µ1 ,σ1 ) 的容量为 n1 的样本， y1 , y2 ,L, yn2 是取自总体
N(µ2 ,σ22 ) 的容量为n2 的样本，给定显著性水平α 。 的样本，
3.独立样本检验 独立样本检验
• 即对相互独立的两个样本的均值进行比较，看二者是否有 即对相互独立的两个样本的均值进行比较， 显著的差异。与单一样本T检验的原理相同 检验的原理相同， 显著的差异。与单一样本 检验的原理相同，采用小概率 反证法。 反证法。 • 首先假设：H0两个样本来自同一总体 首先假设： 两个样本来自同一总体 两个样本来自同一总体,u1=u2 • 独立样本t检验的前提： 独立样本t检验的前提 检验的前提： （１）两个样本相互独立 （２）两个样本来自正态总体 若违反这一假设， 若违反这一假设，应采用非参数检验或变换变量使适应条件 （３）比较的两个样本有实际意义 如一个关于产品重量的样本和一个关于产价格的样本均值比 较无意义。 较无意义。
∑ n (X
r =1 r
k
r
− X )2
组内平方和： 组内平方和：SSE=
∑∑ ( X
r =1 j =1 nr (r )
j
k
nr
(r )
j
− X r )2
总平方和： 总平方和：SST=
∑∑ ( X
r =1 j =1
k
− X )2
1 式 中 : Xr = nr
∑X
j =1
nr
(r )
j
1 表示 第 r 个 处 理的均值 ， X = nr
即当给定显著性水平 α 的值时，若
F * > Fp ,n + m − p −1 (α )
时，拒绝 H 0 ，否则没有足够的理由拒绝 H 0 。
（2）协方差不相等的情况（见书P25）
4.方差分析 方差分析
• 进行两组及多组间样本平均数的比较 • 如在医学研究中，分析几中药物对某种疾 如在医学研究中， 阵的检验
一、均值向量检验 1.均值比较的意义 1.均值比较的意义 2.单一样本检验 2.单一样本检验 3.独立样本检验 3.独立样本检验 4.方差分析：一元和多元 4.方差分析： 方差分析 二、协方差阵检验
1.均值比较的意义 均值比较的意义
• 在抽样调查中，按随机原则从总体中抽取一定数 在抽样调查中， 量的样本， 量的样本，然后根据样本的数量特征来推断总体 的数量特征。由于样本中个体的差异性， 的数量特征。由于样本中个体的差异性，样本所 得到的样本统计量与总体参数之间是存在差异的。 得到的样本统计量与总体参数之间是存在差异的。 • 例如：推断样本是否来自同一总体 例如： 情形一：有两个样本，其均值不等； 情形一：有两个样本，其均值不等； 并不能断定它们不是来自同一总体） （并不能断定它们不是来自同一总体） 情形二：有两个样本，其均值相等； 情形二：有两个样本，其均值相等； 并不能据此断言它们是来自同样的总体） （并不能据此断言它们是来自同样的总体） ——这就需要用到均值比较的方法 这就需要用到均值比较的方法
某地区农村男婴的体格测量数据 编号 1 2 3 4 5 6 身高（cm） 78 76 92 81 81 84 胸围（cm） 60．6 58．1 63．2 59．0 60．8 59．5 上半壁围（cm） 16．5 12．5 14．5 14．0 15．5 14．0
这是假设检验问题： H 0 ：μ = µ 0 ， H1 ：μ≠ µ0
当假设成立时， µ ～N（0，1） ，否定域为 | µ |> µα / 2 ， µα / 2 为 N (0,1) 的上 α / 2 分位点。 （2）当 σ 未知时，用 S =
2
∑ (x
i =1
n
i
− x ) 2 /( n − 1) 作为 σ 2 的估计，用统计量
t=
x − µ0 S
n
来检验假设。
当假设成立时，t～t(n-1),否定域为 | t |> t n−1 (α / 2) ， t n −1 (α / 2) 为 t n −1 的上 α / 2 分位点。
其否定域为 T0 ≥
2
2 χ 2 (α ) ，后者是 χ p 的上 α 分位点。 p
ˆ （2） ∑ 未知。这时 ∑ 的无偏估计是 Σ = S /(n − 1) ,
统计量
ˆ T 2 = n( X − µ0 )' Σ−1 ( X − µ0 ) = n(n − 1)( X − µ0 )' S ( X − µ0 )
方差分析的思想
• 方差分析认为，不同样本间的均值差异来 方差分析认为， 源于两个方面： 源于两个方面： • 总变异＝随机误差＋由于不同的实验条件 总变异＝随机误差＋ 导致的误差 • 总变异＝组内差异＋组间差异 总变异＝组内差异＋
量化
• 随机误差：由于测量导致。 随机误差：由于测量导致。 用变量在各组每个取值与该组的变量 均值的离差平方和的总和表示。 均值的离差平方和的总和表示。 • 不同的实验条件导致的差异：意思是样本 不同的实验条件导致的差异： 抽自不同的总体而导致的差异。 抽自不同的总体而导致的差异。 用各组的均值与总体均值的离差平方 和表示
1、一元情况的回顾 考虑假设检验问题
H 0 : µ = µ 0 ， H1 : µ ≠ µ0
设 x1 , x2 , L, xn 是取自总体 N ( µ , σ 2 ) 的一个样本，给定显著性水平 α 。 （1）当 σ 已知时，用统计量
µ=
其中:
x − µ0
σ
n
1 n x = ∑ xi 为样本均值。 n i =1
2.单一样本检验 单一样本检验
• 已知某校大三学生的平均身高是 已知某校大三学生的平均身高是163cm。 。 现从某院大三学生中随机抽取20个测量出 现从某院大三学生中随机抽取 个测量出 其身高。 其身高。检验该院大三学生的身高与该校 大三学生的身高平均值是否相等。 大三学生的身高平均值是否相等。 • 建立一个原假设：H0：假设该院大三学生 建立一个原假设： ： 的身高与该校大三学生的平均身高相等。 的身高与该校大三学生的平均身高相等。 • 这属于单个变量的均值与已知常数的比较
∑ (x
i =1
n
i
− x )( x i − x )′ ， Ay =
∑ (y
i= 1
m
i
− y )( y i − y ) ′
当假设 H 0 成立时， T ～ Tp , n + m − p −1 ，从而
2
2
n + m − p −1 2 T ～ F p , n + m − p −1 (n + m − 2) p
用 sp 代替σ ，构造检验统计量
x−y t= 1 1 sp + n1 n2
成立时， 分布， 当 H0 成立时，t 服从自由度为n1 + n2 − 2 的 t 分布，即t t (n1 + n2 − 2) 。 检验规则为： 检验规则为： 当| t |≥ tα / 2 (n1 + n2 − 2) 时，拒绝 H0 ； 当| t |< tα / 2 (n1 + n2 − 2) 时，接受 H0 。
3、两个p维正态总体均值的检验 、两个 维正态总体均值的检验
（1）协方差相 等的情况 考虑假设 检验问题
H 0 : µ1 = µ 2 ， H 1 : µ1 ≠ µ2
设 x1 , x2 , L , xn 是 取 自 总 体 N p (µ 1 , ∑ ) 的 容 量 为 n 的 样 本 ， y1 , y 2 ,L , ym 是 取 自 总 体
为什么多样本均值检验不采用两两样 本的t检验 检验， 本的 检验，而一定要采用方差分析
• 统计结论都是概率性的。假设实际情况是 统计结论都是概率性的。 H0成立，那么根据设置的显著性水平如 成立， 成立 0.05, 平均每 平均每100次检验中有 次会得出拒绝 次检验中有5次会得出拒绝 次检验中有 H0的错误结论。 的错误结论。 的错误结论
∑∑ X
r =1 j =1
k
nr
(r )
j
表 示总均
值 , n = n1 + L + nk 构造统计量
统计量
2
t=
x − µ0 S
2 −1
n
等价于 t = n ( x − µ0 )' (S ) ( x − µ0 ) 当假设成立时，t ～F(1,n-1)（自由度为 1，n-1 的 F 分布） ，其否定域为 t ≥ F1, n −1 (α ) ，后者