第一章 复数和复变函数及其极限

当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数 ; 当 y 0 时,Fra Baidu bibliotekz x + 0i , 我们把它看作实数x .
10
共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数, z 的共轭复数记为 z .
即：若 z x + iy, 则 z x iy.
11
故
5 i 5 5 z 4 cos + i sin 4e 6 . 6 6
20
( 2) z sin + i cos 5 5


显然 r z 1,
cos 3 , sin cos 10 5 2 5 sin 3 , cos sin 10 5 2 5
25
(4) z1 z2 z1 z2 ;
(5) z z;
z1 z2 z1 z2 ;
z1 z1 ; z2 z2
(6) z z Re( z ) + Im( z ) | z |2 ;
2 2
(7) z + z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ).
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复数和与差的模的性质
因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离 ,故
y
z2
z1 z2 z1 z2 .
z1 + z2 z1 + z2 ;
共轭复数的几何性质
z2
z1 z2
z1
z1
x
o
y
一对共轭复数 z 和 z 在 复平面内的位置是关于 实轴对称的.
o
z x + iy
二Δ、复数的代数运算
三* 、扩充复平面与复球面
8
一、复数的概念
2 + 1 0在 x 为了解方程的需要，例如：方程 实数范围内无解， 人们引入了一个新数 i , 称为虚 数单位。
对虚数单位,作如下规定:
(1) i 1;
2
(2) i 可与实数一起按同样的 法则进行四则运算 .
9
复 数
形如 z x + yi 或 z x + iy 的数称为复数 . 其中 x , y 为实数，分别称为z 的实部和虚部 , 记作 x Re( z ), y Im( z ).
两个复数的积
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) + i ( x2 y1 + x1 y2 )
两个复数的商
z1 x1 x2 + y1 y2 x2 y1 x1 y2 z1 z2 2 2 +i 2 2 z2 z2 z2 x 2 + y2 x 2 + y2
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复数运算的性质
r1 r2 [(cos 1 cos 2 sin1 sin 2 ) + i (sin1 cos 2 + cos1 sin 2 )]
z1 z2 r1 r2[cos(1 + 2 ) + i sin(1 + 2 )]
z1 z2 r1 r2 z1 z2
Arg( z1 z2 ) Argz1 + Argz2 .
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两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
从几何上看, 两复数对应的向量分别为 z1 , z2 , z 先把 z1 按逆时针方向 y

旋转一个角 2 ,
再把它的模扩大到 r2 倍, 所得向量 z 就表示积 z1 z2 .
证
z1 z2 + z1 z2
( x1 + iy1 )( x2 iy2 ) + ( x1 iy1 )( x2 + iy2 ) ( x1 x2 + y1 y2 ) + i ( x2 y1 x1 y2 ) + ( x1 x2 + y1 y2 ) + i ( x2 y1 + x1 y2 ) 2( x1 x2 + y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ).
二、 复数的表示方法
（1）定义表示形式
用 x + iy 表示复数 z , 即 z x + iy.
给定复数 z x + iy ，则确定了实部 x和虚 部y；反过来，给定实部 x和虚部y , 则完全确定 了复数z , 这样，复数z与一对有序实数（ x, y) 构成了一一对应关系。
因此，x + iy 与（x , y ) 不加区别.
(1) z1 + z2 z2 + z1 ; z1 z2 z2 z1;
( 2) ( z1 + z2 ) + z3 z1 + ( z2 + z3 ) z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 ) z3
( 3) z1 ( z2 + z3 ) z1 z2 + z1 z3
15
辐角主值的定义
在 z ( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的 0 称为 Argz 的主值, 记作 0 arg z .
Argz arg z + 2k k 0, 1, 2,
已知复数z x + iy, 如何确定辐角？
16
z 0 辐角的主值
当 z 0 时，则把正实轴与向量OP 的夹角称为 z 的辐角(arg ument ), 记作 Argz .
注意 1 任何一个复数 z 0有无穷多个辐角 ,
如果1 是其中一个辐角 , 那么 z 的全部辐角为
Argz 1 + 2kπ ( k为任意整数)
注意 2 当 z 0 时, 辐角不确定，没有辐角.

故
3 3 z cos + i sin e 10 10
3 i 10
.
21
三、 复数的代数运算
复数相等的概念 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部 分别相等.
定义:设复数 z1 x1 + y1i 复数 z2 x2 + y2i 则 z1 z2 x1 x2且y1 y2
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（3）复数的向量表示法
复数z x + iy也可用复平面上的向量 OP 表示
向量具有两个重要的属 性：长度、方向 .
该向量的长度称为z 的模或绝对值 ,
记为 z r
x +y .
2 2
y y
显然成立：
r
o
Pz x + iy
x z,
y z,
x
x
z x+ y.
14
复数辐角的定义
曹春雷 北京理工大学数学学院
1
复变函数与积分变换的应用背景
世界著名数学家 M.Kline指出：19 世纪最独特的创造是复变函数理论。
象微积分的直接扩展统治了18世纪 那样，该数学分支几乎统治了19世纪。 它曾被称为这个世纪的数学享受， 也曾作为抽象科学中最和谐的理论。
2
16
17
18
19
20世纪
•16世纪，解代数方程时引入复数 •17世纪，实变初等函数推广到复变数情形 •18世纪，J.达朗贝尔与L.欧拉逐步阐明复数的几 何、物理意义。
12
（2）复数的平面表示法
我们知道， ( x , y )可以用平面直角坐标系 中平面 上的点表示 (如图）
y y
z x + iy
( x, y)
o
x
x
复数 z x + iy 可以用平面上的点( x , y ) 表示(如图） .
这种用来表示复数的平 面叫复平面. 通常把横 轴叫实轴或x 轴, 纵轴叫虚轴或 y 轴.
32

设复数z1和z2的指数形式分别为
z1 r1e ,
i 1
z2 r2e ,
i 2
则 z1 z2 r1 r2e i (1 + 2 ) .
n 个复数相乘的情况:
设 zk rk (cos k + i sin k ) rk e i k , ( k 1,2,, n)
Argz1 + 2n , ( n 0, 1, 2,),
+ 2m , ( m 0, 1, 2,), 2 π Arg(z1 z2 ) + 2kπ, ( k 0, 1, 2,), 2 3 故 + 2( m + n) + 2k , 只须 k m + n + 1. 2 2 若 k 1, 则 m 0, n 2 或 m 2, n 0. Argz2
3 1 5 z z Re( z ) + Im( z ) + . 2 2 2
2 2
28
2
2
例 3 设复数 z1 x1 + iy1 , z2 x2 + iy2 ,
证明 z1 z2 + z1 z2 2 Re( z1 z2 ).
5
复变函数与积分变换的主要内容
1
2 3 4 5 6 7
引论
解析函数 复积分 级数 留数及应用 保角映射 积分变换
6
第一章 复数和复变函数及其极限
§1-1 复数及其运算 §1-2 复平面上曲线和区域
§1-3 复变函数与整线性映射
§1-4 复变函数的极限和连续
7
§1-1 复数及其运算
一、复数的概念及其表示法
x r cos y r sin
复数可以表示成
z x + iy r (cos + i sin )
18
（5） 复数的指数表示法 利用Euler公式
e i cos + i sin ,
则复数z r (cos + i sin )可以表示为：
z re i
22
显然有
z0 z 0
z1 z2 0 z1 z2 且argz1 argz2
注：非实数的复数不能比较大小。
23
两个复数 z1 x1 + iy1 , z2 x2 + iy2的四则运算
两个复数的和与差
z1 z2 ( x1 x2 ) + i ( y1 y2 )
3
•19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特 拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复 变函数的映射性质
•20世纪，发展为数学分支,在解析性质、映射性质、 多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等方 面有重要成果。
4
空气动 力学
流体 力学
复变函数论
电学
热学
•复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学、 理论物理等领域有重要应用。
或 z1 z 2 + z1 z 2 z1 z 2 + z1 z 2 2Re(z1 z 2 ).
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乘幂与方根
设复数 z1 和 z2 的三角形式分别为
z1 r1 (cos1 + i sin1） , z2 r2 (cos 2 + i sin 2） , z1 z2 r1 (cos1 + i sin1 ) r2 (cos 2 + i sin 2 )
x
z x iy
27
1 3i 例2 设z , 求 Re( z ), Im( z ) 与z z . i 1 i
解
1 3i i 3i (1 + i ) 3 1 z i, i 1 i i i (1 i )(1 + i ) 2 2
3 1 Re( z ) , Im( z ) , 2 2
r

o
1

z1

r1
2


r2
z2
x
两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加.
31
注意: Arg( z1 z2 ) Argz1 + Argz2不是通常的等式, 而是两个数集相等. 即左端任给一值, 右端必有 值与它相对应；反过来是如此.
例如 设 z1 1, z2 i , 则 z1 z2 i ,
z1 z2 zn r1 r2 rn [cos(1 + 2 + + n )
y x 0, arctan x , π, x 0 , y 0, 2 arg z arctan y π, x 0, y 0, x π, x 0, y 0.
y (其中 arctan ) 2 x 2
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（4） 复数的三角表示法 利用直角坐标与极坐标的关系
19
例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
(1) z 12 2i; ( 2) z sin + i cos ; 5 5


解
(1) r z 12 + 4 4, 因 z 在第三象限,
5 3 2 arctan , π arctan 6 3 12