解三角形知识点归纳总结归纳

第一章解三角形
3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
4. ①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ，
解法：由A+B+C=180,求角A,由正弦定理a =sinA ； b =sin B ； a =sin A ：求出匕与。

b sin B
c sin C c sin C
②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,
解法：由正弦定理生二业求出角B ,由A+B+C=180求出角C,再使用正弦定理弓二sinA b
sin B
4. △ ABC 中，已知锐角A,边b,贝U
① a :: bsinA 时，B 无解；
② a = bsin A 或a _ b 时，B 有一个解;
③ bsin A ::: a ::: b 时，B 有两个解。

如：①已知A = 60 Y a = 2, b = 2 3 ,求B （有一个解）
②已知A = 60 Y b =2,a = 2、、3,求B （有两个解） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

二. 三角形面积
1 1 1
1. S ABC absi nC bcsi nA acsi nB
2 2 2 .正弦定理:
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 — b — =2R （其中R 是三角形外接圆的半径） sin A sin B sin C
abc
2.变形: 1) a b c a b
sin A+si n E+si nC si n A si n E sinC
2）化边为角: a : b : c = sin A: sin
B :sin
C ；
7 a sin A ； b sin B a sin A
b sin B
c sin C ' c sin C
）化边为角: a = 2Rsin A, b=2Rsin B, c = 2RsinC
）化角为边: ）化角为边: sin A a ;
; sin B b sin A =—
2R si n B b si nA a sin C c
sin C c ' si nB=2, si
门。

=£ 2R 2R
求 c sin C
5. S ABC = 2R 2
sin Asin Bsin C ,R 为外接圆半径 三. 余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2倍，即
「2accos B
2 2 2
a c -
b cos B 二 2ac
a 2 +c 2 _
b 2
= ac=
3•利用余弦定理判断三角形形状：
设a 、b 、c 是7 2C 的角二、m 、C 的对边，贝U:
. 2_ 2
c 3 4 +&' >a 2
O cosJs ---- —— >0 <^J 4<90° ①若， ，所以」为锐角 ②若c 2，b 2二a 2
二A 为直角 c 2 +b^ <a^
--- -- <0tt > 90° , ③若 匸- ，所以」为钝角，则—丄一是钝角三角形 4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
1) 已知三边，求三个角 2) 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 四、应用题
2 ,2 2
小 a +b —c
cosC = ------------
2ab
注意整体代入，如:
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2. S ABC 1 Y(a »c )r ,其中r 是三角形内切圆半径.
3. S ABC _____________________ 1 = p(p —a)(p —b)(p —c),其中 ^-(a b c),
4. S ABC 嚟R 为外接圆半径
2 2 2
a =
b c
-2bccos A
c 2 = a 2 b 2
-2ab cos C 2.变形：cos A = b +c
_—
2bc
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1. 已知两角和一边（如 A 、B 、C ）,由A+B+C = n 求C,由正弦定理求 a b.
2. 已知两边和夹角（如a 、b 、c ）,应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的 角，然后利用A+B+C = n,求另一角.
3. 已知两边和其中一边的对角（如 a 、b 、A ）,应用正弦定理求B,由A+B+C= n 求C,再由正 弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况.
4. 已知三边a 、b 、c,应用余弦定理求 A 、B,再由A+B+C= n ,求角C.
5. 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目
标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成•正北或正南，北偏东XX 度， 北偏西XX 度， 南偏东XX 度，南偏西XX 度.
6. 俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上 方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.
视线
.A+B . .yr C. C
sin ---- = sin[ --- j = cos —
2 2 2 2 sin( C) cos(C) 2 2__2 cos(2 - j) sin(|)
5）两角和与差的正弦、余弦、正切公式
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铅 直 线| 三角形三角关系：A+B+C=180 ; C 五、三角形中常见的结论 1） 2） 三角形三边关系： 两边之和大于第三边••住, —俯A+B)； 仰角 水平线 3) 4) 两边之差小于第三边：，:视线； 在同一个三角形中大边对大角： A ・B= asi nA si nB 三角形内的诱导公式： I
sin （A B ） =si nC, cos （A B ） = -cosC, tan （A B ） = -ta nC, =sin —
A B - C tan tan( ) 2 2 2
⑴S in( a±B ) = sin a cos B 土cos a sin B .
(2)cos( a±B = cos a cos B?sin osin B
(3)tan( a±B
=
tan a±a n B
1?tan Oan B
6）二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2 a = 2sin a cos a .
(2)cos 2 a = cos2 a — sin 2a = 2cos2 a — 1 = 1 — 2sin 2a .
2 1 -cos 2： 2 1 cos2：
(3)sin ; cos :
2 2
2ta n a
⑷tan 2 a = 1— tan2a .
7）三角形的五心：
垂心一一三角形的三边上的高相交于一点
重心一一三角形三条中线的相交于一点外心一一三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点。