模糊控制的数学基础

A (B C) (A B) (A C)
A (B C) (A B，) (A C)
A (A B) A
A (A B) A
AU U,
A U A
A Ø A ， A Ø＝Ø
7．复原律
(ALeabharlann Baidu )c A
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8．互补律 A Ac U ,
A Ac Ø
9．对偶律
(A B)c Ac Bc (A B)c Ac Bc
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Fuzzy —— 模糊的，不分明的，边界不清的， 毛绒绒的。
所谓模糊性，主要是指客观事物彼此间的差 异在其中间过渡时的 “不分明性” 。
例如 “大与小” 、 “胖与瘦” 很难用精确 的数学语言划分出一条截然分明的界线。
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明确的概念可用经典集合描述。 经典集合的特征函数表示：
1, 当x A CA (x) 0 , 当x A
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5. 映射与关系
设有集合 X 和 Y ，若有一对应法则 f 存在，使得对
于集合 X 中任意元素 x ，有 Y 中唯一的元素 y 与之对应，
则称此对应法则 f 为从 X 到 Y 的映射，记为
f : X Y 称 X 为映射 f 的定义域，而集合
f (X ) { f (x) x X}
称为 f 的值域。
映射 f 是关系的特例。
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6. 集合的运算性质
设 A、B、C U，其并、交、补运算具有以下性质：
1．幂等律 2．交换律 3．结合律
4.分配律
5．吸收律 6．同一律
A A A, A A A
A B B A, A B B A
(A B) C A (B C)
(A B) C A (B C)
例：论域U={1, 2, 3, ……, 9} ，偶数集合A＝{2,4,6,8} 2. 描述法:
A= { x | P(x) } ，P(x)为x应满足的条件。 例 ：A={x∣x为偶数，x<10} 3. 特征函数法：
1, 当x A CA (x) 0 , 当x A
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三、集合的基本运算 1. “并” 运算（Union） A∪B={x | x∈Α或x∈Β} 2. “交” 运算 （Intersection） A∩Β={x | x∈Α且x∈Β} 3. “补” 运算（Complement）
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关系：对于给定集合 X 、 Y 的直积 X Y 上的一个子集 R，
称为 X 到 Y 的二元关系，简称为关系。对于 X Y 的元
素 (x, y)，若有 (x, y) R，则称 x 与 y 相关，记为 x R y
否则 (x, y) R ，记为 x R y 。 设 f : X Y ，显然有{(x, y) y f (x)} X Y ，可见
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2.2.2 模糊集合 一、模糊集合的定义
模糊集合往往是某一论域 U 的子集，所以人们在谈论 模糊集合时，常常习惯称它为“模糊子集”。1965年，
Zadeh将模糊子集定义为：
设给定论域 U ，u 为 U 上的一个元素，U 到闭区间
0,1 的任一映射 A
A :U 0 , 1
都确定 U 的一个模糊子集 A， A 称为模糊子集 A 的 隶属函数，A(u) 称为 u 对于 A 的隶属度。隶属度也可记 为 A(u) ，它表示某元素 u 属于模糊集合 A 的程度。U 上
第二章 模糊控制的数学基础
2.1 概述
2.1.1 模糊概念与模糊数学的诞生
内涵和外延是描述概念的两个方面 有些概念在特定的场合是有明确外延的，例如华工的学生、正数、 省会城市、6岁以下的儿童等等。
还有些概念是没有一个清晰的外延的，例如年轻人、高个子、好 学生、能力强、闷热、凉快等等。这些概念就是模糊概念。
查德提出的表示法是，当 U为有限集{u1,u2 ,un} 时， U上的模糊集 A可表示为
随机性——统计数学
模糊性——模糊数学
随机性：事件本身的性态和类属是确定的 模糊性：事件本身的性态和类属是不确定的
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2.2 模糊集合
2.2.1 普通集合
一、基本概念
1. 论域（Universe of discussion）
将考虑的议题局限在一定的范围内，该范围称为论域。
2. 元素（Element）
论域中的每个对象称为元素。
Ac=｛x | x Α且x∈U｝
4. 集合的直积 设有两个集合A和B，A和B的直积A×B定义为
A×B={（x,y）|x∈А,y∈В} 上述定义表明，在集合А中取一元素x，又在集合Β中取一 元素y，就构成了（x，y）“序偶”，所有的（x，y）又构
成一个集合，该集合即为A×B。直积又称为笛卡尔积、 叉积。
的模糊集合的全体记为 F(U )。
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例2-1 以年龄为论域，取 X 0 ,100。Zadeh给出“年轻”
的模糊集 Y ，其隶属函数是
1,
Y
(
x)
1
(
x
25 5
)2
1
,
0 x 25 25 x 100
图2-4 “年轻”的隶属函数曲线
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二、模糊集合的表示法
1. 查德（Zadeh）表示法
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美国加里福尼亚大学控制论专家扎德 （L.A.Zadeh）教授1965年创立了模糊集合论， 用隶属函数代替经典集合论中的特征函数，隶属 函数在[0, 1]间连续取值，以此来描述模糊现象的 中间过渡性，突破了经典集合论中或不属于的绝 对关系。
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2.1.2 精确性、模糊性与随机性
确定性——经典数学
不确定性
3. 集合（Set）
给定一个论域，其中具有相同属性的确定的可以彼此区别的元素的 全体称为集合。
4. 全集、空集、子集
全集：集合中包含了论域中的全部元素。
空集：不包含论域中任何元素的集合称为空集，记为Ø。
子集（Subset）：对于x A x B , 称为A为B的一个子
集,
A B
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二、集合的表示法 1. 列举法：
经典数学建立在德国数学家乔•康托（G•Contor）创立的 经典集合论之上，可用来描述客观世界存在的确定性事件， 但对模糊性事件则无能为力。
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控制论的创始人维纳（Norbert Wiener） 在谈到人为什么能胜过任何最完善的机器时， 强调说：“人具有运用模糊概念的能力”。
如何使计算机能够模拟人脑思维的模糊性 特点，使部分自然语言作为算法语言直接进入 计算机程序，让计算机完成更复杂的任务，这 正是模糊数学诞生的直接背景。