导数与微分知识点

第二章 导数与微分

一、导数

1．导数的定义: 由“变速直线运动的瞬时速度”、“平面曲线的切线斜率”引出 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量()()00x f x x f y -∆+=∆。如果极限 ()()x

x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000lim

lim

存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0

x x y ='

，

0x x dx dy =，()0

x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，

则称函数()x f y =在点0x 处不可导。

注：函数()x f 在0x 处的导数，就是导函数f ’(x)在点在0x 处的函数值，即()0x f '=f ’(x)|x=x0。 多数情况下用求导法则，有时用定义求导更方便。如题中函有f(x)，而不是具体的方程时。 2、单侧导数

右导数：()()()()()

x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='++

→∆→+000000lim lim 0

左导数：()()()()()x

x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='--

→∆→-000000lim lim 0

则有

()x f 在点0x 处可导()x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 3、导数的几何意义

如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线

()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即：()0x f '=K=tan a 。

切线方程：()()()000x x x f x f y -'=-

法线方程：()()

()()()01

0000≠'-'-

=-x f x x x f x f y 注：切线与法线垂直，切线的斜率与法线的斜率乘积为负1，即：K 切 * K 法 = -1。 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为()t f S =，如果()0t f '存在，则

()0t f '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。

4．函数的可导性与连续性之间的关系

如果函数()x f y =在点0x 处可导，则()x f 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数

()x f y =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导。例如，()x x f y ==，在00=x 处连

续，却不可导。

5、求导

a)、基本初等函数的导数公式

)(0为常数C C =' )()(1为实数u ux x u u -='

a x x a ln 1)(log =

' x

x 1

)(ln =' a a a x x ln )(=' x x e e =')(

x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' x x 2sec )(tan =' x x 2csc )(cot -='

x x x tan sec )(sec =' x x x cot csc )(csc -=' 2

11)(arcsin x

x -=

' 2

11)(arccos x

x --

='

211)(arctan x x +=

' 2

11

)cot (x x arc +-

=' 注：正正余负

b)、函数的和、差、积、商的求导法则

)()(])()([x v x u x v x u '±'='± )()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'=' ))((])([为常数C x u C x Cu '='

)

()

()()()(])()([

2x v x v x u x v x u x v x u '-'=' ),0)(()

()

(])([2为常数C x v x v x v C x u C ≠'-=' c)、复合函数的求导法则

的导数为则复合函数设)]([),(),(x f y x u u f y ϕϕ===

{})()()]([x u f x f dx

du du dy dx dy ϕϕ'•'='•=或 d)、反函数的求导法则

的反函数，则是设)()(y x x f y ϕ==

dy

dx

1

dx dy )0)(()(1)(=

≠'=

'或y y x f ϕϕ 注：反函数的导数等于直接函数导数的倒数；先求出原函数的导数的倒数，再把里面的y 换成反函数的x 。 例：

e)、隐函数求导 方程两端同时对x 求导，遇到含有y 项，先对y 求导，再乘以y 对x 的导数y '，得到一个含有y '的方程式，然后从中解出y '即可

例1：x^2*y^5 +y^2 =6x +2 +x^5 (2x*y^5 + x^2 * 5y^4 *y ’) + 2y*y ’ =6+0+5x^4 例2：每一次对x 求导，把y 看作中间变量，然后解出'

y 例：765)23sin(=++-++y x y x e

y

x ，确定)(x y y =，求'y

解：两边每一项对x 求导，把y 看作中间变量 065)23)](23[cos()1('''=++--+++y y y x y e

y

x 然后把'y 解出来

f)、对数求导法：当遇到某些情况下，如幂函数、一重根号、多重根号，此时转换成

特殊的对数In 形式

例：取对数后，用隐函数求导法则

)

4)(3()

2)(1(----=

x x x x y