(浙江专用)2021届高考数学一轮复习第二章不等式2.2基本不等式与不等式的综合应用课件

2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).
(2)
ab
b +a
≥2(a,b同号).
(3)ab≤
a
b 2 2 (a,b∈R).
(4)
a2 b2 ≥ a b ≥
2
2
ab
≥
1
2
1
(a,b∈R+).
ab
3.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最① 小 值② 2 p (简记:积定和最小).
(2)由题意得,-2≤m≤2,设g(m)=(x2-1)m+(1-2x),则由题意可得g(m)<0,故有
g g
(-2) 0, (2) 0,
即
-2x2 -2x 3
2
x
2
-2
x-1
0,
0,
解得-1
2
7
<x<1
2
3
,
所以x的取值范围为
x
|
-1 2
7
x 1 2
3
.
方法总结 1.一元二次不等式恒成立的条件 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
则
g g
(-1) 1 a 2a-2 (1) 1-a 2a-2
3a-1 a-1 0,
0,
解得a≤1 .
3
∴实数a的取值范围为
-
,
1 3
.
答案
-
,
1 3
例3 (2018河南中原名校期中联考,18)已知不等式mx2-2x-m+1<0.
(1)若对于所有的实数x,不等式恒成立,求m的取值范围;
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
2
4
8
16
(3)(2019广东化州第一次模拟)若正数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值
时,x+2y的值为 ( )
A. 24 B.2 C. 28 D.5
5
5
解题导引 (1)要求b2 的最小值,需要找a与b之间满足的关系.如何找出这
a
个关系?b用a表示之后,如何用基本不等式求最值?
2n
2n
所以每个半圆柱型大棚的表面积(不含与地面接触的面)S=πr2+πr·AD=π×
100-n 2n
2
+π×49.5×100-n
2n
,
则f(n)=10nS+31.4×1×49.5(n-1)
=10n
π
100-n 2n
2
π
49.5
100-n 2n
+31.4×1×49.5(n-1)
16
大值为 1 .
16
解法二:mn=
1 4
·4m·n≤1
4
4m 2
n
2
=1
16
,当且仅当4m n,4m n
1,
即m=1
8
,n=1
2
时取“=”.故选D.
(3)∵x+3y=5xy,x>0,y>0,∴
1 5y
+
3 5x
=1,∴3x+4y=(3x+4y)
1 5y
3 5x
=13
5
+
3x 5y
解题导引 (1)主要是求半个圆柱的侧面积及两个半圆的面积之和,先求出 每个半圆柱型大棚的底面半径,再求每个半圆柱型大棚的表面积(不含与 地面接触的面). (2)设每个半圆柱型大棚的底面半径为r m,由已知条件知,n个半圆柱型大 棚间有(n-1)个1米宽的空地,分析出n,r之间的关系,即2nr+(n-1)×1=99,再把r 用n表示出来,将总建设造价均用n表示,求出费用关于n的函数关系,再求其 取最小值时n的值.
(1)f(x)>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立的条件是
a
Δ
0, b2
-4ac
0(或
0).
(2)f(x)<0(或≤0)对于一切x∈R恒成立的条件是
a
Δ
0, b2
-4ac
0(或
0).
(3)当a>0时,
f(x)>0在x∈[α,β]上恒成立⇔-
b 2a
α,
或α
-
b 2a
β,
或
f (α) 0 Δ 0
s2
(2)如果x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最③ 大 值④ 4 (简记:
和定积最大).
注意 (1)求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一 正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值, “三相等”是指等号成立. (2)连续使用基本不等式时,等号要同时成立.
+
4y 5x
×3≥13 +2 3x 12 y =5,当且仅当 3x =12 y ,即x=2y=1时取等号,x+2y的值为2.
5 5y 5x
5y 5x
故选B.
答案 (1)B (2)D (3)B 方法总结 利用基本不等式求最值应满足的三个条件 (1)一正:各项或各因式均为正; (2)二定:和或积为定值; (3)三相等:各项或各因式能取到使等号成立的值. 简记:一正、二定、三相等. 如果解题过程中不满足上述条件,那么可进行拆分或配凑因式,以满足以上 三个条件.
高考数学
§2.2 基本不等式与不等式的综合应用
考点清单
考点一 基本不等式及其应用
1.基本不等式
基本不等式
不等式成立的条件
等号成立的条件
ab≤
ab 2
a>0,b>0
ab
其中 2 为正数a,b的算术平均数,
a=b
ab为正数a,b的几何平均数,基本不等
式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.
解析 (1)当m=0时,不等式mx2-2x-m+1<0可化为1-2x<0,显然对所有的实
数x,不等式不恒成立.∴m≠0.设f(x)=mx2-2x-m+1,
∵f(x)<0恒成立,∴
m 0, 4-4m(1-m)
0, 解得
m∈⌀.
综上可知,不存在使不等式恒成立的实数m.
解析 设每个半圆柱型大棚的底面半径为r m.
(1)当n=20时,共有19个空地,所以r= 99-191=2,
2 20
所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)为πr2+πr·AD=π×22+2π×49.5
=103π(m2).
(2)设两项费用的和为f(n)元.
因为r= 99-(n-1) 1 =100-n ,
解析 ∵f(t2-2)+f(2a-at)≥0,∴f(t2-2)≥-f(2a-at), 又f(x)是奇函数, ∴f(t2-2)≥f(at-2a),又f(x)为减函数, ∴t2-2≤at-2a对任意的t∈[-1,1]恒成立. ∴t2-at+2a-2≤0对任意的t∈[-1,1]恒成立.令g(t)=t2-at+2a-2,
考点二 不等式的综合应用
不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题 (1)恒成立问题:若f(x)在区间D上存在最小值,则不等式f(x)>A在区间D上恒 成立⇔f(x)min>A(x∈D); 若f(x)在区间D上存在最大值,则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<B (x∈D). (2)能成立问题:若f(x)在区间D上存在最大值,则在区间D上存在实数x使不 等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D); 若f(x)在区间D上存在最小值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立 ⇔f(x)min<B(x∈D). (3)恰成立问题:不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D;不等式 f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.
知能拓展
考法一 利用基本不等式求最值
例1 (1)(2019福建福州期中,7)已知一次函数y=2x+1的图象过点P(a,b)(其 中a>0,b>0),则 b2 的最小值是 ( )
a
A.1 B.8 C.9 D.16 (2)(2018黑龙江哈尔滨三中一模)函数y=loga(x-3)+1(a>0且a≠1)的图象恒 wk.baidu.com定点A,若点A在直线mx+ny-1=0上,其中m>0,n>0,则mn的最大值为 ( )
b 2a
β,
f(x)<0在x∈[α,β]上恒成立⇔
f (β) 0;
f f
(α) (β)
0, 0.
f (α) 0,
(4)当a<0时,
f(x)>0在x∈[α,β]上恒成立⇔
f
(β
)
0;
f(x)<0在x∈[α,β]上恒成
立⇔-
b 2a
α,
或α
-
b 2a
β,
或-
b 2a
β,
f (α) 0 Δ 0
考法二 一元二次不等式恒成立问题的解法
例2 (2019山西吕梁第一次阶段性测试(改编))已知在R上单调递减的函数
f(x)是奇函数.若对于任意的t∈[-1,1],不等式f(t2-2)+f(2a-at)≥0恒成立,则实
数a的取值范围是
.
解题导引 第一步,先利用函数f(x)的奇偶性、单调性,找出t2-2与2a-at的大 小关系;第二步,由t∈[-1,1]及恒成立条件明确主变量;第三步,将不等式恒 成立问题转化为函数值恒非负问题,此处是一个关于t的二次函数,当t∈[-1, 1]时恒小于或等于0的问题.
a
a
a
2 4a 1 +4=8,当且仅当4a= 1 ,即a= 1 时取“=”,所以 b2 的最小值为8.故
a
a
2
a
选B.
(2)由x-3=1得x=4,
∴函数y=loga(x-3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(4,1),∵点A在直线mx+ ny-1=0上,∴4m+n=1,
解法一:∵1=4m+n≥2 4m n ,当且仅当4m=n时取等号,∴mn≤ 1 ,∴mn的最
f (β) 0.
2.对于参数易分离的一元二次不等式恒成立问题,可以分离参数转化为求 具体函数的最值问题.同时一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地,知道 谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数.
实践探究
例 (2019江苏盐城三模,20)某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草 莓,其中AB=99 m,AD=49.5 m.现规划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大 棚n(n∈N*)个,每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄 膜(接头处忽略不计),塑料薄膜的价格为每平方米10元;另外,还需在每两个 大棚之间留下1 m宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF=1 m), 这部分的建设造价为每平方米31.4元. (1)当n=20时,求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积;(结果保留π) (2)试确定大棚的个数,使得上述两项费用的和最低.(π取3.14)
(2)与(1)有什么相似之处?函数图象所过定点如何求出?m与n之间的关系是
什么?如何用m,n间的关系求mn的最大值?
(3)与前两个小题有什么不同之处?要求3x+4y的最小值,如何使用x+3y=5xy
这个条件?能否把x+3y=5xy化成一边为常数“1”的形式?如何构造“和
定”或“积定”?
解析 (1)将P(a,b)代入y=2x+1得到b=2a+1,从而b2 = 4a2 4a 1 =4a+ 1 +4≥