机械振动基础第三章PPT

连续系统的振动
• 实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量 与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。 • 由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标， 因此连续体是具有无限多自由度的系统。
• 连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运 动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组 ，它是偏微分方程。
c1 0
cos
l
a0
0
模态函数： i ( x) ci sin(
i a , i 1,3,5,... 2 l i
2l
x), i 1,3,5,...
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( x) c1 sin
x
a0
c2 cos
x
a0
u ( x, t ) ( x)q(t )
x
a0
c2 cos
x
a0
u ( x, t ) ( x)q(t ) 17
3.2 杆的纵向振动
左端自由，右端固定
特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零 边界条件 ： 得： (l ) 0 固有频率： i
0 l
x
u(l , t ) 0
(0) 0
u (0, t ) ES 0 x
tg (l / a0 ) ES 常数 l / a0 kl
频率方程
振型函数： i ( x) ci sin
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a0
x
u ( x, t ) ( x)q(t )
( x) c1 sin x
a0 c2 cos
x
a
21 0
3.2 杆的纵向振动 例：
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程 。
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2015年11月28日
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3.2 杆的纵向振动 • 固有频率和模态函数
以等直杆的纵向振动为对象
0
p( x, t )
x
l
2 2u u 1 2 方程： a0 p( x, t ) a0 E / 2 2 S t x 2 2u u 2 a0 纵向自由振动方程： 2 t x 2
i a 2i 1 a , i 1,3,5,... ) , i 1,2,... 或： i 2 l 2 l 2i 1
2 l x), i 1,2,...
i i ( x) ci sin( x), i 1,3,5,... 2l
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( x) c1 sin
c1 0
0 l
x
cos
l
a0
0
ia0 固有频率： i , (i 0,1,2,) l ix 模态函数： i ( x) ci cos (i 0,1,2,) l
频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同 零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移 x x ( x) c1 sin c2 cos u ( x, t ) ( x)q(t )16 2015年11月28日 a0 a0
ia0 , l ix i ( x) ci sin l
(i 0,1,2,)
(i 0,1,2,)
3.2 杆的纵向振动
（2）两端自由
特征：自由端的轴向力为零 边界条件 ： ES 得： 得出：
u (l , t ) u (0, t ) ES 0 0 x x (l ) 0 (0) 0
'' (t ) q ( x) 2 a0 q(t ) ( x)
记：
2
q (t ) 2 q (t ) 0 2 ( x ) ( ) ( x) 0 a0
通解： q(t ) a sin(t )
( x) c1 sin
q(t ) 不能恒为零
代入模态函数
故： (0) 0
得： c2 0
sin
l
a0
(l ) 0
0（杆的纵向振动频率方程 ）
无穷多个固有频率： i 模态函数 ：
由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去 x x ( x) c1 sin c2 cos a0 a0 15 2015年11月28日
2 I p dx 2 t
I p dx ：微段绕轴线的转动惯量
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3.1 一维波动方程
达朗贝尔原理： 2 T I p dx 2 (T dx) T pdx
t x
p( x, t )
0
2 T p ( x, t ) 即： I p 2 t x 材料力学： T GI p x 2 代入，得： I p 2 (GI p ) p ( x, t ) t x x
3.1 一维波动方程
微段分析
p( x, t )
0
dx
u
x x
dx
u dx x
u p( x, t )dx
F
l
F
F dx x
u( x, t )
杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移
(u u dx) u u x dx x
u x
2u Sdx 2 x
微段应变：

(i 1,2)
u ( x, t ) ai i sin(i t i )
i 1
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3.2 杆的纵向振动 几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定 特征：两端位移为零 边界条件： u(0, t ) (0)q(t ) 0
0 l
x
u(l , t ) (l )q(t ) 0
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3.2 杆的纵向振动
0 l
x
0 l
x
(0) 0
cos
(l ) 0
边界条件
(l ) 0
cos
(0) 0
l
a0
0
频率方程
l
a0
0
i
i a , i 1,3,5,... 2 l
固有频率
i
i a , i 1,3,5,... 2 l
i i ( x) ci sin( x), i 1,3,5,... 2l
x
a0
c2 cos
x
a0
c1 , c2 , 由杆的边界条件确定 （确定杆纵向振动的形态，称为模态 ）
与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数 ，表示各坐标振幅的相对比值
由频率方程确定的固有频率 有无穷多个 i
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（下面讲述）
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3.2 杆的纵向振动
2 2u 2 u a0 2 t x 2
a0 E /
2 2u 1 2 u a p( x, t ) 0 2 有： t 2 S x
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弹性纵波沿杆的纵向传播速度
6
3.1 一维波动方程
（2）弦的横向振动
弦两端固定，以张力 F 拉紧 在分布力作用下作横向振动
F
o x
dx
y
y( x, t ) p( x, t )
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3.1 一维波动方程 小结：
（1）杆的纵向振动
2 2u 1 2 u a p( x, t ) 0 2 2 S t x
（2）弦的横向振动 （3）轴的扭转振动
2 2 y 1 2 y a0 p( x, t ) 2 2 t x
2 2 1 2 a p ( x, t ) 0 2 2 t x I p
• 在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差 别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系 统是完全类似的。
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说 明
（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性 体，即在弹性范围内服从虎克定律。
（2）材料均匀连续；各向同性。 （3）振动满足微振动的前提 。
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F
x
dx
F

dx x

单位长度弦的质量
p( x, t ) 单位长度弦上分布的作用力
建立坐标系 xoy

F
pdx
y( x, t ) 弦上距原点 x 处的横截面在 t 时刻的横向位移
微段受力情况 令： a0 E /
2 y dx 2 t
2 y dx F ( dx) F p( x, t )dx 达朗贝尔原理： 2 x t
杆参数： 截面的极惯性矩 Ip 材料密度 切变模量 G
x
dx
x
微段 dx 受力
pdx
T
p( x, t ) ：单位长度杆上分布的外力偶矩
T T dx x
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
( Leabharlann Baidu, t ) 为杆上距离原点 x 处的截面在时
刻 t 的角位移 截面处的扭矩为 T
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u( x, t ) ( x)q(t )
( x) c1 sin
一一对应
q(t ) a sin(t )
x
a0
c2 cos
x
a0
i
第 i 阶主振动：
i ( x)
u (i ) ( x, t ) aφ it i ), i i ( x) sin(
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：
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模态函数
i i ( x) ci sin( x), i 1,3,5,... 2l
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3.2 杆的纵向振动 例： 一均质杆，左端固 定，右端与一弹簧 连接。
k
0
x
l
推导系统的频率方程。
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3.2 杆的纵向振动 解：
边界条件：
0
k
l
x
u (l , t ) u (0, t ) 0 ku (l , t ) ES x (0) 0 k (l ) ES (l , t ) x l l k sin ES cos 得出： c2 0 a0 a0 a0
横截面上的内力：
F ES ES
2u F 由达朗贝尔原理： Sdx 2 ( F dx) F p( x, t )dx x t
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3.1 一维波动方程
p( x, t )
0
x x
dx
u( x, t )
杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移
x
dx
x
微段 dx 受力
pdx
T
T T dx x
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程 对于等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数
2 2 1 2 p ( x, t ) 有： 2 a0 2 t x I p
2 I p dx 2 t
a0
G
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剪切弹性波的 纵向传播速度
假设杆的各点作同步运动，即设 ： u( x, t ) ( x)q(t ) q(t) 表示运动规律的时间函数
( x) 杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅
代入，得：
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( x) (t ) q 2 a0 q(t ) ( x)
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3.2 杆的纵向振动
l
F ES ES u x
横截面上的内力：
2u F 由达朗贝尔原理： Sdx 2 ( F dx) F p( x, t )dx x t 2u u S 2 ( ES ) p( x, t ) 代入，得： x x t
杆的纵向强迫振动方程 对于等直杆，ES 为常数
3
3.1 一维波动方程 • 动力学方程
（1）杆的纵向振动
p( x, t )
0 l
讨论等截面细直杆的纵向振动 杆参数：杆长 l
材料密度 截面积 S 弹性模量 E
x
假定振动过程中各横截面仍保持为平面 忽略由纵向振动引起的横向变形
p( x, t ) 单位长度杆上分布的纵向作用力
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3.2 杆的纵向振动
（3）一端固定，一端自由
特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零 边界条件 ： 得： (0) 0 固有频率： i (
0 l
x
u (0, t ) 0
(l ) 0
u (l , t ) ES 0 x
c2 0
cos
l
a0
0
模态函数： i ( x) ci sin(
y 并考虑到： x
2 2 y 1 2 y a p( x, t ) 得： 0 2 2 t x
a0 弹性横波的纵向传播速度
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弦的横向强迫振动方程
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3.1 一维波动方程
（3）轴的扭转振动
p( x, t )
0
细长圆截面等直杆在分布 扭矩作用下作扭转振动
一均质杆，左端固 定，右端与一集中 质量M固结。