高中数学证明不等式的基本方法
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2 2 2
a b c (1)a + b + c ≥ 3; ( 2) + + ≥ 3 ( a + b + c ). bc ac ab 20.已知实数 a , b, c满足 c < b < a , a + b + c = 1, a 2 + b 2 + c 2 = 1, 4 求证 : 1 < a + b < . 3
证明不等式的常用技巧
放缩
常见类型 1、添项或减项的“添舍”放缩 、添项或减项的“添舍” 2、函数的单调性放缩 、 3、重要不等式放缩（包括基本不等式、真分数性质） 、重要不等式放缩（包括基本不等式、真分数性质） 4、利用二项式定理进行放缩 、 5、拆项对比的分项放缩，如： 、拆项对比的分项放缩，
添、减项放缩
[题组1] 1.已知a , b, c , d ∈ R + , 求证 a b c d 1< + + + < 2. a+b+d b+c+a c+d +b d +a+c 2.若a , b, c ∈ R, 求证：a 2 + ab + b 2 + a 2 + ac + c 2 ≥ a + b + c . 求证： n( n + 1) ( n + 1) 2 3.设S n = 1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + L + n ⋅ ( n + 1) , 求证： 求证： < Sn < . 2 2 1 1 1 1 4.(85上海 )求证： + )(1 + )(1 + )L(1 + 求证： (1 ) ≥ 2n + 1( n ∈ N *). 1 3 5 2n − 1
取特殊值， 常见的不等式： 对m , n取特殊值，可得到以下 常见的不等式： a 2 + b 2 ≥ ab + ab = 2ab, a 3 + b 3 ≥ a 2 b + ab 2 , a 4 + b 4 ≥ a 3b + ab 3 .
[题组3] 7.已知a , b是正实数，求证 (1)a a b b ≥ a b b a ; ( 2)a a b b ≥ (ab) 是正实数， 8.已知a , b, c是正数，求证 a 2a b 2b c 2 c ≥ a b + c b c + a c a + b . 是正数， 9.已知a > 2, 求证： a (a − 1) < log ( a +1) a . 求证： log 10.设a > 0, a ≠ 1,0 < x < 1.求证： a (1 − x ) > log a (1 + x ) . 求证： log
[题组 ] 题组2 4.若a > b > c，求证 bc 2 + ca 2 + ab 2 < b 2 c + c 2 a + a 2 b. 5.已知x , y ∈ R，求证 sin x + sin y ≤ 1 + sin x sin y . 6.已知a > 0, b > 0, m > 0, n > 0. 求证a m + n + b m + n ≥ a m b n + a n b m .
证明不等式的基本方法
比较法
比较法是最原始，也是最常用的证明不等式的方法 比较法是最原始，也是最常用的证明不等式的方法. 作差比较 • 直接作差 • 平方作差 • 取对数作差 方法综述 • …… 作商比较(同号的时候才能用 同号的时候才能用) 作商比较(同号的时候才能用) 作差后常见的处理方法： 作差后常见的处理方法： 配完全平方 因式分解 有理化 分类讨论 ……
Leabharlann Baidu
[题组 4]( 课本习题 ) 11.已知a1 , a 2 ,L , a n ∈ R + , 且a1a 2 L a n = 1, 求证(1 + a1 )(1 + a 2 )L (1 + a n ) ≥ 2 n . a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 12.已知a , b, c > 0, 求证 ≥ abc . a+b+c 13.已知a , b, c ∈ R + , 求证 2(a 3 + b 3 + c 3 ) ≥ a 2 (b + c ) + b 2 (a + c ) + c 2 (a + b ). 1 1 1 14.已知a > b > c , 求证 + + > 0. a −b b−c c−a 4 15.已知n > 0, 求证n + 2 ≥ 3. n 16.已知a , b, c为互不相等的实数 , 求证a 4 + b 4 + c 4 > abc(a + b + c ). 17.已知x , y , z ∈ R, a , b, c ∈ R + , 求证： 求证： b+c 2 c+a 2 a+b 2 x + y + z ≥ 2( xy + yz + zx ). a b c
[ 题组5]
三角换元
x2 y2 = 1上，求证 : x + y ≤ 13 . 15.已知点 M ( x , y )在椭圆 + 9 4 都是实数， 16.已知a , b, c , d都是实数，且 a 2 + b 2 = r 2 , c 2 + d 2 = R 2 ( r > 0, R > 0)， r 2 + R2 求证： | . 求证：ac + bd |≤ 2 17.已知a , b ∈ R, a 2 + b 2 ≤ 4, 求证：3a 2 − 8ab − 3b 2 |≤ 20. 求证： |
(1)a 2 ≥ 0; ( 2) a ≥ 0; (3)a 2 + b 2 ≥ 2ab的变式： 的变式： 1 a 2 + b 2 ≥ 2 ab ≥ ±2ab, a 2 + b 2 ≥ (a + b ) 2 , (a + b ) 2 ≥ 4ab, 2 a+b b a b a (4 ≥ ab ( a > 0, b > 0)及其变式： + ≥ 2(ab > 0), + ≤ −2(ab < 0) 及其变式： ） 2 a b a b (5)a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
1 1 1 1 1 2 1 2 < < > , 2 > , , 2 k k ( k − 1) k k ( k + 1) k k + k −1 k k + k +1 1 1 1 1 < , < n −1 n! n( n − 1) n! 2
方法综述
1、放缩成等比数列或可裂项求和的数列 2、适当调整从第几项开始放缩 3、注意放缩的幅度
增量代换：在对称式(任意互换两个字母 代数式不变) 增量代换：在对称式 任意互换两个字母 代数式不变 任意互换两个字母,代数式不变 和给定字母顺序(如 ＞ ＞ 的不等式 的不等式,可以增量进行 和给定字母顺序 如a＞b＞c)的不等式 可以增量进行 代换,代换的目的是减少变量的个数 使问题化难为易, 代换的目的是减少变量的个数, 代换 代换的目的是减少变量的个数 使问题化难为易 化繁为简。 化繁为简。
能求和的， 能求和的，先求和再放缩 不能求和的，先放缩再求和 不能求和的，
[ 题组 4]
二项式定理放缩
n
1 12 .求证：对一切 n ∈ N * ，都有 2 ≤ 1 + < 3. 求证： n 2 13 .数列{a n }的通项 a n = n，求证： a n < 求证： + 1. n 14 .已知各项均为正数的数 列{a n }满足 : 在 n ∈ N * 且 n > 1时，有
证明不等式的常用技巧
换元
方法综述
三角换元的常见类型 三角换元的常见类型
(1)若x2 + y2 = r 2，可设 = r cosα, y = r sinα; x (2)若x2 + y2 ≤ k 2，可设 = r cosα, y = r sinα;(0 ≤ r ≤ k) x x2 y 2 (3)若 2 + 2 = r 2，可设 = ra cosα, y = rb sinα; x a b (4)对于 1− x2，可设 = cosθ或x = sinθ; x (5)对于 1+ x2，可设 = tanθ或x = cotθ; x (6)若x + y + z = xyz，可设 = tan A, y = tan B, z = tan C.( A + B + C = π ) x
k =1 n
11.已知函数 f ( x ) =
5 + 2x , 设正项数列{a n }满足a1 = 1, a n+1 = f (a n ). 16 − 8 x
5 (1)比较a n与 的大小，并说明理由. 的大小， 4 5 1 ( 2)设数列{bn }满足bn = − a n , 记S n为{bn }的前n项和, 求证：当 n ≥ 2时, S n < ( 2 n − 1). 求证： 4 4
*与“1”有关的证明
[ 题组 5] 18.已知 a , b, c ∈ R + , 且 a + b + c = 1, 求证 : 1 1 (1)a + b + c ≥ ; ( 2) a + b + c ≤ 3; (3)ab + bc + ca ≤ . 3 3 19.已知 a , b, c ∈ R + , 且 ab + bc + ca = 1, 求证 :
n 2 2 a n a n −1 − 2 = 1, a1 = 6 . 2 6n 6n (1)求数列{a n }的通项公式； 的通项公式；
( 2 )证明 : 在 n ≥ 5时， a n ≤ n ⋅ 2 n +1 + 2 n − 4 n − 2 .
用二项式定理进行放缩证明不等式的常见方法： 用二项式定理进行放缩证明不等式的常见方法： (1)保留前面若干项或保留前后对称的若干项； (1)保留前面若干项或保留前后对称的若干项； 保留前面若干项或保留前后对称的若干项 (2)对通项进行放缩，再利用数列求和的知识. (2)对通项进行放缩，再利用数列求和的知识. 对通项进行放缩
·
·
·
3 π S n , 求证： Tn < 求证： . 2
[题组3]
n
a a a n −1 9.已知a n = 2 − 1, 证明 1 + 2 + L + n > . a 2 a3 a n+1 2
放缩成等比数列
an . bn
10.已知数列{a n }{bn } {x n }满足a1 = b1 = 2, a n+1 = bn+1 + 4bn , bn+1 = a n + bn , x n = 、 、 (1)填空当 n ≥ 2时, x n ____ 1(填 > 、 、 ，不必证明); ( 2)试用x n 表示x n+1; = < (3)求证：x n+1与x n中一个比 5大 , 另一个比 5小, 并说明x n+1与x n中哪一 求证： ( 4 求证： 个更接近于 5； )求证： x k − 5 < 5 + 1. ∑
a +b 2
.
证明不等式的基本方法
综合法、 综合法、分析法
方法综述
常利用分析法找思路，综合法表述， 常利用分析法找思路，综合法表述，或分析综合结合 运用“ 等代数变形技巧， 运用“添”、“拆”、“并”等代数变形技巧，灵活 使用一些常用不等式 关注“ 这个常见条件 关注“1”这个常见条件
1、运用拆、并项等技巧，凑成能运用基本不等式的形式。 2、熟悉一些已证过的常用不等式形式：
[ 题组 2] 1 5 .求证 − 2 1 6 .求证 + 9
1 1 1 1 n −1 < 2 + 2 +L+ 2 < ( n = 2 ,3, 4, L) n +1 2 3 n n 1 1 1 +L+ < . 2 ( 2 n + 1) 25 4
放缩成裂项求和
1 1 1 + +L+ < 2 n. 2 3 n 8 .在 xoy 平面上有一系列点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), L Pn ( x n , y n ), L , 7 .求证 2( n + 1 − 1) < 1 + 对每个非零自然数 n , 点 Pn 位于函数 y = x 2 ( x > 0 )的图象上 , 以点 Pn为圆心的圆与 x轴都相切 , 且圆 Pn与圆 Pn +1又彼此外切 , 若 x1 = 1, 且 x n +1 < x n ( n ∈ N *). 1 (1)求证：数列 是等差数列； 求证： 是等差数列； xn ( 2 ) 设圆 Pn的面积为 S n , Tn = S1 + S2 + L +
比较法证明不等式
[题组1] 1.已知ad ≠ bc，求证 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) > (ac + bd ) 2 . 2.已知a ≠ b，求证 a 4 + 6a 2 b 2 + b 4 > 4ab(a 2 + b 2 ). 3.若a , b, m , n都是正数 , 且m + n = 1，证明 ma + nb ≥ m a + n b .
a b c (1)a + b + c ≥ 3; ( 2) + + ≥ 3 ( a + b + c ). bc ac ab 20.已知实数 a , b, c满足 c < b < a , a + b + c = 1, a 2 + b 2 + c 2 = 1, 4 求证 : 1 < a + b < . 3
证明不等式的常用技巧
放缩
常见类型 1、添项或减项的“添舍”放缩 、添项或减项的“添舍” 2、函数的单调性放缩 、 3、重要不等式放缩（包括基本不等式、真分数性质） 、重要不等式放缩（包括基本不等式、真分数性质） 4、利用二项式定理进行放缩 、 5、拆项对比的分项放缩，如： 、拆项对比的分项放缩，
添、减项放缩
[题组1] 1.已知a , b, c , d ∈ R + , 求证 a b c d 1< + + + < 2. a+b+d b+c+a c+d +b d +a+c 2.若a , b, c ∈ R, 求证：a 2 + ab + b 2 + a 2 + ac + c 2 ≥ a + b + c . 求证： n( n + 1) ( n + 1) 2 3.设S n = 1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + L + n ⋅ ( n + 1) , 求证： 求证： < Sn < . 2 2 1 1 1 1 4.(85上海 )求证： + )(1 + )(1 + )L(1 + 求证： (1 ) ≥ 2n + 1( n ∈ N *). 1 3 5 2n − 1
取特殊值， 常见的不等式： 对m , n取特殊值，可得到以下 常见的不等式： a 2 + b 2 ≥ ab + ab = 2ab, a 3 + b 3 ≥ a 2 b + ab 2 , a 4 + b 4 ≥ a 3b + ab 3 .
[题组3] 7.已知a , b是正实数，求证 (1)a a b b ≥ a b b a ; ( 2)a a b b ≥ (ab) 是正实数， 8.已知a , b, c是正数，求证 a 2a b 2b c 2 c ≥ a b + c b c + a c a + b . 是正数， 9.已知a > 2, 求证： a (a − 1) < log ( a +1) a . 求证： log 10.设a > 0, a ≠ 1,0 < x < 1.求证： a (1 − x ) > log a (1 + x ) . 求证： log
[题组 ] 题组2 4.若a > b > c，求证 bc 2 + ca 2 + ab 2 < b 2 c + c 2 a + a 2 b. 5.已知x , y ∈ R，求证 sin x + sin y ≤ 1 + sin x sin y . 6.已知a > 0, b > 0, m > 0, n > 0. 求证a m + n + b m + n ≥ a m b n + a n b m .
证明不等式的基本方法
比较法
比较法是最原始，也是最常用的证明不等式的方法 比较法是最原始，也是最常用的证明不等式的方法. 作差比较 • 直接作差 • 平方作差 • 取对数作差 方法综述 • …… 作商比较(同号的时候才能用 同号的时候才能用) 作商比较(同号的时候才能用) 作差后常见的处理方法： 作差后常见的处理方法： 配完全平方 因式分解 有理化 分类讨论 ……
Leabharlann Baidu
[题组 4]( 课本习题 ) 11.已知a1 , a 2 ,L , a n ∈ R + , 且a1a 2 L a n = 1, 求证(1 + a1 )(1 + a 2 )L (1 + a n ) ≥ 2 n . a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 12.已知a , b, c > 0, 求证 ≥ abc . a+b+c 13.已知a , b, c ∈ R + , 求证 2(a 3 + b 3 + c 3 ) ≥ a 2 (b + c ) + b 2 (a + c ) + c 2 (a + b ). 1 1 1 14.已知a > b > c , 求证 + + > 0. a −b b−c c−a 4 15.已知n > 0, 求证n + 2 ≥ 3. n 16.已知a , b, c为互不相等的实数 , 求证a 4 + b 4 + c 4 > abc(a + b + c ). 17.已知x , y , z ∈ R, a , b, c ∈ R + , 求证： 求证： b+c 2 c+a 2 a+b 2 x + y + z ≥ 2( xy + yz + zx ). a b c
[ 题组5]
三角换元
x2 y2 = 1上，求证 : x + y ≤ 13 . 15.已知点 M ( x , y )在椭圆 + 9 4 都是实数， 16.已知a , b, c , d都是实数，且 a 2 + b 2 = r 2 , c 2 + d 2 = R 2 ( r > 0, R > 0)， r 2 + R2 求证： | . 求证：ac + bd |≤ 2 17.已知a , b ∈ R, a 2 + b 2 ≤ 4, 求证：3a 2 − 8ab − 3b 2 |≤ 20. 求证： |
(1)a 2 ≥ 0; ( 2) a ≥ 0; (3)a 2 + b 2 ≥ 2ab的变式： 的变式： 1 a 2 + b 2 ≥ 2 ab ≥ ±2ab, a 2 + b 2 ≥ (a + b ) 2 , (a + b ) 2 ≥ 4ab, 2 a+b b a b a (4 ≥ ab ( a > 0, b > 0)及其变式： + ≥ 2(ab > 0), + ≤ −2(ab < 0) 及其变式： ） 2 a b a b (5)a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
1 1 1 1 1 2 1 2 < < > , 2 > , , 2 k k ( k − 1) k k ( k + 1) k k + k −1 k k + k +1 1 1 1 1 < , < n −1 n! n( n − 1) n! 2
方法综述
1、放缩成等比数列或可裂项求和的数列 2、适当调整从第几项开始放缩 3、注意放缩的幅度
增量代换：在对称式(任意互换两个字母 代数式不变) 增量代换：在对称式 任意互换两个字母 代数式不变 任意互换两个字母,代数式不变 和给定字母顺序(如 ＞ ＞ 的不等式 的不等式,可以增量进行 和给定字母顺序 如a＞b＞c)的不等式 可以增量进行 代换,代换的目的是减少变量的个数 使问题化难为易, 代换的目的是减少变量的个数, 代换 代换的目的是减少变量的个数 使问题化难为易 化繁为简。 化繁为简。
能求和的， 能求和的，先求和再放缩 不能求和的，先放缩再求和 不能求和的，
[ 题组 4]
二项式定理放缩
n
1 12 .求证：对一切 n ∈ N * ，都有 2 ≤ 1 + < 3. 求证： n 2 13 .数列{a n }的通项 a n = n，求证： a n < 求证： + 1. n 14 .已知各项均为正数的数 列{a n }满足 : 在 n ∈ N * 且 n > 1时，有
证明不等式的常用技巧
换元
方法综述
三角换元的常见类型 三角换元的常见类型
(1)若x2 + y2 = r 2，可设 = r cosα, y = r sinα; x (2)若x2 + y2 ≤ k 2，可设 = r cosα, y = r sinα;(0 ≤ r ≤ k) x x2 y 2 (3)若 2 + 2 = r 2，可设 = ra cosα, y = rb sinα; x a b (4)对于 1− x2，可设 = cosθ或x = sinθ; x (5)对于 1+ x2，可设 = tanθ或x = cotθ; x (6)若x + y + z = xyz，可设 = tan A, y = tan B, z = tan C.( A + B + C = π ) x
k =1 n
11.已知函数 f ( x ) =
5 + 2x , 设正项数列{a n }满足a1 = 1, a n+1 = f (a n ). 16 − 8 x
5 (1)比较a n与 的大小，并说明理由. 的大小， 4 5 1 ( 2)设数列{bn }满足bn = − a n , 记S n为{bn }的前n项和, 求证：当 n ≥ 2时, S n < ( 2 n − 1). 求证： 4 4
*与“1”有关的证明
[ 题组 5] 18.已知 a , b, c ∈ R + , 且 a + b + c = 1, 求证 : 1 1 (1)a + b + c ≥ ; ( 2) a + b + c ≤ 3; (3)ab + bc + ca ≤ . 3 3 19.已知 a , b, c ∈ R + , 且 ab + bc + ca = 1, 求证 :
n 2 2 a n a n −1 − 2 = 1, a1 = 6 . 2 6n 6n (1)求数列{a n }的通项公式； 的通项公式；
( 2 )证明 : 在 n ≥ 5时， a n ≤ n ⋅ 2 n +1 + 2 n − 4 n − 2 .
用二项式定理进行放缩证明不等式的常见方法： 用二项式定理进行放缩证明不等式的常见方法： (1)保留前面若干项或保留前后对称的若干项； (1)保留前面若干项或保留前后对称的若干项； 保留前面若干项或保留前后对称的若干项 (2)对通项进行放缩，再利用数列求和的知识. (2)对通项进行放缩，再利用数列求和的知识. 对通项进行放缩
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3 π S n , 求证： Tn < 求证： . 2
[题组3]
n
a a a n −1 9.已知a n = 2 − 1, 证明 1 + 2 + L + n > . a 2 a3 a n+1 2
放缩成等比数列
an . bn
10.已知数列{a n }{bn } {x n }满足a1 = b1 = 2, a n+1 = bn+1 + 4bn , bn+1 = a n + bn , x n = 、 、 (1)填空当 n ≥ 2时, x n ____ 1(填 > 、 、 ，不必证明); ( 2)试用x n 表示x n+1; = < (3)求证：x n+1与x n中一个比 5大 , 另一个比 5小, 并说明x n+1与x n中哪一 求证： ( 4 求证： 个更接近于 5； )求证： x k − 5 < 5 + 1. ∑
a +b 2
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证明不等式的基本方法
综合法、 综合法、分析法
方法综述
常利用分析法找思路，综合法表述， 常利用分析法找思路，综合法表述，或分析综合结合 运用“ 等代数变形技巧， 运用“添”、“拆”、“并”等代数变形技巧，灵活 使用一些常用不等式 关注“ 这个常见条件 关注“1”这个常见条件
1、运用拆、并项等技巧，凑成能运用基本不等式的形式。 2、熟悉一些已证过的常用不等式形式：
[ 题组 2] 1 5 .求证 − 2 1 6 .求证 + 9
1 1 1 1 n −1 < 2 + 2 +L+ 2 < ( n = 2 ,3, 4, L) n +1 2 3 n n 1 1 1 +L+ < . 2 ( 2 n + 1) 25 4
放缩成裂项求和
1 1 1 + +L+ < 2 n. 2 3 n 8 .在 xoy 平面上有一系列点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), L Pn ( x n , y n ), L , 7 .求证 2( n + 1 − 1) < 1 + 对每个非零自然数 n , 点 Pn 位于函数 y = x 2 ( x > 0 )的图象上 , 以点 Pn为圆心的圆与 x轴都相切 , 且圆 Pn与圆 Pn +1又彼此外切 , 若 x1 = 1, 且 x n +1 < x n ( n ∈ N *). 1 (1)求证：数列 是等差数列； 求证： 是等差数列； xn ( 2 ) 设圆 Pn的面积为 S n , Tn = S1 + S2 + L +
比较法证明不等式
[题组1] 1.已知ad ≠ bc，求证 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) > (ac + bd ) 2 . 2.已知a ≠ b，求证 a 4 + 6a 2 b 2 + b 4 > 4ab(a 2 + b 2 ). 3.若a , b, m , n都是正数 , 且m + n = 1，证明 ma + nb ≥ m a + n b .