第56讲 矩估计法(2)

§7.1 点估计矩估计法(2)

百度传课两个未知参数的例题

得 μ 1 =h (θ, λ)， μ2=g (θ, λ)

然后解出 θ = φ(μ1, μ2)， λ =ψ(μ1, μ2) 最后用样本一阶矩(即样本均值) A 1和样本二 阶矩 A 2 代替 μ 1 和 μ 2 ，得 θ 和 λ 的矩估计量

百度传课 如果有两个未知参数 θ 和λ ，则需求出总体

X 的一阶矩(数学期望) μ1= E (X )

和二阶矩 μ 2 = E (X 2) =D (X )+[E (X )]2

例

4

设总体

X 的均值μ且方差σ2>0 都存课在，但它们均未知。

设X

1

, X2, …,X n 是来自总体X 的样本，

试求μ和σ 2 的矩估计量。

解总体X 的一阶和二阶矩为

课例5 设使用仪器对一批零件的尺寸进行了12

次独立的测量，测量数据（单位：mm）如下：120.50120.54120.15120.41120.31121.02 120.14121.21120.87121.01120.10120.43

试用矩估计法估计总体的均值和方差。

解总体均值和方差的矩估计值分别为

百度传课

例6 (均匀分布的参数估计)

设总体X 在区间[a, b]上服从均匀分布,

a, b 为未知参数。

X1, X2, …,X n 是来自总体X的样本，试

求a, b 的矩估计量。

课 设总体 X 在区间[a , b ]上服从均匀分布,a , b 为

未知参数。X 1, X 2, …, X n 是来自总体X 的样 本，试求 a , b 的矩估计量。

解 未知参数是区间端点

先求总体X 的一阶矩(数学期望)和二阶矩。

2 2 12 1 a +b = (b -a ) +( ) 2

2 = E (X ) = 1 (a +b ) = E (X 2 ) = D (X ) +[E (X )]2

解出待估参数a 和b：

四川大学徐小湛

百度传课

得 a 和 b 的矩估计量：

a ˆ = A - 3(A - A 2

) 1 2 1 1 b ˆ = A + 3( A - A 2

)

2 1

其中 1

n

i

n A 1 = X = ∑ i =1

2 1 n

2

i

X n X A = ∑ i =1

四川大学 徐小湛

最后用样本一阶矩 A 1 (样本均值)和样本二阶矩 A 2 分别代替总体一阶矩μ1 和总体二阶矩 μ2，

百度传课

若有样本观察值 x 1, x 2, …, x n ， 则 a 和 b 的矩估计值为：

i

n i =1

a ˆ = x - (x - x )2

n

3 ∑ 3 ˆ n

2 i n i =1

b = x + (x - x ) ∑ 百度传课

0.90 0.49 0.05

0.50 0.27 0.46 0.56 0.70 0.40 0.56

ˆ 例如，容量为10的样本值： a ˆ = 0.1123

用以上公式计算，得

b = 0.8657

百度传课

0.90 0.49 0.05

0.50 0.27 0.46 0.56 0.70 0.40 0.56

a ˆ = 0.1123

b ˆ = 0.8657

[a ˆ, b ˆ] = [0.1123, 0.8657]

并没有包含所有样本值？

若有样本观察值， 则 a 和 b 的矩估计值为

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