第4讲义电磁场
《电磁场 电磁波》 讲义
《电磁场电磁波》讲义一、什么是电磁场在我们生活的这个世界里，电磁场是一种无处不在却又常常被我们忽略的存在。
简单来说，电磁场是由带电粒子的运动产生的一种物理场。
想象一下，一个电子在空间中移动，它的运动会形成电流，而这个电流就会产生磁场。
反过来，如果一个磁场发生变化，又会在周围的空间中产生电场。
电场和磁场就这样相互关联、相互作用，共同构成了电磁场。
电磁场的特性可以用一些物理量来描述。
比如电场强度，它表示电场的强弱和方向；还有磁感应强度，用来衡量磁场的强弱和方向。
二、电磁场的基本规律谈到电磁场，就不得不提到麦克斯韦方程组。
这组方程就像是电磁场世界的“宪法”，规定了电磁场的行为。
麦克斯韦方程组包含四个方程，分别描述了电场的高斯定律、磁场的高斯定律、法拉第电磁感应定律以及安培麦克斯韦定律。
电场的高斯定律告诉我们，通过一个闭合曲面的电通量等于这个闭合曲面所包围的电荷量除以真空介电常数。
这就好像是说，电荷是电场的“源头”，电荷的多少决定了电场的“流量”。
磁场的高斯定律则指出，通过任何一个闭合曲面的磁通量总是为零。
这意味着磁场没有“源头”和“尾闾”，磁力线总是闭合的。
法拉第电磁感应定律表明，当穿过一个闭合回路的磁通量发生变化时，会在回路中产生感应电动势。
这是电磁感应现象的基础，也是发电机工作的原理。
安培麦克斯韦定律说明了电流和变化的电场都能产生磁场。
三、电磁波的产生当电磁场发生变化时，就会产生电磁波。
比如，一个振荡的电荷或者电流会在其周围产生不断变化的电磁场，这些变化的电磁场向空间传播，就形成了电磁波。
电磁波的产生需要有一个能够产生交变电磁场的源。
常见的例子有天线，它通过电流的快速变化来发射电磁波。
四、电磁波的特性电磁波具有很多独特的特性。
首先是它的波动性，电磁波和其他波一样，具有波长、频率和波速等特征。
波长和频率之间存在着反比关系，波速则等于光速。
电磁波在真空中的传播速度是恒定的，约为 3×10^8 米每秒。
《电磁场 电磁波》 讲义
《电磁场电磁波》讲义一、电磁场的基本概念在我们的日常生活中，电和磁的现象无处不在。
从家用电器的运行到无线通信的实现，都离不开电磁场的作用。
那么，什么是电磁场呢？电磁场是由带电物体产生的一种物理场。
电荷的运动产生电流，而电流会在周围空间产生磁场；同时，变化的磁场又会在其周围空间产生电场。
电场和磁场相互关联、相互依存，共同构成了电磁场。
电场是描述电荷在其周围空间产生作用力的物理量。
如果在空间中有一个电荷Q，那么在其周围的任意一点P 处，就会存在一个电场E，它的大小与电荷 Q 的电量成正比，与点 P 到电荷 Q 的距离 r 的平方成反比，其方向是正电荷在该点所受电场力的方向。
磁场则是由运动的电荷或者电流产生的。
当电流通过导线时，在导线周围会产生磁场。
磁场的强弱和方向可以用磁感应强度 B 来描述。
二、电磁场的基本定律为了更深入地理解电磁场，我们需要了解一些基本定律。
库仑定律描述了两个静止点电荷之间的作用力与它们电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。
这个定律是研究静电场的基础。
安培定律则说明了电流元之间的相互作用力，它是研究磁场的重要依据。
法拉第电磁感应定律揭示了变化的磁场能够产生电场。
当通过闭合回路的磁通量发生变化时，回路中就会产生感应电动势。
麦克斯韦方程组是电磁场理论的核心。
它由四个方程组成，分别描述了电场的高斯定律、磁场的高斯定律、法拉第电磁感应定律和安培麦克斯韦定律。
麦克斯韦方程组统一了电场和磁场，预言了电磁波的存在。
三、电磁波的产生电磁波是电磁场的一种运动形态。
当电荷加速运动或者电流迅速变化时，就会产生电磁波。
例如，在一个天线中，交流电流的快速变化会导致电磁场不断地变化和传播，从而形成电磁波。
电磁波的产生需要一个源，这个源可以是一个振荡电路。
在振荡电路中，电容器不断地充电和放电，使得电路中的电流和电荷不断变化，从而产生电磁波。
四、电磁波的特性电磁波具有很多独特的特性。
首先，电磁波是横波，它的电场强度 E 和磁感应强度 B 都与波的传播方向垂直。
第四章准静态电磁场
第四章 准静态电磁场4．1 准静态电磁场1．电准静态场由麦克斯韦方程组知，时变电场由时变电荷和时变磁场产生的感应电压产生。
时变电荷产生库仑电场，时变磁场产生感应电场。
在低频情况下，一般时变磁场产生的感应电场远小于时变电荷产生的库仑电场，可以忽略。
此时，时变电场满足ρ=∙∇≈⨯∇D 0E 称为电准静态场。
可见，电准静态场与静电场类似，可以定义时变电位函数ϕ ，即ϕ-∇=E且满足泊松方程ερϕ-=∇2 与电准静态场对应的时变磁场满足 0t =∙∇∂∂+=⨯∇B DE H γ 2．磁准静态场由麦克斯韦方程组知，时变磁场由时变传导电流和时变电场产生的位移电流产生。
在低频情况下，一般位移电流密度远小于时变传导电流密度，可以忽略。
此时，时变磁场满足0=∙∇≈⨯∇B J H c称为磁准静态场。
可见，磁准静态场与恒定磁场类似，可以定义时变矢量位函数A ，即A B ⨯∇=且满足矢量泊松方程c J A μ-=∇2与磁准静态场对应的时变电场满足ρ=∙∇∂∂-=⨯∇D B E t例1：图示圆形平板电容器，极板间距d = 0.5 cm ，电容器填充εr =5.4的云母介质。
忽略边缘效应，极板间外施电压t t u 314cos 2110)(=V ，求极板间的电场与磁场。
[解]：极板间的电场由极板上的电荷和时变磁场产生。
在工频情况下，忽略时变磁场的影响，即极板间的电场为电准静态场。
在如示坐标系下，得()()()V/m t 31410113t 31410501102d u z 4z 2z e e e E -⨯=-⨯⨯=-=-cos .cos . 由全电流定律得出，即由()z z 20r 4Sl t 31431410113d t H 2d e e S D l H ∙-π⨯⨯-=∙∂∂=π=∙⎰⎰ρεερφsin . 极板间磁场为φφφρe e H t 314103352H 4sin .-⨯== A/m也可以由麦克斯韦方程直接求解磁场强度，如下tt 0r ∂∂=∂∂=⨯∇E D H εε 展开，得t 314106694H 14sin .)(-⨯=∂∂φρρρ 解得φφφρe e H t 314103352H 4sin .-⨯== A/m 讨论：若考虑时变磁场产生的感应电场，则有tt ∂∂-=∂∂-=⨯∇H B E 0μ 展开，得t E z 314cos 103.231440ρμρ-⨯⨯-=∂∂- 解得 t E z 314cos 10537.428ρ-⨯= V/m可见，在工频情况下，由时变磁场产生的感应电场远小于库仑电场。
电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理yPPT课件
P
6
3) 在广义坐标系中V的梯度为：
dV ( V)dl
dV
V l1
dl1
V l2
dl2
V l3
dl3
dl aˆu1dl1 aˆu2dl2 aˆu3dl3 aˆu1 (h1du1)aˆu2 (h2du2)aˆu3 (h3du3)
dV
V (
l1
aˆu1
V
l2
aˆu2
V
l3
aˆu3
)(aˆu1dl1
5
即：
dV GradV dn an
于是
沿着 dl 的方向导数为：
dV dV dn dV cos
dl dn dl dn
V n
aˆn aˆl
V
aˆl
该式表示V沿着al方向的空间增长 率等于V的梯度在该方向上的投影 （分量），也可写成：
dV ( V)dl
V
dV dn
an
l
nˆ
dn cos dl
直角坐标系
divAA=Ax Ay Az x y z
15
柱坐标系
divA
A=1 r
(rrAr
)
A
(rAz z
)
1 (rAr) 1 A Az
r r r z
球坐标系
divAA=R2s1in(ARR R 2sin)(A Rsin)(RA) =R 12(R 2 RAR)Rs1in(Asin)Rs1inA
aˆu2dl2
aˆu3dl3)
(V l1
aˆu1
V l2
aˆu2
V l3
aˆu3
)dl
V
V l1
aˆu1
V l2
aˆu2
电磁场与电磁波第四章 时变电磁场优秀课件
J
)
t
同样
D
D
E、E
A
t
( A )
t
A
0
t
2 2
t 2
2
A
2 A t 2
J
说明
2
2
t 2
应用洛仑兹条件的特点：① 位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；② 解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度；③ 矢量位只决定于J，标
量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需
解出 就可得到待求的电场和磁场。
电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应
用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终
得到的电磁场矢量是相同的。
问题 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点?
4.3 电磁能量守恒定律 讨论内容
t0
t1
t2
t3
t4
t5
0
vt1
vt2
vt3
vt4 vt5 z
不同时刻波形最大值出现的位置
沿z方向传播
t=0，zmax=0； t=t1 ＞0，zmax= vt1＞0；
zmax vt1 vt2 v
t
t1 t2
… … t=t2 ＞t1，zmax= vt2＞vt1＞0；图形移动速度，即电磁波速度
相速度，即等相位面的传播速度
H Ε
J
D
t
B
A
t
为任意可微函数
A ( A ) A
即
A t
(
t
)
t
(
A
)
A t
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。
电磁场4恒定磁场
S
L
S
磁化电流体密度：
Jm M
磁化电流面密度：
JS
M
en
结论：
➢有磁介质存在时，场中任一点的 B 是自由电流和磁化 电流共同作用在真空中产生的磁场；
➢磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。
磁偶极子与电偶极子对比
模型
电量
产生的电场与磁场
电 偶
v p P
1 4π0
pv
1 R
pv evR 4π0R2
➢电流与电流之间 存在相互作用
➢磁场对运动电荷的作用 运动电荷既能产生磁效应也 受到磁力的作用
表明： ➢电流与电流之间，磁铁与电流之间都存在力的作用 ➢磁铁和电流周围存在磁场 ➢磁力是通过磁场来传递的
运动电荷
磁场
运动电荷
存在于电流或永久磁铁周围空间且能 对运动电荷和电流施加作用力的物质
（1） 安培定律
dF
Idl
0
4
I
dl
eR
l R2
点电荷q1对点电荷q2 的作用力
F
1
4 0
q2q1 R2
eR
电荷之间相互作用 力通过电场传递
F q
1
4 0
V
dV
R2
eR
qE
点电荷 库仑定律 电场强度
电流元I′dl′对电流元
Idl的作用力
F
0 4
Idl
(
I
dl
eR
)
R2
电流之间相互作用 力通过磁场传递
F
Idl
0
l
4
l
I
dl
eR
R2
Idl B
l
电流元 安培定律 磁感应强度
第4讲 电磁场的位函数
三、位函数的求解
1、标量电位函数的求解
几种典型电荷的静电位 • 点电荷的电位
Q
E
P ' Q
q 4 0 r
2
er
q O
E d l ( ) Ed l P Q P P P '
q 1 1 q Qe r ( ) d r 2 4 0 rP rQ 4 0 P' r
ε0
q
a
介质球
E (r) ?
问题三：如何引入电磁场的位函数？
根据电磁场的性质引入。
静态电场：有散无旋场
标量电位 ( r )
矢量磁位 A ( r )
静态磁场：无散有旋场 时变电磁场：
动态标量位(r, t) 动态矢量位 A(r , t )
一、电磁场位函数的引入
静态电场——无旋场
E 0 (r) E 0
r
r
电偶极子
2 2 r r ( d / 2 ) r d c o s d d r r cos r r cos, 由于r >> d 2 2 cos p e p r qd r ( r ) 2 3 2 4 π r 4 π r 4 π r 0 0 0
电磁场位函数特性与电磁场性质相关。
问题二：为什么要引入电磁场的位函数？
引入位函数是为了简化电磁场边值问题的求解。
1 ( r ) R E ( r ) d V 3 V R 4 π 0
B () r0
Jr ( ) R d V 3 V 4 π R
ε
矢量积分，计算较难
o
M
r
y
1 ( r ) R E () r d V 3 V 4 π R 1 E R ( ) 3 R R 式中：R r r '
高中物理选择性必修件第四章电磁场与电磁波
距离防护
尽量远离电磁辐射源，如减少使用手 机、电脑等电子设备的时间，避免长 时间接触。
时间防护
合理安排作息时间，避免在电磁辐射 较强的环境下长时间停留。
屏蔽防护
采用屏蔽材料对电磁辐射进行屏蔽， 如穿戴防辐射服、使用防辐射眼镜等 。
提高公众对电磁辐射认知水平
加强科普宣传
通过媒体、学校等途径加强电磁 辐射相关知识的科普宣传，提高
电磁波的发射、传播和接收
变化的电流在空间激起电磁波，以光速向四周传播。接收电磁波的过程也是电磁感应现象 。
解题技巧分享
理解电磁场和电磁波的基本概念及性 质，掌握电磁波的产生机理和传播特 性。
掌握电磁波在真空和介质中的传播速 度、波长、频率等参量之间的关系， 理解电磁波的反射、折射、衍射等现 象。
熟悉电磁波谱中各波段的特点及应用 ，了解不同波段电磁波的产生、传播 和接收方式。
场力。电场强度的方向与正电荷在电场中受到的电场力方向相同。
02 03
磁感应强度
描述磁场的力的性质的物理量，其大小等于单位电流元在磁场中所受安 培力的最大值。磁感应强度的方向与小磁针静止时N极所指的方向相同 。
电磁感应
当穿过闭合电路的磁通量发生变化时，闭合电路中就会产生感应电流。 感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
电磁场
变化的电场和磁场总是相互联系的，形成一个不可分割的统一体，即电磁场。电磁场由近 及远以电磁波的形式传播。
电磁波
变化的电场和磁场在周围空间产生电磁波，电磁波向外传播的过程也是传播能量的过程。 电磁波中的电场能量最大时，磁场能量最小；磁场能量最大时，电场能量最小。电磁波中 的电场和磁场互相垂直，电磁波则与电场、磁场垂直。
无线通信系统功能
电磁场4.1-4.2讲解
4.1 真空中的稳恒磁场
在圆环线圈C上任取一点Qa,, h ，在空间任取一
点P ,, z，这两点的位置矢量分别为
r a cos ex a sin ey h ez r cos ex sin ey z ez
从而，有
d r a sin ex cos ey d 1
• A线也是闭合线(因 A 0 )，它的形状与电流
线相似，平行于电流线，垂直于磁场线。
图4-1-2绘出了电流产生的B线(实线)和A线(虚线)的分布图。
4.1 真空中的稳恒磁场
图4-1-2 电流的B线和A线
4.1 真空中的稳恒磁场
4.1.3 磁场求解例
例4.1.1 求无限大真空中长直载流细导线的磁矢位。
所以
d Az 0I d 2π
两端积分，得
d Az 0
0I d 0 2π
4.1 真空中的稳恒磁场
即
Ar ez
π
ln
0
+
A r0
(4-1-18)
Ar0 是与场点无关的常矢量，在用式 B = A
计算磁场时，常矢量 Ar0 不起作用。
A 0 I
πk
a
1
4.1 真空中的稳恒磁场
上式右端第一个被积函数是关于 的奇函数，它在对
称区间上的积分等于零；第二个被积函数是关于 的
偶函数，它在对称区间上的积分等于半区间上积分的
2倍。从而
π
A
e
0 I a
2π
0
cos d
2 a2 z h2 2a cos
4.1 真空中的稳恒磁场
电磁场理论基础第4章PPT课件
1 2
C 1
D2
1 2
C1 b
33
第四章 恒定电流的电场和磁场
所以得
1
C1 r
C2
C
1
1 a
1 r
U
0
1 a
1 c
U0 1
2
1 c
1 b
1 r
1 c
2 1
1 a
U0
1 c
1 c
1 b
1 c
1 b
2 12a11cU01cb11rb1
34
第四章 恒定电流的电场和磁场
导体表面上总的场强为
E Et2En2 0.565 V/m
电场强度与导体表面的夹角为
aarctEgt 19.5 En
V/m
27
第四章 恒定电流的电场和磁场
例 4.2 设有一同心金属球, 内外球体之间均匀充满二层电导 率分别为σ1和σ2的导电媒质, σ1、σ2远小于金属球的电导率。 σ1≈σ2, 为常数。导体球及导电媒质的半径如图4-8所示。内外球间 加有直流电压U0, 极性如图。试求两区域中恒定电场的电流、 电 流密度、电场强度及电位的分布。
tg1 tg2
1 2
11007101
017
22
第四章 恒定电流的电场和磁场 3. 第一种媒质为理想介质, 第二种媒质为导体
图 4-6 理想介质与导体交界面的电场强度
23
第四章 恒定电流的电场和磁场
E1 E12n E12t
由上式可知E1不垂直导体表面, 那么导体表面不是等位面, 导体也不是等位体, 这是由于σ2有限, 导体中沿电流方向存在电 场。 而在静电场中, 导体内电场强度为零, 介质中的场强总是垂 直导体表面, 导体是等位体, 其表面是等位面。这一点, 恒定电场 与静电场有根本的区别。然而σ2越大, E2t和E1t越小, θ1也越小, 直 至σ2=∞时, E1就垂直导体表面, 导体表面为等位面。
电磁场4.3-4.5.讲义
4.3 磁介质中的稳恒磁场4.3.1 磁介质的磁化自然界中所有实体物质都是磁介质。
磁介质是由原子组成的，原子内的电子围绕原子核形成轨道运动产生环形电流，形成磁偶极子。
这些磁偶极子在没有外磁场时，由于热运动而杂乱无章地排列，大量微观电流产生的磁场互相抵消，在宏观上介质没有磁性。
当有外磁场作用时，磁偶极子发生有规则地取向，大量磁偶极子产生磁场合成的结果，使介质产生了附加磁场，这就是介质的磁化现象。
为了衡量磁介质的磁化程度，可以定义一个磁化矢量来度量：[]1A/m N ii V =∆∑=m M磁化矢量是一个强度量，磁化矢量又叫磁化强度。
从产生磁场的角度看，磁化后的介质可看成是磁介质不存在，代之以大量的磁偶极子充满磁介质所占据的真空区域。
这样就可以利用真空中的磁场表达式来分析磁介质磁化后的磁场。
基于这个认识，我们把1N i i ∑=m看成是一个微分量d =d V m M从而求出d m 产生的磁矢位：()()()0m 3d d 4πμ''⨯-='-m r r r A r r r介质V 磁化后全部磁偶极矩产生的磁矢位就成为()0m 1d 4πV V μ'''=⨯∇'-⎰A r M r r()00m d d 4π4πV S V S μμ''''∇⨯⨯''=+''--⎰⎰M M n A r r r r r Ñ记 2m A/m ⎡⎤=∇⨯⎣⎦J M []m A /m =⨯K M n 分别称为体磁化电流密度和面磁化电流密度。
这样，由这两种电流密度产生的磁矢位就可写成()()()()()m m 00m d d 4π4πV S V S μμ''''=+''--⎰⎰J r K r A r r r r r r rÑ 4.3.2 磁介质中的场方程在磁介质中，虽然磁化电流的形成机制与传导电流不同，但在产生磁场的特性上两者完全一样。
第4章 2 《电磁场与电磁波》课件ppt
答案 D
探究二
电磁波与机械波的比较
情境探究
如图所示,某同学正在回答“神舟十号”航天员王亚平的问题,请问她们的通
话是通过机械波进行的还是通过电磁波进行的,为什么?
要点提示 电磁波。因为机械波的传播离不开介质,而电磁波可以在真空
中传播。
知识归纳
电磁波是电磁现象,机械波是力学现象,两种波产生机理不同,所以除具有
)
答案 √
(3)在电场周围,一定存在和它联系着的磁场。(
解析 变化的电场产生磁场,静电场周围没有磁场。
答案 ×
)
(4)在变化的磁场周围一定会产生变化的电场。(
)
解析 均匀变化的磁场周围产生恒定的电场。
答案 ×
(5)只要有电场和磁场,就能产生电磁波。(
)
解析 周期性变化的电场和周期性变化的磁场相互激发,由近及远地传播出
实例引导
例1 根据麦克斯韦电磁场理论,下列说法正确的是(
)
A.有电场的空间一定存在磁场,有磁场的空间也一定能产生电场
B.在变化的电场周围空间一定产生变化的磁场,在变化的磁场周围空间一
定产生变化的电场
C.均匀变化的电场周围空间一定产生均匀变化的磁场
D.周期性变化的磁场周围空间一定产生周期性变化的电场
变式训练 1如图所示的四种电场中,哪一种能产生电磁波(
)
解析 由麦克斯韦电磁场理论,当空间出现恒定的电场时(如A图),由于它不
激发磁场,故无电磁波产生;当出现均匀变化的电场时(如B、C图),会激发
出磁场,但磁场恒定,不会激发出电场,故也不会产生电磁波;只有振荡的电
场(即周期性变化的电场)(如D图),才会激发出振荡的磁场,振荡的磁场又激
电磁场理论第4讲时谐电磁波分析方法
椭圆偏振等。
时谐电磁波的数学模型
麦克斯韦方程组
描述时谐电磁波在空间中传播的 基本方程，包括电场和磁场的变 化规律。
波动方程
在无源、线性、均匀、各向同性 的介质中，时谐电磁波的波动方 程描述了电场和磁场随时间和空 间的变化关系。
边界条件
描述时谐电磁波在介质分界面上 的行为，包括切向电场和磁场的 连续性条件以及法向分量变化的 条件。
遥感探测中的时谐电磁波
遥感探测是利用卫星、飞机等平台搭载的传感器对地球和宇宙中的目标进行探测和监测的技术。时谐 电磁波在遥感探测中也有着广泛的应用。
通过发射不同频率和极化的时谐电磁波，遥感探测系统可以获取目标的多种信息，如地形地貌、资源 分布、气象变化等。这些信息对于环境保护、资源开发、城市规划等领域具有重要意义。同时，遥感 探测中的时谐电磁波还可以应用于军事侦察等领域，具有重要的战略价值。
2
边界元法适用于求解具有复杂边界条件的电磁波 问题，如天线、微波器件等。
3
边界元法具有精度高、计算量小等优点，但需要 较高的数学技巧和编程能力。
THANKS
感谢观看
表示电场和磁场变化的快 慢，单位是赫兹（Hz）。
时谐电磁波的波长
表示电场和磁场变化的范 围，单位是米（m）。
时谐电磁波的性质
波动性
01
时谐电磁波具有波动性质，传播方向与电场和磁场方向相互垂
直。
能量传输
02
时谐电磁波可以传输能量，其传输速度等于光速。
偏振现象
03
时谐电磁波可以具有不同的偏振状态，包括线偏振、圆偏振和
有限元法
01
有限元法是一种基于变分原理 的数值分析方法，通过将连续 的电磁场问题离散化为有限元 方程，从而进行求解。
电磁场第4章ppt课件
取不同的n值对应的φn并叠加，即
n b n x n x U C sh sin B sin 0 n n a a a n n 1 1
X ( x ) b e b e
jx k x 1
jx k x 2
当α2>0 时，令α=kx，则
X ( x) c1shk x x c2chk xx
或
X ( x) d1e
kx x
d2e
kx x
例 4-5 横截面如图所示的导体长槽，上方有一块与 槽相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为a×b，槽体的电位
求电位及等位面方程。
4.3 分 离 变 量 法
思想：把偏微分方程化为常微分方程来求解。 一般分三步： 第一步：根据静态场问题的边界形状，选择适当的 坐标系，并写出在该坐标系下的Laplace方 程的展开式； 第二步：应用分离变量法求得Laplace方程的通解； 第三步：根据问题所给定的边界条件，确定通解中 的待定系数，从而求得电位函数的特解。 注 意：当给定问题是长方体区域时，应选择直角 坐标系。
4.4.1 直角坐标系中的分离变量法
在直角坐标系中， 拉普拉斯方程为
2 2 2 2 2 0 2 x y z
设φ可以表示为三个函数的乘积， 即
( x , y , z ) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
dX d Y d Z YZ2 XZ XY 0 2 2 dx dy dz
然后用XYZ除上式
2
2
2
X " Y " Z " 0 X Y Z X " a 2 X
Y " Y Z " Z
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V 0
V
如果M，表明该物体是已经磁化的
设在磁化介质中取一个体积元 d V ，其磁矩为 MdV， 由它所产生的磁矢位为
dA
0 体积V内的磁化磁矩所产生的磁矢位为 A 4
0 M aR dV 2 4R
V
M aR dV 2 R
22
5. 束缚电流密度
利用恒等式
磁矢位和磁偶极子
磁场强度
安培环路定律 矢量泊松方程
2
1.磁通密度(magnetic flux density)
安培力定律 F12
0 4
I 2 dl 2 I 1 dl1 a R C2 C1 R2
R aR R
I1 C1 r1
dl2 dl1 R r2 C2
I2
R r2 r1
B, dl 和a R 三者互相垂直并遵循右手螺旋关系。
Br 0 4
V
0 J r a R B r d V 4 R2
磁通密度的单位为T(特斯拉tesla)，或(韦伯/平方米)，工程上，常因 这个单位太大而选用高斯(Gaussion)，1高斯(G)= 10-4特斯拉(T)
如果分界面上的面电流密度为零，则
tan 1 1 tan 2 2
利用式
aR 1 2 R R
又根据恒等式 磁通密度
A A A
V
Br 0 4
J r dV R
及矢量恒等式 A 0 可得
B 0
由恒定电流产生的场是 无散场或连续的场
23
6.本构方程(constitutive equations)
在计算磁化后总的合成磁场时，可以把媒 质所占空间视为真空，由束缚电流和自由 电流在真空中产生的磁场进行叠加
B J Jb H M 0
B 0 H M
M m H
4
[例4-1]
一根沿z轴放置长度为2l的直导线通过z方向的电流I。求其在周围产
生的磁通密度。
选择柱坐标系，源点坐标为(0,0,z )，场点坐标为P(, ,z) 解： 根据毕奥——萨伐尔定律，则 Idz a z a R 0 I dz B 0 a C R3 4 C 4 R2
2
电流环在P点产生的磁矢位的表达式为
A
Idl a Iad Ia a x sin a y cos d
0 4
Idl C R
R r r r 2 a 2 2ra sin sin
4r 上式写成球坐标中的表达式，有 A a x
B dS 0
S
穿过一个封闭面的磁通量等于离开这个封闭面的磁通 量，换句话说， 磁通线永远是连续的，称为磁通连续 性原理。
11
7.磁场强度与安培环路定律
自由空间中磁场强度H（magnetic intensity）：
H B
0
B 0 H
S
J
安培环路定律(Ampere’s circuital law)：
F12
C2
0 I 2 dl 2 4
I1dl1 a R C1 R 2
括号中的量值取决于电流回路C1的电流分布及场 点到源点的距离矢量，而与电流回路C2无关
O
磁通密度
B1
0 4
I 1 dl1 a R C1 R 2
3
2.毕奥—萨伐尔定律(Biot-Savart’s law)
Bm
Br为剩余磁通 硬磁材料----永久磁铁（直流电机） 软磁材料----交流电 磁滞回线-----每周磁滞损耗
-Hm
Br
Hm
-Bm
25
4.3 边界条件
本节要点
磁通密度的边界条件 磁场强度的边界条件 两种媒质分界面上磁场的方向
26
1. 边界条件表达式
在两种不同媒质的分界面上，有
或 n B1 B 2 0 B1n B 2 n H 1t H 2 t J S 或 n H 1 H 2 J S
C
H dl J dS I
C S
磁场强度沿任一闭合路径的线积分 等于闭合路径所包围的净电流
应用斯托克斯定理，有
H J
由恒定电流产生的磁场是有旋场
12
8.恒定磁场的基本方程
积分形式
B dS 0
S
H dl I
C
B 0
微分形式
H J
2 根据矢量恒等式： A A A
同时考虑到库仑规范，有
2 A 0 J
矢量泊松方程(vectorial Possion equation)
矢量拉普拉斯方程(vectorial Laplace equation)
对于无源区域
A0
2
必须指出：这里的 2 后面是矢量，所以称为矢量拉普拉 斯算子，同标量拉普拉斯方程中的算子（ 2 后面是标量 称为标量算子）完全不同。
1 a R 2 R R
1 1 M 和M M R R R
A
磁矢位可重写为
0 4
V
Jb dV 0 R 4
S
J Sb dS R
束缚体电流密度
Jb M
束缚面电流密度 J Sb M n
0 Ia 2
2
sin
电流圆环产生的磁场
8
[例4-2]（续）
A a
0 Ia 2
4r
2
sin
令小电流环的面积a 2 S
IS=pm
S的方向与电流的方向成右手螺旋关系
小电流环的磁矢位可以表达为 A 小电流环的磁通密度为B A 小电流环也称为磁偶极子
0 pm a r 4r 2
对于线性、均匀、各向同性的媒质， 有
比例常数 m 称为磁化率(magnetic susceptibility) 本构方程—— B 0 1 m H 0 r H H 媒质的磁导率(permeability)—— 0 r
24
讨论
对于顺磁物质，m数量级为10-3的正数； 对于抗磁物质，m数量级为10-610-9的负数； 对于上述两种物质的r都接近于1。一般工程中常把 这些物质的磁性质看作与真空相同。 铁磁物质的B与H不成线性关系，且B与H的函数关系 随铁磁物质的结构而异，但仍满足 B=H，只是其中的不再是常数。
三个分量方程和静电场的电位泊松方程形式相同，因 此它们的求解方法也相同。
17
4.2 磁介质的磁化、磁场强度
本节要点
物质的分类 磁化强度 磁化介质的磁矢位 束缚电流密度 媒质的本构方程
18
1.物质的分类
顺磁体(paramagnet) —受到轻微力量拉向中心的物质。
像金属铝、铜等
16
直角坐标系中的矢量泊松方程
在直角坐标系中 A a x Ax a y Ay a z Az 由于 2 a x Ax 2 a x Ax 2 Ax a x 2 Ax a x 矢量泊松方程可分解为三个分量(标量)的泊松方程
2 Ax 0 J x 2 Ay 0 J y 2 Az 0 J z
0 I a 2
载流长直导线的磁场
用安培定律算得的结果与例3-1相同，但却简便得多。
14
小结
由恒定电流产生的磁场是无散场（连续的场） 求解磁通密度的三种方法
1) 用矢量积分式直接求磁通密度 2) 先求磁矢位再求磁通密度 3) 安培定律求磁场强度
15
9.矢量泊松方程
A 0 J
R a z zaz
2
R csc z z cot 0 I sin 0 I cos1 cos 2 B a d a 4 4 0 I 无限长载流直导线的磁通密度为 B a 2
1
5
3.磁通密度的散度
第4章 恒定电流的磁场
4.1节 4.2节 4.3节 4.4节 恒定磁场的基本方程 磁介质的磁化、磁场强度 边界条件 自感和互感
1
4.1 真空中恒定磁场的基本方程
当产生磁场的电流恒定时，它所产生的磁场 也不随时间变化----恒定磁场(magnetostatics)
本节要点
磁通密度及其散度
磁通连续性原理
0 pm a r 2 cos a sin 3 4r
9
5.磁偶极子
在磁场的实验中已证实：一根微小的永久磁针周围的磁场 分布与微小电流环周围的磁场分布是相同的。
一种解释是永久磁针的两端分别存在正磁荷和负磁荷。
这种虚构的磁荷+qm相隔距离d便形成 一个磁偶极子，其磁矩为pm=qmd ， 也一定等效于电流回路的磁矩pm=IS
19
2. 磁性物质的磁化
分子中的电子以恒速围绕原子核作圆周运动形成分子 电流，它相当于一个微小电流环可以等效为磁偶极子
其磁偶极矩的表达式为 pm I a S
在没有外加磁场时，就一般媒质而言， 由于各分子磁矩的取向随机而相互抵消， 对外不呈磁性。
在外施磁场作用下，各分子磁矩沿磁场方向排列，媒质内部磁偶极 子的有序排列，相当于沿媒质表面流动的这些电流称为束缚电流 (bound current) 它在媒质内部产生一个附加场。