专题16等腰三角形的性质[002]

专题16 等腰三角形的性质

例1 45°

例2 提示：过点A作∠A的平分线BD交于G，先证明△ABG≌△ACF，再证明△AGD≌△CFFD

例3 提示：延长BC，AE交于一点.、

例4 提示：如图，作BD⊥AC于D，则∠OCD=∠OAD=30°，∴∠BA0=44°－30°=14°，∠MAO=∠OAC－∠MAC=14°，∴∠BAO=∠MAO，又∵∠AOD=∠COD=90°－30°=60°，∴∠AOB=∠AOM=120°，∴OB=OM.又∵AO=AO，∴△AOB≌△AOM

又∵∠BOM=120°，∴∠OMB=30°，故∠BMC=180°－∠OMB=150°.

例5 如图，在AC延长线上截取CM1=BM，由Rt△BDM≌Rt△CDM1，得MD=M1D，∠MDB= ∠M1DC.∴∠MDM1=120°－∠MDB+∠M1DC=120°，又∠MDN=60°，∴∠NDM1=60°，∵MD=MD1，∠MDN=∠NDM1=60°，DN=DN，∴△MDN≌△M1DN，得MN=NM1，故△AMN周长：AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2.

例6 解法1 如图a，作△ABD关于AD的轴对称图形△ADC，则∠EAD=21°，AE=AB，∴DE=BD，又∠ADC=21°+46°=67°，故∠ADE=∠ADB=180°－67°=113°，∠CDE=113°－67°=56°，连CE，可证△CDE≌△ABD≌△AED，∠ODE=∠OED=46°，得OD=OE，又DC=AE，则AO=CO，∠OCA=∠OAC，∠COE=2∠ACO，∠COE=2×46°=92°=2∠ACO.从而∠ACO=46°=∠OAC，∴∠DAE+∠EAC=67°.

解法2 如图b，过A点作AE∥BC.过D作DE∥AB，连接EC.

∵∠EDC=∠ABC=46°，DE=AB=CD ， ∴∠DCE=∠CED=

1

2

×（180°－46°）=67° ∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=46°+21°=67° ∴∠ADC=∠DCE ，，∴AD=EC. ∴梯形ADCE 为等腰梯形

∴AC=DE （等腰梯形对角线相等）， ∴AB=AC=CD ，∴∠DAC=∠ADC=67°.

A 级

1. 67.5°或2

2.5° 2.75°

3.60°

4.8

5.A

6.B

7.B

8.D 提示：由已知得(b －c)(a －b)(a+c)=0，故b=c 或a=b.

9. 提示：过D 作DF ∥AC 交BC 于F ，证明△DFG ≌△ECG.

10. 提示：延长CE 交BA 的延长线于F ，证明△BEC ≌△BEF ，再证明△AFC ≌△ADB. 11. 提示：图2成立，联系图1，可证明△ECD ≌△FBD ，

1

2

DEF CEF ECD CDF FBD CDF CDB ACB S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+=+=+==

图3不成立，此时1

2

DEF CEF ABC S S S ∆∆∆-=

12.作∠BAC 的角平分线与CO 的延长线交于D ，连BD ，则△ABD ≌△ACD ，则∠ABD=∠ACD=30°， ∠OBD=∠ABC －∠OBC －∠ABD=20°=∠ABD ， ∠DOB=∠OBC+∠OCB=40°=∠DAB ，从而△ABD ≌△OBD ，AB=OB ，即△ABO 为等腰三角形，得∠BAO=1

2

（180°－40°）=70°

B 级

1.40°

2.①②③ 提示：连AP .

3. 60°提示：设∠CAN =∠BAM =α，∠MAN =β，则∠C =∠BAC =2α+β，∠AMN =β

4. D

5.A

6.D

7. 提示：延长BD 到F ，使DF =BC ，则△BEF 为等边三角形，再证明△BCE ≌△FDE

8.⑴证明略；⑵由①得C ´D =AC =AB ´，由②得DB ´=BA =C ´A ，又AD =AD ，∴△AC ´D ≌△DB ´A ；⑶S △AB ´C ＞S △ABC ´＞S △ABC ＞S △A ´BC ，S △ABC + S △ABC ´= S △AC ´B + S △A ´BC 9.满足题意的图形有以下四种情形：

10.提示：在△ACD 内以CD 为边作等边△ECD ，连AE ，则△ACE ≌△ADE .∴∠CAE =

12

∠CAD =15°，又∵∠DCB =90°-∠ACD =90°-75°=15°，∴∠CAE =∠BCD =∠ECA . 又∵AC =BC ，

A

B

E C

图b

A

B

C F

图c

图d

A

B

C G

A

B

D C

图a

CE =CD ，∴△ACE ≌△BCD ，∴∠DBC =∠EAC =15°. ∴∠DCB =∠DBC ，∴DC =DB .

11.设

2BH

m BC =，2BK n AB =，因BH ＜BA ，BK ＜BC ，故mn ＜4，得11m n =⎧⎨=⎩；12m n =⎧⎨=⎩；13m n =⎧⎨=⎩；21m n =⎧⎨=⎩

；3

1m n =⎧⎨=⎩

①当m =n =1时，BH =12BC ，BK =12

AB ，△ABC 是等边三角形.

②当m =1，n =2时，BH =12

BC ，BK =AB ，△ABC 是∠A 为直角的等腰直角三角形. ③当m =1，n =3时，BH =12

BC ，BK =32

AB ，△ABC 是∠A 为120°的等腰三角形. ④当m =2，n =1时，△ABC 是以∠C 为直角的等腰直角三角形. ⑤当m =3，n =1时，△ABC 是以∠C 为120°的等腰三角形.

A C

B E

D