平面向量应用举例
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如图：AD、BE、CF是 ABC的三条高. 求证：AD、BE、CF 相交于一点.
A
b· (a－c)＝0. c· (a－b)＝0. a· (c－b)＝0
① ② ③
B F
a
P
E
b
D
c
C
2 2 2 2
C
探索：平行四边形 ABCD 中， 以上关系是否依然成立？
A
B
例1、证明平行四边形两条对角线的平方和等于两 条邻边平方和的两倍。 D 已知：平行四边形ABCD。 求证： AC 2 BD2 2( AB2 AD2 )
A B
C
结 论： 平行四边形两条对角线的平方和等于两 条邻边平方和的两倍。
a b | a || b | cosθ 2.重要性质: 设a 、b都是非零向量,则
(1)
(2)
a b 0 . a b _________
|a| . a a _____ a ______ 2 | a | __________ . a
2 2
(3) | a b
≤ | a || b | . 当且仅当a / /b时，等号成立． | ____
向量运算 翻译几何结果
练习1:求证：直径所对的圆周角为直角.
已知:如图，AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角 求证： ∠ABC=90°
B O A
图 2.5-4
C
例2. 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边 的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你 能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ 演示
E
猜想：
AR=RT=TC
D
F
C
R
T
A
B
练习2
如图，在ABC中，D、E分别在BC与AC上， 1 1 且BD BC，CE CA，AD交BE与点R. 3 3 A 求AR : AD
E R
B
D
C
向量在几何中的应用（三部曲）：
用基底表示
向量运算
翻译几何结果
作业：课时作业（25）
思考：
用向量法证明三角形三条高你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基 本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用基底表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向 量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 用基底表示
为什么引进向量？
向量的概念和运算，都有明确的几何背景．平面几何与 向量有关的许多性质，如距离、平行、垂直、夹角等几 何问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因 此，可用向量方法解决平面几何中的一些题．
2.5平面向量应用举例(一)
2.5.1 平面几何中的向量方法
一.复习:
1.平面向量数量积的含义:
为a， b的夹角 | a || b |
ab
(4)cos =
例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模 型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两 条邻边长度之间的关系吗？
D C
A
B
D
C
若是在矩形ABCD 中，对角线 长度与两条邻边长度之间有什么 样的关系？
A D
B
AC DB 2( AB AD )
A
b· (a－c)＝0. c· (a－b)＝0. a· (c－b)＝0
① ② ③
B F
a
P
E
b
D
c
C
2 2 2 2
C
探索：平行四边形 ABCD 中， 以上关系是否依然成立？
A
B
例1、证明平行四边形两条对角线的平方和等于两 条邻边平方和的两倍。 D 已知：平行四边形ABCD。 求证： AC 2 BD2 2( AB2 AD2 )
A B
C
结 论： 平行四边形两条对角线的平方和等于两 条邻边平方和的两倍。
a b | a || b | cosθ 2.重要性质: 设a 、b都是非零向量,则
(1)
(2)
a b 0 . a b _________
|a| . a a _____ a ______ 2 | a | __________ . a
2 2
(3) | a b
≤ | a || b | . 当且仅当a / /b时，等号成立． | ____
向量运算 翻译几何结果
练习1:求证：直径所对的圆周角为直角.
已知:如图，AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角 求证： ∠ABC=90°
B O A
图 2.5-4
C
例2. 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边 的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你 能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ 演示
E
猜想：
AR=RT=TC
D
F
C
R
T
A
B
练习2
如图，在ABC中，D、E分别在BC与AC上， 1 1 且BD BC，CE CA，AD交BE与点R. 3 3 A 求AR : AD
E R
B
D
C
向量在几何中的应用（三部曲）：
用基底表示
向量运算
翻译几何结果
作业：课时作业（25）
思考：
用向量法证明三角形三条高你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基 本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用基底表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向 量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 用基底表示
为什么引进向量？
向量的概念和运算，都有明确的几何背景．平面几何与 向量有关的许多性质，如距离、平行、垂直、夹角等几 何问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因 此，可用向量方法解决平面几何中的一些题．
2.5平面向量应用举例(一)
2.5.1 平面几何中的向量方法
一.复习:
1.平面向量数量积的含义:
为a， b的夹角 | a || b |
ab
(4)cos =
例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模 型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两 条邻边长度之间的关系吗？
D C
A
B
D
C
若是在矩形ABCD 中，对角线 长度与两条邻边长度之间有什么 样的关系？
A D
B
AC DB 2( AB AD )