《双曲线的参数方程》(优质课)
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高中数学 2.2.2双曲线的参数方程课件 新人教A版选修4-4
答案;60°
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6
题型二 双曲线参数方程应用
例 2 求点 M0(0，2)到双曲线 x2－y2＝1 的最小距离(即双曲线上
任一点 M 与点 M0 距离的最小值)．
栏
分析：点 M0 与双曲线上任一点 M 距离可转化为一个函数关系式目链
接
来进一步研究求解．
解析：把双曲线方程化为参数方程x＝sec y＝tan
由题意知|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. |O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2
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9
析疑难
提
能
力栏 目 链
接
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10
θ， θ (θ 为参数)，
设双曲线上动点为 M(sec θ，tan θ)，则
|M0M|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2
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7
＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)
＝2tan2θ－4tan θ＋5
＝2(tan θ－1)2＋3，
栏
目
当 tan θ－1＝0，即 θ＝π4 时，|M0M|2 取最小值 3，此时有|M0M|
链 接
＝ 3.
即点 M0 到双曲线的最小距离为 3.
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8
►变式训练
2．已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2－y2＝1 上一
点 Q，求 P，Q 两点间距离的最小值．
栏
点拨：先求圆心
O1
与点
Q
的距离的最小值，再利用圆的性质得目
链
出 PQ 的最小值．
接
解析：设 Q(sec θ，tan θ)，
2．2.2 双曲线的参数方程
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
x2 y2 设椭圆a2＋b2＝1，∴a＝5，c＝4，b＝3. x2 y2 ∴方程为25＋ 9 ＝1. 设椭圆上一点 P(5cos θ，3sin θ)， 双曲线一渐近线为 3x－4y＝0， |3×5cos θ－12sin θ| ∴点 P 到直线的距离 d＝ 5 3| 41sin θ－φ| 5 ＝ (tan φ＝4)． 5 3 41 ∴dmax＝ 5 .
[通一类] 2．已知抛物线
x＝2t2 C： y＝2t
(t 为参数)，设 O 为坐标原点，点 M
在抛物线 C 上，且点 M 的纵坐标为 2，求点 M 到抛物线焦点 的距离．
x＝2t2 解：由 y＝2t
，得 y2＝2x，即抛物线的标准方程为 y2＝2x.
又∵M 点的纵坐标为 2，∴M 点的横坐标也为 2. 即 M(2,2)． 1 又∵抛物线的准线方程为 x＝－2. 1 1 5 ∴由抛物线的定义知|MF|＝2－(－2)＝2＋2＝2. 5 即点 M 到抛物线焦点的距离为2.
[研一题] [例 2] 连结原点 O 和抛物线 2y＝x2 上的动点 M，延长 OM
到 P 点，使|OM|＝|MP|，求 P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．
[精讲详析]
本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用． 解
答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出 M、P 的坐标，然 后借助中点坐标公式求解．
[悟一法] 对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同， 当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是 常量，这一点尤其重要．
[通一类]
x＝ 5cos 3．(2011· 广东高考)已知两曲线参数方程分别为 y＝sin θ
θ
5 x＝ t2 4 (0≤θ≤π)和 (t∈R)， 它们的交点坐标为___________． y＝t
人教版a版选修4-4课件：2.2双曲线的参数方程抛物线的参数方程
α，
(α 为参数)的焦点坐
标是________． x＝tan t， (2)将方程 1－cos 2t y＝1＋cos 2t [思路点拨] 用代入法消去 t.
化为普通方程是________．
(1)可先将方程化为普通方程求解；(2)利
返回
[解析]
x＝2 3tan (1)将 y＝6sec α
返回
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1．双曲线的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 2－ 2＝1 的参 a b
x＝asec φ， 数方程是 y＝btan φ
规定参数 φ 的取值范围为 φ∈[0,2π)
π 3π 且 φ≠ ，φ≠ . 2 2 y2 x2 (2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线 2－ 2＝1 的参 a b
x＝btan φ， 数方程是 y＝asec φ.
返回
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px
2 x＝2pt ， 的参数方程为 y＝2pt
t∈R.
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与 原点连线的斜率的倒数．
返回
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[例 1]
x＝2 3tan (1)双曲线 y＝6sec α
答案：10或6
返回
y＝2t， 2．过抛物线 2 x ＝ t
(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于
A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) 两点，如果 x2 ＋ x2 ＝ 6. 则 |AB| ＝ ________.
y2 解析：化为普通方程是：x＝ 即 y2＝4x，∴p＝2. 4 ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8.
α，
y2 x2 c＝ 36＋12＝4 3， 故焦点坐标是(0，± 4 3)． 1－cos 2t 2sin2t 2 (2)由 y＝ ＝ 2 ＝tan t， 1＋cos 2t 2cos t 将 tan t＝x 代入上式，得 y＝x2，即为所求方程．
2017-2018学年4-42.3.3双曲线的参数方程课件(17张)
|＝4|sin α
π － 3 .
5π 当 α＝ 6 时，|AB|取得最大值，最大值为 4.
自主预习 讲练互动
课堂小结 1.双曲线的参数方程形式及参数θ的取值范围. 2.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上 点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、 轨迹问题等.
2.3.3 双曲线的参数方程
自主预习
讲练互动
双曲线的参数方程 x2 y2 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线a2－b2＝1 的参数方程为 x＝asec θ ， 1 (θ 为参数，secθ ＝ ) cos θ y＝btan θ ，θ 的取值范围为
π 3 θ ∈[0，2π )且 θ≠ ，θ ≠ π . 2 2
2 2
取最小值 3，此时有|CQ|min＝ 3.又因为|PC|＝1，所以|PQ|min＝ 3－1.
自主预习
讲练互动
【反思感悟】 在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时， 使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离
公式对参数形式的点的坐标仍适用
自主预习
讲练互动
2.在直角坐标系 xOy 中，曲线
自主预习 讲练互动
知识点2 圆锥曲线的最值问题
利用圆锥曲线的参数方程求最值问题主要考查参数方程与
普通方程的互化，要合理选择参数，注意参数的取值范围.
自主预习
讲练互动
【例2】 已知圆C：x2＋(y－2)2＝1上一点P，与双曲线x2－y2 ＝1上一点Q，求P、Q两点距离的最小值.
解 双曲线 x －y
2 2
x＝sec ＝的参数方程为 y＝tan
θ ， 则 Q(secθ ， tanθ )， θ ，
又圆心 C(0，2)，则|CQ|2＝sec2θ ＋(tanθ －2)2＝(tan2θ ＋1)＋ π (tanθ －2) ＝2(tan θ －1) ＋3， 当 tanθ ＝1， 即 θ＝ 4 时， |CQ|2
π － 3 .
5π 当 α＝ 6 时，|AB|取得最大值，最大值为 4.
自主预习 讲练互动
课堂小结 1.双曲线的参数方程形式及参数θ的取值范围. 2.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上 点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、 轨迹问题等.
2.3.3 双曲线的参数方程
自主预习
讲练互动
双曲线的参数方程 x2 y2 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线a2－b2＝1 的参数方程为 x＝asec θ ， 1 (θ 为参数，secθ ＝ ) cos θ y＝btan θ ，θ 的取值范围为
π 3 θ ∈[0，2π )且 θ≠ ，θ ≠ π . 2 2
2 2
取最小值 3，此时有|CQ|min＝ 3.又因为|PC|＝1，所以|PQ|min＝ 3－1.
自主预习
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【反思感悟】 在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时， 使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离
公式对参数形式的点的坐标仍适用
自主预习
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2.在直角坐标系 xOy 中，曲线
自主预习 讲练互动
知识点2 圆锥曲线的最值问题
利用圆锥曲线的参数方程求最值问题主要考查参数方程与
普通方程的互化，要合理选择参数，注意参数的取值范围.
自主预习
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【例2】 已知圆C：x2＋(y－2)2＝1上一点P，与双曲线x2－y2 ＝1上一点Q，求P、Q两点距离的最小值.
解 双曲线 x －y
2 2
x＝sec ＝的参数方程为 y＝tan
θ ， 则 Q(secθ ， tanθ )， θ ，
又圆心 C(0，2)，则|CQ|2＝sec2θ ＋(tanθ －2)2＝(tan2θ ＋1)＋ π (tanθ －2) ＝2(tan θ －1) ＋3， 当 tanθ ＝1， 即 θ＝ 4 时， |CQ|2
双曲线的参数方程课件 新人教a版选修4
M
x
2 2 a2(sec2 -tan2 ) a a = sin2 = tan b ab . 2 4cos 2 2 a 2
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。
xt
练习:
1.已知参数方程
1 t 1 (t 是参数, t >0) y t t
化为普通方程,画出方程的曲线.
2.参数方程
x a sec y b tan ( 是参数, 2 2 )
表示什么曲线?画出图形.
x2 y 2 3.若双曲线 2 2 1(b a 0)上有两点A, B与它的 a b 中心的连线互相垂直. 1 1 求证: 为定值. 2 2 |OA| |OB|
的实质是三角代换.
sec 1 tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程
例 2、
x2 y 2 如图，设M 为双曲线 2 2 1( a 0, b 0)任意一点，O为原点， a b 过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。 探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
x a sec 所以M的轨迹方程是 (为参数) y b tan
x2 y2 消去参数后，得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
y a A B' o B b
x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b
2
2
a y 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec ,btan）,
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
b A 则直线MA的方程为：y b tan ( x a sec ). ① a b 将y= x代入①，解得点A的横坐标为 O a a B xA = （sec tan）. 2 a 同理可得，点B的横坐标为xB = （sec tan）. 2 b 设AOx= ,则tan . a xA xB sin2 = 所以MAOB的面积为 S MAOB =|OA||OB|sin2 cos cos
双曲线的参数方程课件
参数方程的等价变换
通过等价变换，可以保持双曲线的形状和性质不变，从而研究不同 参数方程之间的关系。
参数方程的非线性变换
通过非线性变换，可以将双曲线的参数方程转换为非线性形式，以 揭示更多的数学性质和变化规律。
参数方程与其他数学知识的结合
参数方程与解析几何
结合解析几何的知识，可以更深入地研究双曲线的几何性质和变化 规律。
双曲线参数方程的扩展
参数方程的扩展形式
扩展参数范围
将参数的范围从实数扩展到复数，可以引入更丰富的 数学性质和变化。
引入多个参数
通过引入多个参数，可以描述更复杂的双曲线形状和 变化。
参数的非线性关系
打破参数间的线性关系，可以研究更复杂的双曲线性 质和几何结构。
参数方程的变换
参数方程的坐标变换
通过坐标变换，可以将双曲线的参数方程转换为更易于理解和分 析的形式。
迹和变化规律。
02 参数方程的几何意义有助于理解双曲线的形状和 性质，以及在解决实际问题中的应用。
参数方程与直角坐标系的关系
参数方程是在直角坐标系中推导出来的，因此与直角坐标系有密切的联系。
通过参数方程，可以方便地表示双曲线上的点在直角坐标系中的坐标。
参数方程与直角坐标系的关系是相互依存的，参数方程提供了描述双曲 线运动的另一种方式，而直角坐标系则为参数方程提供了具体的数恒等式和双曲线的几何特性， 如焦点到曲线上任一点的距离之差为常数。
03
推导过程展示了参数方程与双曲线标准方程之间的 联系和转换。
参数方程的几何意 义
参数方程中的参数具有明确的几何意义，通常表 01
示双曲线上的点相对于某一基准点的角度或距离。
通过参数的变化，可以描述双曲线上点的运动轨 02
通过等价变换，可以保持双曲线的形状和性质不变，从而研究不同 参数方程之间的关系。
参数方程的非线性变换
通过非线性变换，可以将双曲线的参数方程转换为非线性形式，以 揭示更多的数学性质和变化规律。
参数方程与其他数学知识的结合
参数方程与解析几何
结合解析几何的知识，可以更深入地研究双曲线的几何性质和变化 规律。
双曲线参数方程的扩展
参数方程的扩展形式
扩展参数范围
将参数的范围从实数扩展到复数，可以引入更丰富的 数学性质和变化。
引入多个参数
通过引入多个参数，可以描述更复杂的双曲线形状和 变化。
参数的非线性关系
打破参数间的线性关系，可以研究更复杂的双曲线性 质和几何结构。
参数方程的变换
参数方程的坐标变换
通过坐标变换，可以将双曲线的参数方程转换为更易于理解和分 析的形式。
迹和变化规律。
02 参数方程的几何意义有助于理解双曲线的形状和 性质，以及在解决实际问题中的应用。
参数方程与直角坐标系的关系
参数方程是在直角坐标系中推导出来的，因此与直角坐标系有密切的联系。
通过参数方程，可以方便地表示双曲线上的点在直角坐标系中的坐标。
参数方程与直角坐标系的关系是相互依存的，参数方程提供了描述双曲 线运动的另一种方式，而直角坐标系则为参数方程提供了具体的数恒等式和双曲线的几何特性， 如焦点到曲线上任一点的距离之差为常数。
03
推导过程展示了参数方程与双曲线标准方程之间的 联系和转换。
参数方程的几何意 义
参数方程中的参数具有明确的几何意义，通常表 01
示双曲线上的点相对于某一基准点的角度或距离。
通过参数的变化，可以描述双曲线上点的运动轨 02
《双曲线的参数方程》(优质课)省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
例2、
a
b
过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于 A， B两点。
探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
a
y
不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec ,btan）,
b
A
则直线MA的方程为：y b tan ( x a sec ).
1
t
1 (t 是参数, t >0)
yt
t
xt
练习:
1.已知参数方程
化为一般方程,画出方程旳曲线.
2.参数方程
x a sec
y b tan ( 是参数, 2 2 )
表达什么曲线?画出图形.
x2 y 2
如图，设M 为双曲线 2 2 1( a 0, b 0)任意一点，O为原点，
=
1
θ 取一切实数时,A(4sin θ,6cos θ)和 B(-4cos
θ,6sin θ)两点连线段的中点轨迹是( B ).
A.圆
B.椭圆
C.直线
D.线段
【解析】设中点 M (x, y),则
= -,
消去 θ,得 + =2,即
= + ,
= ,
(α 为参数).
=
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,
且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为
参数方程为
(4, ),判断点 P 与直线 l 的位置关系;
(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的
a
b
过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于 A， B两点。
探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
a
y
不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec ,btan）,
b
A
则直线MA的方程为：y b tan ( x a sec ).
1
t
1 (t 是参数, t >0)
yt
t
xt
练习:
1.已知参数方程
化为一般方程,画出方程旳曲线.
2.参数方程
x a sec
y b tan ( 是参数, 2 2 )
表达什么曲线?画出图形.
x2 y 2
如图，设M 为双曲线 2 2 1( a 0, b 0)任意一点，O为原点，
=
1
θ 取一切实数时,A(4sin θ,6cos θ)和 B(-4cos
θ,6sin θ)两点连线段的中点轨迹是( B ).
A.圆
B.椭圆
C.直线
D.线段
【解析】设中点 M (x, y),则
= -,
消去 θ,得 + =2,即
= + ,
= ,
(α 为参数).
=
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,
且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为
参数方程为
(4, ),判断点 P 与直线 l 的位置关系;
(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的
《双曲线的参数方程》教学案1
《双曲线的参数方程》教学案1【使用课时】：1课时【教学目标】：1. 知识与技能：了解双曲线的参数方程及参数的的意义2. 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程3. 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识【教学重点】：双曲线数方程的定义和方法 【教学过程】：一、课前准备复习1：圆x 2+y 2=r 2(r>0)的参数方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的参数方程: 复习2：椭圆 的参数方程为 。
二、新课导学学习探究探究任务一：1.双曲线的参数方程的推导：双曲线12222=-b y a x 参数方程)0(12222>>=+b a b ya x12222=-b y a x ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x双曲线 的参数方程为注：（1）ϕ的范围__________________________（2）ϕ的几何意义___________________________【例1】：双曲线23tan 6sec ({x y ααα==为参数） 的两焦点坐标是 。
• bao xy) MBA'B 'A ϕ过关检测例2、 2222100(,)x y M a b O a bM A B MAOB -=>> 如图，设为双曲线任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于，两点。
探求平行四边形的面积，由此可以发现什么结论？O BMA xy3．方程{t tt tx y e ee e--=+=-（t 为参数）的图形是 。
4． 已知某条曲线的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1(21)1(21a a y a a x 其中a 是参数。
则该曲线是（ ）A 线段B 圆C 双曲线的一部分D 圆的一部分5．求过P （0，1）到双曲线122=-y x 最小距离的直线方程。
6．设P 为等轴双曲线122=-y x 上的一点，1F ，2F 为两个焦点，证明221OP P F P F =⋅___________tan 34sec 32{1的两个焦点坐标、求双曲线αα==y x A ______________)(tan sec 3{2的渐近线方程为为参数、双曲线ϕϕϕ==y x B课外作业1．已知参数方程 (t 是参数, t >0)化为普通方程,画出方程的曲线.2．参数方程 表示什么曲线?,画出方程的曲线11x t ty t t =+=-sec tan x a y b αα==(,)22ππαα-<<是参数22223.1(0),.x y b a A B a b-=>>+22若双曲线上有两点与它的中心的连线互相垂直.11求证:为定值|OA||OB|教后反思。
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
[悟一法] 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲 线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解 过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可 将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．
[通一类] 1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶 点．
证明：设双曲线为 x2－y2＝a2，取顶点 A(a,0)， 弦 B′B∥Ox，B(asecα，atan α)，则 B′(－asecα，atan α)． atan α atan α ∵kB′A＝ ，kBA＝ ， －asecα－a asecα－a ∴kB′A·BA＝－1. k ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点.
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为
x＝2pt2 y＝2pt
，t∈ R .
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点 连线的 斜率的倒数 ．
[小问题·大思维]
1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？ 提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点 M的离心角)，而不是OM的旋转角．
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长 线上， M 为线段 OP 且
x＝2t， 的中点， 抛物线的参数方程为 y＝2t2，
x0＝4t， 由中点坐标公式得 y0＝4t2，
1 2 变形为 y0＝4x0，即 x2＝4y. 表示的为抛物线．
[悟一法] 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需 要引入一个中间变量即参数(将 x，y 表示成关于参数的函数)，然 后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点 的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
平方得 1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即 5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 3 解得 sin φ＝1 或 sin φ＝－5. sin φ＝1 时，cos φ＝0(舍去)． 3 4 sin φ＝－5时，cos φ＝± . 5 5 3 5 3 ∴P 的坐标为(4，－4)或(－4，4)．
[通一类] 2．已知抛物线
x＝2t2 C： y＝2t
(t 为参数)，设 O 为坐标原点，点 M
在抛物线 C 上，且点 M 的纵坐标为 2，求点 M 到抛物线焦点 的距离．
4-4第二讲双曲线、抛物线的参数方程经典课件
题组一： 写出下列双曲线的参数形式： 2 2 x y 1、 1 9 16 2 2 y x 2、 1 9 7 2 2 x y 3、 1 36 64 2 2 4、 3 x y 75
题组二： 已知双曲线的参数形式，写出普通式： 1
２
３
x 2sec y 3tan x 5sec y 7 tan 1 x sec 3 y tan
(0, )
y
x 2 py
2
o
x
令t tan
x 2 pt x 2 pt (t为参数) 2 y 2 pt (t R) y 2 pt2
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形
o
焦
点
准
线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
y
﹒
o
x
例1：如图，O是直角坐标原点，A、B 是抛物线y2=2px (p>0)上异于顶点的两 动点，且OA⊥OB，OM ⊥AB并与AB 相交于点M，求点M的轨迹方程 y
x a sec 所以M的轨迹方程是 (为参数) y b tan
x2 y2 消去参数后，得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b
a
y
A B' o B
•M
A' x
M
x
2 2 a2(sec2 -tan2 ) = sin2 = a tan a b ab . 4cos2 2 2 a 2
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，(3) -----抛物线的参数方程
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������
������
t≥0,可知 0≤t≤1,得 0≤y≤2.
3
椭圆
������ ������
= =
������������������������������������������������������������,的离心率是
������ ������
.
4
已知点 M(x,y)是椭圆������������+������������=1 上的任意一点,求 x-y
tan φ=-������,∴x-y 的取值范围是[-5,5].
������
双曲线的参数方程
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的参数方程为：
y
a
A B' • M
x
y
a b
tan
(为参数)
通常规定 [o,2 )且
，
3
。
b
22
说明：
o B A' x
为( D ).
A.x2+������������=1
������
B.x2+������������=1(0≤x≤1)
������
C.x2+������������=1(0≤y≤2)
������
D.x2+������������=1(0≤x≤1,0≤y≤2)
������
【解析】x2=t,������������=1-t=1-x2,x2+������������=1,而 t≥0,1-
为参数);
椭圆������������������������+������������������������=1(a>b>0)的参数方程为
������ ������
= =
������������������������������������������������������������,(φ
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵se双c2曲线的1参t数an方2 程相可比以较由而方得程到，ax22所以by22双曲1与线三的角参恒数等方式程
的实质是三角代换.
练习
与参数方程 ������ = ������, (t 为参数)等价的普 ������ = ������ ������ + ������
������
(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的 最小值.
在椭圆������������+������������=1 上找一点,使这一点到直线 x-
������������ ������������
2y-12=0 的距离最小,并求这个最小值.
������ ������������
的取值范围.
【解析】 ∵点 M(x,y)是椭圆������������+������������=1 上的任意
������ ������������
一点,则设 M 为(3cos θ,4sin θ), ∴x-y=3cos θ-4sin θ=5sin(φ-θ),其中
通方程为( D ).
A.������������-x2=1
������
B.������������-x2=1(x≥0)
������
C.������������-x2=1(y≥2)
������
D.������������-x2=1(x≥0,y≥2)
������
【解析】由参数方程
������ =
������,
二、圆锥曲线的参数方程
1、椭圆的参数方程 2、双曲线的参数方程 3、抛物线的参数方程
复习
椭圆的参数方程
椭圆������������+������������=1(a>b>0)的参数方程为
������ ������
= =
������������������������������������������������������������������������,������(������ φ
θ,得������������+������������=2,即
������ ������
������������+������������=1.选择 B.
������ ������������
2
与参数方程 ������ = ������, (t 为参数)等价的普通方程 ������ = ������ ������-������
作业：
椭圆的参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的 参数方程为 ������ = ������������������������������,(α 为参数).
������ = ������������������������ (1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为 (4,������),判断点 P 与直线 l 的位置关系;
t
化为普通方程,画出方程的曲线.
2.参数方程
x y
a sec b tan
(是参数,
2
)
2
表示什么曲线?画出图形.
例2、如图，设M
为双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)任意一点，O为原点，
过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。
探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
a 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec,btan）,
y
则直线MA的方程为：y b tan b (x a sec).
将y=
b
a x代入①，解得点A的横坐标为
同设理A可aOx得=，,x点 则A =Bta2（的 ans横 ec坐b标.t为anxB =）a2（. sec tan）.
(t 为参数)
������ = ������ ������ + ������
消去参数 t,得������������-x2=1,但由于 x= ������≥0,t≥0,而
������
y=2 ������ + ������≥2,故选 D.
练习:
1.已知参数方程
x t1 t
y t 1 (t 是参数, t >0)
①
A
M
O B
x
所以MAOB的面积为
a
S YMAOB
=|OA|•|OB|sin2
=
xA
cos
•
xB
cos
sin2
=
a2(sec2 -tan2 4cos2
)
•
sin2
=
a2 2
•
tan
a2 2
•
b a
ab . 2
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。
为参数).
1 θ 取一切实数时,A(4sin θ,6cos θ)和 B(-4cos
θ,6sin θ)两点连线段的中点轨迹是( B ).
A.圆
B.椭圆 C.直线 D.线段
【解析】设中点 M (x, y),则
������ ������
= =
������������������������������������������������������������-+������������������������������������������������������,������,消去