十章边界层理论

为使
~ 也具有O(1) 的量阶，对内层无量纲速度重新定义， v
v ，则内层的无量纲方程改写为: u
~ 令 v
由内区的连续性方程
~ u ~ o (1) u ~ ~ 1 v u u ~ o (1) ~ ~ o (1) ~ x y x ~ x ~ o (1) L y ~ ~ ~ o ( ) y ~ o (1) v L
10.2.2
相似解的条件及构造方法
10.2.1
以不可压流体在平板上作定常层流流动为例说明。
（1）引入线性变换群 原变量系（u, v, x, y, ue) 新变量系 (u , v , x , y , u e )
u v 0 x y du 2u u u ue e 2 u v dx y y x y 0, u v 0 y , y ue ( x) 在粘性系数ν边界层外边界速度 ue 已定的情况 u / ue f ( x, y) f ( ) 下，η是相似变量。
0
udy
二者之差是由于粘性而产生的动量损失，这部分损失相当于 以主流流速ue通过厚度为δ2的理想流体具有的动量。
u 2 2
e


0
u e udy uudy
0

1
( )
0
(1
u ) dy ue e
2

( )
0
u u (1 ) dy eue ue
~ v ~ u ~ 0 ~ x y 2~ ~ ~ ~ u ~ ~ u p 1 ( u 1 u ~ v ~ ~ ~ x y x Re x 2 2 2~ ~ ~ ~ ~ v v ~ v ) 1 p ( v (u ~ ~ ~ ~ x y y Re x 2
u v 0 x y u u u u p 1 2u 2u v ( ) x y x Re x 2 y 2 v v p 1 2 v 2 v v ( ) x y y Re x 2 y 2
u
,v x y
b . 以无粘流解物面的流动参数为边界层方程的外边界条件，求 解边界层方程。即将无粘流边界的压力按伯努利方程算出，它 等于边界层内的压力。
1 dp due ( x,0) p0 ue p ( x,0) ue 2 x x
2


0
u u (1 ) dy ue ue


0
u u (1 ) dy ue ue
非定常边界层：这时边界层厚度、壁面摩擦力等都是时间函数 薄层近似：边界层方程可以应用到其他任意薄的粘性剪切流、 混合流、射流等。
10.2
不可压缩流体层流边界层的相似解（Similarity Solution ） 相似解的概念
du 2u u u A ( 2 5 1 ) u e e A ( 3 2 2 ) A ( 3 4 2 ) v y 2 y dx x v u A ( 4 2 ) y x
2~ ~ ~ ~ ~ u v ~ u p u u ~ ~ ~ x y x ~ y2 ~ p 0 ~ y
边界层理论的主要结论： a . Re>>1时，边界层横向尺度

L 1 Re
b . p / y 0 ，边界层内压力可由主流区得到。
c.
~ ~ 2u 2u ~ 2 ，可忽略流动方向的粘性力项。在数学上看，不可压 ~ x2 y
V V ~ u / L
2 e
y
ue δ x

0
u e dy
由于粘性，实际通过的流体质量
单位体积流体的粘性力 V
2


0
udy
2V ~ u e / 2
惯性力与粘性力在边界层中具有同量阶，即
二者之差是因存在粘性而减少的流 量，这部分流量只能被排挤到主流中去， 即向当于主流区中增加了厚度为δ1的一层 流体。又称边界层流量排挤厚度。
边界层方程的有量纲形式 :
u v 0 x y u du 2u u u ue e 2 v dx y y x y 0, u v 0
dp due 利用边界层边缘处 ~ p(~ x ) p ( x ,0); ue x x 代入边界层方程,得:
取ε=1/Re 为小参量对流动变量作常规的摄动展开。 令：
u i u i( 0 ) u i(1) 2 u i( 2 ) p p ( 0 ) p (1 ) 2 p ( 2 )
代入无量纲方程，再按ε0,ε1 阶展开，忽略高阶小量则有 零阶方程： u j
( 0 )


B.C. ：壁面条件:
~ v ~ u ~ 0 ~ x y 2~ ~ ~ u ~ u u du e u ~ u ~ v e ~ ~ ~ dx y 2 y x ~ ~ ~ y 0, u v 0
y , y ue ( x)
c. 高阶耦合解 第一种方法：用摄动展开的高阶方程 第二种方法：对上述计算进行修正，以边界层外边界进行 计算 10.1.3 边界层厚度δ的各种意义
u e2
L
~
~
ue ~ 2
L ue
L u L , Re e Re
u e 1 u e dy udy
0 0



L
1 1 L Re
高雷诺数条件下，边界层厚度 远小于被绕物体的特征长度
1 (1
0

u ) dy ue
第十章 边界层理论基础
基本内容 1.边界层动力学方程； 2.不可压流体层流边界层的相似求解； 3.卡门动量积分关系式 4.边界层内的流动与分离原理； 5.绕平板定常湍流边界层求解
1Байду номын сангаас.1 牛顿流体大雷诺数的定常绕流
10.1.1 高雷诺数流动常规摄动的奇异性 若忽略质量力，常物性的不可压定常流动的 N-S 方程可写成 ：
显然，ε0 阶方程是欧拉方程，即大雷诺数的常规摄动近 似是理想流动，它不满足固壁无滑移条件。因此，常规摄动展 开得到的低阶近似方程在固壁处有奇异点，不能描述壁面的真 实流动。
平壁面绕流的边界层
外区：常规几何尺度L, 速度尺度u∞ 内区：贴近壁面很小的几何尺度
~ L ( 1),
u x 1 , Re Re
~ u ( x) 内外区衔接条件: ~ y , u e
2
10.1.4 边界层厚度的各种意义δ （1）边界层名义厚度 δ：以u=0.99ue位置和壁面间的距离定义 为边界层名义厚度。以平板绕流估计边界层名义厚度量阶 单位体积流体的惯性力 V V
10.1.4边界层厚度的各种意义δ （2）边界层排挤厚度（位移厚度）δ1 单位时间内通过边界层某一截面的流体若为理想流体，则其质 量流量应为
流体定常流动的边界层方程是抛物型方程。 （3）绕流问题的内外区耦合求解 求解的具体步骤： a . 首先利用理想流体边界条件求解物体绕流问题的势流方程， 得到全场无粘流解。势函数（无量纲方程中） 势函数（无量纲方程中）φ
阶分析的方法取得了内层方 程 —— 边界层方程。按摄 动法得到的ε0 阶方程也与上 述方程相同。按摄动法还可 得到更高阶的边界层方程。
（2）Re>>1 的内外区摄动展开方程 按上面定义的无量纲量得到在内外区的表达式 外区无量纲方程：
外区尺度无量纲化： x y u v p x , y , u ,v , p L L u u u 2 内区尺度无量纲化：
x y y ~ u ~ v ~ p ~ x ,~ y ,u ,v ,p L L L u u u 2
渐进衔接条件：内区解的外极限等于外区解的内极限
~(~ x, ~ y ) lim u lim u
~ y y 0
(x , y ) ( x , y )


p(~ x, ~ y ) lim p lim ~
~ y y 0

1
内区无量纲方程:
~ 1 v ~ u 0 ~ ~ x y 2~ 2~ ~ ~ ~ ~ ~ u v u p 1 ( u 1 u ) u ~ x ~ y ~ x Re ~ x 2 2 ~ y2 2~ 2~ ~ ~ ~ ~ ~ v v v 1 p 1 ( v 1 v ) u 2 2 ~2 ~ ~ ~ ~ x y y Re x y
10.1.2普朗特理论 —— 有粘、无粘流动的渐进衔接方法 普朗特于1904年提出边界层概念，用量级分析方法导出 边界层方程 ： 定常绕流中流体粘性只在贴近壁面极薄的一层 —— 边界层 内主宰流体运动，边界层外的流动可近似为无粘的理想流动。 （1）两种尺度的分区流动现象 设均匀定常来流绕过极薄的平板，流动的特征雷诺数很 大。平板展向无限长，流动是二维的。 流动的两个区域
~ 2u ) ~ y 2 ~ 1 2v ) 2 ~ y 2
~ v ~ o ( ) ~ y
注意到 恒方程中
1 ，从上述分析中可见，在 x 方向的动量守 Re
~ ~ 1 2u 2u 2 ~ 2 2 ~ y x
y 方向的动量守恒方程 2 2~ 2~ ~ ~ ~ ~ v v ~ v ) p ( v 1 v ) 2 (u 2 2 ~ ~ ~ ~ ~ x y y Re x y 2 相对于 x 方向的动量守恒而言， y 方向的动量守恒是在ε2量阶上 的守恒。 将y 方向的动量守恒改写为 ~ p / ~ y 0 ，表明边界层内，压力只 沿流向变化，法向为常数，此时内层的方程简化为： ~ v ~ u 0 说明：此处实际上是用了量 ~ x ~ y
uj
u i 2ui 1 p x j x 2 xi j
u p p x , p ,x 2 u u L
参量无量纲化： u
无量纲方程： u j
u i p 1 2 u i x j xi Re x j x j
ui(0) p( 0) , x j xi
ui(0) 0 xi
(0) u j
一阶方程：
(1) ui(1) p (1) 2ui( 0) (1) ui u j x j x j xi x j x j
ui(1) 0 xi


0
(1
u ) dy ue
10.1.4边界层厚度的各种意义δ （3）动量损失厚度δ2 单位时间内通过边界层某一截面的流体质量 若为理想流体，则应具有的动量是 u e
10.1.4边界层近似的推广




曲面边界层：边界层方程中流向坐标 x 应是沿曲壁的曲线坐
0
udy
标，横向坐标 y 是垂直于曲壁的法向坐标，Ue是绕曲壁无粘流动 势流速度。 可压缩边界层：大雷诺数可压缩边界层近似方程中边界层厚度 （考虑边界层内流体密度变化）
问题：什么条件下有相似解？ 如何求相似变量η ？
x A 1 x , y A 2 y , u A 3 u , v A 4 v , u e A 5 u e
述关系代入边界层方程，得
(*)
式中A是变换系数，α1,α2,α3,α4,α5 是待定常数。将上
A ( 2 3 1 ) u A ( 3 1 )