十章边界层理论
边界层理论
1.边界层理论概述 (1)1.1 边界层理论的形成与发展 (1)1.1.1 边界层理论的提出 (1)1.1边界层理论存在的问题 (2)1.2 边界层理论的发展 (2)2边界层理论的引入 (3)3 边界层基础理论 (4)3.1 边界层理论的概念 (4)3.2 边界层的主要特征 (6)3.3边界层分离 (7)3.4 层流边界层和紊流边界层 (9)3.5 边界层厚度 (10)3.5.1 排挤厚度 (11)3.5.2 动量损失厚度 (11)3.5.2 能量损失厚度 (12)4 边界层理论的应用 (14)4.1 边界层理论在低比转速离心泵叶片设计中的应用 (14)4.2 边界层理论在高超声速飞行器气动热工程算法中的应用 (14)4.3 基于边界层理论的叶轮的仿真 (15)参考文献 (17)1.边界层理论概述1.1 边界层理论的形成与发展1.1.1 边界层理论的提出经典的流体力学是在水利建设、造船、外弹道等技术的推动下发展起来的，它的中心问题是要阐明物体在流体中运动时所受的阻力。
虽然很早人们就知道，当粘性小的流体（像水、空气等）在运动，特别是速度较高时，粘性直接对阻力的贡献是不大的。
但是，以无粘性假设为基础的经典流体力学，在阐述这个问题时，却得出了与事实不符的“D'Alembert之谜”。
在19世纪末叶，从不连续的运动出发，Kirchhoff，Helmholtz，Rayleigh等人的尝试也都失败了。
经典流体力学在阻力问题上失败的原因，在于忽视了流体的粘性这一重要因素。
诚然，在速度较高、粘性小的情况下，对一般物体来说，粘性阻力仅占一小部分；然而阻力存在的根源却是粘性。
一般，根据来源的不同，阻力可分为两类：粘性阻力和压差阻力。
粘性阻力是由于作用在表面切向的应力而形成的，它的大小取决于粘性系数和表面积；压差阻力是由于物体前后的压差而引起的，它的大小则取决于物体的截面积和压力的损耗。
当理想流体流过物体时，它能沿物体表面滑过（物体是平滑的）；这样，压力从前缘驻点的极大值，沿物体表面连续变化，到了尾部驻点便又恢复到原来的数值。
边界层理论
x x 2 x x y x y y 2
y
U y 2 x g ( x)
g ( x)
2 x U
( x, )坐标下流函数
f ( )
f
2U x
2U
x f ( )
( x, y )
坐标下流函数
( x, y)
u y
v
U f f ' 2x
《高等流体力学》
汪志明教授
22/124
§4 半无限大平板层流边界层勃拉修斯解—数值解
用数值的方法直接求解勃拉修斯方程的一些结果
0.0
f
0.0000000
f'
0.000000
f ''
0.469600
0.1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
《高等流体力学》
v x
汪志明教授
20/124
§4 半无限大平板层流边界层勃拉修斯方程
x y 0 x y
y0 y u v 0 u V
x
x x y x x y y 2
2
u
y y
不可压缩粘性流体稳定、二维层流流动N-S方程
2 x 2 x x x 1 p x y gx x 2 y 2 x y x 2 y 2 y y y 1 p x y gy 2 x 2 x y y y
0.423368
0.410565 0.395984 0.379692 0.361804 0.342487 0.321950
1.8
1.9
边界层理论及边界层分离现象
边界层理论及边界层分离现象一.边界层理论1.问题的提出在流体力学中,雷诺数Re∝惯性力/粘性力,当Re<1时,惯性力<<粘性力,可以略去惯性力项,用N-S方程解决一些实际问题(如沉降、润滑、渗流等),并可以获得比较满意的结果。
但对于工程流动问题,绝大多数的Re很大。
这时就不可以完全略去粘性力,略去粘性力的结果与实际情况相差很大。
突出的一例即“达朗倍尔佯谬——在流体中作等速运动的物体不受阻力。
”究竟应当怎样才能正确地处理大Re数的流动呢?这个矛盾一直到1904年,德国流体力学家普朗特提出了著名的边界层理论,即大Re数的流动中,大部分区域的惯性力>>粘性力,但在紧靠固壁的极薄流层中,惯性力≈粘性力,这才令人满意地解决了大Re数的流动的阻力问题。
2.边界层的划分Ⅰ流动边界层(速度边界层)以平板流动为例,x方向一维稳态流动,在垂直壁面的y方向上,流动可划分为性质不同的两个区域:(1)y<δ(边界层):受壁面影响,法向速度变化急剧,du/dy很大,粘性力大(与惯性同阶),不能忽略。
(2)y>δ(层外主流层):壁面影响很弱,法向速度基本不变,du/dy≈0。
所以可忽略粘性力(即忽略法向动量传递)。
可按理想流体处理,Euler方程适用。
这两个区域在边界层的外缘衔接起来,由于层内的流动趋近于外流是渐进的,不是突变的,因此,通常约定:在流动边界层的外缘处(即y=δ处),ux=0.99u∞,δ为流动边界层厚度,且δ=δ(x)。
Ⅱ传热边界层(温度边界层)当流体流经与其温度不相等的固体壁面时,在壁面上形成流动边界层,同时,还会由于传热而形成温度分布,可分成两个区域:(1)y<δt(传热边界层):受壁面影响,法向温度梯度dt/dy很大,不可忽略,即不能忽略法向热传导。
(2) y>δt(层外区域):法向温度梯度dt/dy≈0,可忽略法向热传导。
通常约定:在传热边界层的外缘处(即y=δt处),ts-t=0.99(ts -t0) ≈ ts-t0,δt为温度边界层厚度,且δt=f(x);ts为壁面温度;t0为热边界层外(主流体)区域的温度。
边界层理论
1. 引言像交织着爱、恨及相互需要的情侣关系一样，科学和技术之间的历史关系也是那样的令人惊讶和热烈．明显地，我们深深着迷于自亚里士多德、伽利略、牛顿、莱布尼兹一直到爱因斯坦在研究运动时通过思考获得的惊人科学奇迹，同时从车轮、天文望远镜、航天器到计算机的成功技术也是那样地引人入胜．超越世俗的孰优孰劣的疑问，科学和技术难道不是智慧和理性的两张面孔吗？对于引导我们到达宏观世界知识最外缘的数学模型，物理学家能对此满意吗？显然不，人们更需要去认识客观事物、去检验理论、去实验、去模拟和去探索，同时人们也需要去寻求、创造和理解．如今，运动力学（the science of motion-the mechanics-）是建立在数学建模、数值模拟和实验基础上的，后三者相互支撑并确保其平衡．但是，现今实验的成本、建模的难度、数值计算强度的增加都破坏了这个漂亮的结构，使之凌乱不堪．由物理学家构建的数学模型和数学之间的紧密联系要求数学模型的解能够使我们在绝大多数情况下忽略模型的分析而偏重于它的数值解，但有时这是非常困难的．很显然，力学家虽然没有耐心等待数学家对数学模型进行慢慢地分析,但是他们却一定准备沿着一条充满了严谨的启发推理的数学之径前行．自莱布尼兹和十分精确的几何领域中的分析出现后，许多数学工具得到使用．在数学模型的发展和寻求其解中，数学力量对物理学的进步贡献卓越．间或，一些令人惊讶的成果在被物理学家普遍称为“近似理论”中取得．因此，在众多的近似和分析理论中，发散级数被长期使用．数学家对这些级数的情有独钟绝非毫无根据．从明确定义的函数中计算出的级数的各项一定蕴含了扩展函数的信息．一般的，发散级数仅仅是渐进级数．和收敛级数不同之处是渐进级数是部分和，而这种部分和是扩展函数在当某个确定参数很小时的较好的表示．当参数为零时，函数被级数的首项精确表示．当参数非零但很小时，任意部分和是函数的近似．小参数一般用ε来表示．在物理学中,想将一个研究中的数学模型推导成其解是原模型近似解的简化模型，小参数是个决定因素，除了渐进级数的概念外，这还是个渐进展开的概念，也许在更一般的意义来讲，这也是一个近似的概念，而近似正是我们思考的核心．像“理论”这个词的含义有多种理解一样，“近似”一词也有多种解释．即使我们在数理物理学方面自我要求苛刻，但一些歧义依然存在．对照于由欧几里得规范的严格的推理要求的说法，“近似”一词有两种含义．当一种渐进近似获得之后，对于数学家而言，依据数学公式让ε取值足够小，近似的精确度就会非常明确．另一方面对于物理学家来说，近似就是寻找一个参数特定的值但精确度事前却未知．本书的主要目的就是通过提出一种连续的完备的扩张方法使得这两种定义一致．而这种SCEM 方法考虑的就是遵循一些严格的数学程序不得不解决的具体问题．而SCEM 方法讲述的正是贯穿本书的主题，被称之为奇异摄动问题．在这些问题中，当0→ε时，解不会一致趋于让0=ε时的相应的简化方程的解．值得注意的是非一致性是发生在维数小于原始区域的区域中．这也是这类问题被称为边界层的原因．当一个参数很小时，近似解的非一致性是个数学问题．但现在幸运的是，我们作为物理学家能分辨出哪些是已知的物理量，哪些是未知的．这些属于物理问题性质的基础知识能使我们更好地掌握数学模型．这是个具有特征尺度的无量纲化过程的例子， 它能使我们决定一些特定参数是否取得很小．事实上，正是通过被物理描述提供的多种选择去无量纲化才使得奇异摄动受到质疑．在机翼附近的流体只有远离机翼时才是真正意义上的无粘性．然而，对于稳定的不可压流体，作为控制方程的Navier-Stokes 方程，在无量纲的形式中，其物理参数只有雷诺数．现在，如果远离机翼，特征长度尺度就是雷诺数的倒数，和整体相比是非常小的．忽略了雷诺数倒数的项，我们得到的欧拉方程好像粘性消失了．并非流体的粘性系数取了另外的值，而是远离了机翼后速度的梯度足够小，粘性的影响可以被忽略了．这就意味着特征长度尺度的改变将使我们考虑气流壁附近的粘性影响是必不可少的．因此，基于后一种的长度尺度上的雷诺数将不再很大．靠近机翼，Navier-Stokes方程推导成边界层方程，即使这个模型比满足于边界条件的Navier-Stokes模型要简单．如何用在远离机翼时有效的欧拉方程的解和靠近机翼时有效的边界层方程的解去构造一种Navier-Stokes方程的一致有效的近似解呢？这是想解决这类特殊问题的关键之所在．即使研究高雷诺数流体外的其他问题，也是这种主要的思路．如何去寻找一些特征退化的问题和它们的有效区域，如何将它们联系起来，并最终构造一个初始问题的近似，这些都是统领全书的议题的关键点．诚然，应用的主要范围是流体动力学，但是2到6章的部分应用更是广泛且对物理学家来说非常有用，更一般意义上的应用是当我们面对大小参数模型时，我们能想起奇异摄动问题．第2章主要介绍这些问题．甚至最为简单的线性震动的例子都能说明方程的无量纲化过程是能让我们把握数学模型本质的首要关键．在这种框架下，物理学家这种去理解自己研究主题并建构模型的技能显然是解决问题的最强有力的工具．Friedrich's模型问题的简化使精确解很直接，并且对于奇异摄动问题来说，它也是刻画其解主要方法的教学案例．事实上，下一章主要讲两种方法，其中一种是众所周知的匹配渐进展开法，记作MMAE．另外一个方法鲜有人知，就是SCEM，我们也会明白它将是本书剩下的一个中心．第3章处理的是边界层的结构．一般地，物理的考察能给出寻找边界层位置的一些必要的线索．然而，一个简单的问题，一个精确解未知的二阶线性常微分方程，我们能将边界层的位置作为稳定问题来研究．这里给出了几个例子，是寻找一种解的近似和与之要求相应的边界层结构的．在所有的例子中，与初始值问题相比，我们最关注的是至少在局部存在定理无效的边值问题．在讲述正文时，附录能给予补充．在每章的结尾，复杂的问题都能让读者在相应的章节里找到结果．在本书的结尾给出了非常详尽的解．一些问题是真正的研究主题和从未发表的结论导出来的．本书是在法国出版的名为《渐进分析和库什极限》的英文版本．两个版本的大多数章节内容是一样的．其中第9章增补了针对于空气动力学流体的IBL方法的应用，第12章是全新的，用来处理通道流体．这些增补的内容进一步证明了SCEM的有效性．我们非常希望能通过这本书给读者提供一些必要的基本原理（包括数学的、实际的，等等）去理解和应用一些专用于边界层的标准渐进方法．在数理物理学中的许多问题中，这些方法是清楚理解解的结构的基础，而理解解的结构对于得到适当的数值解是非常关键的．此外，对于寻找含有边界层问题解的一致有效近似，我们希望SCEM能给予一个新的解释．在正则形式上，对于这种有效工具，SCEM与MMAE都提供了等效的补充观点．应用这种广义展开的补充，对现在还是不清楚的交互式边界层，SCEM能给我们带来合理的论证．如果推广的SCEM能应用于一些未知领域，那么我们将感到非常欣慰，因为我们工作的目的正是如此．例如，在流体动力学中，不稳定的或者三维的边界层，不稳定性和它们的控制都是将来研究的重要课题．2.奇异摄动问题的介绍物理学中使用的数学模型通常导致一个没有显示解的问题，当小参数出现或当计算区域是很大时，计算它们的数值解也变得相当困难．在这种情形下，往往通过令参数为零或者将研究限制在一个较小的区域，就能简化模型，这就是摄动问题．当小参数趋于零，记为0→ε，可能出现两种情况，一种是原问题的解当0→ε时并不在其定义域内一致地趋向退化问题（Reduced problem ）的解，另一种是在其定义域内一致地趋向退化问题的解．为了解决比较困难的数学问题，奇异摄动问题产生了．为了清楚地描述奇异摄动问题，下面我们来考虑一个积分微分算子（integro-differentialoperator ）εL 并求方程0)],([=Φεεεx L 的一个解),(εεx Φ，这里x 是区域D 中的变量，00εε≤<，0ε是一个固定的充分小的正常数．参数ε是一个无量纲，其蕴含着整个问题都是用无量纲变量来表示的．设0)]([00=Φx L 就是所谓的简化问题，先考虑简单问题，假定范数0Φ-Φε在研究区域D 中很小．用最大模范数，我们有),(0εδεK Max D<Φ-Φ 其中K 是一个不依赖于ε的正常数，)(εδ是一个正函数且.0)(lim 0=→εδε 如果这种性质满足，这个问题就称之为一个正则摄动问题（见问题2-4）．如果一些问题在整个区域D 中不满足上述性质，并且在比区域D 小的一个区域中一个奇点出现，那它就称为一个奇异摄动问题．在本章考虑的模型中，εΦ是已知的．这些教学问题都是用来描述主要的概念性难点以及解决这些难点的各种方法．2.1 正则和奇异问题2.1.1 线性震荡线性振子是正则摄动问题的典型例子．为了进一步地研究，我们来考虑下面的方程0222=++=y dxdy dx y d y L εε (2.1a) 且服从于初始条件.1,000====x x dx dyy (2.1b)函数),(εx y 要求0>x ，并且ε是一个充分小的正参数．所有量都是无量纲．当阻尼很小时，这个方程模拟了质点在阻尼弹性运动系统中的运动．这里“小”的含义在下面的分析中非常重要．下面一个小质量的物理问题是很有趣的．设),,,,(0I k m t y β*是质点离平衡位置的关于时间的位置函数．κ是弹性常数，β是阻尼系数．如果质点是从具有冲量0I 的平衡位置开始运动，那么(2.1a)能记为,022=*++**ky dtdy dt y d m β (2.2a) 且服从于初始条件.,0000I dt dy m y t t ===*=*(2.2b)设y 和x 都是无量纲变量Ly y *=，T t x =， 其中L 和T 分别是未被定义的长度和时间尺度．物体运动源自于冲量，因此令0I m L T =是合理的．有了这些新的变量，(2.2a)就可以写成无量纲形式,0022220=++y dx dy mLk I dx y d k mL I β (2.3a) 且服从于初始条件.1,000====x x dx dyy (2.3b)这样两个无量纲组产生了，并且都包含任意的长度L ，L 可以被m k I L 0=和mk I L 0β=两种方法定义．物理上，两个系数不是同一数量级的，当研究其中一个的小性时，另一个为)1(ο数量级，即可以用渐进分析．下面举两个例子：1.如果是弹性阻尼，第一组k mL I 220比第二组mLk I 0β要大的多，并且 m kI L 0=和k m T =， 因此小参数可以定义为.2m k βε=只要x 有界，下面我们就能看出相应的问题就是典型的正则摄动问题．这还是个小阻尼的例子．方程(2.3a) 化成.0222=++y dxdy dx y d ε根据Poincaré，当0→ε时，解的渐进行为可以按ε的幂展开为.)()()(),(2210 +++=x y x y x y x y εεε对于一个泰勒级数展开，式子中“ ”意味着省略项要比2ε小,并且近似性随着ε越来越小而越来越好．将展开式代入到初始方程并使得相同ε幂的系数相等，下面的方程来自于ε的零次幂系数和一次幂系数．)a 00202=+y dx y d ,1,00000====x x dx dy y)b dx dy y dx y d 012122-=+ .1,00101====x x dx dy y关于0y 的第一个问题是退化问题，能够得出无阻尼解.sin 0x y =关于1y 的第二问题能得到一个修正,sin 1x x y -=于是，一个近似解为.sin )1( +-=x x y ε可以看出，在有限时间区间τ<<x 0（其中τ不依赖于ε）中近似是一致有效的，修正很小．如果时间区间很大，近似无效．通过令1=ετ就能看出．由于时间区间太大，在展开式中出现奇点，所以这类问题被称之为“无穷时间”问题 ．这个专业术语来自于行星运动轨迹的研究．在小的时间尺度下由摄动方法获得的解是有效的，但是“无穷时间”项如果超过以一百年为阶的时间尺度，那它将没有什么实际意义．拿上述的近似解与精确解做比较，我们可以获得启发．由（2.6）给出的近似解正是精确解x e x y x221sin 1),(εεεε--=-泰勒级数展开的第一项．2.第二种情况．质量小，长度和时间尺度是mk I L 0β= 和.k T β=小参数ε是由2βεmk=定义的，(2.3a) 化成022=++y dx dy dx y d ε，.1,000====x x dx dyy （2.7）这个问题是个典型的奇异摄动问题，这奇异摄动问题恰好就是本书的主题．2.1.2 无穷时间问题我们考虑这个方程,0=+=y dxdy y L εε (2.8a) 服从初始条件 10==x y (2.8b)我们求它在0≥x 时的解．用如同（2.5）一样的展开，我们找到一个形如+++++=)()()()(),(2210x y x y x y x y x y n n εεεε的y 的近似值．将这个展开式代入（2.8a ）并使得相同ε幂的系数相等，得出下列相继的方程结果：1.00=dxdy 具有初始条件.100==x y 2.01y dxdy -=具有初始条件.101==x y 3.1--=n n y dx dy 具有初始条件.10==x n y 整理关于n y y y ,,10的这些解，得出.!)1(21),(22+-+++-=n x x x x y n n εεεε （2.9） 从精确解x e x y εε-=),( (2.10)我们可以看出困难之所在了．当x 变得很大时，对于一些项的考察，上面的展开将不再有效．显著的特点就是当ε很小和x 有界时，无穷级数能收敛到精确解，赋予ε一些值，则级数的部分和就是近似解．这时的展开式是一个收敛级数，而其部分和就是渐进展开的最简化形式．当x 大于原点的邻域时，为了转移奇性我们进行坐标变换.11+=x t图2.1 （2.8a ）的近似解由（2.9）给出的；y 的精确解由（2.10）给出的．令),(),(εεx y t Y ≡，我们能将（2.8a ）写成02=-=Y dtdY t Y L εε （2.11a ） 并服从于条件 .11==t Y （2.11b ）一个直接的展开.)()()(),(2210 +++=t Y t Y t Y t Y εεε导出近似解 .)21121()11(1),(22 ++-+-+=tt t t Y εεε （2.12） 相继的近似在原点附近有越来越多的奇性（图2.2）．通过展开下面的精确解可以看出．)]11(exp[),(--=t t Y εε （2.13）这个特点在相似的问题中也存在，但我们使用一个特殊的方法可以处理．下面考虑方程0)(=++=y dxdy y x y L εε .11==x y （2.14） 我们在区间10≤≤x 中求解．图 2.2 （2.11a ）的近似解由（2.12）给出的；Y 的精确解由（2.13）给出的．展开式 )()(),(10x y x y x y εε+=导出下列方程 1.000=+y dxdy x.110==x y 2.dxdy y y dx dy x 0011-=+ .011==x y 结果 +-+=)11(211),(2x x x x y εε （2.15） 能清楚地看出在原点附近，第二个近似比第一个近似的奇性多（图2.3）．精确解12),(22+++-=εεεεx xx y （2.16）在原点是有界的，对于ε大于0的任意值，12),0(+=εεy ，这是一个典型的“无穷时间”问题．图 2.3 （2.14）的近似解由（2.15）给出的；y 的精确解由（2.16）给出的．2.1.3 奇异问题奇异问题的原型是由Friedrichs[36]介绍的，用来证明由Prandtl[78]提出的边界层和粘性流体的一个匹配的．我们考虑下面一个方程 022=-+=a dxdy dx y d y L εε ,10<<a （2.17a ） 服从于边界条件,1,010====x x y y （2.17b ）我们在区间10≤≤x 中求解．这是一个比初始值问题复杂一些的边界值问题，像本章的其他研究问题一样，它的精确解是已知的．0=ε时，它的退化问题是0000=-=a dxdy y L ， 其解由A ax y +=0给出．这里的A 是一个常数，由两个边界条件决定．一般地，同时满足两个边界条件是不可能的．这个特点是某些奇异问题所特有的．当0=ε时，退化问题的阶要比初始问题的阶要低．如果边界条件0=x 是强行赋予的，解则变成.0ax y =由于a y =)1(0，所以这种近似不是一致有效的．类似地，如果强行赋给一个边界条件1=x ，则解变成,10a ax y -+= （2.18）它使得.1)0(0a y -=边界条件在原点不满足一定表明这是一个非一致收敛区域。
边界层理论(Boundary layer theory)--西安交大
）之外的流体速度就形成：润湿→附着→内摩擦力→减速→梯度
边界层内：沿板面法向的速度梯度很边界层外：不存在速度梯度或速度梯度
流体在平板上流动时的边界层：
流动边界层：存在着较大速度梯度的流体层区域，即流速降为主体流速的99％以内的区域。
边界层厚度：边界层外缘与壁面间的垂直距离。
层流边界层：在平板的前段，边界层内的流型为层流。
湍流边界层：离平板前沿一段距离后，边界层内的流
直管内：流体须经一定的距离才能形成稳定的边界层。
由于总流量不变，中心流速增加。
边界层占据整个管截面。
与物体的长度相比，边界层的厚度很小；边界层内沿边界层厚度的速度变化非常急边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；
边界层中各截面上的压强等于同一截面上在边界层内粘滞力和惯性力是同一数量级边界层内流体的流动存在层流和紊流两种
圆柱后部：猫眼
扩张管（上壁有抽吸）
B
S′
A
涡，这种旋涡具有一定的脱落频率，称为卡门涡街.
湍流产生的原因：
湍动强度
在模型实验中，模拟湍流，要求雷诺数和湍动强边界层的转变、分离以及热量和质量传递系数等
依微分方程的个数：零方程模型、一方
FLUENT软件在化学处理领域主要可应用 于：
燃烧 干燥 过滤 传热和传质 材料处理 混合 反应 分离 蒸馏 喷射控制 成型 焚化 测量/控制 聚合 沉淀 通风
。
边界层理论
6.95 5 10 1.965 4 0.15 10 3
3
从表12-1中，用内插法，查得
vx ' f ( ) 0.619 U
所以 Vx ＝0.619Ｕ＝4.3ｍ/ｓ
（2）按上例条件，求ｘ＝３ｍ处的边界层厚度δ
解:
按定义边界层外边界上速度 Vx=99％Ｕ
查表12-1，找出 由
v y ~
v 2v 1 y x ~ 1， ~ , 2 x y v y ~ , x 2v y ~ 2 x
v 1 x ~ y
2v 1 x ~ 2 2 y
化简后为
vx vx 2 vx 1 p vx vy x y x y 2 p 0 y v y vx 0 x y
由于f和η 均为无量纲量，且在方程及边界 条件中不显含ν 及Ｕ，故所得结果可以一劳永逸 地应用。 表12-1给出问题的数值解，其中
vx f ( ) U
'
就
是边界层内无量纲的速度分布。
例7.1
本例说明上表12-1的用法。
(1)
欲求边界层内点（x,y）的速度Vx（x,y）
U 可将ｘ及ｙ的值代入 y x 中得出η 值，由
LU 2
Re L
b
总摩擦阻力系数Ｃｆ由下式确定：
1.328 Cf 1 2 Re L 2 U bL
L
Rf
（12-21)
为按平板板长计算的雷诺数。算出 式中 Re Re
UL
摩擦阻力系数后，可确定平板层流边界层情况 下的摩擦阻力为：
1 2 R f C f U bL 2
(12-22)
1 p p p ( p dx)d ( p dx)( d ) 0 dx 2 x x p dx 0 dx x
流体力学第8、10、11章课后习题
第八章 边界层理论基础一、主要内容（一）边界层的基本概念与特征1、基本概念：绕物体流动时物体壁面附近存在一个薄层，其内部存在着很大的速度梯度和漩涡，粘性影响不能忽略，我们把这一薄层称为边界层。
2、基本特征：（1）与物体的长度相比，边界层的厚度很小；（2）边界层内沿边界层厚度方向的速度变化非常急剧，即速度梯度很大； （3）边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；（4）由于边界层很薄，因而可以近似地认为边界层中各截面上压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；（5）在边界层内粘性力和惯性力是同一数量级；（6）边界层内流体的流动与管内流动一样，也可以有层流和紊流2种状态。
（二）层流边界层的微分方程（普朗特边界层方程）22100y x x xy y x v pv v v v xy x y py v v x y νρ⎧∂∂∂∂+=-+⎪∂∂∂∂⎪⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂∂⎪+=∂∂⎪⎩其边界条件为：在0y =处，0x y v v == 在δ=y 处，()x v v x =（三）边界层的厚度从平板表面沿外法线到流速为主流99%的距离，称为边界层的厚度，以δ表示。
边界层的厚度δ顺流逐渐加厚，因为边界的影响是随着边界的长度逐渐向流区内延伸的。
图8-1 平板边界层的厚度1、位移厚度或排挤厚度1δδδδ=-=-⎰⎰1001()(1)x x v v v dy dy v v2、动量损失厚度2δδρρ∞∞=-=-⎰⎰221()(1)x x x x v vv v v dy dy v v v（四）边界层的动量积分关系式δδρρδτ∂∂∂-=--∂∂∂⎰⎰200x x w Pv dy v v dy dx x x x对于平板上的层流边界层，在整个边界层内每一点的压强都是相同的，即P =常数。
这样，边界层的动量积分关系式变为δδτρ∞-=-⎰⎰200w x x d d v dy v v dy dx dx 二、本章难点（一）平板层流边界层的近似计算 根据三个关系式：（1）平板层流边界层的动量积分关系式；（2）层流边界层内的速度分布关系式；（3）切向应力关系式。
边界层理论
c /x 4.64Rex1/2 Scx1/3 有效边界层 在界面处（即 y=0）沿着直线对浓度分布曲线引一切线，此切线与浓度边界层 外流体内部的浓度 cb 的延长线相交，通过交点作一条与界面平行的平面，此平面与界面之 间的区域叫做有效边界层，用c’来表示。在界面处的浓度梯度即为直线的斜率
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x ub
，
由于
Re
ub x
所以 u 4.64
x
Re x
浓度边界层 若扩散组元在流体内部的浓度为 cb，而在板面上的浓度为 c0，则在流体内部和 板面之间存在一个浓度逐渐变化的区域，物质的浓度由界面浓度 c0 变化到流体内部浓度 cb
的 99%时的厚度c，即 c cb 0.01所对应的厚度称为浓度边界层，或称为扩散边界层。 c0 cb
。
3）重点掌握边界层的定义
强制对流流过平板形成的速度边界层和浓度边界层
速度边界层 假设流体为不可压缩，流体内部速度为 ub，流体与板面交界处速率 ux=0。靠近
板面处, 存在一个速度逐渐降低的区域，定义从 ux 0.99ub 到 ux = 0 的板面之间的区域为
速度边界层，用u 表示。如图 4-1-3 和 4-1-4 所示。其厚度 u 4.64
(
c y
)
y
0
cb cs
' c
瓦格纳（C.
Wagner）定义
' c
为有效边界层
' c
cb cs c
(y ) y=0
边界层理论PPT精选文档
5.1、边界层近似及其特征
普朗特重视观察和分析力学现象，养成了非凡的直观洞察能力，善 于抓住物理本质，概括出数学方程。他曾说：“我只是在相信自己对物 理本质已经有深入了解以后，才想到数学方程。方程的用处是说出量的 大小，这是直观得不到的，同时它也证明结论是否正确。” 普朗特 指导过81名博士生，著名学者Blasius、Von Karman是其学生之一。我 国著名的空气动力学专家、北航流体力学教授陆士嘉先生（女，1911– 1986）是普朗特正式接受的唯一中国学生，唯一的女学生。
粘性流体流经任一物体（例如机翼与机身）的问题，归结 为在相应的边界条件下解N—S方程的问题。由于N—S方程太复 杂，在很多实际问题中，不能不作一些近似假设使其简化，以 求问题得以近似地解决。简化时，必须符合物理事实，因此首 先看看空气流过静止物体（例如翼型）的物理图画：
位流区
边界层
流动分为三个区域：1. 边界层：N－S化简为边界层方程 2. 尾迹区：N－S方程 3. 位流区：理想流方程
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
2、边界层的特征
（1）边界层定义 严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常
以速度达到主流区速度的0.99倍作为边界层的外缘。由边 界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度，用δ表 示。
（2）边界层的有涡性 粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界
层就是涡层，当流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于 使物面成为具有一定强度的连续分布的涡源。
对于曲率不大的弯曲物面，上述边界层方程也近似成立。 只是要将x和y按上述曲线坐标处理即可。当然如果曲率过大， 则沿法向压强保持不变的条件就很难满足了。
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
边界层理论
1.介绍边界层的基本概念及特点； 2.平面层流边界层微分方程及其求解； 3.平面层流边界层积分方程及其求解； 4.平板绕流摩擦阻力的计算
材料加工冶金传输原理
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2003@合肥工业大学材料学院材料成型与控制
边界层理论
理论形成的背景：
实际流体流动方程是非线性偏微分方程，难以求解；人 们注意到大多数实际流体的流动都可以分为两个区域，即 靠近壁面、速度梯度较大的一薄层（边界层）和大部分远 离壁面、速度梯度较小的区域。对速度梯度较小的区域可 以利用理想流体的欧拉方程和伯努利方程求解；对很薄的 边界层可以通过简化后再求解。这样就将整个区域求解问 题转化为主流区的理想流体的流动问题和靠近壁面边界层 内的流动问题。当然，与此同时就有一个区域的划分问题 或者说有一个边界层厚度的确定问题。
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边界层理论
意义：粘性流体流动理论应用于实际问题，明确了研究
理想流体流动的实际意义，在流体力学的发展中起了非 常重要的作用。
材料加工冶金传输原理
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第一节 边界层的基本概念
一、边界层的定义 边界层：流体在流经固体壁面时，在固体壁面形成速度
材料加工冶金传输原理
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第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）
f ( ) A2 2 1 A22 5 11 A23 8 375 A24 11 L
2! 2 5! 4 8!
8 11!
注意：层流底层和边界层的区别与联系 层流底层是根据有无脉动现象来划分；边界层则是
边界层理论的基本内容
边界层理论的基本内容:
流体流过某一固体壁面时,由于粘性力的作用,在壁面附近会形成边界层.将整个流场分为两个区域.即边界层区和主流区.在边界层区内,不论流体粘性有多小,因为存在很大的速度梯度,故粘性力不可被忽略.流场的速度分布计算需由N-S方程进行计算.而在主流区,不论流体粘性有多大,因为不存在速度梯度,故粘性力可被忽略,流场的速度分布计算需由EuLer方程进行计算.这种想法最初是由普朗特提出的.
意义: 由于边界层的特点，可用量级分析法将N-S方程进行简化。
由其学生布拉修斯对层流绕流平板的流场进行了计算。
通过EuLer方程及伯努利方程计算主流区流场速度及压力分布并同时得到边界层区流场速度边界条件，从而整个流场微分解得以求出。
边界层理论知识点总结
边界层理论知识点总结边界层是指在地表和自由大气之间存在着较为复杂的物理、化学、动力和能量过程的气体层，其厚度一般在几十米到几百米之间。
边界层的存在对于大气环流、气候、水循环等方面都有着重要的影响。
边界层理论是研究边界层的物理过程和结构的学科，在气象学、地理学、环境科学等领域都有着重要的应用。
边界层的结构边界层的结构是指边界层内部的物理特征和过程。
一般来说，边界层的结构可以分为水平结构和垂直结构两个方面。
水平结构在地表上，由于地形的不同，边界层的结构也会有所不同。
在平坦地区，边界层结构比较简单，可以分为地表边界层和大气边界层两部分。
地表边界层是指在地表之上0-1000米内的边界层，大气边界层是指在地表之上1000米以上的边界层。
在山地或者海洋等地形复杂的地区，边界层的结构也会有所不同，有时候边界层内部会出现多层结构。
垂直结构边界层内部的垂直结构一般可以分为三层。
地表边界层（0-100米）是指最近地表的一层，其内部的风速和风向受到地表粗糙度影响较大。
中层边界层（100-1000米）是指地表上方100-1000米的一层，其内部的风速和风向受到大气稳定度影响较大。
大气边界层（1000米以上）是指在1000米以上的一层，其内部的风速和风向受到大气环流影响较大。
边界层的动力过程边界层的动力过程是指边界层内部的气体动力学过程，主要包括湍流、辐射、湍流输送、地转偏向、辐散、螺旋上升等过程。
湍流湍流是边界层内部流体的一种不规则运动状态，其特点是速度、密度和压力都不断发生变化，同时也存在着不规则的旋转运动。
湍流是边界层内部动能输送和质量输送的重要机制。
辐射辐射是指太阳光的热辐射在地表和大气中的传播和吸收过程。
在白天，地表吸收太阳光，导致地表温度升高，然后通过热传导和对流作用将热量传递给大气，形成边界层内部的热辐射。
在晚上，地表失去热量，导致地表温度下降，然后通过热传导和对流作用将热量传递给大气，形成边界层内部的冷辐射。
边界层理论
边界层方程组
边界层方程组
不可压缩流体在大雷诺数的层流情况下绕过平滑壁面的情况。在此考虑二维定常不可压缩流动。规定沿物体 壁面的方向为x轴，垂直于壁面的方向为y轴。由于边界层厚度δ比物面特征尺寸L小得多，因此对二维的忽略重 力的纳维－斯托克斯方程逐项进行数量级分析，在忽略数量级小的各项后，可近似认为边界层垂直方向的压力不 变，从而得到层流边界层方程组为：
发展
1907年，布拉修斯成功地应用边界层理论计算在流体中运动物体的摩擦阻力。1921年，卡门和波耳豪森提 出了边界层动能积分方程，以计算边界层问题，这个方程经霍尔斯坦-博伦（1940）和瓦茨进行简化和改进，到 现在还被广泛应用。另外边界层动能积分方程和热能积分方程分别由莱本森和弗兰克尔提出。这三个边界层的近 似计算方法使边界层理论在工程界中很快地推广开来。1925年，普朗特提出的混合长度理论和1930年卡门提出的 相似性理论，将边界层理论推广到紊流边界层、射流和物体后的尾迹流中去。从层流向紊流的转捩现象是流体动 力学中的基本现象。早在19世纪末，雷诺就首先对转捩现象进行了研究。1914年，普朗特做了著名的圆球实验， 正确地指出：边界层中的流动可以是层流的，也可以是紊流的，还指出边界层分离的问题，因此计算阻力的问题 是受这种转捩支配的。从层流向紊流的转捩过程的理论研究，是以雷诺的假设为基础的，即承认紊流是由于层流 边界层产生不稳定性的结果。1921年，普朗特开始进行转捩的理论研究，1929年获得成功。当时托尔明从理论上 算出零冲角平板转捩的临界雷诺数，后被别人所进行非常仔细的实验所证实。稳定性理论能够考虑到对转捩有影 响的压强梯度、抽吸、马赫数和传热等许多因素。这个理论已得到很多重要的应用，如设计阻力非常小的层流翼 型。
热工基础第十章-张学学-思考题答案教学内容
热工基础第十章-张学学-思考题答案热工基础第十章思考题答案1 何谓表面传热系数？写出其定义式并说明其物理意义。
答：q=h（t w-t f），牛顿冷却公式中的h为表面传热系数。
表面传热系数的大小反映对流换热的强弱。
2 用实例简要说明对流换热的主要影响因素。
答：（1）流动起因室内暖气片周围空气的流动是自然对流。
而风机中的流体由于受到外力的作用属于强迫对流。
强迫对流和自然对流的换热效果是不同的。
（2）流动的状态流动状态有层流和湍流，层流和湍流的对流换热强度不同，输水管路，水流速度不同，会导致水的流动状态由层流到湍流，那么这两种流动状态对流换热效果是不同的。
（3）流体有无相变水在对流换热过程中被加热变成水蒸气，蒸气在对流换热过程中被冷却变成水，这个过程会吸收和放出汽化潜热，两个换热过程的换热量不同。
（4）流体的物理性质流体的物理性质对对流换热影响很大，对流换热是导热和对流两种基本导热共同作用的结果。
因此，比如水和油，金属和非金属对流换热效果不同。
（5）换热表面的几何因素换热器管路叉排和顺排换热效果不同，换热管线直径大小对换热效果也有影响。
3 对流换热微分方程组有几个方程组组成，各自到处的理论依据是什么？答：（1）连续性微分方程（2）热量平衡方程（1）ρ(∂u∂τ+u∂u∂x+v∂u∂y)=F x−∂p∂x+η(∂2u∂x2+∂2u∂y2)动量平衡方程连续性微分程的依据是根据质量守恒导出的热量平衡方程是根据能量守恒导出的动量平衡方程是根据动量守恒导出的4 何谓流动边界层和热边界层？它们的厚度是如何规定的。
答：流动边界层是由于流体粘度造成速度变化的区域，即速度发生明显变化的流体薄层。
速度达到0.99u∞处的y值作为边界层的厚度，用δ表示。
当温度均匀的流体与它所流过的固体壁面温度不同时，在壁面附近会形成一层温度变化较大的流体层，称为热边界层。
过于温度t-t w=0.99（t∞-t w）处到壁面的距离为热边界层的厚度。
边界层理论基础
第二节
数量级分析：
y ~ , x ~ l
边界层的微分方程式
u x U 0 2u x U 0 u x U 0 2u x U 0 ~ , 2 ~ 2 , ~ , 2 ~ 2 y y x l x l u y u x u y u x 与 具有同一个数量级 x y x y
第十三章
边界层理论基础
第一节 边界层的概念 第二节 边界层的微分方程
第三节 边界层厚度、排挤厚度、动量损失厚 度 及能量损失厚度
第四节 边界层的动量方程式 第五节 平板上层流边界层的计算 第六节 平板上紊流边界层的计算 第七节 边界层分离现象及绕流阻力
第二节
边界层的微分方程式
讨论恒定二元流情况,在无限空间中水平放置的平板, 不考虑质量力的作用。这样,对不可压缩液体的纳维-斯托 克斯微分方程式及连续性方程式可写作。
第二章
边界层理论基础
第一节
边界层的概念
第二节 边界层的微分方程
第三节 边界层厚度、排挤厚度、动量损失厚 及能量损失厚度 第四节 边界层的动量方程式
第五节 平板上层流边界层的计算 第六节 平板上紊流边界层的计算 第七节 边界层分离现象及绕流阻力
前 言
纳维-斯托克斯方程的讨论
纳维-斯托克斯方程式只有在边界条件极简 单的情况下才能求解,有些复杂的问题只能采 用近似解法求解。近似解法一般是根据具体 情况略去纳维-斯托克斯方程式中的一些次要 项来进行求解。
第三节 边界层厚度、排挤厚度、动量损失厚 度及能量损失厚度 3.2 流量损失厚度（排挤厚度）
实际液体流经固体壁面时,由于固体边界对水流的阻滞作 用,使边界层内通过的流量比理想液体情况下在同一范围内所 通过的流量要小。 由于实际液体受固体边界的影响将使在δ 范围的流量与理想液体时相比减小了U0 δ1, δ1叫做流量损失厚 度,也常叫排挤厚度。
附面层理论
一、曲面边界层分离现象
1.沿曲面压力变化对边界层内流动的影响
同一法线上边界层内各点的压力相同，即
p y
0
ｙ物面法线
ｙ
翼面上最凸点 x
从Ｏ到Ｃ： 外部势流加速，压力递减
压力梯度 p ＜０，称为顺压梯度 x
边界层内部流体减压加速。部分压力能转变为动 能，顺压梯度对流动起助推作用。
假定Ｃ点： 势流速度为Umax，压力降到pmin
p 0 y
p0 p1
p1= p2 = p3 = p0
p2
p3
Prandtl边界层方程的求解
了解
Blasius解----顺流放置无限长平板上的层流 边界层流动。
均匀来流平行于平板，ｘ轴平行于板面， 原点在平板前缘，
平板极薄且无曲度， 边界层外缘处速度
为来流速度Ｕ。沿
边界层外缘上各点 上压力相同，即 dp 0
第10章 边界层理论
（Boundary Layer Theory）
§10.1 边界层的概念
1904年，Prandtl指出，对于粘性很小的流体(如空 气、水），粘性对流动的影响仅限于贴近固体表面的 一个薄层内。这一薄层以外，粘性完全可以忽略。
边界层
边界层： 在固体壁面附近，显著地受到粘性 影响的这一薄层。
边界层分离：间断面的不稳定引起波动，发展并 破裂成明显的大旋涡，象楔子一样 将边界层和物体表面分开。
边界层分离的两个条件：
1.壁面通过粘性对于流动的阻粘作用 2.逆压梯度的存在
二者缺一不可。但也必须指出，这两个条件 是产生分离的必要条件而非充分条件。 绕物体的流动不一定都发生分离 绕流线型体的流动不一定都不发生分离 流线型体：小攻角下无分离，大攻角下会分离
边界层理论浅析
• ---
释义背景：
当流体在大雷诺数条件下运动时，可把流体的 粘性和导热看成集中作用在流体表面的薄层即 边界层内。根据边界层的这一特点，简化纳维 －斯托克斯方程，并加以求解，即可得到阻力 和传热规律。这一理论是德国物理学家L.普朗 特于1904年提出的，它为粘性不可压缩流体动 力学的发展创造了条件。
边界层方程组：
• 丌可压缩流体在大雷诺数的层流情况下绕过 平滑壁面的情况(见图)。沿物体壁面的方向为 x轴，垂直于壁面的方向为y轴。由于边界层 厚度δ比物面特征尺寸L小得多，因此对二维 的忽略体积力的纳维－斯托克斯方程逐项进 行数量级分析，在忽略数量级小的各项后， 可近似认为边界层垂直方向的压力丌变，从 而得到层流边界层方程组为 аu au au 1ape a2u — + u — + v — = - —— + y — аt ax ay pax ay2 (a2为a的平方；y2为y的平方) 边界条件为 y=0处 u=0 v=0 y→∞处 u=ue(x,t) 式中pe为主流在边界层外缘上的压 力,pe=f(x,t)；ρ为流体密度；u、v代表x、y方 向的速度分量；t为时间时，在离固体壁面较远处，粘性力比惯性力 小得多，可以忽略；但在固体壁面附近的薄 层中,粘性力的影响则丌能忽略,沿壁面法线方 向存在相当大的速度梯度，这一薄层叫做边 界层。流体的雷诺数越大，边界层越薄。从 边界层内的流动过渡到外部流动是渐变的， 所以边界层的厚度δ通常定义为从物面到约等 于99%的外部流动速度处的垂直距离，它随着 离物体前缘的距离增加而增大。根据雷诺数 的大小，边界层内的流动有层流不湍流两种 形态。一般上游为层流边界层，下游从某处 以后转变为湍流，且边界层急剧增厚。层流 和湍流之间有一过渡区。当所绕流的物体被 加热（或冷却）或高速气流掠过物体时，在 邻近物面的薄层区域有很大的温度梯度，这 一薄层称为热边界层。
边界层理论
第八章 边界层理论§8-1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。
对层流而言，单位面积摩擦力的大小yu d d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场，摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。
速度梯度yu d d 大，粘性力也大，此时的流场称为粘性流场。
若速度梯度yu d d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。
对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。
则N-S 方程可由欧拉方程代替，从而使问题大为简化。
Vlv llV v A yu V l t V lt u m ρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。
由vVl ==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力>>粘性力，所以可略去粘性力。
但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。
所以，在这一薄层中，两者均不能略去。
这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现。
a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度，这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b ．整个流场分为两部分 层外，=∂∂yu ，粘性忽略，无旋流动。
层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动。
c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。
d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。
由于在边界层内，流体在物体表面法线方向(即yu ∂∂)速度梯度很大，所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。
所以，即使对于粘度很大的流体，粘性力也很小，故可忽略不计，所以可认为，图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层边界层外的流动是无旋的势流。
边界层的基本特征有： (1)1<<Lδ⇒薄层性质，其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。
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（2）Re>>1 的内外区摄动展开方程 按上面定义的无量纲量得到在内外区的表达式 外区无量纲方程：
外区尺度无量纲化： x y u v p x , y , u ,v , p L L u u u 2 内区尺度无量纲化：
x y y ~ u ~ v ~ p ~ x ,~ y ,u ,v ,p L L L u u u 2
u v 0 x y u u u u p 1 2u 2u v ( ) x y x Re x 2 y 2 v v p 1 2 v 2 v v ( ) x y y Re x 2 y 2
10.1.2普朗特理论 —— 有粘、无粘流动的渐进衔接方法 普朗特于1904年提出边界层概念，用量级分析方法导出 边界层方程 ： 定常绕流中流体粘性只在贴近壁面极薄的一层 —— 边界层 内主宰流体运动，边界层外的流动可近似为无粘的理想流动。 （1）两种尺度的分区流动现象 设均匀定常来流绕过极薄的平板，流动的特征雷诺数很 大。平板展向无限长，流动是二维的。 流动的两个区域
B.C. ：壁面条件:
~ v ~ u ~ 0 ~ x y 2~ ~ ~ u ~ u u du e u ~ u ~ v e ~ ~ ~ dx y 2 y x ~ ~ ~ y 0, u v 0
y , y ue ( x)
c. 高阶耦合解 第一种方法：用摄动展开的高阶方程 第二种方法：对上述计算进行修正，以边界层外边界进行 计算 10.1.3 边界层厚度δ的各种意义
uj
u i 2ui 1 p x j x 2 xi j
u p p x , p ,x 2 u u L
参量无量纲化： u
无量纲方程： u j
u i p 1 2 u i x j xi Re x j x j
u
,v x y
b . 以无粘流解物面的流动参数为边界层方程的外边界条件，求 解边界层方程。即将无粘流边界的压力按伯努利方程算出，它 等于边界层内的压力。
1 dp due ( x,0) p0 ue p ( x,0) ue 2 x x
边界层方程的有量纲形式 :
u v 0 x y u du 2u u u ue e 2 v dx y y x y 0, u v 0
dp due 利用边界层边缘处 ~ p(~ x ) p ( x ,0); ue x x 代入边界层方程,得:
~ 2u ) ~ y 2 ~ 1 2v ) 2 ~ y 2
~ v ~ o ( ) ~ y
注意到 恒方程中
1 ，从上述分析中可见，在 x 方向的动量守 Re
~ ~ 1 2u 2u 2 ~ 2 2 ~ y x
y 方向的动量守恒方程 2 2~ 2~ ~ ~ ~ ~ v v ~ v ) p ( v 1 v ) 2 (u 2 2 ~ ~ ~ ~ ~ x y y Re x y 2 相对于 x 方向的动量守恒而言， y 方向的动量守恒是在ε2量阶上 的守恒。 将y 方向的动量守恒改写为 ~ p / ~ y 0 ，表明边界层内，压力只 沿流向变化，法向为常数，此时内层的方程简化为： ~ v ~ u 0 说明：此处实际上是用了量 ~ x ~ y
取ε=1/Re 为小参量对流动变量作常规的摄动展开。 令：
u i u i( 0 ) u i(1) 2 u i( 2 ) p p ( 0 ) p (1 ) 2 p ( 2 )
代入无量纲方程，再按ε0,ε1 阶展开，忽略高阶小量则有 零阶方程： u j
( 0 )
~ u ( x) 内外区衔接条件: ~ y , u e
2
10.1.4 边界层厚度的各种意义δ （1）边界层名义厚度 δ：以u=0.99ue位置和壁面间的距离定义 为边界层名义厚度。以平板绕流估计边界层名义厚度量阶 单位体积流体的惯性力 V V
10.1.4边界层厚度的各种意义δ （2）边界层排挤厚度（位移厚度）δ1 单位时间内通过边界层某一截面的流体若为理想流体，则其质 量流量应为
10.2.2
相似解的条件及构造方法
10.2.1
以不可压流体在平板上作定常层流流动为例说明。
（1）引入线性变换群 原变量系（u, v, x, y, ue) 新变量系 (u , v , x , y , u e )
u v 0 x y du 2u u u ue e 2 u v dx y y x y 0, u v 0 y , y ue ( x) 在粘性系数ν边界层外边界速度 ue 已定的情况 u / ue f ( x, y) f ( ) 下，η是相似变量。
第十章 边界层理论基础
基本内容 1.边界层动力学方程； 2.不可压流体层流边界层的相似求解； 3.卡门动量积分关系式 4.边界层内的流动与分离原理； 5.绕平板定常湍流边界层求解
10.1 牛顿流体大雷诺数的定常绕流
10.1.1 高雷诺数流动常规摄动的奇异性 若忽略质量力，常物性的不可压定常流动的 N-S 方程可写成 ：
du 2u u u A ( 2 5 1 ) u e e A ( 3 2 2 ) A ( 3 4 2 ) v y 2 y dx x v u A ( 4 2 ) y x
ui(0) p( 0) , x j xi
ui(0) 0 xi
(0) u j
一阶方程：
(1) ui(1) p (1) 2ui( 0) (1) ui u j x j x j xi x j x j
ui(1) 0 xi
V V ~ u / L
2 e
y
ue δ x
0
u e dy
由于粘性，实际通过的流体质量
单位体积流体的粘性力 V
2
0
udy
2V ~ u e / 2
惯性力与粘性力在边界层中具有同量阶，即
二者之差是因存在粘性而减少的流 量，这部分流量只能被排流体。又称边界层流量排挤厚度。
流体定常流动的边界层方程是抛物型方程。 （3）绕流问题的内外区耦合求解 求解的具体步骤： a . 首先利用理想流体边界条件求解物体绕流问题的势流方程， 得到全场无粘流解。势函数（无量纲方程中） 势函数（无量纲方程中）φ
阶分析的方法取得了内层方 程 —— 边界层方程。按摄 动法得到的ε0 阶方程也与上 述方程相同。按摄动法还可 得到更高阶的边界层方程。
渐进衔接条件：内区解的外极限等于外区解的内极限
~(~ x, ~ y ) lim u lim u
~ y y 0
(x , y ) ( x , y )
p(~ x, ~ y ) lim p lim ~
~ y y 0
1
内区无量纲方程:
~ 1 v ~ u 0 ~ ~ x y 2~ 2~ ~ ~ ~ ~ ~ u v u p 1 ( u 1 u ) u ~ x ~ y ~ x Re ~ x 2 2 ~ y2 2~ 2~ ~ ~ ~ ~ ~ v v v 1 p 1 ( v 1 v ) u 2 2 ~2 ~ ~ ~ ~ x y y Re x y
0
udy
二者之差是由于粘性而产生的动量损失，这部分损失相当于 以主流流速ue通过厚度为δ2的理想流体具有的动量。
u 2 2
e
0
u e udy uudy
0
1
( )
0
(1
u ) dy ue e
2
( )
0
u u (1 ) dy eue ue
2
0
u u (1 ) dy ue ue
0
u u (1 ) dy ue ue
非定常边界层：这时边界层厚度、壁面摩擦力等都是时间函数 薄层近似：边界层方程可以应用到其他任意薄的粘性剪切流、 混合流、射流等。
10.2
不可压缩流体层流边界层的相似解（Similarity Solution ） 相似解的概念
~ v ~ u ~ 0 ~ x y 2~ ~ ~ ~ u ~ ~ u p 1 ( u 1 u ~ v ~ ~ ~ x y x Re x 2 2 2~ ~ ~ ~ ~ v v ~ v ) 1 p ( v (u ~ ~ ~ ~ x y y Re x 2
2~ ~ ~ ~ ~ u v ~ u p u u ~ ~ ~ x y x ~ y2 ~ p 0 ~ y
边界层理论的主要结论： a . Re>>1时，边界层横向尺度
L 1 Re
b . p / y 0 ，边界层内压力可由主流区得到。
c.
~ ~ 2u 2u ~ 2 ，可忽略流动方向的粘性力项。在数学上看，不可压 ~ x2 y
u e2
L
~
~
ue ~ 2
L ue
L u L , Re e Re
u e 1 u e dy udy
0 0
L
1 1 L Re
高雷诺数条件下，边界层厚度 远小于被绕物体的特征长度
1 (1
0
u ) dy ue
问题：什么条件下有相似解？ 如何求相似变量η ？
x A 1 x , y A 2 y , u A 3 u , v A 4 v , u e A 5 u e
述关系代入边界层方程，得