填充橡胶本构模型研究进展

在橡胶结构分析与设计中建立和发展适当的本构关系和分析方法是极其重要的。由于橡胶本构研 究的重要性和复杂性，工业界和学术界对橡胶本 构 的 研 究 非 常 重 视，从 １９９９ 年 起，每 两 年 一 度 的 欧 洲 橡 胶 本 构 模 型 会 议 （ＥＣＣＭＲ）开 始 召 开 ，迄 今 已 召 开 六 届 ，分 别 在 维 也 纳 、汉 诺 威 、伦 敦 、斯 德 哥 尔 摩 、巴 黎 和 德 累 斯 顿 举 行 。 本 文 对 橡 胶 本 构 模 型 进 行 的 综 述 ，以 超 弹 性 模 型 为 主 ，即 硫 化 后 橡 胶 的 力 学 行 为 为 主 ，同 时 也 对 橡 胶 的 黏 弹 性 和 流 变 行 为 略 加 顾 及 ，并 指 出 橡 胶 本 构 模 型 研 究 的 方 向 。
摘要：填充橡胶材料是由纳米粒子增强的复合多 相 材 料。 由 于 橡 胶 交 联 网 络 和 填 充 粒 子 所 形 成 的 二 级 网 络并存，填充橡胶呈现出复杂的力学行为，如大变形黏超弹性、动态应力软化效应，自 生 热 效 应 等。 如 何 构 建 合 理的本构模型准确描述其力学行为一直是橡胶材料研究的热点和难点。而近年来数值仿真技术的发展对填充 橡胶本构关系的可靠性，准确性和数 值 稳 定 性 提 出 了 更 高 的 要 求。 本 文 综 合 前 人 工 作，总 结 了 填 充 橡 胶 超 弹 性、黏弹性、流变本构研究的进展。特别从本构关系与有限元分析相容性的角度，分析 了 各 常 用 模 型 的 精 度 、使 用范围和参数化性能，为橡胶力学仿真提供指导，并指出 了 目 前 橡 胶 本 构 模 型 研 究 中 所 存 在 的 问 题 ，探 讨 了 改 进的方向。 关 键 词 ：填 充 橡 胶 ；本 构 模 型 ；流 变 ；黏 弹 性 ；超 弹 性
于 模 型 应 变 能 函 数 的 选 取 ，并 不 能 仅 以 高 阶 项 来 换 取 实 验 数 据 拟 合 准 确 度 ，应 当 综 合 考 虑 实 验 数 据 形 式 ，
根据经验选择级数项。
Ｇｅｎｔ［１８］和 Ｙｅｏｈ［１９］曾 尝 试 采 用Ｉ１ 的 高 阶 项 来 修 正 应 变 能 函 数，以 提 高 模 型 对 橡 胶 类 材 料 大 变 形 的
１．２．２ 基于伸长率的连续介质模型 常用的以不 变 量 表 示 应 变 能 函 数 关 系 式 通 常 都 比 较 复 杂，事 实 上
考 虑 橡 胶 为 各 向 同 性 超 弹 性 体 ，其 应 变 能 函 数 都 可 用 主 伸 长 率 来 表 征 ，即
Ｗ （Ｉ１，Ｉ２，Ｉ３）＝ Ｗ （λ１，λ２，λ３）
１．１ 基 于 热 力 学 统 计 方 法 的 本 构 模 型 热 力 学 统 计 方 法 方 法 假 设 橡 胶 大 分 子 是 随 机 取 向 的 长 链 分 子 ，并 通 过 分 子 链 节 点 处 的 化 学 交 联 而 形
成交联网络结构。橡胶类材料的大分子量使得其分子链网络具有许多不同的构象 ，在其变形过程中构象
（λ２１
＋λ２２
＋λ２３
－３）
（１）
式中的 Ｎ 为平均单位体积内的网链数；Ｋ 为玻尔兹曼常数；Ｔ 为绝对温度，λｉ 为主伸长率。 后面可以看到高斯统计模型与不可压缩的 Ｎｅｏ－Ｈｏｏｋｅ模型等价。由于高斯统计模型是基于假设分
子末端距远小于分子链的全部延展的长度，没有考 虑 到 橡 胶 分 子 链 的 延 展 的 有 限 性，因 此 它 不 能 用 来 描
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高 分 子 通 报
２０１４ 年 ５ 月
型。橡胶弹性 的 分 子 统 计 理 论 发 ［５～８］ 端 于 上 世 纪 ４０ 年 代，有 限 变 形 理 论 开 始 于 上 世 纪 ５０ 年 代［９～１３］，应 变能形式的橡胶本构理论在上世纪７０年代走向成熟 。 ［１４，１５］ 随 着 数 值 技 术 的 发 展，对 橡 胶 超 弹 性 本 构 模 型 的 精 度 、稳 定 性 和 参 数 化 都 有 了 更 高 的 要 求 。
收 稿 ：２０１３－０７－１５；修 回 ：２０１３－１０－０６； 基 金 项 目 ：国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 （５１２７５２６５，５１１７５２８６，５１１７３１１０）； 作者简介：危银涛，清华大学汽车系教授，研究领域包括轮胎／车辆动力学、橡胶本构与疲劳理论、振动－声学仿真、有限 元 方 法与 ＣＡＥ 工程。应用研究包括轿车和卡车轮胎、橡胶减振器、空气弹簧、橡胶衬套等工程结构的分析设计与开发； ＊ 通讯联系人，Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｅｉｙｔ＠ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ．ｃｎ．
DOI:10.14028/ki.1003-3726.2014.05.005
第５期
高 分 子 通 报
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填充橡胶本构模型研究进展
危银涛１＊ ，方庆红２，金状兵１，冯希金１
（１．清 华 大 学 汽 车 安 全 与 节 能 国 家 重 点 实 验 室 ，北 京 １０００８４； ２．沈 阳 化 工 大 学 ，材 料 科 学 与 工 程 学 院 ，沈 阳 １１０１４２）
将 不 断 地 改 变 ，这 使 得 橡 胶 长 分 子 链 具 有 特 有 的 柔 顺 性 。 而 链 的 柔 顺 性 从 宏 观 表 现 出 的 就 是 橡 胶 材 料 的
超弹性。分子链 越 柔 顺，构 象 数 就 越 多，构 象 熵 就 越 大，因 此 橡 胶 的 超 弹 性 也 称 为 熵 弹 性。１９４３ 年
的项数越多，模型将越可能准确地描述材料的 真 实 力 学 行 为。 但 此 时 需 要 确 定 的 参 数 也 会 越 多，模 型 会
越复杂，不便于工程应用。而且虽然高阶应变能函 数 比 低 阶 应 变 能 函 数 对 实 验 数 据 拟 合 得 更 好，但 是 它
对实验数据以外的材料的力学行为无法准确预测，有时甚至还不如那些简单形式的应变能函数。 因此对
小变形时与实验数据的偏 差，可 以 较 好 地 拟 合 不 可 压 缩 橡 胶 材 料 中 等 应 变 范 围 内 的 行 为。 但 Ｍｏｏｎｅｙ－
Ｒｉｖｉｌｉｎ 模 型 的 精 度 取 决 于 多 轴 数 据 。
有人试图利用取高阶项的形式来解决 Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｉｌｉｎ模 型 所 存 在 的 缺 陷。 理 论 上 应 变 能 函 数 所 取
（７）
式中 Ｅ 是小变形拉伸的弹性模 量。Ｂｏｙｃｅ［２０］证 明 了 将 Ｇｅｎｔ模 型 级 数 展 开 后 可 以 得 到 仅 包 含Ｉ１ 项 的 缩
减多项式模型。
我 国 高 玉 臣 院 士 ［２１］１９９７ 年 提 出 的 应 变 能 公 式 ：
Ｗ ＝ａ（Ｉ１ｎ ＋Ｉ－１ｎ）
（８）
式中ａ，ｎ 是材料参数。该应变能函数可以描述中等以上应变橡胶材料的力学行为。
Ｗ （Ｅ）＝ Ｗ （Ｉ１，Ｉ２，Ｉ３）
（２）
考虑橡胶为不可压缩超弹性材料，则第三不变量Ｉ３ ＝１。Ｒｉｖｉｌｉｎ提出级数形式的应变能函数 ： ［９～１１］
∞
∑ ＷＲ ＝ Ｃｉｊ （Ｉ１ －３）ｉ （Ｉ２ －３）ｊ ｉ，ｊ＝０
如果取其第一项，则可以得到以应变不变量表示的 Ｎｅｏ－Ｈｏｏｋｅａｎ模型：
由此 Ｏｄｇｅｎ 提 ［１４］ 出以主伸长来表示的应变能函数
∞
∑ Ｗ （λ）＝
ｉ＝１
μｉ αｉ
（λ１αｉ
＋λ２αｉ
＋λ３αｉ
－３）
（９） （１０）
∑ 式 中μｉ 和αｉ 为材料常数，αｉ 可取任何实数值。为与经典的弹性理论一致， μｉαｉ ＝２Ｇ０ 。当ｉ＝１，α１ ＝ ｉ
Ｔｒｅｌｏａｒ把高斯统计理论应用到描述橡胶材 料 的 宏 观 行 为。 考 虑 橡 胶 在 外 力 作 用 下 发 生 变 形 时，橡 胶 内 分 子 链 网 随 之 发 生 仿 射 变 形 ，最 后 从 构 象 熵 的 改 变 推 导 出 橡 胶 材 料 的 弹 性 应 变 能 函 数 ：
ＷＧ
＝
ＮＫＴ ２
１ 橡胶超弹性本构模型
对 橡 胶 弹 性 的 研 究 已 有 近 ６０ 年 历 史 ，人 们 从 物 理 、化 学 和 力 学 的 角 度 分 别 使 用 各 种 方 法 理 论 试 图 去 描述橡胶材料的真实力学行为。橡胶构件的设计目前主要采用一些复杂的数值技术。随着计算力学的 飞速发展和橡胶工程应用的广泛需求，需要发展更 为 精 确，实 用 且 能 与 有 限 元 分 析 理 论 相 融 合 的 本 构 模
拟 合 准 确 度 。Ｙｅｏｈ 模 型 应 变 能 函 数 ：
Ｗ （Ｉ１，Ｉ２）＝ Ｃ１０（Ｉ１ －３）＋Ｃ２０ （Ｉ１ －３）２ ＋Ｃ３０ （Ｉ２ －３）３
（６）
第５期
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模型加入了Ｉ１ 的高阶项后，在大应变条件下模型拟合结果与实验数据吻合 较好 ，并 且仅 以 单 轴 拉伸
（３）
Ｗ ＮＥＨ ＝ Ｃ１０（Ｉ１ －３）
（４）
取前两项，则可得到目前有限元中最广泛应用的 Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｉｌｉｎ模型：
Ｗ ＭＲ ＝ Ｃ１０（Ｉ１ －３）＋Ｃ０１（Ｉ２ －３）
（５）
Ｍｏｏｎｅｙ－Ｒｉｖｉｌｉｎ 模 型 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 剪 切 模 量 不 随 材 料 的 剪 切 应 变 变 化 ，能 说 明 单 轴 拉 伸 实 验 中 高 斯 统 计 模 型 在
述分子链的伸展过程，该模型只适应于小变形 的 情 况。 有 鉴 于 此，非 高 斯 统 计 模 型 被 进 一 步 用 来 提 高 统 计 模 型 精 度 和 适 用 范 围 ，包 括 ４ 链 模 型 ［８］、８ 链 模 型 ［１６］等 。
Ｋａｌｉｓｋｅ和 Ｈｅｉｎｒｉｃｈ提出了一种扩展的管子模型描述受约束状态的橡 胶 网 络 结 构 ，他 们 提 出 的 模 型 适合于有限元方法 的 实 施。 Ｍａｒｃｋｍａｎｎ 和 Ｖｅｒｒｏｎ［１７］在 对 比 ２０ 种 橡 胶 本 构 模 型 之 后 认 为，Ｋａｌｉｓｋｅ和