对数平均不等式
(完整版)极值点偏移问题专题——对数平均不等式
极值点偏移——对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：， 不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数，，且，定义为，的对数平均值，且，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为．先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设，则，，构造函数，则．由得，且在上，在上，为的极大值点．对数平，等价于，这是两个常规的极值点偏移问题，留给读者尝试．证法2（比值代换） 令，则，构造函数可证．证法3（主元法） 不妨设，111ln2e e 2ln b a b aa ab b ab ab b a b a ba b a b b b a a a ---⎛⎫-+⎛⎫<<<<<<⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ab a b ≠ln ln a ba b--a b ln ln 2a b a ba b -+<-()()(),,,G a b L a b A a b <<0ln ln a bR a b-=>-ln ln k a k b a b -=-ln ln k a a k b b -=-()ln f x k x x =-()()f a f b =()1kf x x'=-()0f k '=()f x ()0,k Z (),k +∞]x k =()f x 2a b k +<<22a b kab k +>⎧⎨<⎩1at b=>()()11ln ln 2ln 2b t b t a b a ba b t -+-+<<⇔<<-()2111ln ln 21t t t t t t --+⇔<⇔<<+a b >．记，，则 ，得在上，有，左边得证，右边同理可证．证法4（积分形式的柯西不等式） 不妨设，则由得，； 由得，．证法5（几何图示法） 过上点作切线，由曲边梯形面积，大于直角梯形面积，可得，即； 如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得． 由对数平均不等式的证法1、2即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题．再解例1：即，，则ln ln ln ln 0ln ln a b a b a b a b -<⇔-<⇔-<-()ln ln f a a b =-(),a b ∈+∞()210f a a '==<()f a (),b +∞]()()0f a f b <=a b >()()()()2ln ln ln 22ln ln ln e e 1aa axx bbbdxdxdx <⎰⎰⎰()()()2221ln ln 2b a a b a b -<--ln ln 2a b a ba b -+<-()222111a a ab b bdx dx dx x x ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰()()211ln ln a b a b b a ⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭ln ln a ba b-<-()1f x x =2,2a b a b +⎛⎫⎪+⎝⎭()11ln ln 2a b a b dx a b a b x -⋅<=-+⎰ln ln 2a b a b a b -+<-1dx x=< ⎪ ⎪⎝⎭ln ln a b a b -<-()()12f x f x =1212ee x x x x --=1122ln ln x x x x -=-12121ln ln x x x x -=-（正数，的对数平均数为1），得，且．再解例2：即；由得，两式相减得 ，下面用反证法证明．若，则，，取对数得，则．而由对数平均不等式得，矛盾．再解例3：由得， ； ． 由对数平均不等式得，，得． 再解练习1：由得，则，1x 2x 1212x x +<<121x x <122x x +>()()()22e 10xf x x a x =-+-=()()22e 10xx a x -=->()()120f x f x ==()()()()122112222e 12e 1x x x a x x a x ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩()()()()121212122e 2e 2x xx x a x x x x ---=-+-122x x +<122x x +≥()()12122e 2e 0x x x x ---≤()()12122e 2e x xx x -≤-()()1122ln 2ln 2x x x x -+≤-+()()21121ln 2ln 2x x x x -≥---()()()()()()()()121221121212222221ln 2ln 2ln 2ln 222x x x x x x x x x x x x ----+--+=<=-≤------1122ln ln x x x x m ==11ln m x x =22ln mx x =1212121212ln ln ln ln ln ln ln ln m mx x x x mx x x x x x --==---()12121212ln ln ln ln ln ln m x x m mx x x x x x ++=+=()()12121212ln ln 0,ln 0,ln 0ln ln 2ln ln m x x mm x x x x x x +-<<<<+()12122ln ln ln x x x x ->+=1221e x x <1122ln ln x ax x ax -=-1212110ln ln e x x a x x a -⎛⎫=<< ⎪-⎝⎭1212x xa +<得； ，已证． 再解例4：同例1，不再详述． 再解例5：同例1得到，则． 再解例7（2）：易得，则，则，． 再解例8：，，得，则，，．再解练习2：原题结论抄写有误，应更正为．即，，则 ①－②得，则（正数，的对数平均数为1）．，得，且．①＋②得，由此可得．解练习3：选项D ：即，则，，所以1222ex x a +>>()2121212122e ln ln 22x x x x a x x x x a>⇔+>⇔+>⇔+>121x x <12112x x +>>()1ln 1ln ln ln 0,1a b a b a b a b ++-==∈-1ln ln a b a b->-12a b+>2a b +>11222ln 2ln x ax x ax -=-()()12122ln ln x x a x x -=-12122ln ln x x x x a -=-1222x x a +>124x x a +>()121224262x x x x x a a a+=++>+=0f '<()0f x =()()2e 1e x a x a =->()ln ln 1x a x =+-()()1122ln ln 1 ln ln 1 x a x x a x =+-⎧⎨=+-⎩①②()()()()12121211ln 1ln 1x x x x x x -=---=---()()()()1212111ln 1ln 1x x x x ---=---11x -21x -()()121112x x -+-<<()()12111x x --<124x x +>()()12122ln ln 112ln x x a x x a +=+--<12ln 2x x a +<<0f '<()()12f x f x =121222ln ln x x x x +=+()12122112222ln ln x x x x x x x x --=-=121212ln ln 2x x x x x x -=-． 顺带地，也有． 极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，解题的关键有以下几步： （1）根据建立等量关系；（2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数； （3）通过恒等变形转化出对数平均数（的值或仍用，表示），代入对数平均不等式求解．细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例6），其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键，最后再举一例． 例10设函数的两个零点是，，求证：． 证法1：首先易知，且在上，在上，不妨设，，构造函数可证．证法2：由题意得，两式相减得 ， ，，121212442x x x x x x <⇒>⇒+>>()()1212111212121111122x x x x x x x x x x x x +<⇒<+⇔--<⇔+>()()120f x f x ==1x 2x ()()2ln 2f x x ax a x =-+-1x 2x 1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭Z 1a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭]1210x x a <<<121212201022x x x x f a x x a ++⎛⎫'<⇔⋅->⇔+> ⎪⎝⎭()()2F x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()21112222ln 20ln 20x ax a x x ax a x ⎧-+-=⎨-+-=⎩()()()()12121212ln ln 20x x a x x x x a x x --+-+--=()()()121212ln ln 2x x x x a x x a -=-++-()12121210ln ln 2x x x x a x x a -=>-++-所以．()()()()212121212122012x x a x x a x x a x x a +<⇒++-+->++-()()()12121212221002x x a x x x x x x f a +⎛⎫'⇒+-++>⇒+>⇒< ⎪⎝⎭。
指对数均值不等式
指对数均值不等式在数学中，不等式是一种重要的关系式，常被用于证明定理或解决问题。
其中最常用的一个不等式就是“对数均值不等式”。
对数均值不等式是在大量的数学领域中无处不在的一个不等式，它为我们提供了一种有效的方法来判断一组数据的大小关系。
它的推导过程相对简单，只需要利用对数函数的性质即可。
首先，假设有 n 个正数 a1, a2, ..., an，则它们的算术平均数为：A = (a1 + a2 + ... + an) / n它们的几何平均数为：G = a1 * a2 * ... * an 的 n 次方根自然对数函数 ln(x) 具有单调递增的性质，根据此性质，可得到：ln(A) = ln((a1 + a2 + ... + an) / n)= (ln a1 + ln a2 + ... + ln an) / n>= (n * ln G) / n= ln G进行指数运算，得到：A >= G这就是对数均值不等式。
对数均值不等式在数学中有广泛的应用，特别是在不等式证明中。
它可以用于证明调和平均数大于几何平均数、算术平均数大于等于几何平均数等形式多样的不等式。
但需要注意的是，对数均值不等式只适用于正数，不能应用于负数或零值。
此外，对数均值不等式还有一个重要的扩展形式——加权对数均值不等式。
它的形式为：(w1 * ln a1 + w2 * ln a2 + ... + wn * ln an) / (w1 + w2 + ... + wn) >= ln((a1的w1次方 * a2的w2次方 * ... * an的wn次方)^1/(w1+w2+...+wn))其中，w1, w2, ..., wn 为正数或零值，且 w1 + w2 + ... + wn 不为零。
对数均值不等式是一个简单而有用的数学工具，无论是在理论研究还是实际应用中，都有着重要的作用。
它的引入位置不仅局限于数学领域，同时也涉及到一些实际生活中的问题。
指对数均值不等式
指对数均值不等式指对数均值不等式是数学中的一种重要不等式，它是指对于任意正实数a1,a2,...,an，有以下不等式成立：（a1*a2*...*an）^(1/n) >= (a1+a2+...+an)/n其中，左边的式子表示这n个数的几何平均数，右边的式子表示这n个数的算术平均数。
这个不等式的意义在于，它告诉我们，对于一组正实数，它们的几何平均数一定大于等于它们的算术平均数。
这个结论在很多领域都有应用，比如在统计学中，我们可以用它来证明样本均值的稳定性；在金融学中，我们可以用它来证明投资组合的风险性。
那么，为什么这个不等式成立呢？其实，这个不等式的证明并不难，我们可以通过数学归纳法来证明它。
首先，当n=2时，不等式显然成立。
接着，我们假设当n=k时不等式成立，即：（a1*a2*...*ak）^(1/k) >= (a1+a2+...+ak)/k那么，当n=k+1时，我们可以将不等式左边的式子乘上ak+1，右边的式子加上ak+1，得到：（a1*a2*...*ak*ak+1）^((k+1)/k) >= (a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1)接着，我们将左边的式子拆开，得到：（a1*a2*...*ak*ak+1）^((k+1)/k) = （a1*a2*...*ak）^(1/k) * ak+1 * （ak+1/（a1*a2*...*ak））^(1/k)由于我们已经假设了（a1*a2*...*ak）^(1/k) >= (a1+a2+...+ak)/k，所以我们只需要证明：ak+1 * （ak+1/（a1*a2*...*ak））^(1/k) >= ak+1/(k+1)这个不等式可以通过取对数，然后应用柯西-施瓦茨不等式来证明。
指对数均值不等式是一种非常重要的不等式，它告诉我们，几何平均数一定大于等于算术平均数。
这个不等式的证明也非常简单，我们可以通过数学归纳法来证明它。
对数均值不等式与极值点偏移
对数均值不等式与极值点偏移在数学中，不等式是一个非常重要的概念，它是数学中的一种比较关系。
而对数均值不等式（以下简称为AM-GM不等式）则是不等式中的一种特殊形式，它在数学中有着广泛的应用。
本文将探讨AM-GM不等式以及它在极值点偏移中的应用。
一、AM-GM不等式AM-GM不等式是指对于非负实数$a_1,a_2,…,a_n$，有以下不等式成立：$$frac{a_1+a_2+…+a_n}{n}geq sqrt[n]{a_1a_2…a_n}$$其中，左边为这$n$个数的算术平均数，右边为这$n$个数的几何平均数。
这个不等式告诉我们，对于一组非负实数，它们的算术平均数一定不小于它们的几何平均数。
证明：对于$n=2$的情况，不等式可以写作$(a+b)^2geq 4ab$，这是平方差公式的形式，显然成立。
假设$n=k$时不等式成立，即：$$frac{a_1+a_2+…+a_k}{k}geq sqrt[k]{a_1a_2…a_k}$$那么当$n=k+1$时，有：$$frac{a_1+a_2+…+a_k+a_{k+1}}{k+1}=frac{frac{a_1+a_2+…+a_ k}{k}+frac{a_{k+1}}{k+1}}{frac{k}{k+1}+frac{1}{k+1}}geq sqrt[k+1]{frac{a_1a_2…a_k}{(k+1)^k}cdot a_{k+1}}$$根据不等式的乘法结合律，上式可以化简为：$$frac{a_1+a_2+…+a_k+a_{k+1}}{k+1}geqsqrt[k+1]{a_1a_2…a_ka_{k+1}}$$因此，不等式对于任意$n$都成立。
二、AM-GM不等式的应用1. 求证$sqrt{ab}leq frac{a+b}{2}$解法：根据AM-GM不等式，有：$$sqrt{ab}leq frac{a+b}{2}$$这个不等式告诉我们，对于任意两个非负实数$a$和$b$，它们的几何平均数一定不大于它们的算术平均数。
对数均值不等式推导
对数均值不等式推导对数均值不等式是高中数学中的一个重要定理，它在数学证明和问题求解中具有重要的作用。
在本文中，我们将会对对数均值不等式进行推导，帮助读者更好地理解和运用这一定理。
一、基本概念在推导对数均值不等式之前，需要了解一些基本概念。
其中，最重要的是算术平均数和几何平均数。
算术平均数是指若干个数之和除以这些数的个数。
设有n个数a1、a2、a3、……、an，则它们的算术平均数为：(a1+a2+a3+……+an)/n。
几何平均数是指若干个正数的乘积的n次方根。
设有n个正数a1、a2、a3、……、an，则它们的几何平均数为：(a1×a2×a3×……×an)的1/n次方。
根据这些基本概念，我们可以了解到，算术平均数是所有数的和平均分配的结果，而几何平均数是所有数的乘积开n次方的结果，代表这些数的乘积的n个根之一。
两者常常被用来描述某些数据的平均值和变化趋势，例如财务分析中的平均收入和增长率等。
二、对数均值不等式了解完基本概念后，我们可以开始推导对数均值不等式了。
对数均值不等式又称为AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式），是高中数学中一个重要的定理。
对于任意n个正实数a1、a2、a3、……、an，有以下不等式成立：(log a1 + log a2 + … + log an)/n ≤ (a1 × a2 × … × an)的1/n的对数其中，∑log(ai)表示对数运算后的所有数之和，n代表有n个数参与运算。
这个重要的不等式意味着，若干个正数的算术平均数不大于它们的几何平均数的对数。
为了方便理解，可以将上述不等式分解开来：log[（a1 × a2 × … × an)的1/n] ≤ (log a1 + log a2 + … + log an) / n两边同时用指数运算还原，则有：(a1 × a2 × … × an)的1/n ≤ (a1 + a2 + … + an) / n这个不等式也是对数均值不等式的常用表述。
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解10---对数平均不等式、切线不等式
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解 第10讲 对数平均不等式、切线不等式在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以转变成对数平均不等式、切线不等式进行求解，起到事半功倍的效果．考点一 对数平均不等式例1 若a ＞0，b ＞0，a ≠b ，求证：ab ＜a －b ln a －ln b＜a ＋b 2. 证明 不妨设a ＞b ＞0，①要证ab ＜a －b ln a －ln b成立， 即证ab ＜a －b ln a b，即证ln a b ＜a －b ab ， 即证ln a b ＜a b －b a ，令a b＝t (t ＞1)， 则需证明2ln t ＜t －1t(t ＞1)， 构造函数f (t )＝2ln t －t ＋1t(t ＞1)， 则f ′(t )＝2t －1－1t 2＝－(t －1)2t2＜0， 所以f (t )在(1，＋∞)上单调递减，又f (1)＝0，所以f (t )<0，即2ln t ＜t －1t，原不等式得证． ②要证a －b ln a －ln b ＜a ＋b 2，只需证2·a －b a ＋b＜ln a b ，即证2·a b －1a b＋1＜ln a b ，令t ＝a b (t ＞1)， 即证2·t －1t ＋1＜ln t ．即证2－4t ＋1<ln t ， 构造函数φ(t )＝2－4t ＋1－ln t (t >1)， φ′(t )＝4(t ＋1)2－1t ＝－(t －1)2t (t ＋1)2<0， ∴φ(t )在(1，＋∞)上单调递减，∴φ(t )<φ(1)＝0，即2－4t ＋1<ln t ， ∴原不等式得证． 综上，ab ＜a －b ln a －ln b＜a ＋b 2. 规律方法 该类问题的特征是双变量，将双变量问题转变为单变量问题处理，即将a b看成一个新对象(整体)，从而进行降维打击．跟踪演练1 已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜a －2. (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋a x ＝－x 2－ax ＋1x 2. ①若a ≤2，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②若a ＞2，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增． (2)证明 由(1)知，f (x )存在两个极值点当且仅当a ＞2.由于f (x )的两个极值点x 1，x 2满足x 2－ax ＋1＝0，所以x 1x 2＝1，不妨设x 2>x 1>0，则x 2＞1.由于f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝－1x 1x 2－1＋a (ln x 1－ln x 2)x 1－x 2＝－2＋a (ln x 1－ln x 2)x 1－x 2， 由对数平均不等式知x 1－x 2ln x 1－ln x 2>x 1x 2＝1， 又x 2>x 1>0，∴x 1－x 2<0，ln x 1－ln x 2<0，∴0<ln x 1－ln x 2x 1－x 2<1， ∴f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝－2＋a (ln x 1－ln x 2)x 1－x 2<－2＋a ， 即证原不等式成立．考点二 以泰勒公式为背景的切线不等式泰勒公式：将函数展开为一个多项式与一个余项的和．f (x )＝f (x 0)＋f ′(x 0)(x －x 0)＋f ″(x 0)2！(x －x 0)2＋…＋f (n )(x 0)n ！(x －x 0)n ＋R n (x )， 其中余项R n (x )＝f (n ＋1)(ξ)(n ＋1)！(x －x 0)n ＋1(ξ在x 0与x 之间)， 当x 0＝0时为麦克劳林公式．其中e x 与ln(1＋x )的麦克劳林公式为e x ＝1＋x ＋12x 2＋16x 3＋o (x 3)， ln(1＋x )＝x －12x 2＋13x 3＋o (x 3)， 从中截取片段就构成了常见的不等式：e x ≥1＋x 或e x≥1＋x ＋x 22(x ≥0)， ln(1＋x )≤x (x ≥0)或ln x ≤x －1(x >0)，ln(1＋x )≥x －x 22(x ≥0)，例2 设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2. (1)求a ，b ；(2)证明：f (x )>1.(1)解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b xe x －1. 由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2.(2)证明 方法一 由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x·e x －1， 从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e. 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，g ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e. 设函数h (x )＝x e －x －2e， 则h ′(x )＝e －x (1－x )． 所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e. 综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.方法二 f (x )＝e x ln x ＋2xe x －1＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋2e x . 当x ＞0时，e x ＞1＋x ，所以e x －1≥x ， 即e x e≥x ，e x ≥e x ，当x ＝1时等号成立， 即e －ln x ≥e(－ln x )，所以1x≥e(－ln x )， 即ln x ≥－1e x ，当x ＝1e时等号成立，所以e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋2e x ≥e x ⎝⎛⎭⎫－1e x ＋2e x ＝e xe x ＞1(等号不同时成立)． 规律方法 指数的放缩．形如：e x －1≥x －1＋1⇒e x ≥e x ， e x n≥e·x n ⇒e x ≥e n n n x n . 对数的放缩．形如：e ln x ≥1＋ln x ⇒ln x ≤x －1⇒ln(1＋x )≤x ，ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x <1x ⇒ln(x ＋1)－ln x <1x， ln ⎝⎛⎭⎫1＋⎝⎛⎭⎫－11＋x <－11＋x⇒ln(1＋x )－ln x >11＋x ， ln x e ≤x e－1⇒x ≥eln x . 跟踪演练2 已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )． (1)当a ＞0时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当a ＝0时，证明：f (x )<2e x －x －4.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x ＝(ax －1)(x －2)x， 当0<1a <2，即a >12时， 在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(2，＋∞)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当1a ＝2，即a ＝12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当1a >2，即0<a <12时， 在(0,2)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述，当a >12时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a 和(2，＋∞)； 当a ＝12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当0<a <12时，f (x )的单调递增区间为(0,2)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞. (2)证明 方法一 当a ＝0时，要证f (x )<2e x －x －4，即证e x －ln x －2>0，构造函数h (x )＝e x －ln x －2(x >0)，h ′(x )＝e x －1x， 令φ(x )＝e x －1x(x >0)， 则φ′(x )＝e x ＋1x 2>0， 所以h ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，h ′⎝⎛⎭⎫12＝e －2<0，h ′(1)＝e －1>0，故存在x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，使得h ′(x 0)＝0，即0e x ＝1x 0. 当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增．所以当x ＝x 0时，h (x )取得极小值，也是最小值．h (x 0)＝0e x －ln x 0－2＝1x 0－01ln e 2x - ＝1x 0＋x 0－2>21x 0·x 0－2＝0， 所以h (x )＝e x －ln x －2>0，故f (x )<2e x －x －4.方法二 当a ＝0时，要证f (x )<2e x －x －4，即证e x －ln x －2>0，由x >0时，e x >x ＋1可得e x －1>x ，由x >0时，ln x ≤x －1可得x ≥ln x ＋1，故e x －1>x ≥ln x ＋1，即e x －ln x －2>0，即原不等式成立．专题强化练1．(2022·葫芦岛模拟)已知函数f (x )＝x ＋b (1＋ln x )(b ∈R )．(1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )－12sin x ，若存在0<x 1<x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)，求证： ①b <0；②x 1x 2<4b 2.(1)解 由题意，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋b x， 若b ≥0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若b <0，令f ′(x )＝0，得x ＝－b ， 当x ∈(0，－b )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－b ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，综上，若b ≥0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；若b <0，f (x )的单调递减区间为(0，－b )，单调递增区间为(－b ，＋∞)．(2)证明 g (x )＝x ＋b (1＋ln x )－12sin x ， g ′(x )＝1－cos x 2＋b x， ①若b ≥0，则由1－cos x 2>0，b x≥0得g ′(x )>0，g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故不存在0<x 1<x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)，所以b <0.②令m (x )＝x －sin x (x >0)，m ′(x )＝1－cos x ≥0，当x →0时，m (x )→0， 故m (x )>0，即x >sin x ，因为g (x 1)＝g (x 2)，即x 1＋b (1＋ln x 1)－12sin x 1 ＝x 2＋b (1＋ln x 2)－12sin x 2， 所以－b (ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1－12(sin x 2－sin x 1)>12(x 2－x 1)， 又0<x 1<x 2，所以－2b >x 2－x 1ln x 2－ln x 1>0， 根据对数平均不等式ab ＜a －b ln a －ln b＜a ＋b 2， 所以x 2－x 1ln x 2－ln x 1>x 2x 1， 所以－2b >x 2x 1，故x 1x 2<4b 2.2．(2022·抚州模拟)已知函数f (x )＝x (ln x ＋a )，a ∈R .(1)求f (x )的单调区间；(2)当a ＝1时，求证：f (x )≤x e x－1在(0，＋∞)上恒成立． (1)解 因为f (x )＝x (ln x ＋a )，故可得f ′(x )＝ln x ＋a ＋1，又y ＝ln x ＋a ＋1为单调递增函数，令f ′(x )＝0，解得x ＝e －a －1，故当0<x <e－a －1时，f ′(x )<0； 当x >e －a －1时，f ′(x )>0，故f (x )的单调递减区间为(0，e－a －1)， 单调递增区间为(e －a －1，＋∞)．(2)证明 方法一 当a ＝1时，f (x )＝x (ln x ＋1)， 要证f (x )≤x e x －1，即证x (ln x ＋1)≤x e x －1，又x >0，则只需证ln x ＋1≤e x －1，即证ln x －x ＋1≤e x －1－x ，令m (x )＝ln x －x ＋1，m ′(x )＝1x －1＝1－x x ，当0<x <1时，m ′(x )>0，m (x )单调递增， 当x >1时，m ′(x )<0，m (x )单调递减， 故当x ＝1时，m (x )取得最大值m (1)＝0； 令n (x )＝e x －1－x ，n ′(x )＝e x －1－1，又y ＝n ′(x )为单调递增函数，且当x ＝1时，n ′(x )＝0，当0<x <1时，n ′(x )<0，n (x )单调递减； 当x >1时，n ′(x )>0，n (x )单调递增， 故当x ＝1时，n (x )取得最小值n (1)＝0. 则n (x )min ＝m (x )max ，且当x ＝1时，同时取得最小值和最大值， 故n (x )≥m (x )，即ln x －x ＋1≤e x －1－x ，故f (x )≤x e x －1在(0，＋∞)上恒成立．方法二 当a ＝1时，f (x )＝x (ln x ＋1)，要证f(x)≤x e x－1，即证x(ln x＋1)≤x e x－1，又x>0，则只需证ln x＋1≤e x－1，又ln x＋1≤x，e x－1≥x，且等号都在x＝1处取得，所以ln x＋1≤e x－1.即f(x)≤x e x－1在(0，＋∞)上恒成立．11 / 11。
极值点偏移问题专题(五) 对数平均不等式(本质回归)
极值点偏移问题专题（五）对数平均不等式（本质回归）极值点偏移问题专题（五）-对数平均不等式（本质回归）极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：2ab？ab？？EA.A.BB1b？ab1ab？A.BBaa？BA.ab？？E1.Bbb？a2？A.Lnaln从未想过其中一些可以用来解决极值点偏移问题。
对数平均不等式：对于正数a、B和a？b、 AB 的定义是什么？A.B是a和B的对数平均值lna?lnba?ba?b?，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为lna？lnb2g？a、 b？？La、 b？？A.a、 b？。
先给出对数平均不等式的多种证法．证法1（对称化构造）设RA.B0lna？那么LNBkln?akl?nb?，K1号xabklna？A.克伦布？b、构造器f？十、klnx？x、那么f呢？A.Fb？。
按F？？十、FK0和f？十、哪里0，k？上面的平均不等式即ab?k?，在?k,???上，x?k为f?x?的极大值点．对数A.BA.B2K，相当于？，这是两个传统的极端点迁移问题2Ab？k2？让读者自己试试看证法2（比值代换）令t?a?1，则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??lna？lnb2lnt2？T2.T1.T1t？11??? lnt？T构造函数可验证。
Lnt2t？1t综合征方法3（主成分法）也可以设定一个？Bab?a?babab?lna?lnb???lna?lnb???0．lna？Lnbbabab，a？？B然后Ba还记得f吗？A.lna？lnb？11bf？？A.a2ab2aa？A.b2aab？2.0，得到f？A.哪里B上面的，有FA.FB0，左边可以证明，右边可以用同样的方法证明证法4（积分形式的柯西不等式）不妨设a?b，则由?? lnalnbedxx？2.Elnalnbx2dx？？？Alnalnb12dx？BA.2.12a？b2？？lna？lnb？2a？文学士？Blna?lnb2?a1??a1?由??dx????2dx?bx???bx?2?a?b2?11?2ab?得，．lna?lnb??a?b1dx???????blna?lnb?ba?1?a?b2?上点?作切线，由曲边梯形面积，大于直,?x?2a?b??证法5（几何图示法）过f?x??角梯形面积，可得?a?b??a1a?ba?b1?；??dx?lna?lnb，即A.bbxlna？Lnb22如上图所示，可以从直角梯形的面积大于曲边梯形的面积这一事实得出?ab1dx?lna?b?x?1??1??a?a?bba?b?．?，即ab?lna?lnb2???????由对数平均不等式的证法1、2即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题．关于解决方案示例1:F？x1？？Fx2？X1e？x1？x2e？x2，lnx1？x1？lnx2？那么X1和X2的对数平均值是1），那么x1x2？1.2x1？x2？1（正面）lnx1?lnx2x1?x2，得x1x2?1，且x1?x2?2．22xx再解例2：f?x???x?2?e?a?x?1??0即?2?x?e?a?x?1??0；由。
对数均值不等式推导
对数均值不等式推导对数均值不等式是数学中的一条重要不等式，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将从实际问题出发，以人类的视角，生动地解释对数均值不等式，并探讨其应用。
我们来了解一下对数均值不等式的概念。
对数均值不等式是指对于任意两个正实数a和b，有以下不等式成立：$$\frac{{\ln(a)+\ln(b)}}{2}\geq\ln\left(\frac{{a+b}}{2}\right)$$这个不等式的意义是什么呢？我们可以通过一个生动的例子来解释。
假设有两个人A和B，他们的体重分别为a和b。
现在我们要比较他们的体重，看谁更重。
直观上，我们可以计算出他们的平均体重，即(a+b)/2。
然而，对数均值不等式告诉我们，如果我们取两个人体重的对数，然后再求平均，所得到的结果一定大于或等于取平均体重的对数。
这个结论很有意思，它说明了取对数后的平均值相较于直接取平均值，更能够凸显出较大的值。
那么，对数均值不等式有哪些实际应用呢？我们来看一个例子。
假设有一家工厂，它生产两种产品A和B，每天的产量分别为a和b。
现在，我们想要评估这家工厂的产量水平，看它的总产量是否足够高。
我们可以计算出两种产品的平均产量，即(a+b)/2。
然而，根据对数均值不等式，我们可以先取两种产品产量的对数，然后再求平均，所得到的结果一定大于或等于取平均产量的对数。
这个结论告诉我们，通过取对数后的平均值，我们能更好地评估工厂的产量水平。
除了在生产和评估中的应用，对数均值不等式在统计学中也有重要的作用。
例如，在统计数据的分析中，我们经常需要计算一组数据的均值和方差。
根据对数均值不等式，我们可以先取数据的对数，然后再计算均值和方差，得到的结果一定大于或等于直接计算原始数据的均值和方差。
这个结论告诉我们，在统计分析中，通过取对数后的数据能够更好地反映数据的特征。
除了上述应用，对数均值不等式还在信息论、金融等领域中有广泛的应用。
例如，在信息论中，对数均值不等式被用来证明熵函数的凸性；在金融领域中，对数均值不等式被用来计算期权价格等。
高考数学培优专题(1)——对数平均不等式的证明与应用(答安详解)
对数平均不等式：对于正数 a ， b ，且 a b ，则有 ab a b a b ，即几何平均数＜对 ln a ln b 2
数平均数＜算术平均数，简记为 G a,b L a,b Aa,b ．
（ⅱ）若 a 2 ，令 f (x) 0 得， x a a2 4 或 x a a2 4 .
2
2
当 x (0, a
a2 4 )
(a
a2 4 , ) 时， f (x) 0 ；
2
2
当 x(a
a2 4 a ,
a2 4 ) 时， f (x) 0 . 所以 f (x) 在 (0, a
2/6
高考数学培优专题（1）
例 3 (2014 年江苏南通二模)设函数 f (x) ex ax a ，其图像与 x 轴交于 A(x1, 0), B(x2, 0) 两点，且
x1 x2 ． （Ⅰ）求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）求证： f ( x1x2 ) 0 ．
例 4（2011 年辽宁理科）已知函数 f (x) ln x ax2 (2 a)x ．
a2 4 ) ， (a
a2 4 , ) 单调递
2
2
2
2
减，在 (a
a2 4 a ,
a2 4 ) 单调递增.
2
2
（2）由（1）知， f (x) 存在两个极值点当且仅当 a 2 .
由于 f (x) 的两个极值点 x1 ， x2 满足 x2 ax 1 0 ，所以 x1x2 1 ，不妨设 x1 x2 ，则 x2 1 . 由于
高考数学培优专题（1）
对数平均不等式的证明与应用
对数均值不等式解极值点偏移点问题
对数均值不等式解极值点偏移点问题对数均值不等式（Log-mean Inequality）是一个重要的不等式，它涉及到对数函数和均值的概念。
这个不等式在解决极值点偏移问题中非常有用。
极值点偏移问题通常出现在研究函数的最值问题时，当函数的最值点不在预期的位置（如对称轴或中心）时，就需要考虑极值点的偏移。
对数均值不等式可以帮助我们理解和解决这个问题。
对数均值不等式的一般形式为：对于所有正数a和b，有L(a, b) ≤ G(a, b) ≤ A(a, b) ≤ H(a, b)其中，L(a, b) 是对数均值，定义为L(a, b) = (a - b) / (ln a - lnb)G(a, b) 是几何均值，定义为G(a, b) = √(ab)A(a, b) 是算术均值，定义为A(a, b) = (a + b) / 2H(a, b) 是调和均值，定义为H(a, b) = 2 / (1/a + 1/b)这个不等式告诉我们，对于任意两个正数a和b，它们的对数均值总是小于或等于它们的几何均值，几何均值又小于或等于算术均值，算术均值又小于或等于调和均值。
在解决极值点偏移问题时，我们可以利用对数均值不等式来分析函数的性质。
例如，如果我们知道一个函数在某个区间上的对数均值、几何均值、算术均值或调和均值的性质，我们就可以利用这些性质来推断函数在该区间上的最值点的位置。
具体的解决方法可能因问题的不同而有所差异，但一般来说，我们需要先确定函数的表达式和定义域，然后计算不同均值，并利用对数均值不等式来分析函数的单调性和最值点的位置。
总之，对数均值不等式是解决极值点偏移问题的重要工具之一。
通过利用这个不等式，我们可以更好地理解函数的性质，并找到最值点的准确位置。
对数均值不等式的应用典例
对数均值不等式的应用典例对数均值不等式是数学中一种常见的不等式，它在数学推导和证明中具有重要的应用价值。
在以下内容中，将介绍对数均值不等式的应用典例。
1. 应用于几何平均数和调和平均数的比较对数均值不等式可以用来比较几何平均数和调和平均数的大小关系。
几何平均数和调和平均数在统计学和概率论中经常用到，对于一组非负实数a1, a2, ..., an，它们的几何平均数定义为G = (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)，调和平均数定义为H = n / (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)。
根据对数均值不等式，有ln(G) >= (ln(a1) + ln(a2) + ... + ln(an))/n >= ln(H)，即G >= H。
这意味着，在一组非负实数中，几何平均数大于等于调和平均数。
2. 应用于证明不等式对数均值不等式在证明不等式时经常被使用。
例如，我们要证明对于任意正实数a, b，有a^2 + b^2 >= 2ab。
可以使用对数均值不等式来证明。
首先，我们可以将不等式化简为(a^2 + b^2)/2 >= ab，然后取对数得到ln((a^2 + b^2)/2) >= ln(ab)。
接下来，根据对数均值不等式，有ln((a^2 + b^2)/2) >= (ln(a) + ln(b))/2，ln(ab) = ln(a) + ln(b)，所以ln((a^2 + b^2)/2) >= ln(ab)。
进一步化简得到(a^2 + b^2)/2 >= ab，即原不等式成立。
3. 应用于概率论中的熵和相对熵对数均值不等式在概率论中的熵和相对熵的推导中也有应用。
熵是一个度量随机变量的不确定性的概念，相对熵则是衡量两个概率分布之间差异的概念。
根据对数均值不等式，可以证明熵和相对熵是凸函数，这是由于对数函数是凸函数，而均值不等式保持凸性。
对数平均不等式的证明及应用
对数平均不等式的证明及应用【摘要】对数平均不等式是数学中的重要不等式之一，它在分析和应用中都有着广泛的用途。
本文通过对对数平均不等式的证明和应用进行深入探讨，展示了其在数学领域的重要性和实用性。
文章介绍了对数平均不等式的证明过程，详细解释了其推导和原理。
接着，分析了对数平均不等式在实际问题中的应用，展示了其在求解各种数学问题中的价值。
通过实例分析和一般形式的推广，展示了对数平均不等式在不同领域的灵活运用。
文章探讨了对数平均不等式与几何平均和算术平均的关系，为读者提供了更深入的理解。
结论部分总结了对数平均不等式的重要性、在数学中的应用和意义，强调了其在数学研究和实际问题中的不可或缺性。
通过本文的研究，读者可以更好地认识和应用对数平均不等式，提升数学问题的解决能力和分析水平。
【关键词】对数平均不等式、证明、应用、实例分析、推广、几何平均、算术平均、关系、重要性、数学应用、意义1. 引言1.1 对数平均不等式的证明及应用对数平均不等式是数学中经常用到的一个重要不等式，其证明及应用涉及到多个领域，包括数学、物理、经济等。
本文将对对数平均不等式进行详细的介绍和分析。
我们将详细介绍对数平均不等式的证明过程。
通过推导和分析，我们可以明确对数平均不等式的成立条件和相关性质。
接着，我们将探讨对数平均不等式在实际问题中的应用。
这些应用涉及到各种不同的情境和领域，例如在统计学中的数据分析、在金融学中的投资决策等。
在实例分析部分，我们将通过具体的案例来展示对数平均不等式的具体应用以及其解决问题的能力。
我们还将对对数平均不等式进行一般形式的推广，以便更好地理解这一不等式的应用范围和特点。
我们将讨论对数平均不等式与几何平均与算术平均的关系，进一步揭示其在数学中的重要性。
结合以上内容，我们将总结对数平均不等式在数学中的应用和意义，以及其在实际问题中的重要性和价值。
通过本文的介绍和分析，相信读者们对对数平均不等式的理解和应用能力将会得到提升。
对数均值不等式与极值点偏移
对数均值不等式与极值点偏移对数均值不等式是一种数学推理方法，它可以用于证明一些数学不等式，也可以用于解决数学问题。
在这篇文章中，我们将介绍对数均值不等式以及极值点偏移的相关知识。
一、对数均值不等式对数均值不等式是一种经典的不等式，它在数学分析、物理学、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。
该不等式可以用来证明很多重要的定理，例如柯西不等式、阿贝尔不等式等。
对数均值不等式的表述如下：设$a_1,a_2,\cdots,a_n$是$n$个正实数，则有$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln{a_{i}}\ge\ln{\Big(\frac{1}{n}\sum_{i=1 }^{n}a_{i}\Big)}$$其中，$\ln{x}$表示以$e$为底的自然对数。
这个不等式的证明可以用“摆动法”或“反证法”。
摆动法的思路是通过改变不等式中的式子，使其变得更加有利于证明。
而反证法的思路则是假设不等式不成立，利用推导过程中产生的矛盾来证明它一定成立。
二、极值点偏移极值点偏移也是一种常见的数学方法，它可以将一个函数的极值点向左或向右移动，从而得到新的极值点。
这种方法在计算机科学、物理学、统计学等领域也有广泛应用。
极值点偏移的基本原理是改变函数的自变量，使得函数的值发生变化，并且使新的极值点更加有利于求解。
这个方法的具体实现方法包括用迭代法、优化算法等对函数进行求解。
举个例子，假设我们要求解函数$y=x^2+2x$在$x=1$处的极值点。
通过分析函数的图像，我们可以发现在$x=-1$处函数有一个极小值点。
如果我们想要将极值点向左偏移2个单位，我们可以将函数变成$y=(x-2)^2+2(x-2)$，此时当$x=1$时，函数的极小值点就变成了$x=-3$，相对于原来的极值点向左偏移了2个单位。
三、结论对数均值不等式和极值点偏移都是一些常见的数学方法，它们可以用于解决许多实际问题。
对数均值不等式可以用来证明一些重要的定理，而极值点偏移可以用来求解函数的极值点。
对数平均不等式
对数平均不等式两个正数和的对数平均定义：（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立.a b(),(,)ln ln().a ba bL a b a ba a b-⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩(,)2a bL a b+≤≤ab=只证：当，可设.（I……①a b≠(,)2abL a b+<<a b>(,)L a b<不等式①1ln ln ln2ln(1)aa b x x xb x⇔-<⇔<⇔<-=>中中构造函数，则.1()2ln(1)f x x x xx=-->22211()1(1f xx x x'=--=--因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立；1x>()0f x'<()f x(1,)+∞()(1)0f x f<=（II）再证：……②(,)2a bL a b+<不等式②2(1)2()2(1)ln ln ln ln(1)(1)(1)aa b a xba b x xaa b b xb---⇔->⇔>⇔>=>+++中中构造函数，则.2(1)()ln,(1)(1)xg x x xx-=->+22214(1)()(1)(1)xg xx x x x-'=-=++因为时，，所以函数在上单调递增，故，从而不等式②成立；综合（I）（1x>()0g x'>()g x(1,)+∞()(1)0g x g<=II）知，对成立，当且仅当时，等号成立.,a b R+∀∈(,)2a bL a b+≤≤a b=题型一：指数换对数的证明极值偏移问题例1：（2010天津理）已知函数，如果且，证明：xxexf-=)(21xx≠)()(21xfxf=221＞xx+解：212121)(0),()(xxxxxfxf≠∴=，且请读者自己证明＞，＞例2：已知是函数的两个零点，且.其极值点为，（1）求a的取值范围。
对数平均不等式的几何意义
对数平均不等式的几何意义1. 嘿，你知道吗，对数平均不等式的几何意义就像是一座神奇的桥梁！比如说，两个数 a 和 b，它们之间的对数平均就像是连接它们的最佳路径。
就好比你要从 A 地到 B 地，走这条路径就是最快捷的！2. 哇塞，对数平均不等式的几何意义可太有意思啦！想想看啊，它就像一把精准的尺子，能衡量出不同数量之间的特殊关系呢。
就像你衡量两件物品哪个更有价值一样！3. 哎呀呀，对数平均不等式的几何意义呀，那简直就是数学世界里的神秘宝藏！比如说在比较两个班级的成绩时，它就能像指南针一样指明方向。
难道不是很神奇吗？4. 嘿呀，对数平均不等式的几何意义不就是打开复杂问题大门的钥匙嘛！比如要比较两条不同长度的路，它就能给出最直观的答案。
这多厉害呀！5. 哇哦，对数平均不等式的几何意义，就如同黑暗中的一盏明灯！像是在判断两种投资方案哪个更好时，它就会闪闪发光地指引你。
是不是很牛？6. 哎呀，对数平均不等式的几何意义可真是个奇妙的东西！好比在选择先吃苹果还是香蕉时，它能给你一个特别的提示。
这也太有趣了吧！7. 嘿，你想想看，对数平均不等式的几何意义像不像一个智慧的小精灵！比如在分配任务时，它能巧妙地帮你找到最佳方案。
是不是很神奇呀？8. 哇，对数平均不等式的几何意义那可是超级厉害的存在！就好像在一场比赛中判断谁更有优势，它能一眼看穿。
这也太绝了吧！9. 哎呀呀，对数平均不等式的几何意义不就是数学花园里最美的那朵花嘛！比如在比较不同手机性能时，它就能绽放光芒。
真的好特别呀！10. 嘿！对数平均不等式的几何意义绝对是个令人惊叹的玩意儿！就如同在选择走哪条路更快到达目的地时，它就是你的最佳向导。
这真的太重要啦！我的观点结论：对数平均不等式的几何意义充满了奇妙和惊喜，在各种情境中都能发挥独特的作用，让人不得不感叹数学的魅力啊！。
对数均值不等式的推导过程
对数均值不等式的推导过程对数均值不等式是数学中的一种常见不等式，它用于描述若干个正实数的调和平均数不大于其几何平均数。
推导过程如下：假设有 n 个正实数 a1,a2,...,an，它们的几何平均数为 G，即： G = (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)它们的调和平均数为 H，即：H = n / (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)我们需要证明：H ≤ G为了方便证明，我们对数进行变换，令：bi = ln(ai)bi 的集合 B 是一个实数集合，它的平均数为 B 的算数平均数μ，即：μ = (b1 + b2 + ... + bn) / n我们可以把 G 和 H 表示成 b1,b2,...,bn 的函数，即：G = exp(μ)H = n / (exp(b1) + exp(b2) + ... + exp(bn))根据 Jensen 不等式，我们知道对于任何凸函数 f(x)：f(Σ(ai/λi)) ≤Σ(f(ai)/λi)其中，λi 是正实数，满足Σ(1/λi) = 1。
我们可以将凸函数 f(x) 取为指数函数 exp(x)，则有：exp(μ) = exp(Σ(bi/n)) ≤Σ(exp(bi)/n)对于右式，我们有：Σ(exp(bi)/n) = (exp(b1) + exp(b2) + ... + exp(bn)) / n 结合上式和下式，我们得到：exp(μ) ≤ H即：G ≤ H证毕。
在实际应用中，对数均值不等式经常用于证明某些不等式或优化问题的有效性。
例如，在机器学习中，对数均值不等式可以用来证明某些损失函数的上界或下界，从而推导出有效的优化算法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题8对数平均不等式的应用两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln ().a ba b L a b a ba ab -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2a bab L a b +≤≤（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当a b =时，等号成立．只证：当a b ≠时，(,)2a b ab L a b +<<，可设a b >.（I）先证：(,)ab L a b <……①不等式①1ln ln ln 2ln (1)a b a a b aa b x x x bbaxbab-⇔-<⇔<-⇔<-=>其中构造函数1()2ln (),(1)f x x x x x =-->，则22211()1(1)f x x x x'=--=--.因为1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0f x f <=，从而不等式①成立；（II ）再证：(,)2a b L a b +<②不等式②2(1)2()2(1)ln ln ln ln (1)(1)(1)a a b a x a b a b x x a a b b x bb---⇔->⇔>⇔>=>+++其中构造函数2(1)()ln ,(1)(1)x g x x x x -=->+，则22214(1)()(1)(1)x g x x x x x -'=-=++.因为1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0g x g <=，从而不等式②成立；综合（I ）（II ）知，对,a b R +∀∈，都有对数平均不等式(,)2a bab L a b +≤≤成立，当且仅当a b =时，等号成立．【例1】（2010•天津卷）已知函数x xe x f -=)(，如果21x x ≠且)()(21x f x f =，证明：221>+x x ．解：212121,00),()(x x x x x f x f ≠>>∴=， ，（请读者自己证明）秒杀秘籍利用定积分秒杀对数平均不等式证明如右图1所示，在反比例函数()xx f 1=上任取两点⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛b b B a a A 1,,1,，点⎪⎭⎫⎝⎛++b a b a C 2,2为AB 在双曲线上的中点，x AA ⊥1轴交其于1A ，x BB ⊥1轴交其于1B ，过C 作双曲线切线交1AA 和1BB 于E D ,两点，根据()a b b a dx x S S ba A DEB A ACBB -⋅+>⇒>⎰211111，即2ln ln ba ab a b +<--如右图2所示，在()x x f 1=上任取两点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b b B a a A 1,,1,，x AA ⊥1轴交其于1A ，x BB ⊥1轴交其于1B ，根据1111A ABB A ABB S S 曲>()()aba b a b a b a b dx x b a2ln ln212111-<-⇒-⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+<⎰，即abab ab >--ln ln22112121ln ln ln ln 2121x x x x e x e x e x e x x x x x -=-⇒=⇒=∴----，整理可得1ln ln 2121=--x x x x 2ln ln ba b a b a +<--，⇒+<=--∴21ln ln 212121x x x x x x 即221>+x x 【例2】已知21-=)(的两个零点，且210（1）求a 的取值范围；（2）求证：0212x x x <+；（3）求证：221>+x x ；（4）求证：121<⋅x x .解：（1）()()0ln 00>=⇒=-='a a x a e x f x ，故()x f 在区间()↓∞-a ln ,，在区间()↑+∞,ln a ，若ax e x f x -=)(有两个零点，则()1ln 0ln ln ln >⇒<-=a a a e a f a ，即e a >；（2）构造函数)2()()(0x x f x f x F --=，则2ln 0')'()'(2)2x a x F x f x f x x e e a -=+-=+-（，当a x ln <时，022)('ln 2=->a x F ea则()↑x F ；得()0ln )(=<a F x F ,()()()x x f x f a F x F -<∴=<02,0ln )(，其中0x x <；将1x 代入不等式得,2,,),2)(010*******x x x x x x x x x f x f >->>-=又（)(x f 在()+∞,0x 上↑，故1022x x x -<，即1202.x x x +<（3）（4）：又121200x x e ax e ax ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩1122(1)(2)x lna lnx x lna lnx =+⎧∴⎨=+⎩(1)(2)-得1212x x lnx lnx -=-1212121212x x x x x x lnx lnx +-∴>=>-122x x ∴+>，121x x <第（2）问也可以通过第（3）问结论用对数平均不等式秒杀，（1）+（2）得：12120222x x lna lnx x lna x +=+<=若出现a x x >+21或者b x x <⋅21时，属于正常的作差代换，构造出2ln ln 21212121x x m x x x x x x +<=--<，由模型一即可秒杀，遇到a x x <+21或者b x x >⋅21时，属于对数平均不等式反向，这就需要将两式相减先构造对数平均不等式，再相加实现和积互换，从而达到证明反向不等式．【例3】已知函数ln ()f x x=，如果12x x <且12()()f x f x =，求证：212x x e ⋅>．证明：因为12()()f x f x =，所以可设1212ln ln x x m x x ==∴1112ln ln (1)(2)x m x m x x =⎧⎨=⎩ （1）+（2）得1212ln ln ()(3)x x m x x +=+ ；（1）-（2）得1212ln ln ()x x m x x -=-1212ln ln x x m x x -∴=-，代入（3）得mx x x x m x x x x 2ln ln 21ln ln 21212121+=+<=--，2ln ,2ln ln 12121>∴+<∴x x m x x m ，综上212x x e ⋅>．1，2，求证：120x x +<．证明：令11ln()mx x m =+（1）22ln()mx x m =+（2）12121212(+)1ln()ln()ln()ln()x x x m x m m x m x m x m x m -+-∴==+-++-+）（121()(+)x m x m m∴>+，1221()(+)x m x m m ∴+<再由1212121212121ln()ln()ln()ln()ln()ln()x x x x x x x m x m x m x m x m x m m+-====++++++-+得：121212ln()ln()ln()(+)x m x m x m x m x x m m+++++==21lnln 20m m m m<=-<，（m >1）∴120x x +<题型三中点导数问题点差法题目给到()122102x x x x x >+=，涉及证明()00<'x f 或者()00>'x f 时，利用分析法执果索因，将式子证明最后转交给对数平均不等式，方法类似圆锥曲线点差法（作差，同除()12x x -，取中点）；当出现03221<⎪⎭⎫⎝⎛+'x x f 、()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+'12103121αααx x f 之类题型时，要转化为02322121<⎪⎭⎫ ⎝⎛+'<⎪⎭⎫ ⎝⎛+'x x f x x f ，也属于对数点差法系列．【例5】（2011•辽宁卷）已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 的中点的横坐标为0x ，证明：0()0f x '<．解：（1）略．（2）()()000122f x ax a x '=-+-，由12()()0f x f x ==21112222ln (2)0(1)ln (2)0(2)x ax a x x ax a x ⎧-+-=⎪⇔⎨-+-=⎪⎩()22121212(1)(2):ln ln ()2()x x a x x a x x --=-+--，同除以()12x x -得，()()121212ln ln 20x x a x x a x x --++-=-要证0()0f x '<，只需证()()()012012122220ax a a x x a x x x -+-=-++-<+；只需证()()()()1121221122ln ln 222a x x a a x x a x x x x x x --++-<-++--+；根据对数平均不等式1212122x x x xlnx lnx +->-，故原命题得证．【例6】（2018•全国卷I ）已知函数()1ln f x x a x x=-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．解：（1）略。
（2）()2221110a x ax f x x x x-+-'=--+==，即210x ax -+-=，故1212,1x x a x x +==；要证()()12122f x f x a x x -<--，只需证1122121211ln ln 2x a x x a x x x a x x -+-+-<--，只需证1212121211ln ln 12x x a x a x a x x x x ---+<---，只需证()121212ln ln 112a x x a x x x x ---+<--，只需证1212ln ln 1x x x x -<-，由于1212121ln ln x x x x x x ->=-，故命题得证．题型四作差求和取对数三板斧非一次函数的形式，由x e 与二次函数2ax bx c ++混合的函数，先作差得出()1212b a x x x x a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，再两边取对数，构造对数平均不等式，在证明12b x x a +>-或者12b x x a+<-，往往用反证法减少运算；对于ln x x 这类不好分离的式子，又要和差齐下。