对数平均不等式
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专题8对数平均不等式的应用
两个正数a 和b 的对数平均定义：(),
(,)ln ln ().
a b
a b L a b a b
a a
b -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2
a b
ab L a b +≤≤（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当a b =时，等号成立．只证：当a b ≠时，(,)2
a b ab L a b +<<，可设a b >.（I
）先证：(,)ab L a b <……①
不等式①1ln ln ln 2ln (1)
a b a a b a
a b x x x b
b
a
x
b
ab
-⇔-<⇔<-⇔<-=>其中构造函数1
()2ln (),(1)f x x x x x =-->，则22211()1(1)f x x x x
'=--=--.
因为1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0f x f <=，从而不等式①成立；
（II ）再证：(,)2a b L a b +<②不等式②2(1)
2()2(1)ln ln ln ln (1)
(1)(1)a a b a x a b a b x x a a b b x b
b
---⇔->⇔>⇔>=>+++其中构造函数2(1)
()ln ,(1)(1)
x g x x x x -=->+，则22214(1)()(1)(1)x g x x x x x -'=-
=++.因为1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0g x g <=，从而不等式②成立；综合
（I ）（II ）知，对,a b R +∀∈，都有对数平均不等式(,)
2
a b
ab L a b +≤≤成立，当且仅当a b =时，等号成立．
【例1】（2010•天津卷）已知函数x xe x f -=)(，如果21x x ≠且)()(21x f x f =，证明：221>+x x ．解：212121,00),()(x x x x x f x f ≠>>∴=， ，（请读者自己证明）
秒杀秘籍利用定积分秒杀对数平均不等式证明
如右图1所示，在反比例函数()x
x f 1=上任取两点⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛b b B a a A 1,,1,，
点⎪⎭
⎫
⎝⎛++b a b a C 2,2为AB 在双曲线上的中点，x AA ⊥1轴交其于1A ，x BB ⊥1轴交其于1B ，过C 作双曲线切线交1AA 和1BB 于E D ,两点，根据()a b b a dx x S S b
a A DEB A ACBB -⋅+>⇒
>⎰211111，即2ln ln b
a a
b a b +<--如右图2所示，在()x x f 1=上任取两点⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b b B a a A 1,,1,，x AA ⊥1轴交其于1A ，x BB ⊥1轴交其于1B ，根据1
111A ABB A ABB S S 曲>()()
ab
a b a b a b a b dx x b a
2ln ln
2
12
111-<
-⇒-⋅⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+<⎰
，
即
ab
a
b a
b >--ln ln
22112121ln ln ln ln 2121x x x x e x e x e x e x x x x x -=-⇒=⇒=∴----，整理可得
1
ln ln 2
12
1=--x x x x 2ln ln b
a b a b a +<
--
，⇒+<=--∴2
1ln ln 212121x x x x x x 即221>+x x 【例2】已知21-=)(的两个零点，且210（1）求a 的取值范围；（2）求证：0212x x x <+；（3）求证：221>+x x ；（4）求证：121<⋅x x .
解：（1）()()0ln 00>=⇒=-='a a x a e x f x ，故()x f 在区间()↓∞-a ln ,，在区间()↑+∞,ln a ，若ax e x f x -=)(有两个零点，则()1ln 0ln ln ln >⇒<-=a a a e a f a ，即e a >；
（2）构造函数)2()()(0x x f x f x F --=，则2ln 0')'()'(2)2x a x F x f x f x x e e a -=+-=+-（，
当a x ln <时，022
)('ln 2=->a x F e
a
则()↑
x F ；