高考数学一轮复习 4.20 三角恒等变换课件 理
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第4节 三角恒等变换--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
(2)通过变换,产生可消去的正负项,再去求值;
(3)通过变换,产生分子分母可约分的项,约分求值.
[对点训练
1
A.2
110° 250°
2](1)(2024·广东茂名模拟) 2
的值为(
2
25°- 155°
1
3
3
B.
C.
D.2
2
2
A )
1sin140° 1sin40°
-sin70°cos70°
6
6
6
cos2 (+ )-sin2 (+ )
π
αsin(α+ ),
6
考向 3
给值求角
3
4(2024·湖北襄阳模拟)已知 ≤α≤π,π≤β≤ ,sin
4
2
例
β-α=( C )
3
A. 或
4
4
B.
4
3
C.
4
4
2
2α= ,cos(α+β)=- ,则
5
10
5
D.
4
π
π
4
π
3
解析 因为 ≤ ≤π,所以 ≤2α≤2π.又 sin 2α= >0,则 <2α<π,故 cos 2α=- .
1+cos(2- )
4
2
2
3
1+
π
2
所以 tan (α-4)= 34=7.
14
规律方法
三角函数给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或已知条件;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手);
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
(3)通过变换,产生分子分母可约分的项,约分求值.
[对点训练
1
A.2
110° 250°
2](1)(2024·广东茂名模拟) 2
的值为(
2
25°- 155°
1
3
3
B.
C.
D.2
2
2
A )
1sin140° 1sin40°
-sin70°cos70°
6
6
6
cos2 (+ )-sin2 (+ )
π
αsin(α+ ),
6
考向 3
给值求角
3
4(2024·湖北襄阳模拟)已知 ≤α≤π,π≤β≤ ,sin
4
2
例
β-α=( C )
3
A. 或
4
4
B.
4
3
C.
4
4
2
2α= ,cos(α+β)=- ,则
5
10
5
D.
4
π
π
4
π
3
解析 因为 ≤ ≤π,所以 ≤2α≤2π.又 sin 2α= >0,则 <2α<π,故 cos 2α=- .
1+cos(2- )
4
2
2
3
1+
π
2
所以 tan (α-4)= 34=7.
14
规律方法
三角函数给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或已知条件;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手);
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
2024届新高考一轮复习人教B版 主题二 第四章 第3节 三角恒等变换 课件(38张)
又因为 < <π,所以原式=-cos .
答案:-cos
3.化简:
- +
=
( -) ( +)
( - +)
( -)
·
· ( -)
( -)
解析:原式=
=
=
(3)tan 2α=
.
-
1.常用拆角、拼角技巧:例如,2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;
β=
+ -
-
=(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);15°=45°-30°; +α=
-( -α)等.
2.辅助角公式
=
- °
×°
- °
= ×tan 30°= × = .
3.
°- °
等于(
°
A.-
C.
B.-1
解析:原式=2×
=2×
D
)
D.1
°-°°
°
(°+°)-°°
三角函数式的求值
给角求值
[例 1] (1)
° °
解析:(1)原式=
=
=
=
-
( °-
=
.
°- °
2025届高三数学一轮复习课件-+简单的三角恒等变换
)
A．π 3
B．5π 12
C．π6
D．π4
解析 ∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π，由 cosα＝17，sin(α＋β)＝5143，得 sinα＝473，
cos(α＋β)＝±1114.若 cos(α＋β)＝1114，则 sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋
解析
sinα －
3
cosα
＝
2
12sinα－
3
2
cosα
＝
2sin
α－π3
＝
m
－
1
，
因
为
－
1≤sinα－π3≤1，所以－2≤2sinα－π3≤2，所以－2≤m－1≤2，解得－1≤m≤3，
则 m 的取值范围是[－1，3]．
课堂小结（1分钟）
【通性通法】 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通常是 把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化 后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将 y＝asinx＋bcosx 转化为 y＝ Asin(x＋φ)或 y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质，解题时注意观察角、函 数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
因为 x∈π4，32π，所以 x－71π2∈－π3，1112π，
所以 sinx－71π2∈－ 23，1，
所以－ 22sinx－71π2∈－ 22， 46，
即函数
f(x)在区间π4，32π上的最大值为
46，最小值为－
2 2.
(2)因为 cosθ＝45，θ∈32π，2π， 所以 sinθ＝－35，所以 sin2θ＝2sinθcosθ＝－2245， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝1265－295＝275， 所以 f2θ＋π3＝－ 22sin2θ＋π3－71π2 ＝－ 22sin2θ－π4＝－12(sin2θ－cos2θ) ＝12(cos2θ－sin2θ)＝12×275＋2245＝3510.
2023届高考数学一轮复习：第三讲 三角恒等变换 课件(共19张PPT)
( ) ( )
4
4
3
3
（2）互余与互补关系
例如，
4
3 4
3
6
2
.
（3）非特殊角转化为特殊角
例如，15 45 30 ,75 45 30 .
[典型例题]
1.
若
sin
π 2
3 5
，
(π, 2π)
，则
sin3 sin
cos3 cos
1，A
错；
f
π 6
2 sin
π 6
π 3
2
， 图象关于直线
x
π 6
对称，
C 对.故选：C.
Thanks
D. 最大值为 2 ，图象关于直线 x π 对称 6
[解析]
f
(x)
sin
x
π 3
cos
x
π 6
sin
x
cos
π 3
cos
x
sin
π 3
，
cos
x
cos
π 6
sin
x
sin
π 6
2
sin
x
π 3
当
sin
x
π 3
1时，
f
(x)
取最大值
2， BD
错；
f
π 6
2 sin
π 6
π 3
π 4
4 5
2 3 25
2 2， 2 10
故选 C.
考点2：三角函数式的变形
1.其他常用变形
sin 2 2sin cos 2 tan ； sin2 cos2 tan2 1
cos 2 cos2 sin2 1 tan2 ； cos2 sin2 1 tan2
高考数学一轮总复习第五章三角函数第四节三角恒等变换课件
成立.
=
sin +cos
=左边,所以原等式
sin -cos
考点二
三角函数式的求值(多考向探究)
考向1.给角求值问题
典例突破
例 3.(1)
3cos20 °-sin20 °
=
cos20 °cos70 °
.
π
1
(2)(2023 河南开封名校联考)已知锐角 α,β 满足 α+β= ,则
3
sin cos
π π
例如:α=(α+6)-6=(α-3)+3,α=(α+β)-β=β-(β-α),
2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),2α+β=(α+β)+α,2α-β=(α-β)+α,
+ -
+ -
α= 2 + 2 ,β= 2 − 2 等.
(2)两角互余与互补关系
π
π
π π
4sin40 °
=4.
sin40 °
3
β= ,
2
∵α,β 均为锐角,则 sin αcos β>0,cos αsin β>0,
1
1
∴
+
sincos
cossin
=
2 3
(sin
3
αcos β+cos αsin
1
1
β)(
+
)
sincos
cossin
2 3
cossin
sincos
2 3
增素能 精准突破
考点一
三角函数式的化简与证明(多考向探究)
简单的三角恒等变换课件-2025届高三数学一轮复习
所以矩形ＡＢＣＤ面积的最大值为８－４√３．
则
［溯源点评］两题的区别在于扇形内接矩 ＡＢＣＤ方式不同，考虑该问是否能转化为更简单、熟悉来解决．根据图对称性作∠ＰＯＱ平分线别交ＡＤ，ＢＣ于点ＦＥ从而使整个问题又回到教材中的．
谢观赏！
Ｃ
Ａ Ｄ． ５＋３
ＢＣ＝５－１ Ｂ
金三角形．如图，在黄△ＡＢＣ中
ｃ．５＋４
Ａ．２×５－１Ｂ．＋
又因为ｃｏｓ２３６°＋ｉｎ＝１，
【解析】选Ｂ．由题设，可得ｃｏｓ ７２°＝１－ｉｎ３６Ｖ５所以ｃｏｓ２３６°＝１５＋，又 ∈（Ｓ所以ｃｏｓ ３６°＝（９０－５４）ｉｎ１＋
４
３．已知ａ，β∈（０π）且ｔｎ－＝ 则２α的值为【解析】因为ｔａｎ ＝［（－β）＋］ｍａ－＋ 所以ａｍ （２０－Ｂ＋ｔ＝１．＞０， 又因为ａｎ２＝－ｍ１３＞０，所以Ｏ＜ａ２ 所以０＜２α 因为ｔａｎ β＝－＜０，所以＂＜βπ，－２ａ０．所以２ａ－β＝３４
－ｓｉｎ２ａ＋６ ｃｏ＝１）（３ 因此，当α＝＂时矩形ＡＢＣＤ的面积最大为【解析】在Ｒｔ△ＯＢＣ中，＝ｃｏｓ ａｉｎ．
０Ａ＝ｔａｎ ＂＝√３．
在Ｒｔ△ＯＡＤ中，
ＯＡ＝Ｄ３Ｂｃｓｉｎａ，
ＡＢ＝Ｏ－ｃｏｓ αｉｎａ．
所以当２ａ＋６＝，即α时 最大＝１６－
三角恒等变换中的最值问题
矩形ＡＢＣＤ内接于扇，∠ＰＯ＝ａ
４．（忽视隐含条件）已知２ｓｉｎ α＝１＋ｃｏａ，则Ｂ．２Ｄ．２ ｔａｎ２＝１ｓｃｏａ＝
Ａ．２ Ｃ．２或不存在 α≠ｋπ＋（∈Ｚ）时，
核心考点·分类突破
［例１］（）函数ｆｘ＝ｓｉｎ２＋√３ ｃｏ－可以化简为Ｂ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ－＂）Ｄ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ＋＂）
考点一三角函数式的化简 Ａ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ－３）Ｃ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ＋３）【解析】选Ｂ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２＋√３ ｃｏ １－ｃ２ｓｘ＋ｉｎ ＝ ｓｉｎ２ｘ－１ｃｏ（５）
高考数学一轮总复习课件：三角恒等变换
解析 (tan10°－ 3)·sin40° ＝sin10°co－s103°cos10°·sin40° ＝2sin（c1o0s°10－°60°）·sin40° ＝－c2ossi1n05°0°·sin40°＝－2sin40c°os1·0c°os40° ＝－csoins8100°°＝－1.
5．(2021·衡水中学调研卷)已知sin(θ＋20°)＝
2＋ 4
6，
cos105°＝
2－ 4
6 ，tan105°＝－2－
3 .(也可由105°＝60°＋45
°求得)
(2)求值： ①sin2π12－sin251π2 ；
②1－tatna2n222°2°303′0′；
③sin105°·sin15°； ④sin110°－cos130°.
π 【思路】 通过适当变形，创造适合公式的条件．①由sin2 12
π ∴cos(α＋ 4 )＝－
1－sin2（α＋π4 ）＝－35.
ππ ∴cosα＝cos[(α＋ 4 )－ 4 ]
ππ
ππ
＝cos(α＋ 4 )cos 4 ＋sin(α＋ 4 )sin 4
＝－35× 22＋45× 22＝102.
(6)∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝13， ∴cos(30°＋2α)＝1－2sin2(15°＋α)＝1－2×19＝79.
【答案】
①
3 3
②4
③2－ 3
④14
(4)①(2016·课标全国Ⅱ)若cos(π4 －α)＝35，则sin2α＝( D )
7 A.25
1 B.5
C．－15
D．－275
②设α为锐角，若cos(α＋ 17 2
π 6
)＝
4 5
，则sin(2α＋
5．(2021·衡水中学调研卷)已知sin(θ＋20°)＝
2＋ 4
6，
cos105°＝
2－ 4
6 ，tan105°＝－2－
3 .(也可由105°＝60°＋45
°求得)
(2)求值： ①sin2π12－sin251π2 ；
②1－tatna2n222°2°303′0′；
③sin105°·sin15°； ④sin110°－cos130°.
π 【思路】 通过适当变形，创造适合公式的条件．①由sin2 12
π ∴cos(α＋ 4 )＝－
1－sin2（α＋π4 ）＝－35.
ππ ∴cosα＝cos[(α＋ 4 )－ 4 ]
ππ
ππ
＝cos(α＋ 4 )cos 4 ＋sin(α＋ 4 )sin 4
＝－35× 22＋45× 22＝102.
(6)∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝13， ∴cos(30°＋2α)＝1－2sin2(15°＋α)＝1－2×19＝79.
【答案】
①
3 3
②4
③2－ 3
④14
(4)①(2016·课标全国Ⅱ)若cos(π4 －α)＝35，则sin2α＝( D )
7 A.25
1 B.5
C．－15
D．－275
②设α为锐角，若cos(α＋ 17 2
π 6
)＝
4 5
，则sin(2α＋
高考数学一轮总复习 第4章 三角函数、解三角形 第四节 三角恒等变换课件(理)
答案
1 2
(2)函数 f(x)＝2 3sin xcos x 的值域为________.
解析 f(x)＝2 3sin xcos x＝ 3sin 2x，则 f(x)值域为[－ 3， 3].
答案 [－ 3， 3]
(3)已知 tan α＋tan β＋ 3＝ 3tan α·tan β，则 tan(α＋β)
＝________.
2.二倍角的正弦、余弦和正切公式
(1)sin 2α＝ 2sin αcos α . (2)cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α －1＝1－ 2sin2α .
2tan α
(3)tan 2α＝
1－tan2α
π
π
(α≠kπ＋ 4 且 α≠kπ＋ 2 ，k∈Z).
►公式的三种应用：正用；逆用；变形应用.
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝ 22.
答案
2 2
三角函数化简、求值的解题方法
三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来 看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时，要利用 观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数. (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角 的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某 种关系.
(2)cos 2α＝ccooss22αα－ ＋ssiinn22αα＝11－ ＋ttaann22αα； (3)2sin αcos α＝sin 2α； (4)sin αcos α＝12sin 2α； (5)cos α＝2ssinin2αα； (6)1±sin α＝sinα2 ±cosα2 2；
(7)cos2α－sin2α＝cos 2α； (8)12－tatnanα2α＝tan 2α；
2024年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第三节三角恒等变换课件
教材素材变式
2. cos2-cos2=A. B. C. D.
教材素材变式
归纳总结
本题的出题意图是让同学们灵活运用三角恒等变换知识进行求值,考查同学们的运算求解能力. 一般地,应熟记以下次特殊角的三角函数值:sin 15°=cos 75°=,sin 75°=cos 15°=,tan 15°=2-,tan 75°=2+.
教材素材变式
方法技巧应用和、差、倍角公式化简求值的策略
（1）首先要记住公式的结构特征和符号变化规律，例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘，符号反”;
（2）注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用;
（3）注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
教材素材变式
6. 已知对任意的角α,β,满足(sin α+sin β)=sin·cos,(cos α+cos β)=cos·cos.则当sin α+sin β=,cos α+cos β=时,tan= ;若tan=1,则sin α+sin β cos α+cos β(填“>”“<”或“=”).
知识点39：两角和与差的正弦、余弦、正切公式
规律总结1.两角和与差的正切公式的变形 <m></m> ; <m></m> .2.降幂公式： <m></m> ; <m></m> ; <m></m> 3.升幂公式： <m></m> ; <m></m> ; <m></m> .4.其他常用变式 <m></m> ; <m></m> ; <m></m> .
2. cos2-cos2=A. B. C. D.
教材素材变式
归纳总结
本题的出题意图是让同学们灵活运用三角恒等变换知识进行求值,考查同学们的运算求解能力. 一般地,应熟记以下次特殊角的三角函数值:sin 15°=cos 75°=,sin 75°=cos 15°=,tan 15°=2-,tan 75°=2+.
教材素材变式
方法技巧应用和、差、倍角公式化简求值的策略
（1）首先要记住公式的结构特征和符号变化规律，例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘，符号反”;
（2）注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用;
（3）注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
教材素材变式
6. 已知对任意的角α,β,满足(sin α+sin β)=sin·cos,(cos α+cos β)=cos·cos.则当sin α+sin β=,cos α+cos β=时,tan= ;若tan=1,则sin α+sin β cos α+cos β(填“>”“<”或“=”).
知识点39：两角和与差的正弦、余弦、正切公式
规律总结1.两角和与差的正切公式的变形 <m></m> ; <m></m> .2.降幂公式： <m></m> ; <m></m> ; <m></m> 3.升幂公式： <m></m> ; <m></m> ; <m></m> .4.其他常用变式 <m></m> ; <m></m> ; <m></m> .
2024届高考数学第一轮专项复习——三角恒等变换 教学PPT课件
＋1＝2 sin −
－ 3 cos 2 x 的最大值.
＋
－ cos 2 x ＝ sin 2 x － cos 2 x
＋1≤3，所以函数 f （ x ）的最大值是3.
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考点二
角的变换
考向1 给角求值
例2
cos40°
计算
的结果为（
cos25° 1−sin40°
A. 1
B. 3
的形式.
（2） 常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用
相关公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”
π
π
2
2
的代换，如：1＝ sin α＋ cos α，1＝ tan ，1＝ sin 等；1，
4
2
3，
3
，
3
1
2
， 等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数转换为三角函
殊角的和差关系，将已知条件进行等价转化求值；
（3） 寻找三角函数的名称之间的关系，进行切与弦的互化，利用辅
助角公式进行化简求值；
（4）
1
3
注意特殊角的应用，当式子中出现 ，1， ，
2
2
3 等数值时，一
定要考虑引入特殊角，通过“值变角”构造适合的公式.
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[对点训练]
2.
A.
1
（多选）下列各式的值为 的是（
1 + sin2＝｜sin＋cos|,
1 − sin2＝｜sin − cos|.
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回归课本
1. 判断：
（1） 若α为第四象限角，则 sin 2α＞0.
（
✕
）
（
－ 3 cos 2 x 的最大值.
＋
－ cos 2 x ＝ sin 2 x － cos 2 x
＋1≤3，所以函数 f （ x ）的最大值是3.
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考点二
角的变换
考向1 给角求值
例2
cos40°
计算
的结果为（
cos25° 1−sin40°
A. 1
B. 3
的形式.
（2） 常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用
相关公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”
π
π
2
2
的代换，如：1＝ sin α＋ cos α，1＝ tan ，1＝ sin 等；1，
4
2
3，
3
，
3
1
2
， 等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数转换为三角函
殊角的和差关系，将已知条件进行等价转化求值；
（3） 寻找三角函数的名称之间的关系，进行切与弦的互化，利用辅
助角公式进行化简求值；
（4）
1
3
注意特殊角的应用，当式子中出现 ，1， ，
2
2
3 等数值时，一
定要考虑引入特殊角，通过“值变角”构造适合的公式.
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[对点训练]
2.
A.
1
（多选）下列各式的值为 的是（
1 + sin2＝｜sin＋cos|,
1 − sin2＝｜sin − cos|.
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1. 判断：
（1） 若α为第四象限角，则 sin 2α＞0.
（
✕
）
（
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8800°°＝2csoisn1100°°－2sin
10°cos 10° sin 10°
＝ cos 2sin
1100°°－ssiinn
2100°°＝cos
10°－2sin 2sin 10°
20°
＝cos
10°－2sin（30°－10°） 2sin 10°
＝cos
10°－2（sin
例2求证：tan2x＋tan12x＝2（13－＋ccooss44xx）.
【
解
析
】
证
法
一：左边来自＝sin2x cos2x
＋
cos2x sin2x
＝
sin4x＋cos4x sin2xcos2x
＝
（sin2x＋cos2x）2－2sin2xcos2x 14sin22x
＝
1－12sin22x 14sin22x
＝
sinπ4 －x cosπ4 －x
·cos2π4 －x
＝4sin（π42c－osx2xc－os1π）4 －2 x＝2sincoπ2s22－x2x＝2ccooss222xx
＝12cos 2x.
(2)由 sin x＋cos x＝15，两边平方得 sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝215， 即 2sinxcos x＝－2245. ∴(sinx－cos x)2＝1－2sin xcos x＝4295.
【点评】①三角函数式的变形，主要思路为角的 变换、函数变换、结构变换，常用技巧有“辅助角”“1 的代换”“切弦互化”等，其中角的变换是核心.②三 角函数式的化简原则：尽量使函数种类最少，次数相 对较低，项数最少，尽量使分母不含三角函数，尽量 去掉根号或减少根号的层次，能求值的应求出其值.
二、三角恒等式的证明
【点评】三角恒等式的证明一般有三种方式：从
左到右，从右到左，左＝右＝某一三角式.一般来说都 是从复杂的一端向简单的一端证明.
三、求值 例3求1＋2sicnos202°0°－2sin 10°·tan 80°的值.
【解析】原式＝4sin21c0o°s21c0o°s 10°－
2sin
10°·csoins
值是( C )
A.－2 5 3
B.2 5 3
C.－45
D.45
【解析】∵cosα－π6 ＋sin
α＝cos
αcos
π
6＋
sin
αsin
π
6 ＋sin
α＝
23cos
α＋12sin
α＋sin
α＝
23cos α＋32sin α
＝ 312cos α＋ 23sin α＝ 3sinα＋π6 ＝45 3， ∴sinα＋π6 ＝45. ∴sinα＋76π＝－sinα＋π6 ＝－45.故选 C.
4.已知 tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则 1
tan α·tan β＝__2__.
【解析】tan α·tan β＝1－tatnanα（＋α＋taβn）β ＝1－24＝12.
【知识要点】 1．三角变换的一般方法 (1)角的变换，一般包括角的分解和角的组合，如 α
＝(α＋β)－β，π4＋x＝π2－π4－x，α＝2·α2 等；
(2)函数名称的变换，一般包括将三角函数统一成 弦，以减少函数种类，对齐次式也可化成切；
(3)注意结构的变换，如升幂与降幂，辅助角公式 等；
(4)角变换中以角的变换为中心；解题时，一看角， 二看名称，三看结构．
2．三角变换的常见题型 (1)化简：灵活选用和、差、倍、辅助角公式进行 三角恒等变换是化简三角函数式的难点，解题时应注意 降次，减少角的种类及三角函数种类，注意角的范围及 三角函数的正负． (2)求值：给值求值时，注意要求角与已知角及特 殊角的关系． (3)证明：证明三角恒等式的实质是消除等式两边 的差异，有目的地化繁为简，左右归一．
【解析】sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°
＝sin（30°＋17°co）s 1－7°sin 17°cos 30°
＝
sin30°cos
17°＋cos
30°sin 17°－sin cos 17°
17°cos
30°
＝sin 30°＝12.故选 C.
3.已知 cosα－π6 ＋sin α＝45 3，则 sinα＋76π的
第20讲 三角恒等变换
【学习目标】 1.能利用两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正 切公式进行简单的恒等变换. 2.能利用上述公式及三角恒等变换的基本思想方 法对三角函数式进行化简、求值及恒等式的证明.
【基础检测】
1.若 tan
θ＋ 1 tan
θ＝4，则
sin
2θ＝(
D
)
1
1
1
1
A.5
B.4
C.3
D.2
【 解 析 】 ∵tan
θ
＋1 tan
θ＝
sin cos
θθ ＋
cos sin
θ θ＝
ssinin2θθ＋cocsos2θθ＝12sin12θ＝4，∴sin 2θ＝12.故选 D.
sin 2.
47°－sin 17°cos cos 17°
30°＝(
C
)
A.－
3 2
B.－12
1 C.2
3 D. 2
1－12sin22x 18（1－cos 4x）
＝
8－4sin22x 1－cos 4x
＝
4＋4cos22x
1－cos 4x
＝4＋2（1－1＋cosco4sx4x）＝2（13－＋ccooss44xx）＝右边.
证法二：右边＝2（2＋21si＋n2c2oxs 4x） ＝2（2＋2si2nc2o2sx22x） ＝2（4s1i＋n2cxocso2s22xx） ＝（sin2x＋cos22xs）in22＋xc（osc2xos2x－sin2x）2 ＝2（s2isnin4x2＋ xcocso2sx4x）＝tan2x＋tan12x＝左边.
一、化简
例1(1)化简：2ta2ncoπs44x－－x2scions22xx＋＋12π4 ；
π (2)已知－ 2 ＜x＜0，sinx＋cos
x＝15.
求3sin2x2－t2asninx＋x2ctao1ns
x2＋cos2x2的值. x
【解析】(1)原式＝ 2
12（4cos4x－4cos2x＋1）
·
π 又∵－ 2 ＜x＜0， ∴sin x＜0，cos x＞0，sin x－cos x＜0，
故 sin x－cos x＝－75.
3sin2x2－2sin
x 2cos
tan x＋ta1n
xx2＋cos2x2＝2scsinion2sx2xx－＋scisnoinxs＋xx 1
＝sin xcos x(2－cos x－sin x)＝－1225×2－15 ＝－110285.