138空间线面关系的判定

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新教材选择性必修二6.3.2空间线面关系的判定(1)课件(49张)

A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】选 B.由ba11 ＝ba22 ＝ba33 ⇒ a∥b，反之不一定成立，故①不正确；若 a1＝a2＝a3
＝1，则|a|＝ 3 ，故②不正确；③正确.
3．设平面 α 的法向量为(1，3，－2)，平面 β 的法向量为(－2，－6，k)，若 α∥β，
则 k＝________．
则 x＝________．【解析】因为 DE∥平面 ABC，所以存在实数对(λ，μ)，使D→E ＝λA→B ＋μB→C ，所以
λ＋3μ＝x
λ＝－1
5λ＋μ＝－3 ，所以 μ＝2 .
－2λ＋2μ＝6
x＝5
பைடு நூலகம்
答案：5
7．已知空间两点 A(－1，1，2)，B(－3，0，4)，直线 l 的一个方向向量为 a，若|a| ＝3，且直线 l 与直线 AB 平行，则 a＝________．
－2＝λk
6．已知平面 α 的法向量为 n＝(1，－1，1)，直线 AB 与平面 α 相交但不垂直，则向
量A→B 的坐标可以是( )
A．(－2，2，－2)
B．(1，3，2)
C．(2，1，－1)
D．(1，2，3)
【解析】选 D.因为(－2，2，－2)＝2(1，－1，1)，即选项 A 中的向量与 n 平行，从
则 O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D1(0，0，2). 再设 Q(0，2，c)，所以O→A ＝(1，－1，0)，O→P ＝(－1，－1，1)， B→Q ＝(－2，0，c)， BD ＝(－2，－2，2).
设平面 PAO 的法向量为 n＝(x，y，z)，
n·O→A＝0，
【解析】选 A.由题意，计算 n1·A→B ＝2×1＋(－3)×0＋1×(－2)＝0，得 n1⊥A→B ；计算 n1·A→C ＝2×1＋(－3)×1＋1×1＝0，得 n1⊥A→C ；所以 n1⊥平面 ABC，所以平面 α 的法向量与平面 ABC 的法向量共线，则平面 α∥平面 ABC.

空间线面关系的判定

空间线面关系的判定
目录
• 空间线面关系的基本概念 • 空间线与平面位置关系的判定 • 空间面与面位置关系的判定 • 空间线面关系的应用 • 空间线面关系判定的注意事项
01
空间线面关系的基本概念
空间直线与平面的定义
空间直线
在三维空间中，直线是无限长的线段，它有两个方向，并且可以无限延伸。直线可以用两点来确定，也可以用方向向量来表示。
加合理、稳定的船舶。
数学建模中的应用
几何建模
在几何建模中，空间线面关系的判定是基础，它可以帮助数学家更好地理解几何形状的特点，从而建立更加准确、可靠的几何模型。
VS
计算几何
在计算几何中，空间线面关系的判定是重要的研究内容之一，它可以帮助数学家更好地理解几何形状的计算方法，从而为计算机图形学、计算机辅助设计等领域提供更加高效、精确的算法和工具。
平面与平面垂直判定定理一
如果一个平面内的两条不平行的直线分别垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。
平面与平面垂直判定定理二
如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面垂直。
平面与平面相交判定定理
平面与平面相交判定定理一
如果两个平面有一个公共点，则它们相交。
平面与平面相交判定定理二
如果一个平面内的直线与另一个平面相交，则这两个平面相交。
空间平面
在三维空间中，平面是一个无厚度的二维区域。它由三个非共线的点确定，并且可以无限延伸。平面可以用一个点、一个方向向量和一个距离来确定。
空间线面关系的分类
直线与平面平行
当直线与平面平行时，直线不与平面相交，且直线与平面内任意直线都平行。
直线与平面相交
当直线与平面相交时，直线与平面有一个唯一的交点，或者直线完全在平面内。

2018届高考数学(全国通用)二轮复习基础小题精品课件第14讲空间线面关系的判断

解析
答案
2.(2017· 常德一中模拟 ) 已知 α ， β 是两个不同的平面， l ， m是两
条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则
A.若α∥β，则l∥m B.若l∥m，则α∥β
C.若α⊥β，则l⊥m
D.若l⊥β，则α⊥β
√
解析选项A，若α∥β，则直线l，m平行或异面，错误；选项B，若l∥m，则平面α，β平行或相交，错误；选项C，若α⊥β，则直线l，m平行、相交或异面，错误；
√ C.A E⊥BC
1
A.A1E⊥DC1
1
B.A1E⊥BD
D.A1E⊥AC
6
7
8
9 10
解析
答案
9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：
①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C与PM相交；
④NC与PM异面.其中不正确的结论是 A.① 解析 B.② C.③ D.④
2018届高考数学（全国通用）二轮复习基础小题精品课件
第14讲空间线面关系的判断
明考情空间线面关系的判断是高考的必考内容，主要以选择题形式出现，属于基础题. 知考向
1.空间线面位置关系的判断.
2.空间中的平行、垂直关系.
栏目索引
研透考点
核心考点突破练易P，Q四点的截面交C1D1
于点 S ，交 AB 于点 R ，如图所示中的六边形 MNSPQR，显然点A1， C分别位于这个平面的两侧，故A1C与平面MNPQ一定相交，不可能平行，故
结论②不正确.
6 7 8 9 10
解析
答案
10. 如图，三棱柱 ABC—A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形， B1C 的中点为 O ，且 AO⊥ 平面 BB1C1C ，则 B1C 与 AB 的位置关系为异面垂直

空间线面关系知识点总结

空间线面关系知识点总结空间线面关系是立体几何中的一个重要概念，它描述了空间中不同几何元素（点、线、面）之间的位置、相交、平行、垂直等关系。

在现实生活和工程技术中，了解空间线面关系的知识对于设计、建造、测量等工作至关重要。

本篇文章将介绍空间线面关系的相关知识，包括空间中点、直线、平面的性质和相互关系，以及空间中直线与面之间的位置关系、相交关系等内容。

希望通过本文的介绍，读者能够深入了解空间线面关系的基本概念和理论知识。

一、空间中点的性质和判断方法1. 点的基本性质：点是空间中最基本的几何元素，没有长度、面积和体积，只有位置。

任意两个点之间都有唯一确定的直线。

2. 点的判断方法：在空间中确定一个点的位置，通常可以使用坐标、投影、距离等方法进行判断。

3. 点的投影：点在不同平面上的投影是唯一确定的，可以通过点的投影确定点在不同平面上的位置关系。

二、空间中直线的性质和判断方法1. 直线的基本性质：直线是空间中的一条无限延伸的几何元素，没有宽度、厚度，只有长度。

两点确定一条直线，两条直线要么相交，要么平行。

2. 直线的判断方法：在空间中确定一条直线的位置，通常可以使用两点坐标、点斜式、截距式等方法进行判断。

3. 直线的位置关系：两条直线之间可能相交、平行、重合、垂直等不同的位置关系，这需要通过直线的方向、倾斜度、截距等参数来判断。

三、空间中平面的性质和判断方法1. 平面的基本性质：平面是空间中的一个二维几何元素，具有面积和形状，可以用三个非共线点来唯一确定一个平面。

平面可以用方程或者法向量来确定。

2. 平面的判断方法：在空间中确定一个平面的位置，通常可以使用三点确定法、一般方程、点法向式、截距式等方法进行判断。

3. 平面的位置关系：不同平面之间可能相交、平行、重合、垂直等不同的位置关系，这需要通过平面的法向量、倾斜度、截距等参数来判断。

四、空间中直线与平面的位置关系1. 直线与平面的相对位置：在空间中，一条直线与一个平面之间可能存在不同的位置关系，这需要通过直线的方向、平面的法向量等参数来判断。

2020—2021数学苏教版选修2-1课件：第3章空间线面关系的判定

[方法归纳] 向量法证明几何中的平行问题，可以有两个途径：一是在平面内找一向量与已知直线的方向向量共线；二是通过建立空间直角坐标系，依托直线的方向向量和平面的法向量的垂直，来证明平行．
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C 、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
用向量语言表述空间直线与平面的位置关系设α2的空法间向两量条分直别线为l1，n1l，2的n方2，向则向有量下分表别：为l1，l2，两个平面α1，
平行
垂直
l1与l2
l1∥l2
__l_1_⊥__l_2___
l1与α1
__l_1_⊥__n__1 __
l1∥n1
α1与α2
n1∥n2
__n_1_⊥__n__2__
[方法归纳] 证明面面垂直通常有两种方法：一是利用面面垂直的判定定理，转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直．
规范解答向量法证明空间的平行与垂直关系
2020—2021数学苏教版选修2-1课件：第3章空
间线面关系的判定
2020/9/15
第3章空间向量与立体几何
学习导航
学习目标
学法指导
1.能用向量语言表述线线、线面、面面的位置关系．(重点) 2．利用直线的方向向量、平面的法向量证明线、面的平行与垂直．(重点、难点)
用向量解决几何问题，可以建立直线、平垂直关系.
1．已知m＝(8，3，a)，n＝(2b，6，5)，若m∥n，则a＋b的值为____________．
2．已知m＝(1，5，－2)，n＝(a，2，a＋2)，若m⊥n，则a的值为__6______．解析：∵m⊥n，∴1×a＋5×2－2×(a＋2)＝0，∴a＝6.

教学设计空间线面关系的判定

教学设计空间线面关系的判定教学目标：1. 理解空间线面关系的概念；2. 掌握判定空间线面关系的方法和技巧；3. 在实际生活和学习中能够应用空间线面关系的判定。

引言：空间线面关系的判定是几何学中的重要内容，它帮助我们理解和描述物体在空间中的位置和形状。

在教学设计中，教师需要精心安排教学活动，以帮助学生准确判定空间线面关系，并将其应用于实际问题的解决中。

本文将介绍教学设计空间线面关系的判定的重要性和实施过程。

一、概念讲解首先，为了帮助学生理解空间线面关系的概念，教师可以通过实际例子和故事情节来引入。

例如，教师可以讲述一个包含多个物体的场景，然后引导学生描述这些物体之间的相对位置，并引出空间线面关系的概念。

教师还可以使用图形、模型等辅助工具，展示不同线面关系的示例，帮助学生更加直观地理解。

二、判定方法与技巧为了使学生掌握空间线面关系的判定方法，教师可以设计一系列的练习和活动。

以下是一些常用的方法和技巧：1. 观察法：学生通过观察实际场景、图形或模型来判定空间线面关系。

例如，教师可以给学生展示几个物体的模型，让他们观察并判断物体之间的线面关系。

2. 空间投影法：学生可以通过绘制物体在不同平面上的投影来判定空间线面关系。

教师可以引导学生在纸上绘制物体的投影图，然后根据投影图来判断线面关系。

3. 空间旋转法：学生可以通过将物体进行旋转来判定线面关系。

例如，教师可以让学生旋转一个小球，观察其初始位置和旋转后的位置，判断球与其他物体的关系。

4. 投影展开法：对于复杂的线面关系判定，学生可以通过将物体投影展开来简化问题。

教师可以给学生一些关于投影展开的练习题，帮助他们提高解决问题的能力。

三、实践应用为了提高学生应用空间线面关系判定的能力，教师可以设计一些实际问题，引导学生将所学知识应用于实践中。

例如，教师可以让学生设计房间的布局，要求考虑家具与墙壁、门窗之间的线面关系，以达到最佳的使用效果。

此外，教师还可以邀请学生观察和分析一些实际场景，如建筑物、景观等，引导他们发现其中的线面关系，并进行判定。

空间线面关系的判定(

又 OA＋AB＝OB ，
所以 CDOB＝CD(OA＋AB)＝CDOA＋CD AB＝0 ，故 CD OB ．评注：上面证法是通过空间向量进行位置关系的判断，该命题实际是三垂线定理.
数学应用
例 2 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，已知 E，F 分别是 BB1,CD 的中点，求证：D1F 平面 ADE．
空间线面位置关系的判定
情境问题
问题：在“立体几何初步”一章中，我们研究了空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．那么，我们能不能用直线的方向向量和平面法向量来刻画空间线面的关系呢？
数学应用
例 1 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
已知：如图，OB 是平面的斜线， O 为斜足， AB ， A 为垂足， CD ，CD OA ．
求证： CD OB ．
数学应用
证明：因为 CD OA，所以 CD OA＝0 ．因为 AB ， CD ，
所以 AB CD ，即 CD AB CD AB＝0 ．
又平面 CDE 的一个法向量 AD ＝（0，3b，0），
由 NM AD＝0 ，得到 NM AD ．
因为 MN 不在平面 CDE 内，所以 MN//平面 CDE．
课堂小结
本节课学习了哪些内容？（1）用向量方法证明空间线面关系的一些定理；（2）学会用向量方法判定空间线面的垂直关系．
所示空间直角坐标系．则：B（3a，0，0），D（0，3b，0），F（0，0，3c），E（0，3b，3c）
所以 BD ＝（－3a，3b，0）， EA ＝（0，－3b，－3c），
因为 BM
＝1 3
BD
＝（－a，b，0），

高中数学空间点、线、面的位置关系

(2)证明两直线为异面直线的方法: ①定义法(不易操作); ②反证法:先假设两条直线共面,由假设出发,经过推理导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线为异面直线; ③利用结论:过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线. (3)异面直线所成的角:
①范围: 0, ; 2
空间点、线、面的位置关系
知识清单
一、平面的基本性质 1.三个公理的用途公理1:证明“点在面内”或“线在面内”; 公理2:①判断两个平面是否重合;②确定一个平面;③证明点、线共面; 公理3:①证明三点共线、三线共点;②确定两平面的交线. 2.对公理2及推论中“有且只有一个平面”的理解:平面存在,而且唯一,“有且只有”有时也说成“确定”.
例1 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.
求证:(1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点.
解题导引 (1)证明EF∥A1B 证明EF∥CD1 E、C、D1、F四点共面 (2)先证直线D1F与CE相交再证交点在直线DA上三线共点,结论成立证明 (1)如图所示,连接CD1、EF、A1B, ∵E、F分别是AB和AA1的中点, ∴FE∥A1B且EF= A1B. ∵A1D1�� BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形, ∴A1B∥D1C,∴FE∥D1C, ∴EF与CD1可确定一个平面,即E、C、D1、F四点共面.
突破方法
方法1 证明点共线、线共点及点线共面的方法
(1)证明点共线的方法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上. (2)证明多线共点的方法:证明若干条线共点的基本思路是先找出两条直线的交点,再证明其他直线都经过该点.证明一条直线过一点的方法是证明该点是以该直线为交线的两个平面的公共点. (3)证明点线共面的方法:①纳入平面法:先确定一个平面,再证点、线在该平面内;②辅助平面法: 先证一些点、线确定平面α,再证其余点、线确定平面β,最后证明平面α、β重合.

高中数学必备的判断空间线面位置关系公式大全及解题方法整理

高中数学必备的判断空间线面位置关系公式大全及解题方法整理Hello，我是洪老师！今天给大家带来的是是数学解题模板大全更新判断空间线面位置关系的解题方法，立体几何中判断空间线面位置关系是近几年一直活跃在高考的试题中，更是历年高考的热点问题，每年各省、市的高考试题中几乎都会出现此类题型。

该资料，归纳在63套全高中解题方法大全里，编号是：063！如需完整的word版63套全高中解题方法大全，请关注后，点我头像，然后最底下有个【洪粉必备】的菜单，里面有详细介绍！先我们来梳理下数学有关空间点线面之间的位置关系相关公式，同学们在学习点线面之间的位置关系时可以作为更好的公式参考，方便记忆和掌握。

公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面推论三：两平行直线确定一个平面公理四：和同一条直线平行的直线平行异面直线定义：不平行也不相交的两条直线判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等线线平行→线面平行如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

线面平行→线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

线面平行→面面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

面面平行→线线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

线线垂直→线面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

线面垂直→线线平行如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

线面垂直→面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

高中数学第三章 3.2.2空间线面关系的判定(一)配套课件苏教版选修21

研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.2（一）
探究点三利用空间向量证明平行关系
例3 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在
平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE 上，且BM＝13BD，AN＝13AE.求证：MN∥平面CDE. 证明因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面
互相垂直，
所以AB，AD，AF互相垂直．不妨设AB，
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.2（一）
跟踪训练 2 用向量方法证明：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
已知直线 l，m 和平面 α，其中 l⊄α，m⊂α，且 l∥m. 求证 l∥α. 证明设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α 的法向量分别为 u. 因为 l∥m，所以 a＝kb，k∈R. 又因为 u⊥α，m⊂α，所以 u⊥b，因此 u·b＝0，u·a＝u·kb＝0.所以 l∥α.
பைடு நூலகம்
3.2.2（一）
例 1 根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系． (1)两直线 l1，l2 的方向向量分别是 a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)； (2)两平面 α、β 的法向量分别是 u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)； (3)直线 l 的方向向量、平面 α 的法向量分别是 a＝(1，－4，－3)，u＝(9,0,3)； (4)两直线 l1，l2 的方向向量分别是 a＝(3，－6,3)，b＝(－1,2，－1)．
3.2.2（一）
探究点一平行关系的向量语言问题1 两条直线平行，它们的方向向量有何关系？
答案两条直线平行，它们的方向向量也平行．问题2 若直线l∥平面α，则直线l的方向向量和平面α的法向

空间线面位置关系例题和知识点总结

空间线面位置关系例题和知识点总结在我们学习立体几何的过程中，空间线面位置关系是一个非常重要的知识点。

它不仅是考试中的重点，也是我们理解和解决许多几何问题的基础。

下面，让我们通过一些例题来深入理解空间线面位置关系，并对相关知识点进行总结。

一、空间线面位置关系的基本概念空间直线与平面的位置关系有三种：1、直线在平面内：如果一条直线上的所有点都在一个平面内，那么这条直线就在这个平面内。

2、直线与平面平行：如果一条直线与一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行。

3、直线与平面相交：如果一条直线与一个平面有且只有一个公共点，那么这条直线与这个平面相交。

平面与平面的位置关系也有两种：1、平行：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行。

2、相交：如果两个平面有一条公共直线，那么这两个平面相交。

二、空间线面位置关系的判定定理1、直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

2、平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

3、直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

4、平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

三、例题解析例 1：已知直线 a∥平面α，直线 b⊂平面α，求证：a∥b。

证明：因为直线 a∥平面α，所以直线 a 与平面α 没有公共点。

又因为直线 b⊂平面α，所以直线 a 与直线 b 也没有公共点。

根据平行线的定义，如果两条直线在同一平面内且没有公共点，那么这两条直线平行。

所以 a∥b。

例 2：如图，在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面A₁BD∥平面 C₁BD。

证明：因为正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，A₁B∥C₁D，A₁D∥B₁C，且 A₁B 与 A₁D 相交，C₁D 与 B₁C 相交，A₁B，A₁D⊂平面 A₁BD，C₁D，B₁C⊂平面 C₁BD。

【课堂新坐标】数学苏教版选修教案：空间线面关系的判定Word版含解析

3.2.2 空间线面关系的判定(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．(2)能用向量方法判断有关直线和平面位置关系的立体几何问题．2．过程与方法(1)通过对直线方向向量和平面法向量的应用，得出直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系的判定方法．(2)通过判定方法的应用过程，体会向量法求解立体几何问题的优势，理解体会用向量方法解决立体几何问题的思想及过程．3．情感、态度与价值观引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．●重点难点重点：能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法判断有关直线和平面位置关系的立体几何问题．难点：用向量方法证明立体几何中有关垂直、平行关系的问题．用向量法判定或证明立体几何中的平行和垂直问题，首先应明确判定的理论、方法和思路，先将几何问题转化为向量问题，利用向量的运算和关系，得出向量结论，然后转化为几何结论．(教师用书独具)●教学建议本节对用向量讨论平行与垂直的认识，从必修内容中推理证明到用向量法的计算来对位置关系判断与证明，为学生提供了另外一种思想．学生已经学习了立体几何中直线平面的位置关系，具备有关知识，学生对坐标法解决几何问题有了初步的认识，但解题能力特别是抽象思维的能力比较欠缺，所以需要老师循序渐进的引导．在教学策略上采用：复习引入→推进新课→归纳与总结→反思组成的探究式教学策略，并使用计算机多媒体作为辅助教具，提高课堂效率．本节课难点在于用向量证明平行与垂直，所以利用探究式教学以及多媒体帮助分散难点，更符合学生的认知规律．同时在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节．本节课给学生提供以下4种学习的机会：(1)提供观察、思考的机会：用亲切的语言鼓励学生观察并用学生自己的语言进行归纳．(2)提供操作、尝试、合作的机会：鼓励学生大胆利用资源，发现问题，讨论问题，解决问题．(3)提供表达、交流的机会：鼓励学生敢想敢说，设置问题促使学生愿想愿说．(4)提供成功的机会：赞赏学生提出的问题，让学生在课堂中能更多地体验成功的乐趣．●教学流程回顾：(1)怎样求直线的方向向量？(2)怎样求平面的法向量？(3)立体几何中线线、线面、面面平行与垂直是怎样判定的？为向量法研究几何问题提供工具方法和相应知识铺垫．⇒学习新知：怎样利用向量判定几何中的平行与垂直关系？数形结合，画出图形，由几何结论转化为向量结论，用符号语言表示结论，并且列表整理．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握向量法证明平行问题，注意线面平行的证法有两种，一是证向量共面，二是证与法向量垂直．注意总结步骤，程序化操作．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握向量法证明垂直问题，注意线面垂直的证法有两种，一是直线的方向向量与平面的法向量共线，二是证明直线的方向向量与平面内的两不共线向量垂直．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握与平行、垂直有关的探究问题，如存在性问题，点位置问题等，一般假定存在，往下探究，若得出结果符合已知条件，则结论成立：若得出矛盾，则不存在．⇒通过易错易误辨析，注意利用向量垂直证明线面垂直的严谨性，不能主观臆造结论，要严格按照判定方法进行证明．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2.1．怎样判定l 1∥l 2，l 1⊥l 2?【提示】 l 1∥l 2⇔e 1∥e 2⇔e 1＝λe 2(λ∈R )， l 1⊥l 2⇔e 1⊥e 2⇔e 1·e 2＝0. 2．怎样判定l 1∥α1，l 1⊥α1?【提示】 l 1∥α1⇔e 1⊥n 1(l 1⊄α1)⇔e 1·n 1＝0(l 1⊄α1) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝x m ＋y n (x ∈R ，y ∈R )，m ，n ⊂α，m ，n 不共线，l 1⊄α1.l 1⊥α1⇔e 1∥n 1⇔e 1＝λn 1(λ∈R )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ e 1⊥m e 1⊥n m ，n ⊂α，m ，n 不共线⇔⎩⎪⎨⎪⎧e 1·m ＝0，e 1·n ＝0，m ，n ⊂α，m ，n 不共线.3．怎样判定α1∥α2，α1⊥α2?【提示】 α1∥α2⇔n 1∥n 2⇔n 1＝λn 2(λ∈R )， α1⊥α2⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2，则有下表：图3－2－6在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中(如图3－2－6)，设O 、O 1分别为AC ，A 1C 1的中点，求证：(1)BO 1∥OD 1； (2)BO 1∥平面ACD 1； (3)平面A 1BC 1∥平面ACD 1.【思路探究】画图→建系→求相关点坐标→求相关向量坐标→判断向量关系→定线面关系【自主解答】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则有：D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(2，2,2)，C 1(0,2,2)，D 1(0,0,2)，O 1(1,1,2)，O (1,1,0)．(1)由上可知BO 1→＝(－1，－1,2)，OD 1→＝(－1，－1,2)， ∴BO 1→＝OD 1→∴BO 1→∥OD 1→，又直线BO 1与OD 1无公共点， ∴BO 1∥OD 1.(2)法一由上可知AC →＝(－2,2,0)，AD 1→＝(－2,0,2)， ∴BO 1→＝－12AC →＋AD 1→，∴BO 1→，AC →，AD 1→共面，∴BO 1→∥平面ACD 1，又BO 1⊄平面ACD 1， ∴BO 1∥平面ACD 1.法二设平面ACD 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎨⎧n ·AC →＝0n ·AD 1→＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋2y ＝0－2x ＋2＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1∴n ＝(1,1,1)． ∴BO 1→·n ＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝0， ∴BO 1→⊥n .又∵BO 1⊄平面ACD 1， ∴BO 1∥平面ACD 1.(3)法一 ∵BC 1→＝(－2,0,2)，AD 1→＝(－2,0,2)， ∴BC 1→∥AD 1→，又BC 1与AD 1不重合， ∴BC 1∥AD 1，又BC 1⊄平面ACD 1， ∴BC 1∥平面ACD 1. 又由(1)知BO 1∥平面ACD 1.∵BC 1，BO 1⊂平面A 1BC 1，且BC 1∩BO 1＝B ， ∴平面A 1BC 1∥平面ACD 1.法二设平面A 1BC 1的一个法向量为n ′＝(x ，y,1)，由⎩⎨⎧n ′·A 1B →＝0n ′·BC 1→＝0.可求得n ′＝(1,1,1)，∴n ′＝n ， ∴平面ACD 1∥平面A 1BC 1.1．证明线面平行常用的方法：(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面．(2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行．(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．2．证明面面平行常用的方法：(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面．(2)证明两个平面的法向量平行．(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量．图3－2－7(2012·辽宁高考)如图3－2－7，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．证明：MN ∥平面A ′ACC ′.【证明】如图，以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA ′所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)，所以M (λ2，0，12)，N (λ2，λ2，1)，从而MN →＝(0，λ2，12)．显然AB ⊥平面A ′ACC ′，所以AB →＝(λ，0,0)是平面A ′ACC ′的一个法向量．因为AB →·MN →＝0，所以AB →⊥MN →，又MN ⊄平面A ′ACC ′，所以MN ∥平面A ′ACC ′.图3－2－8如图3－2－8，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB 1⊥BC 1，求证：AB 1⊥CA 1.【思路探究】思路一，基向量法，以AB →，AC →，AA 1→为基向量，表示AB 1→，CA 1→，证明AB 1→·CA 1→＝0；思路二，坐标法，建立空间直角坐标系，写出AB 1→，CA 1→坐标，证明AB 1→·CA 1→＝0.【自主解答】法一设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，则AB 1→＝a ＋c ， BC 1→＝b －a ＋c ，CA 1→＝c －b ，而A 1A ⊥AB ，A 1A ⊥AC ，则a·c ＝0，b·c ＝0. ∴AB 1→·BC 1→＝(a ＋c )·(b －a ＋c ) ＝c 2－a 2＋a·b ＝0，①AB 1→·CA 1→＝(a ＋c )·(c －b )＝c 2－a·b .② 把①中c 2＝a 2－a·b 代入②式得AB 1→·CA 1→＝a 2－2a·b ＝a 2－2|a ||b |cos 60°＝0. ∴AB 1⊥CA 1.法二建立如图所示的空间直角坐标系，设正三棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则 A (0,0,0)，B (32a ，a 2，0)，C (0，a,0)，A 1(0,0，b )，B 1(32a ，a2，b )，C 1(0，a ，b )． ∴AB 1→＝(32a ，a 2，b )，BC 1→＝(－32a ，a2，b )，CA 1→＝(0，－a ，b )．∵AB 1⊥BC 1，∴BC 1→·AB 1→＝－3a 24＋a 24＋b 2＝－a 22＋b 2＝0.而AB 1→·CA 1→＝－a 22＋b 2＝0，∴AB 1→⊥CA 1→，即AB 1⊥CA 1.1．法二中，常犯的一种错误是以AB →，AC →，AA 1→所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，错误的原因就是∠BAC ＝60°，而不是90°，因此不是空间直角坐标系．2．证明空间垂直问题，主要是两种方法：(1)基向量法，(2)坐标法，易于建立坐标系，求向量坐标的问题用坐标法，否则利用基向量法．(2013·陕西高考)如图3－2－9，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D .图3－2－9【证明】法一由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB ＝AA 1＝2， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0，0,1)．由A 1B 1→＝AB →，易得B 1(－1,1,1)．∵A 1C →＝(－1,0，－1)，BD →＝(0，－2,0)，BB 1→＝(－1,0,1)， ∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→＝0， ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .法二∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.又四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C. 又OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝2，且AC＝2，∴AC2＝AA21＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，又BB1∩BD＝B，∴A1C⊥平面BB1D1D.图3－2－10如图3－2－10所示，在直三棱柱ABC－A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，E 是B 1C 的中点．(1)求cos BE →，CA 1→；(2)在线段AA 1上是否存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ？若存在，求出|AF →|，若不存在，请说明理由．【思路探究】这是一道存在性问题，常用的方法就是假设存在这样的点F ，然后在此条件下求该问题．若存在，则一定能求出结果；若不存在，则理由就是求解的过程．【自主解答】 (1)以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz . ∵AC ＝2a ，∠ABC ＝90°，△ABC 为等腰直角三角形， ∴AB ＝BC ＝2a .∴B(0,0,0)，A(2a,0,0)，C(0，2a,0)，B1(0,0,3a)，A1(2a,0,3a)，C1(0，2a,3a)，D(2 2a，22a,3a)，E(0，22a，3a2)，∴CA1→＝(2a，－2a,3a)，BE→＝(0，22a，3a2)，∴|CA1→|＝13a，|BE→|＝112a，BE→·CA1→＝0－a2＋92a2＝72a2，∴cos BE→，CA1→＝BE→·CA1→|BE→|·|CA1→|＝7143143.(2)存在．假设存在点F，使CF⊥平面B1DF.不妨设AF＝b，则F(2a,0，b)，∴CF→＝(2a，－2a，b)，B1F→＝(2a,0，b－3a)，B1D→＝(22a，22a,0)．由题意知CF→·B1D→＝a2－a2＋0＝0，∴CF→⊥B1D→，即CF⊥B1D恒成立．由B1F→·CF→＝2a2＋b(b－3a)＝b2－3ab＋2a2＝0，得b＝a或b＝2a.∴在线段AA1上存在点F，使CF⊥平面B1DF，|AF→|＝a或|AF→|＝2a.1．本例属于存在性探究问题，若用传统法较为困难，而利用坐标法，则较易于讨论．2．存在性问题的探究实际上是逆向思维过程，一般是假定存在，在此基础上分析求值，讨论符合条件的点(或数值)是否存在，体现了等价转化思想的应用．如图3－2－11，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，问DD 1上是否存在一点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？并证明你的结论．图3－2－11【解】假设点P 存在，以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设此正方体棱长为a ，DP ＝m ，则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C 1(0，a ，a )，P (0,0，m )，连接BD ，由正方体的性质知，CC 1⊥BD ，AC ⊥BD ，又CC 1∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面ACC 1，因此，DB →＝(a ，a,0)是平面ACC 1的一个法向量．∵平面APC 1⊥平面ACC 1，∴DB →在平面APC 1内或与平面APC 1平行， ∵存在实数x 和y ，使得DB →＝xAC 1→＋yAP →. ∵AC 1→＝(－a ，a ，a )，AP →＝(－a,0，m )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－ax －ay ，a ＝ax ＋0，0＝ax ＋my ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，m ＝12a .∴点P 存在，且当点P 为DD 1的中点时，平面APC 1⊥平面ACC 1.错用向量垂直证明线面垂直在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F分别为BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC .【错解】不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(－1，－1,1)，B 1A →＝(0，－2，－2)， ∴EF →·B 1A →＝－1×0＋(－1)×(－2)＋1×(－2)＝0， ∴EF →⊥B 1A →，∴EF ⊥B 1A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .【错因分析】没能正确地理解线面垂直的定义，没能正确地运用线面垂直的判定定理，错误地认为只要一条直线垂直于一个平面内的某条直线，这条直线就垂直于这个平面．【防范措施】正确运用线面垂直的判定定理，即证EF 垂直于平面内两条相交直线．【正解】同错解建立坐标系，法一 EF →＝(－1，－1,1)，AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2，2,0)， ∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0， EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ，又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .法二设平面B 1AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，又AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)，则⎩⎨⎧n ⊥AB 1→n ⊥AC→，即⎩⎨⎧n ·AB 1→＝2y ＋2z ＝0n ·AC →＝－2x ＋2y ＝0，令x ＝1，可得平面B 1AC 的一个法向量为n ＝(1,1，－1)．又EF →＝(－1，－1,1)＝－n ， ∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC .1．空间向量法解决立体几何问题的步骤：(1)选取基向量或建立空间直角坐标系，将立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算及向量关系，研究向量模、夹角或向量关系； (3)把向量的运算结果转化为相应的几何结论．2．空间线面关系的判定，可以利用向量法证明，一般判定方法如下；设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2，则3.了定性分析，避免了繁难的逻辑论证过程，对视图能力、空间想象能力要求稍低，降低了解决问题的难度．1．设直线l 1的方向向量为a ＝(1，－2,2)，l 2的方向向量为b ＝(2,3,2)，则l 1与l 2的关系是________．【解析】 ∵a ·b ＝(1，－2,2)·(2,3,2)＝2－6＋4＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2. 【答案】垂直2．若直线l 的方向向量为v ＝(12，0,1)，平面α的法向量为n ＝(－1,0，－2)，则直线l与平面α的位置关系是________．【解析】 ∵n ＝－2v ，∴v ⊥α，∴l ⊥α. 【答案】垂直3．已知向量a 、b 与平面α、β，给出下列条件：①a ⊂α，b ⊂α；②α∥β，a ⊂α，b ⊂β； ③α∥β，a ⊥α，b ⊥β；④a ∥α，b ∥α. 其中能得到a 与b 共线的是________．【解析】 ①②④中，仅能得到a ，b 共面，而不能得到a ，b 共线，而③中，a ∥b . 【答案】 ③图3－2－124．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，E 、F 分别为AA ′和CC ′的中点．求证：BF ∥ED ′.【证明】不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则相关各点坐标为B (1,1,0)，F (0，1，12)，E (1,0，12)，D ′(0,0,1)．∴BF →＝(0,1，12)－(1,1,0)＝(－1,0，12)，ED ′→＝(0,0,1)－(1,0，12)＝(－1,0，12)．即ED ′→＝BF →，∴ED ′→∥BF →. 又直线BF与ED ′没有公共点，∴BF∥ED ′.一、填空题1．下面命题中，正确命题的序号为________．①若n 1、n 2分别是平面α、β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β；②若n 1、n 2分别是平面α、β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0；③若n 是平面α的法向量且a 与α共面，则n·a ＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．【解析】画图可知，四个命题均正确．【答案】 ①②③④2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(2,3,8)，则平面α，β的位置关系是________(填“平行”、“垂直”或“相交但不垂直”)．【解析】 ∵u·v ＝1×2＋2×3＋(－1)×8＝0，∴u ⊥v ， ∴α⊥β. 【答案】垂直3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,3，z )，向量b ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______.【解析】由题意知a·b ＝0，∴(1,3，z )·(3，－2,1)＝0， ∴1×3＋3×(－2)＋z ×1＝0，∴z ＝3. 【答案】 3图3－2－134．(2013·连云港高二检测)如图3－2－13，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系是________．【解析】 AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝CC 1→＋12(C 1D 1→＋C 1B 1→)＝12BA →＋12CB →＋CC 1→∴AC 1→·CE →＝(AB →＋BC →＋CC 1→)(12BA →＋12CB →＋CC 1→)＝－12AB →2－12BC →2＋CC 1→2＝0，∴AC 1→⊥CE →，∴AC 1⊥CE .【答案】垂直5．(2013·大连高二检测)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 、AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________．【解析】建立空间坐标系如图，设正方体棱长为2，则M (1,0,1)，N (1,1,2)， ∴MN →＝(0,1,1)．∵平面BB 1C 1C 的一个法向量为B 1A 1→＝(2,0,0)， ∴B 1A 1→·MN →＝0＋0＋0＝0. ∴MN ∥平面BB 1C 1C . 【答案】平行6．已知空间两点A (－1,1,2)，B (－3,0,4)，直线l 的方向向量为a ，若|a |＝3，且直线l 与直线AB →平行，则a ＝________.【解析】设a ＝(x ，y ，z )，∵AB →＝(－2，－1,2)，且l 与AB 平行，∴a ∥AB →， ∴x －2＝y －1＝z2，∴x ＝2y ，z ＝－2y ，又∵|a |＝3，∴|a |2＝x 2＋y 2＋z 2＝4y 2＋y 2＋4y 2＝9，∴y ＝±1，∴a ＝(2,1，－2)或(－2，－1,2)．【答案】 (2,1，－2)或(－2，－1,2)7．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________.【解析】 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴3＋5－2z ＝0，∴z ＝4， ∴BC →＝(3,1,4)，∵BP →⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →，由⎩⎨⎧BP →·AB →＝0BP →·BC →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝03(x －1)＋y －12＝0， ∴⎩⎨⎧x ＝407y ＝－157，∴BP →＝(337，－157，－3)．【答案】 (337，－157，－3)8．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果A B →＝(2，－1，－4)，A D →＝(4,2,0)，A P →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ； ③A P →是平面ABCD 的法向量； ④A P →∥B D →.其中正确的是________．【解析】 ∵A B →·A P →＝0，A D →·A P →＝0， ∴A B →⊥A P →，A D →⊥A P →，则①②正确．又A B →与A D →不平行，∴A P →是平面ABCD 的法向量，③正确．由于B D →＝A D →－A B →＝(2,3,4)，A P →＝(－1,2，－1) ∴B D →与A P →不平行，故④错误．【答案】 ①②③ 二、解答题图3－2－149．(2013·徐州高二检测)如图3－2－14，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AD ，AB 的中点．(1)求证：EF ∥平面CB 1D 1； (2)求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1.【证明】 (1)以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则E (1,0,0)，F (2,1,0)， ∴EF →＝(1,1,0)．又∵C (0,2,0)，D 1(0,0,2)，B 1(2,2,2)，设平面CB 1D 1的一个法向量为n 1＝(x ，y,1)． ∵CD 1→＝(0，－2,2)，CB 1→＝(2,0,2)，由⎩⎨⎧n 1·CD 1→＝0n ·CB 1→＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ －2y ＋2＝02x ＋2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ＝－1. ∴n 1＝(－1,1,1)，∴EF →·n 1＝0.又因EF ⊄平面CB 1D 1，∴EF ∥平面CB 1D 1. (2)∵DB ⊥AC ，DB ⊥AA 1，∴DB ⊥平面CAA 1C 1， ∴DB →＝(2,2,0)是平面CAA 1C 1的一个法向量． ∵n 1·DB →＝0，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1.图3－2－1510．如图3－2－15，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．求证：(1)直线EE 1∥平面FCC 1； (2)平面ADD 1A 1∥平面FCC 1.【证明】因为AB ＝4，BC ＝CD ＝2，F 是棱AB 的中点，所以BF ＝BC ＝CF ，则△BCF 为正三角形．因为底面ABCD 为等腰梯形，所以∠BAD ＝∠ABC ＝60°.取AF 的中点M ，连结DM ，则DM ⊥AB ，所以DM ⊥CD .以DM →，DC →，DD 1→为正交基底，建立空间直角坐标系，如图所示，则D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，A (3，－1,0)，F (3，1,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (32，－12，0)，E 1(3，－1,1)．所以DA →＝(3，－1,0)，DD 1→＝(0,0,2)，EE 1→＝(32，－12，1)，CF →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,2)．(1)设平面FCC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·CF →＝3x －y ＝0n ·CC 1→＝2z ＝0，令x ＝1，可得n＝(1，3，0)，则n ·EE 1→＝1×32＋3×(－12)＋0×1＝0，所以n ⊥EE 1→，又直线EE 1⊄平面FCC 1，所以直线EE 1∥平面FCC 1.(2)设平面ADD 1A 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·DA →＝3x －y ＝0m ·DD 1→＝2z ＝0，令x ＝1，可得m ＝(1，3，0)，由(1)知m ＝n ，即m ∥n ，所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1.图3－2－1611．如图3－2－16，在四棱锥P －ABCD 中，底面是矩形且AD ＝2，AB ＝P A ＝2，P A ⊥底面ABCD ，E 是AD 的中点，F 在PC 上．(1)求F 在何处时，EF ⊥平面PBC ；(2)在(1)的条件下，EF 是否是PC 与AD 的公垂线段？若是，求出公垂线段的长度，若不是，说明理由．【解】 (1)以A 为坐标原点，以射线AD 、AB 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则P (0，0，2)，A (0,0,0)，B (0，2，0)，C (2，2，0)，D (2,0,0)，E (1,0,0)．∵F 在PC 上，∴可令PF →＝λPC →，设F (x ，y ，z )．则BC →＝(2,0,0)，PC →＝(2，2，－2)，EF →＝(x －1，y ，z )． ∵EF ⊥平面PBC ，∴EF →·PC →＝0，且EF →·BC →＝0. 又PF →＝λPC →，可得λ＝12，x ＝1，y ＝z ＝22.故F 为PC 的中点．(2)由(1)可知：EF ⊥PC ，且EF ⊥BC ， ∴EF ⊥AD .∴EF 是PC 与AD 的公垂线段，其长为|EF→|＝1.(教师用书独具)如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1.设P为AC的中点．证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并计算ABAQ的值．【思路探究】由题意知OC⊥平面AOB，以OA为x轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，结合已知表示出相关向量的坐标，进行向量的坐标运算求解．【自主解答】以O 为坐标原点，OA ，OC 所在直线为x 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz (如图所示)，连结OP ，OQ ，根据题意有O (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,0,1)，B (－12，32，0)，P (12，0，12)，则AB →＝(－32，32，0)，OA →＝(1,0,0)，OP →＝(12，0，12)．设AQ →＝λAB →(λ∈[0,1])，则AQ →＝(－32λ，32λ，0)，∴OQ →＝OA →＋AQ →＝(1,0,0)＋(－32λ，32λ，0)＝(1－32λ，32λ，0)，∴PQ →＝OQ →－OP →＝(12－32λ，32λ，－12)． ∵PQ ⊥OA ，∴PQ →·OA →＝0，即12－32λ＝0，解得λ＝13.∴存在点Q (12，36，0)，使得PQ ⊥OA ，且ABAQ ＝3.有关使得直线、平面间满足垂直或平行的存在探索型问题，解答时，假设存在这样的点，建立空间直角坐标系，设出此点的坐标，把直线、平面间垂直或平行的关系转化为直线的方向向量和平面的法向量的关系，然后利用向量坐标运算建立所求点坐标的方程，若方程有解，则点存在，否则点不存在．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【解】如图，以O 为坐标原点，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz . 则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)．(1)AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)设PM →＝λP A →(0≤λ<1)，则PM →＝λ(0，－3，－4).BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λP A →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)，BC →＝(－8,0,0)．设平面BMC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面APC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎨⎧BM →·n 1＝0BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0－8x 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝(0,1，2＋3λ4－4λ)．由⎩⎨⎧AP →·n 2＝0AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎨⎧x 2＝54y2z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)．由n 1·n 2＝0，得4－3·2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，且AM ＝3.。

空间中线线线面面面的位置关系

要作平行移动(平行线)，把两条异面
直线所成的角，转化为两条相交直
线所成的角.
例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数。
D1 A1
C1
B1
45o
D
C
A
B
例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
四、异面直线所成角的求法：
一作(找)、二证、三求
(1)通过直线平移，作出异面直线所成的角，把空间问题转化为平面问题。 (2)利用平面几何知识，求出异面直线所成角的大小。
空间中线线、线面、面面的位置关系
复习
公理1:如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). 公理2:过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线.
推论1:一条直线和直线外一点唯一确定一个平面.
α
β
等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
三、异面直线所成角的定义：
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O, 分别引直线a1∥a,b1∥b,把直线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。
2、反过来,如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行,那么这两个平面平行.
A B
练习：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？
D1 A1
D A
C1 答案：
B1 C
D1C1、C1C、CD、 D1D、AD、B1C1

高二数学选修课件第部分第章空间线面关系的判定

空间中直线与平面位置关系
01
直线在平面内
直线上的所有点都在平面内。
02
直线与平面相交
直线与平面有且仅有一个公共点。
03
直线与平面平行
直线与平面没有公共点，且直线上的任意一点到平面的距离
都个平面平行
两个平面相交
两个平面垂直
两个平面没有公共点，且一个平面上的任意一点到另一个平面的距离都相等。
课堂小结：回顾本节课所学知识点和方法技巧
空间线面关系的基本概念
掌握了点、线、面的基本定义及其在空间中的表示方法。
空间线面关系的判定定理
学习了如何运用判定定理来判断空间中直线与平面、平面与平面的位置关系。
空间向量的应用
了解了空间向量在解决空间线面关系问题中的应用，如利用向量的数量积、向量的坐标运算等。
如果两个平面分别与第三个平面平行，则这两个平面也平行。
平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面分别与第三个平面垂直，则这两个平面的交线与第三个平面垂直。
案例分析
01
案例一
在建筑设计中，需要确定两个墙面是否平行或垂直。可以通过测量墙面
之间的距离和角度，利用定义或性质定理来判断墙面之间的位置关系。
02 03
03
判定平面与平面平行或垂直方法
利用定义判定平面与平面平行或垂直
平面与平面平行的定义
如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
平面与平面垂直的定义
如果两个平面相交，且它们的交线与第三个平面垂直，则称这两个平面与第三个平面垂直。
利用性质定理判定平面与平面平行或垂直
平面与平面平行的性质定理
利用定义判定直线与平面平行或垂直
若直线与平面无公共点，则称直线与平面平行。

§13.8空间线面关系的判定

§13.8 空间线面关系的判定
教学目标: 1.能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；
2.能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理；
3.能用向量方法判断空间线面垂直关系。

教学过程: 一、创设情景
1.空间直线与平面平行与垂直的定义及判定
2.直线的方向向量与平面的法向量的定义二、建构数学
1.用向量描述空间线面关系
设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，
平行
垂直
1l 与2l 21//e e
21e e ⊥ 1l 与1α
11n e ⊥ 11//n e 1α与2α
21//n n
21n n ⊥
2.相关说明：
上表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法，判断的依据是相关的判定与性质，要理解掌握。

三、数学运用
例1.如图，在直三棱柱111C B A ABC -中,090=∠ACB ，
30=∠BAC ，1=BC ,61=A A ,
M 是棱1CC 的中点。

求证：B A 1AM ⊥
例2.如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线
BD ，AE 上，且BM=31BD ，AN=3
1
AE 。

求证：MN//平面CDE
例3.已知正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为1BB ，CD 的中点，
求证：⊥F D 1平面ADE。

空间线面关系的判定课件1

ACB 90,BAC 30, BC 1, A1A 6,
M 是棱 CC1 的中点，
求证：A1B AM
B1
A1
C1
6
M
B
1 90
30 A
C
B1
A1 证明：在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，
C1
因为 A1A AC ，所以 A1A AC 0 6 因为CM 平面ABC ，而 AB 平面ABC
l
平面的法向量 n与的位置关系是 n
思考：
我们能不能用直线的方向向量和平面法向量来刻画空间线面位置关系？
设空间两条直线 l1, l2 的方向向量为 e1, e2
两个平面 1,2的法向量分别为 n1, n2
平行垂直
l1与l2
l1与1
1与 2
e1 e2 e1 n1 n1 n2
从而 A1C AM 0
2、利用CB 平面A1ACC1 知道 CB AM ，即 CB AM 0
你能试着建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示向量，再证明它们互相垂直吗？
B1
A1
C1
6
M B
30 A
1 90
C
C1
z
B1
A1
M
6
C 90
1
30
A
x
By
z
证明：分别以 CA,CB,CC1
证法三是几何向量法和立体几何法的综合运用。
最终都是应用向量的数量积为0来证明线线垂直。
课堂小结：
本节课主要研究了用向量的方法判定空间线线、线面垂直关系。
如果要判定两条直线 a、b垂直，
可以通过证明它们的方向向量，

苏教版高中数学选修2-1知识讲解_空间线面关系的判定(理)_提高

空间线面关系的判定：：【学习目标】1.掌握用向量方法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题；2.通过对定理的证明，认识到向量是解决立体几何问题的基本方法；3.用向量的方法证明立体几何中的定理，培养学生从多角度研究立体几何问题的能力.【要点梳理】要点一：用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行. 1.线线平行向量判定方法：设直线1l ，2l 的方向向量分别是a ，b ，则要证明12//l l ，只需证明//a b ，即()k k =∈R a b .2.线面平行线面平行的判定方法一般有两种：①判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. ②向量判定：方法一：设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是n ，则要证明//l α，只需证明⊥a n ，即0=⋅a n .方法二：根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.方法三：根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.3.面面平行①判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，那么这两个平面平行.②向量判定：方法一：由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.方法二：若能求出平面α，β的法向量u ，v ，则要证明//αβ，只需证明u v ∥.要点二：用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直. 1.线线垂直向量判定方法：设直线1l ，2l 的方向向量分别为a ，b ，则要证明12l l ⊥，只需证明⊥a b ，即0⋅=a b .2.线面垂直①判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.②向量判定方法一：设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明//a u .方法二：根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直.3.面面垂直①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. ②向量判定：证明两个平面的法向量互相垂直.【典型例题】类型一：利用向量研究平行问题例1. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是1C C 、11B C 的中点．求证：MN ∥平面1A BD ．【思路点拨】这是证明线面平行问题，可以利用三种方法证明：一是证明MN 与平面A 1BD 的法向量垂直；二是在平面A 1BD 内找一向量与MN 共线；三是证明MN 可以利用平面A 1BD 中的两不共线向量线性表示．【解析】解法一：如图以D 为原点，DA 、DC 、DD ，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,1,12N ⎛⎫⎪⎝⎭、D （0，0，0）、A 1（1，0，1）、B （1，1，0），于是11,0,22MN ⎛⎫=⎪⎝⎭. 设平面A 1BD 的法向量是n =（x ，y ，z ），则10n DA ⋅=，且0n BD ⋅=，得0x z x y +=⎧⎨+=⎩．取x=1，得y=－1，z=－1．∴n =（1，－1，－1）．又11,0,(1,1,1)022MN n ⎛⎫⋅=⋅--=⎪⎝⎭，∴MN n ⊥． MN ∥平面A 1BD ．解法二：∵1111111111111()2222MN C N C M C B C C D A D D DA =-=-=-=， ∴1//MN DA ，∴MN ∥平面A 1BD ．解法三：∵111111122MN C N C M D A D D =-=- 11111()()22DB BA D A A D =+-+ 11111112222DB BA D A A D =+--1111()222DB DA BA DA =++-11111102222DB DA BD DA DB =++=+⋅．即MN 可用1DA 与DB 线性表示，且1DA 与DB 不共线，故MN 与1DA 、DB 是共面向量，∴MN ∥平面A 1BD ，即MN ∥平面A 1BD ．【总结升华】要用向量方法证明直线与平面平行，可以用共面定理来证明，即证明直线的方向向量可以用平面内两个向量线性表示；也可证明该直线的方向向量与平面内某直线平行，此时注意说明直线在平面内．本例解法一是建立坐标系，通过坐标运算证明结论，解法二和解法三没有建系，直接通过向量的分解等运算进行证明，当然，在解法二和解法三中也可通过建立坐标系，利用坐标运算来证明．举一反三：【变式】如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为矩形，OA ⊥底面ABCD ，2OA =，22AD AB ==，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，求证：直线MN ‖平面OCD .【解析】如图，分别以AB ，AD ，AO 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,1)M ，(1,1,0)N ，(0,0,2)O ， ∴(1,1,1)MN =-，(1,0,0)DC =，(0,2,2)DO =- 法一：∵12MN DC DO =-，∴MN DC DO 、、共面又MN ⊂/平面OCD ，DC ⊂平面OCD ，DO ⊂平面OCD ，DCDO=DMN ∴‖平面OCD法二：设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z =，则n DO n DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即 220y z x -+=⎧⎨=⎩，取1z =，得(0,1,1)n = (1,1,1)(0,1,1)0MN n ∴=-=，又MN ⊂/平面OCD ，MN ∴‖平面OCD .例2. 正方体1111ABCD A B C D -的边长为4，M 、N 、E 、F 分别是棱11A D 、11A B 、11D C 、11B C 的中点．求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【思路点拨】画出图形，建立适当的空间直角坐标系，写出各点坐标，将面面平行问题转化为向量问题进行解决.本题显然MN EF ，AN DE ，从这里入手较简单.【解析】如图所示，以D 为原点建立空间直角坐标系，则()()()()()400204424000440A M N D B ，，，，，，，，，，，，，，，()()024244E F ，，，，，．∴(2,2,0)MN =，(2,2,0)EF =，()024AN=,,，()024DE=,,．可见MN EF =，AN=DE ，∴MN EF ，AN DE ，∴MN ∥平面EFBD ，AN ∥平面EFBD ．又MNAG G =，∴平面AMN ∥平面EFBD ．【总结升华】本题中证明方法并不唯一，除了利用面面平行的判定定理外，还可以采用向量法，即：要证两个面α、β平行，只需求出平面α、β的法向量u ，v ，再证出//u v 即可.举一反三：【变式】如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC=90°，BC=2，CC 1=4，点E 在线段BB 1上，且EB 1=1，D 、F 、G 分别为CC 1、C 1B 1、C 1A 1的中点.求证：平面EGF ∥平面ABD.【答案】如图所示，由条件，知BA ，BC ，BB 1两两互相垂直，以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标. 由条件知B （0，0，0）、D （0，2，2），B 1（0，0，4），设BA=a ，则A （a ，0，0）.所以(,0,0)BA a =，(0,2,2)BD =，1(0,2,2)B D =-.10B D BA ⋅=，10440B D BD ⋅=+-=.所以B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD. 因此B 1D ⊥平面ABD （1）由E 、F 、G 的定义，知E （0，0，3）、(,1,4)2aG 、F （0，1，4）.所以(,1,1)2a EG =，(0,1,1)EF =，10220B D EG ⋅=+-=，10220B D EF ⋅=+-=.所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF. 所以B 1D ⊥平面EFG .结合（1），可知平面EGF ∥平面ABD. 类型二：利用向量研究垂直问题【空间向量的直角坐标运算 399111例4】例3. 已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，点E ，F 分别是AB 与PD 的中点.求证：（1）PC AF ⊥；（2）AF ⊥平面PDC ；（3）PD ⊥平面AEF .【思路点拨】建立适当的空间直角坐标系，将几何证明问题转化为向量的代数计算问题. 【解析】如图，建立空间直角坐标系，则()()()()()()()000200020002220100011A B D P C E F ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，（1）()()2,2,20,1,1PC AF =-=，，则0PC AF ⋅=，故PC AF ⊥.（2）设平面PDC 的法向量为()1x y z =n ，，，则 11220220PD y z PC 2x+y z .⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n ，取()1011=n ，，由1AF=n ，可知1AF ⊥n ，所以AF ⊥平面PDC .（3）设平面AEF 的法向量为()2x y z =n ，，，则 1100AE x AF y+z .⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩n n ，取()1011=-n ，，由()022PD=，，知12PD =n ，所以1PD ⊥n ，即PD ⊥平面AEF .【总结升华】要证明线线垂直，只需要证明这两条直线的方向向量垂直即可；要证明线面垂直，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量平行.举一反三：【变式】在正方体1111—ABCD A B C D 中，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：1B O ⊥平面PAC .【解析】如图，建立空间直角坐标系，不妨假设正方体的棱长为2，则A （2，0，0），P （0，0，1），C （0，2，0），B 1（2，2，2），O （1，1，0）. 则1(1,1,2)OB =，(2,2,0)AC =-，(2,0,1)AP =- ∵1220OB AC ⋅=-+=，1220OB AP ⋅=-+= 所以OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP.所以OB 1⊥平面PAC.例 4. 在正方体1111—ABCD A B C D 中，E 是棱BC 的中点，试在棱1CC 上求一点P ，使得平面11A B P ⊥平面1C DE ．【思路点拨】若要在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ，需建立恰当的空间直角坐标系，并设出点P 的坐标，求出平面A 1B 1P 与平面CDE 的法向量，建立方程求出点P 的坐标，确定点P 的位置．【解析】如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A 1（1，0，1），B 1（1，1，1），E （12，1，0）， C 1（0，1，1），设P 的坐标为（0，1，a ）． ∴11(0,1,0)A B =，1(1,1,1)A P a =--，1,1,02DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(0,1,1)DC =. 设平面A 1B 1P 的一个法向量为1n =（x ，y ，z ），则1111100(1)00n A B y x y a z n A P ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨-++-=⋅=⎩⎪⎩．令z=1，则得x=a －1，所以平面A 1B 1P 的一个法向量为1n =（a －1，0，1）．设平面C 1DE 的一个法向量为2n =（x ，y ，z ），则221100200n DE x y n DC y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+=⎩，令y=1，则得x=－2，z=－1，所以平面C 1DE 的一个法向量为2n =（－2，1，－1）．要使平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ，则1n ·2n =0⇒－2(a －1)－1=0，解得12a =，所以当P 为CC 1的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ．【总结升华】要用向量方法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再检验它们的数量积是否为零即可．但在求这两个平面的法向量时应小心谨慎，只要一个求错，就会得出错误的结论．举一反三：【变式】在正三棱锥P ABC -中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E 、F 分别为BC 、PB 上的点，且12BE EC PF FB ==∶∶∶. 求证：平面GEF ⊥平面PBC ．【解析】如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以PA 、PB 、PC 所在直线分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．令PA=PB=PC=3，则A （3，0，0）、B （0，3，0）、C （0，0，3）、E （0，2，1）、F （0，1，0）、G （1，1，0）、P （0，0，0）．于是(3,0,0)PA =，(1,0,0)FG =，故3PA FG =，∴PA ∥FG ．而PA ⊥平面PBC ，∴FG ⊥平面PBC ．又FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PBC ．。