张量分析第三章3.4
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−1 u1 0 0 −1 0 1 1 − 1 0 u = 0 2 1 0 0 − 1 u3 0
（1）
和
1 u1 0 0 −1 1 0 1 − 1 0 u = 0 2 −1 0 0 − 1 u3 0
u⋅ A =
1 a (i1 + 2i2 + i3 ) ⋅ ( −i1i3 + i2 i1 + i2 i2 + i3 i1 ) 2 1 = a (i1 + 2i2 − i3 ) 2 = λ1u
因此：
u=
1 a(i1 + 2i 2 − i 3 ) 2
是 A的λ1 = 1特征值对应的右特征矢量。 由该例可以看出二阶张量 A 的同一特征值对应的右和左特 征矢量是不相同的。且与复特征值对应的实特征矢量不存 在。但特征方程（3.4-6）至少有一个实特征值。因此可以 肯定二阶张量至少有一个右特征矢量和一个左特征矢量。
（2）
Biblioteka Baidu
（1）式和（2）式关于u1, u2, u3的系数行列式的值分别均 为0。因此 u1, u2, u3 有非零解。也就是说与特征值 λ1 = 1对 应的左、右特征矢量都存在。 右特征矢量： ∵
− u1 + 0u 2 − u 3 = 0 u1 + 0u 2 + 0u 3 = 0 u + 0u − u = 0 2 3 1
令：
I 2 ( A) =
1 {( A ⋅ a ) ⋅ [( A ⋅ b) × c] + ( A ⋅ a ) ⋅[b × ( A ⋅ c)] + a ⋅ [( A ⋅ b) × ( A ⋅ c)]} a ⋅ (b × c )
I 3 ( A) =
1 {( A ⋅ a ) ⋅ [( A ⋅ b) × ( A ⋅ c)]} a ⋅ (b × c )
3
（3.4-5）
− I1 ( A)λ 2 + I 2 ( A)λ − I 3 ( A)]
∴ [( A − λ I ) ⋅ a ] ⋅ {[( A − λ I ) ⋅ b] × [( A − λ I ) ⋅ c]} = −a ⋅ (b × c)[λ 将该式代入(c)式得：
λ3 − I 1 ( A)λ2 + I 2 ( A)λ − I 3 ( A) = 0
∵ ∴ (a)、(b)两式是关于λ的三次相同的代数方程。也就是说 A的右特征值和左特征值相同。由 (a)式或 (b)式得： ∵
[( A − λI ) ⋅ a ] ⋅ {[( A − λI ) ⋅ b][( A − λI ) ⋅ c ]} =0 a ⋅ (b × c ) [( A − λI ) ⋅ a ] ⋅ {[( A − λI ) ⋅ b][( A − λI ) ⋅ c ]} det( A − λI ) =
det( A − λI ) = 0
A12 −λ − A23
A13 A23 = 0 −λ
该式表明反对称二阶张量或有一个零特征值和二个复特征 值；或三个特征值为零。即反对称二阶张量至少有一个零 特征值( λ = 0)，那么：
A ⋅ r = λr = o
即存在一个单位矢量 r 使得：
r ⋅ A ⋅ r = r ⋅ (λ r ) = ( r ⋅ r )λ = 0
（3.4-3） （3.4-4）
（3.3-3）和（3.3-4）是关于 u1, u2, u3的齐次线性代数方程 。方程有非零解的充要条件是方程组的系数行列式为零。 或者说A有非零的右特征矢量和左特征矢量的充要条件是：
det( A − λI ) = 0 (a) (b) det( A* − λI ) = 0
0−λ
λ1 = 1 ; λ2 = i ; λ 3 = −i 解之得： 显然λ2, λ3代入（3.4-3）和（3.4-4）式中所确定的u1, u2, u3是复数。即 u = ui ii是复矢量。因此二阶张量A不存在与 特征值λ2 = i , λ3 = -i 对应的右和左实特征矢量。与λ1 = 1对应的右和左特征矢量如果存在，则应当满足（3.4-3） 和（3.4-4）式。即：
det( A − λI )* = det( A* − λI ) = det( A − λI )
= [( A − λI ) ⋅ a ] ⋅ [( A ⋅ b − λb) × ( A ⋅ c − λc )] = ( A ⋅ a − λa ) ⋅ [( A ⋅ b) × ( A ⋅ c ) − λ ( A ⋅ b) × c − λb × ( A ⋅ c ) + λ 2 b × c ] = ( A ⋅ a )[( A ⋅ b) × ( A ⋅ c )] − λ × ( A ⋅ a ) ⋅ [( A ⋅ b) × c + b × ( A ⋅ c )] +λ 2 ( A ⋅ a ) ⋅ (b × c ) − λa ⋅ [( A ⋅ b) × ( A ⋅ c )] +λ 2 a ⋅ [( A ⋅ b) × c + b × ( A ⋅ c )] + λ 3a ⋅ (b × c ) = −λ 3a ⋅ (b × c ) + λ 2 {( A ⋅ a ) ⋅ (b × c ) + a ⋅ [( A ⋅ b) × c ] + a ⋅ [b × ( A ⋅ c )]} −λ {( A ⋅ a ) ⋅ [( A ⋅ b) × c ] + ( A ⋅ a ) ⋅ [b × ( A ⋅ c )] + a ⋅ [( A ⋅ b) × ( A ⋅ c )]} + ( A ⋅ a ) ⋅ [( A ⋅ b) × ( A ⋅ c )] 1 {( A ⋅ a ) ⋅ (b × c) + a ⋅ [( A ⋅ b) × c] + a ⋅ [b × ( A ⋅ c )]} I 1 ( A) = a ⋅ (b × c )
( Aij ii i j − λδij ii i j ) ⋅ (um im ) = o
A11 − λ A 21 A31 A11 − λ A 12 A13 A12 A22 − λ A32 A21 A22 − λ A23
A13 u1 0 A23 u 2 = 0 A33 − λ u 3 0 A31 u1 0 A32 u 2 = 0 A33 − λ u 3 0
以下对(实)正交二阶张量、(实)对称二阶张量和(实)反对称 二阶张量的特征值问题进行分析。 一、正交二阶张量特征值问题 由特征方程（3.4-6）可知，实A的三个特征值至少有一个 是实数，另外两个或是实数或是一对共轭复数。对正交二 阶张量这里只讨论存在的实特征值和其对应的特征矢量。 设Q是正交二阶张量；r、 λ是Q的右特征矢量和实特征值。 Q* ⋅ (Q − I ) = Q * ⋅ Q − Q * ⋅ I = −(Q − I )* ∵ 若det Q =1，则：
Q⋅r = r
;
(det Q = 1)
（3.4-7）
若det Q = -1 ，则： ∴ 因此得结论： 正交二阶张量Q，当det Q = -1时存在右特征矢量 r 。其对 应的特征值λ = -1。且： Q ⋅ r = −r ; (det Q = −1) （3.4-8） 综合（3.4-7）和（3.4-8）式有： Q ⋅ r = det(Q )r （3.4-9） 二、反对称二阶张量特征值问题 设
A = − A*
−λ − A12 − A13
2 2 2 − λ (λ2 + A23 + A13 + A12 ) = 0
− det[(Q − (−1) I ] = det[(Q − (−1) I )] det[Q * ⋅ (Q − (−1) I )] = det[(Q − (−1) I )]* 2 det[(Q − (−1) I )] = 0
设V中标准正交坐标系为 {i1, i2, i3} 。则二阶张量 A和矢量 u可表示为：
A = Aij ii i j ; u = ui ii A ⋅ u = λu ; ( A − λI ) ⋅ u = o
可分别写成： 或
u ⋅ A = λu
;
u ⋅ ( A − λI ) = o
; (um im ) ⋅ ( Aij ii i j − λδij ii i j ) = o
; ∴
u = ai 2
u1 = 0 u 2 = a u = 0 3
（a是任意实数） a
是方程组（1）的非零解。
A ⋅ u = (− i1i3 + i2 i1 + i2 i2 + i3i1 ) ⋅ (ai2 ) = ai2 = λ1u
因此 u = a i2是 A的λ1 = 1特征值对应的右特征矢量。 左特征矢量： ∵
3.4 二阶张量特征值、特征方向 二阶张量特征值、
二阶张量A实现 V到V的线性变换（这种变换通过二阶张量 与矢量的点乘实现）。对给定的二阶张量A , V中是否存在 这样的矢量u使得A点乘u所得到的矢量 A· u方向与 u相同， 而大小发生变化。这类问题称为二阶张量的特征值问题。 设A为给定的二阶张量。那么A的特征值问题归结为u ∈V ，使得： A ⋅ u = λu ; λ∈F （3.4-1） u ⋅ A = λu ; λ∈F （3.4-2） 若（3.4-1）的u存在，则称u是 A的右特征矢量； λ 是 A的 右特征值；若（3.4-2）的u存在，则称u是 A的左特征矢量 ； λ 是 A的左特征值。
由于反对称二阶张量 A无非零实特征值。因此 A是退化二 阶张量( det A = 0 ) 。退化二阶张量本质上已不是二阶张量 。对反对称（退化）二阶张量可与一矢量对应。按矢量空 间到矢量空间的变换，对任意a∈V ，反对称二阶张量A通 乘将A变换到 A· a∈V。同时对任意给定二阶反对称二阶张 量 A ，存在矢量ω使得： A⋅a =ω⋅a （3.4-10） 当定义三阶张量： e = eijk i i i j i k （3.4-11） 1 ω = − e: A 则： （3.4-12） 2
（3.4-6） 该式称为二阶张量 A 的特征方程。且由特征方程可确定特 征值λ1, λ2, λ3。式中 I1(A) , I2(A) , I3(A)称 A的第一、第 二、第三不变量。由(c)式及行列式的定义可知det(A- λ I )表达式中的矢量a、b、c的取值只要满足 a ⋅ (b × c) ≠ 0 ，则 a、b、 c 的取值不改变行列式 det ( A- λ I ) 的值。因此 A 的三个不变量I1(A) , I2(A) , I3(A)与a、b、c的选取无关。 由（3.4-6）可知，对给定的二阶张量A 。特征方程的系数 是不变的，且特征值λ1, λ2, λ3由不变量 I1(A) , I2(A) , I3( I3 (A) 唯一确定。对特征值问题，由特征方程确定了特征 特征值后，将特征值 λ1, λ2, λ3代入特征问题的（3.4-3） 、（3.4-4）式中可确定是否存在特征矢量。
− u1 + u 2 + u 3 = 0 0u1 + 0u 2 + 0u 3 = 0 − u + 0u − u = 0 2 3 1
; ∴
u1 = a / 2 u2 = a （a是任意实数） u = − a / 2 3
是方程组（2）的非零解。
u= 1 a (i1 + 2i2 + i3 ) 2
(det Q * ) det(Q − I ) = (−1) det(Q − I ) *
(det Q ) det(Q − I ) = − det(Q − I )
2 det(Q − I ) = 0 ∴ 因此得出结论： 正交二阶张量 Q，当det Q =1时存在右特征矢量 r。其对应 的特征值λ = 1。且：
例15： 试求二阶张量 A = −i1 i 3 + i 2 i1 + i 2 i 2 + i 3 i1 的特征值。并确定A是否 存在右和左特征矢量。如果存在试求出特征矢量。 解： 由det (A- λI )得：
0−λ 0 1 1− λ 1 0 −1 0 =0
λ2 (1 − λ ) + (1 − λ ) = 0
（1）
和
1 u1 0 0 −1 1 0 1 − 1 0 u = 0 2 −1 0 0 − 1 u3 0
u⋅ A =
1 a (i1 + 2i2 + i3 ) ⋅ ( −i1i3 + i2 i1 + i2 i2 + i3 i1 ) 2 1 = a (i1 + 2i2 − i3 ) 2 = λ1u
因此：
u=
1 a(i1 + 2i 2 − i 3 ) 2
是 A的λ1 = 1特征值对应的右特征矢量。 由该例可以看出二阶张量 A 的同一特征值对应的右和左特 征矢量是不相同的。且与复特征值对应的实特征矢量不存 在。但特征方程（3.4-6）至少有一个实特征值。因此可以 肯定二阶张量至少有一个右特征矢量和一个左特征矢量。
（2）
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（1）式和（2）式关于u1, u2, u3的系数行列式的值分别均 为0。因此 u1, u2, u3 有非零解。也就是说与特征值 λ1 = 1对 应的左、右特征矢量都存在。 右特征矢量： ∵
− u1 + 0u 2 − u 3 = 0 u1 + 0u 2 + 0u 3 = 0 u + 0u − u = 0 2 3 1
令：
I 2 ( A) =
1 {( A ⋅ a ) ⋅ [( A ⋅ b) × c] + ( A ⋅ a ) ⋅[b × ( A ⋅ c)] + a ⋅ [( A ⋅ b) × ( A ⋅ c)]} a ⋅ (b × c )
I 3 ( A) =
1 {( A ⋅ a ) ⋅ [( A ⋅ b) × ( A ⋅ c)]} a ⋅ (b × c )
3
（3.4-5）
− I1 ( A)λ 2 + I 2 ( A)λ − I 3 ( A)]
∴ [( A − λ I ) ⋅ a ] ⋅ {[( A − λ I ) ⋅ b] × [( A − λ I ) ⋅ c]} = −a ⋅ (b × c)[λ 将该式代入(c)式得：
λ3 − I 1 ( A)λ2 + I 2 ( A)λ − I 3 ( A) = 0
∵ ∴ (a)、(b)两式是关于λ的三次相同的代数方程。也就是说 A的右特征值和左特征值相同。由 (a)式或 (b)式得： ∵
[( A − λI ) ⋅ a ] ⋅ {[( A − λI ) ⋅ b][( A − λI ) ⋅ c ]} =0 a ⋅ (b × c ) [( A − λI ) ⋅ a ] ⋅ {[( A − λI ) ⋅ b][( A − λI ) ⋅ c ]} det( A − λI ) =
det( A − λI ) = 0
A12 −λ − A23
A13 A23 = 0 −λ
该式表明反对称二阶张量或有一个零特征值和二个复特征 值；或三个特征值为零。即反对称二阶张量至少有一个零 特征值( λ = 0)，那么：
A ⋅ r = λr = o
即存在一个单位矢量 r 使得：
r ⋅ A ⋅ r = r ⋅ (λ r ) = ( r ⋅ r )λ = 0
（3.4-3） （3.4-4）
（3.3-3）和（3.3-4）是关于 u1, u2, u3的齐次线性代数方程 。方程有非零解的充要条件是方程组的系数行列式为零。 或者说A有非零的右特征矢量和左特征矢量的充要条件是：
det( A − λI ) = 0 (a) (b) det( A* − λI ) = 0
0−λ
λ1 = 1 ; λ2 = i ; λ 3 = −i 解之得： 显然λ2, λ3代入（3.4-3）和（3.4-4）式中所确定的u1, u2, u3是复数。即 u = ui ii是复矢量。因此二阶张量A不存在与 特征值λ2 = i , λ3 = -i 对应的右和左实特征矢量。与λ1 = 1对应的右和左特征矢量如果存在，则应当满足（3.4-3） 和（3.4-4）式。即：
det( A − λI )* = det( A* − λI ) = det( A − λI )
= [( A − λI ) ⋅ a ] ⋅ [( A ⋅ b − λb) × ( A ⋅ c − λc )] = ( A ⋅ a − λa ) ⋅ [( A ⋅ b) × ( A ⋅ c ) − λ ( A ⋅ b) × c − λb × ( A ⋅ c ) + λ 2 b × c ] = ( A ⋅ a )[( A ⋅ b) × ( A ⋅ c )] − λ × ( A ⋅ a ) ⋅ [( A ⋅ b) × c + b × ( A ⋅ c )] +λ 2 ( A ⋅ a ) ⋅ (b × c ) − λa ⋅ [( A ⋅ b) × ( A ⋅ c )] +λ 2 a ⋅ [( A ⋅ b) × c + b × ( A ⋅ c )] + λ 3a ⋅ (b × c ) = −λ 3a ⋅ (b × c ) + λ 2 {( A ⋅ a ) ⋅ (b × c ) + a ⋅ [( A ⋅ b) × c ] + a ⋅ [b × ( A ⋅ c )]} −λ {( A ⋅ a ) ⋅ [( A ⋅ b) × c ] + ( A ⋅ a ) ⋅ [b × ( A ⋅ c )] + a ⋅ [( A ⋅ b) × ( A ⋅ c )]} + ( A ⋅ a ) ⋅ [( A ⋅ b) × ( A ⋅ c )] 1 {( A ⋅ a ) ⋅ (b × c) + a ⋅ [( A ⋅ b) × c] + a ⋅ [b × ( A ⋅ c )]} I 1 ( A) = a ⋅ (b × c )
( Aij ii i j − λδij ii i j ) ⋅ (um im ) = o
A11 − λ A 21 A31 A11 − λ A 12 A13 A12 A22 − λ A32 A21 A22 − λ A23
A13 u1 0 A23 u 2 = 0 A33 − λ u 3 0 A31 u1 0 A32 u 2 = 0 A33 − λ u 3 0
以下对(实)正交二阶张量、(实)对称二阶张量和(实)反对称 二阶张量的特征值问题进行分析。 一、正交二阶张量特征值问题 由特征方程（3.4-6）可知，实A的三个特征值至少有一个 是实数，另外两个或是实数或是一对共轭复数。对正交二 阶张量这里只讨论存在的实特征值和其对应的特征矢量。 设Q是正交二阶张量；r、 λ是Q的右特征矢量和实特征值。 Q* ⋅ (Q − I ) = Q * ⋅ Q − Q * ⋅ I = −(Q − I )* ∵ 若det Q =1，则：
Q⋅r = r
;
(det Q = 1)
（3.4-7）
若det Q = -1 ，则： ∴ 因此得结论： 正交二阶张量Q，当det Q = -1时存在右特征矢量 r 。其对 应的特征值λ = -1。且： Q ⋅ r = −r ; (det Q = −1) （3.4-8） 综合（3.4-7）和（3.4-8）式有： Q ⋅ r = det(Q )r （3.4-9） 二、反对称二阶张量特征值问题 设
A = − A*
−λ − A12 − A13
2 2 2 − λ (λ2 + A23 + A13 + A12 ) = 0
− det[(Q − (−1) I ] = det[(Q − (−1) I )] det[Q * ⋅ (Q − (−1) I )] = det[(Q − (−1) I )]* 2 det[(Q − (−1) I )] = 0
设V中标准正交坐标系为 {i1, i2, i3} 。则二阶张量 A和矢量 u可表示为：
A = Aij ii i j ; u = ui ii A ⋅ u = λu ; ( A − λI ) ⋅ u = o
可分别写成： 或
u ⋅ A = λu
;
u ⋅ ( A − λI ) = o
; (um im ) ⋅ ( Aij ii i j − λδij ii i j ) = o
; ∴
u = ai 2
u1 = 0 u 2 = a u = 0 3
（a是任意实数） a
是方程组（1）的非零解。
A ⋅ u = (− i1i3 + i2 i1 + i2 i2 + i3i1 ) ⋅ (ai2 ) = ai2 = λ1u
因此 u = a i2是 A的λ1 = 1特征值对应的右特征矢量。 左特征矢量： ∵
3.4 二阶张量特征值、特征方向 二阶张量特征值、
二阶张量A实现 V到V的线性变换（这种变换通过二阶张量 与矢量的点乘实现）。对给定的二阶张量A , V中是否存在 这样的矢量u使得A点乘u所得到的矢量 A· u方向与 u相同， 而大小发生变化。这类问题称为二阶张量的特征值问题。 设A为给定的二阶张量。那么A的特征值问题归结为u ∈V ，使得： A ⋅ u = λu ; λ∈F （3.4-1） u ⋅ A = λu ; λ∈F （3.4-2） 若（3.4-1）的u存在，则称u是 A的右特征矢量； λ 是 A的 右特征值；若（3.4-2）的u存在，则称u是 A的左特征矢量 ； λ 是 A的左特征值。
由于反对称二阶张量 A无非零实特征值。因此 A是退化二 阶张量( det A = 0 ) 。退化二阶张量本质上已不是二阶张量 。对反对称（退化）二阶张量可与一矢量对应。按矢量空 间到矢量空间的变换，对任意a∈V ，反对称二阶张量A通 乘将A变换到 A· a∈V。同时对任意给定二阶反对称二阶张 量 A ，存在矢量ω使得： A⋅a =ω⋅a （3.4-10） 当定义三阶张量： e = eijk i i i j i k （3.4-11） 1 ω = − e: A 则： （3.4-12） 2
（3.4-6） 该式称为二阶张量 A 的特征方程。且由特征方程可确定特 征值λ1, λ2, λ3。式中 I1(A) , I2(A) , I3(A)称 A的第一、第 二、第三不变量。由(c)式及行列式的定义可知det(A- λ I )表达式中的矢量a、b、c的取值只要满足 a ⋅ (b × c) ≠ 0 ，则 a、b、 c 的取值不改变行列式 det ( A- λ I ) 的值。因此 A 的三个不变量I1(A) , I2(A) , I3(A)与a、b、c的选取无关。 由（3.4-6）可知，对给定的二阶张量A 。特征方程的系数 是不变的，且特征值λ1, λ2, λ3由不变量 I1(A) , I2(A) , I3( I3 (A) 唯一确定。对特征值问题，由特征方程确定了特征 特征值后，将特征值 λ1, λ2, λ3代入特征问题的（3.4-3） 、（3.4-4）式中可确定是否存在特征矢量。
− u1 + u 2 + u 3 = 0 0u1 + 0u 2 + 0u 3 = 0 − u + 0u − u = 0 2 3 1
; ∴
u1 = a / 2 u2 = a （a是任意实数） u = − a / 2 3
是方程组（2）的非零解。
u= 1 a (i1 + 2i2 + i3 ) 2
(det Q * ) det(Q − I ) = (−1) det(Q − I ) *
(det Q ) det(Q − I ) = − det(Q − I )
2 det(Q − I ) = 0 ∴ 因此得出结论： 正交二阶张量 Q，当det Q =1时存在右特征矢量 r。其对应 的特征值λ = 1。且：
例15： 试求二阶张量 A = −i1 i 3 + i 2 i1 + i 2 i 2 + i 3 i1 的特征值。并确定A是否 存在右和左特征矢量。如果存在试求出特征矢量。 解： 由det (A- λI )得：
0−λ 0 1 1− λ 1 0 −1 0 =0
λ2 (1 − λ ) + (1 − λ ) = 0