高等量子力学 算符

i 0 i!
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A [ B ,A ] 2 [ B ( 2 ),A ]
A[B,A]
[B (2),A ][B ,[B ,A ] ]0
d(f ) A () f e A e B A B e e B e (A B ) d
f()eA eBe(A B )
A () fe A ( A [ B ,A ]e B ) e ( A B )
变为值域中的一个右矢 ：
A
若算符 A 所建立的这个关系是一一对应的，即对应值域中的
每一个 ，在定义域中有且只有一个 ，则由 到 的逆对
应关系存在，这种关系称为 A 的逆算符，用 A1 表示：
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A1
逆算符 A1 满足
A 1AA 1 A 1
逆算符 A1 的定义域和值域分别是 A 的值域和定义域。逆算符相
为交）；至于 BA的定义域，若 A 的值域在 B 的定义域之内，则 BA 的定义域就是 A 的定义域，若 A 的值域只有一部分在 B 的定义 域内，则 BA的定义域要比 A 的定义域小。
两个算符相等的定义是： A与B 有相同的定义域并且对域内
任意矢量 有
这时我们记作
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A B AB
若两个算符 A和B 满足 ABBA
则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。
定义：
[A,B]AB BA
(2.2)
经常使用的几个对易关系：
[F ˆ,G ˆ][G ˆ,F ˆ]
[F ˆ,G ˆ M ˆ] [F ˆ,G ˆ] [F ˆ,M ˆ] [F ˆ,G ˆM ˆ] G ˆ[F ˆ,M ˆ] [F ˆ,G ˆ]M ˆ
[F ˆG ˆ,M ˆ] F ˆ[ G ˆ,M ˆ] [F ˆ,M ˆ] G ˆ [A ˆ,[B ˆ,C ˆ] ][B ˆ,[C ˆ,A ˆ] ][C ˆ,[A ˆ,B ˆ] ]0(Ja恒 co等 b
dddd22F2F2 eeAA AA,, AA,,BB eeAA eA[A(2),B]eA
[ A ,[ A ,B ] ] A [ A ,B ] [ A ,B ] A
将 F () 作 Taylar 展开：
e A B A e F i 01 i! d d iF i 0i i 01 i!A i,Bi
A n B i n 0 n i A i,B A n i i n 0n n ! i! i!A i,B A n i
例2：证明：
eAB eA
1Ai,B
i0i!
（2.9）
这是量子力学中常用的一个公式，是一个真正的无穷级数。
证明：利用(2.8)式，有
eA B A e n 0n 1 !A A B e A
n 1
n !
A j,BA (n n 11 )i j
j 1nj1!j 1!
将此式的求和傀标j再改成i，即可与第一和式相加，于是得
A n 1 B n i 0 1n n 1 1 ! i!i!A i,B A n 1 i
这是与原式完全相同的形式，只是原来的n成为n+1，这说明原 式若对n成立，对n+1亦成立。由于我们已经证明原式对n=1成 立，20因20/4此/1 ，原式对任何整数n都成立。证毕。
复数都可以看成一个算符；其定义域和值域均为全空间：
a a
其中两个特殊的算符： ， 1 ， 1
对一切 成立；前者称为零算符，后者称为单位算符。 2020/4/1
两个算符 A与B 的和 A B 及乘积 BA的定义是：
AB AB
BA BA
A B 的定义域是 A与B 两算符的定义域的共同部分（数学上称
上式右端可把取和上限推至无穷，由于 m!当m 0 时定义为 ，
i 的上限实际上仍是 n。
证明： 用数学归纳法证明，当n=1时上式为
A B B A [A ,B ]
原式成立。下面我们从原式出发，推出用n+1代替n的同样形 式的式子。
将原式从左方用A作用，得
An1Bi n0n iA[A （ i） ， B]Ani
当于算符的除法，有时也写成 A1 1 A
不是所有的算符都有逆。一个算符A有逆的条件如下：
（1） 在 A 中对于每一个 , 总有 存在；
（2） 若 A1 A 2 ，则必有 1 2 。
这两条须同时满足，对于每一个 ，条件(1)要求有 ，条件(2)
要求只有一个 。
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定理 设A是一个定义域和值域都在全空间的线性算符，若有另 外两个线性算符B和C存在，满足
线性算符的定义域，可以是整个右矢空间本身，也可以是 它的一个子空间。
可以证明，线性算符具有下列性质：
（1）线性算符的值域也是右矢空间（大空间本身或其子空间）。 （2）若定义域是有限维的空间，则值域空间的维数等于或小于
定义域空间的维数。 （3）在定义域中，那些受A的作用得到零矢量的右矢全体，也
构成一个右矢空间（定义域的子空间）。 复数对右矢的数乘，可以看成算符对右矢的作用，每一个
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(2.9)式这一类算符等式，还有一种证明方法是引入一个实变
量 ，构造一个含 和一些算符的式子，把它看成 的函数 F ()
而对它进行求导或积分，最后在所得等式中令 =1。
为证明（2.9）式可取
F eABe A
eAB eA
1Ai,B
i0i!
这时
ddddFFeeAAAABBBBAeAA eeAA[AA ,,BB e]e AAA
C A1 C A2
但此式就是 1 2 ，条件(2)也得到满足，因此 A1 存在。
A1 既然存在，将 AB=1 用 A1 左乘，得 A1 B
将 CA 1用A1 右乘得 A1 C
定理证毕。
在 A 的定义域为无穷维空间的情况，此定理指出：当(2.4)
式中 B和C 都存在时，才能说 有A1 存在， B和C 中只有一个是不 够的。但当 A 的定义域为有限维时，可以证明 B 与 C 二者中存 在一2020个/4/1 ，即可断定算符 A 有逆。
B ,A 0 B
A 1,BA ,B B ,A 1 B ,A
A 2,BA ,A ,B B ,A 2 B ,A ,A
（2.5）
……………….. ………………….
显然，对于[ Ai, B] 型的多重对易式有 [A ， [A （ i） ， B ] ][A （ i 1 ） ， B ]
§2-1 定义
规定一个具体的对应关系，用 A 来表示。使右矢空间中的某
些右矢与其中一些右矢相对应，例如使 与 相对应，记为
A
这样的对应关系 A 称为算符。我们说算符 A 作用于右矢 ，
得到右矢 。
在算符的定义中，被算符A作用的右矢全体，称为A的定义 域；得出的右矢全体称为值域。二者可以不同，也可以部分或 完全2020重/4/1合。通常算符的定义域与值域都是整个空间。
A [A （ i） ， B ] [A （ i） ， B ]A [A （ i 1 ） ， B ]
n A i,B A n i i n 0n n ! i!i!A i,B A n 1 i i n 0n n ! i!i!A i 1 ,B A n i
在上式右边第二个取和式中，取j=i+1，得
2020/4/1 A [A （ i） ， B ] [A （ i） ， B ]A [A （ i 1 ） ， B ]
（ 2 .6 ） （ Fra Baidu bibliotek .7 ）
例1：证明：
A n B i n 0 n i A i,B A n i i n 0n n ! i! i!A i,B A n i （2.8）
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由上述定义可知，除交换律不一定成立外，算符之间服从 一般的加、减、乘和幂次的代数运算法则：
ABC ABAC ABC ABC
等等。
A3 AAA
可以用算符和复数构成一个多项式作为算符的函数：
F A a 0 a 1 A a 2 A 2 a n A n
甚至可以构成无穷级数（我们不去仔细考察由此引起的数学问 题），例如可以写
AB=1, CA=1
(2.4)
则算符A有逆，而且
A1BC
证明: 我们证明这样的A满足有逆条件(1)和(2)。
条件（1）：在值域中取一任意 ，证明在定义域有 存在：
1 A B A B
可见对于任意 ，确有 存在，这个 就是 B 。
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条件（2）：若 A1 A 2 ，用 C 作用在此式两边：
一个算符A，其定义域是一个矢量空间，而又满足下列条件的， 称为线性算符：
AAA
AaAa
(2.1)
满足下列二条件的，称为反线性算符：
AAA
AaAa*
(2.2)
其中a是任意常数。在量子力学中出现的算符，绝大多数都是线 性算符，下面我们只讨论线性算符。
算符对其定义域中每一个右矢作用，都应有确定的结果。
定义一个具体的算符应当规定其定义域，并指出它对其定义域 中每一个矢量作用的结果。而确定一个具体的线性算符，只须 规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢（例如一组基矢） 中2每020/个4/1 右矢的作用结果即可。
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A 0,BB A 1,BA ,B A 2,BA ,A ,B B
A n B i n 0 n i A i,B A n i i n 0n n ! i! i!A i,B A n i
B An1Bi n0n iA[A （ i） ， B]Ani
§2-2 算符的代数运算
在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算， 在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方 法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。
设 A 和 B 为两个线性算符，互不对易。首先我们定义多重对
易式[ Ai , B]和[B, Ai ] ：
A 0,BB
1 a A 2 1 !a 2 A 2 3 1 ！ a 3 A 3 n 0n 1 !a n A n e aA (2.3)
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注意上式是算符的指数函数的定义式。在此定义下，关系式
eAeBeAB (当[A,B]=0 时成立)
而当[A, B] 0 时是不成立的（参见本节§2-2）。 逆算符 设在一个右矢空间中，算符 A 把定义域中的一个右矢
A () f e A e B A (e A B )
A () fe A e B A B e e B e (A B )
A () e B A B e 1 [B ()(i),A ] 1i[B (i),A ]
i 0 i!
i 0 i!
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A () e B A B e 1 [B ()(i),A ] 1i[B (i),A ]
§2 算符
主要内容： §2-1 定义 §2-2 算符的代数运算 §2-3 作用于左矢的算符 §2-4 厄米算符和幺正算符 §2-5 投影算符
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算符是矢量空间中又一重要概念。在这一节里，我们在右 矢空间中引入算符，并从左右矢空间的对应关系去讨论算符及 其性质。这些性质很容易回到单一空间的表示方法中去。
取 20=20/14/1，即得到（2.9）式。
例5：证明Glauber公式：
eA BeA eB e C /2 （2.14）
式中 A, B C与A或B 都对易，即
C ,A C ,B 0
证明：令
f()eA eBe(A B )
eAB eA
1Ai,B
i0i!
d () fA () f e A B B e ( e A B ) e A e B ( A B ) e ( A B ) d
A ( ) e f A A B e ( A e B ) e A [ B , A ] e B e ( A B )
A () f A A e e B e (A B )[B ,A ]e A e B e (A B )
n 1 !A A B e Ae ABeA[n 0n 1!AnB]eA n 0n 1 !i 0n n ! i!i!A i,B A n i e A i
!i!A i,B A n i e A i 01 i!A i,B n 0n1 i!A n i e Ai 01 i!A i,B