韦达定理及其推广

与原方程比较对应系数即可得到韦达定理。
x1
x2
b a
x1
x2
c a
有了上述方法，我们就可以探究一元三次方程的韦达定理了。
（若用第一种方法需要求出根，而三次方程求根公式表示较复杂，故不采用该方法， 在此不赘述该方法的证明过程，可以百度）
设 x1, x2, x3 是方程 a3 x b2 x c x d 0 (a 0 )的根
x1x2
x3
b a
x1x2x1x3x2x3a c
d
x1x2
x3
a
先解方程，再检验韦达定理的正确性。
x3 6 x2 1x 16 0
韦达定理的推广：
有了上面二次方程和三次方程的韦达定理，我们可以
推广到 n 次方程的韦达定理：（当然也可以用上面的方法进行证明，在此不多赘述）
设一元 n 次方程 a 0 x n a 1 x n 1 a n 1 x a n 0 的根为 xi(i1,2, ,n)
题目的进一步优化铺平了道路。
先用有理根定理求出所有可能的方程的解，如果解的个数不到方
程的次数（根的个数定理），那么必定有重根，重根只需要用一
个数组存个数，然后枚举每一个个数，利用韦达定理前两个式子
进行检验即可。
xi
(1)1
a1 a0
xixj
(1)2
a2 a0
谢谢 请多多指正
所以 a ( x x 1 )x ( x 2 )x ( x 3 ) 0 ( a 0 ) 展开得 a 3 ( x 1 x x 2 x 3 ) x 2 a ( x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 ) x a 1 x 2 x 3 0 x ( a 0 )
与原方程比较对应系数即可得到一元三次方程的韦达定理。
韦达定理及其推广
首先我们考虑一元二次方程 a2x b xc0(a0)的求根公式：
xb b24ac 2a
x1x2
2bb 2a a
x1x2
4acc 2a2a a
韦达定理！
一定要用求根公式推导韦达定理吗？
我们不妨看看下面这种方法：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
由于 x1, x2 是方程 a2x b xc0(a0)的根
所以 a ( x x 1 )x (x 2 ) 0 ( a 0 ) 展开得 a 2 a x ( x 1 x 2 ) x a 1 x 2 x 0 ( a 0 )
则有：
xi
(1)1
a1 a0
xixj
(1)2
a2 a0
…… xixjxk
(1)3
a3 a0
xi
(1)n
an a0
一元 n 次方程的韦达定理！
当然我们知道，二次方程韦达定理可以逆用，那么同样的，一元 n 次方程
的韦达定理也可以逆用，那么就可以解决方程式这道题目了。
考虑到题目的特殊性，方程最高只有 7 次，再由有理根定理（或 韦达定理最后的求积式）可知方程的根必定是 an 的正约数，这对