2014年中国西部数学奥林匹克邀请赛试题及其解答

综上所述，命题得证。
六、给定整数n ≥ 2，设实数x 、x 、 … 、x 满足：（1）∑ x = 0；（2）|x | ≤ 1。 求 min |x − x |的最大值。
解答：（1）当n为偶数时，因为|x − x | ≤ |x | + |x | ≤ 2，故 min |x − x | ≤ 2。另一方面，令x = −1，x = 1（i = 1，2， … ， ），则 min |x − x | = 2。故
（1）若100m − 4085 ≥ 0，取正整数n ，使得 (10n + 4085) + (100m − 4085 )＜(10n + 4086)
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⇔ 100m − 4085 ＜2(10n + 4085) + 1
⇔n ＞
− 408.5
则当n＞n 时，(10n + 4085) ≤ (10n + 4085) + (100m − 4085 )＜(10n + 4086) ， 故 (10n + 4085) + (100m − 4085 ) = 10n + 4085，其末尾数恒为5。
解答：首先，我们证明一个引理：对于任意非负整数序列a 、a 、 … 、a ，若其中至 少存在一条龙，则其中全体可以作为龙头的项的算术平均值不小于1。
引理的证明：我们对n用数学归纳法。 当n = 1时，命题显然成立。 假设n ≤ k时，命题成立。我们考虑n = k + 1，即在数列a 、a 、 … 、a 中的情况。 若a 不是龙头，则a 、a 、 … 、a 中的龙头与a 、a 、 … 、a 中的龙头完全一致， 根据归纳假设，结论成立。 若a 是龙头，设a 、a 、 … 、a 构成一条龙，则这i个数的平均值不小于1，其中不可以 作为龙头的项都只能是0（若a ≥ 1，则a 本身可以构成一条龙，a 既是龙头，也是龙尾）， 将它们都删去后，平均值仍然不小于1。另一方面，数列a 、a 、 … 、a 中要么没有龙 头，要么根据归纳假设，其中所有龙头的算术平均值不小于1。将两方面综合起来，即知 数列a 、a 、 … 、a 中所有龙头的算术平均值不小于1。 根据数学归纳法，引理得证。 下面回到原题。因为数列a 、a 、 … 、a 中每一项都是“龙头”或“龙尾”，故该数列 不可能为零数列，从而其中至少有一项a ≥ 1。此时a 本身可以构成一条龙，a 既是龙头，也 是龙尾。设该数列中共有p个龙头，q个龙尾，则p + q ≥ n + 1，故p ≥ ，或q ≥ 。
（2）若100m − 4085 ＜0，取正整数n ，使得 (10n + 4085) + (100m − 4085 )＞(10n + 4084) ⇔ 100m − 4085 ＞ − 2(10n + 4085) + 1
⇔n ＞
− 408.5
则当n＞n 时，(10n + 4084) ＜(10n + 4085) + (100m − 4085 )＜(10n + 4085) ， 故 (10n + 4085) + (100m − 4085 ) = 10n + 4084，其末尾数恒为4。
证明：将所有素数从小到大依次排列为p 、p 、p 、 …。 对任意正整数j，记S = i|i ∈ N ，A ⊆ A 。根据条件知S 为有限集，且j ∈ S 。令 a = ∏ ∈ p 。下面我们证明这样定义的数列 a 即满足条件。 事实上，对任意正整数i、j，若A ⊆ A ，则S ⊆ S ，所以a |a ；若a |a ，则S ⊆ S ，从 而有i ∈ S ，故A ⊆ A 。
二、如图，AB 是半圆 O 的直径，C、D 是弧 AB 上两点，P、Q 分别为△OAC 和△OBD 的 外心，求证：CP · CQ = DP · DQ。
C
D
P
Q
A
O
B
证明：如图，连结 AP、AD、BQ、BC。因为∠CAP + ∠DBQ = 90° − ∠AOC + 90° − ∠BOD = ∠COD = ∠CAD + ∠CBD，所以∠PAD = ∠QBC。又根据余弦定理知
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综上所述，上述定义的数列 a 即满足条件。
四、给定正整数n，设a 、a 、 … 、a 是非负整数序列，若其中连续若干项（可以只 有一项）的算术平均值不小于1，则称这些项组成一条“龙”，其中第一项称为“龙头”， 最后一项称为“龙尾”。已知a 、a 、 … 、a 中每一项都是“龙头”或“龙尾”，求 ∑ a 的最小值。
（1）若i为偶数，设
i = 0+a ·2+a ·2 +⋯+a ·2
i+1= 1+a ·2+a ·2 +⋯+a ·2 则有
x = 0+a ·q+a ·q +⋯+a ·q x = 1+a ·q+a ·q +⋯+a ·q 故x − x = 1，命题成立。
（2）若i为奇数，设
i = 1+2+2 +⋯+2 +a ·2 +⋯+a ·2
A
F P
E
O
Q
B
D
C
八、给定实数q，满足1＜q＜2，定义数列{x }如下：设正整数n的二进制表示为： n = a +a ·2+a ·2 +⋯+a ·2 a ∈ 0，1 ，i = 0、1、2、 … 、k。令 x = a +a ·q+a ·q +⋯+a ·q 证明：对任意正整数n，存在正整数m，使得x ＜x ≤ x + 1。 证明：首先， x = q ，于是知数列{x }无上界。又显然x = 1，且对任意正整数n， x ≥ q = 1，故{x } ⊆ 1， + ∞ 。
= ∠=
∠
DP · DQ。
∠ = ，所以△APD∽△BQC，所以 = = ，所以CP · CQ =
∠
C
D
P
Q
A
O
B
三、设A 、A 、A 、 …是一列集合，满足：对任意正整数j，只有有限个正整数i，使 得A ⊆ A 。证明：存在一列正整数a 、a 、a 、 …，使得对任意正整数i、j，a |a ，当且仅 当A ⊆ A 。
我们要证明，对任意正整数n，存在正整数m，使得x ＜x ≤ x + 1，也即要证明对
任意正整数n，存在正整数m，使得x − 1 ≤ x ＜x ，从而只需证明⋃ x − 1，x 可以
覆盖区间 1， + ∞ 。注意到x − 1 = 0，且数列{x }无上界，故我们只需证明x − x ≤ 1
对任意正整数i都成立。
若p ≥ ，则根据引理知，序列a 、a 、 … 、a 中这p个龙头的的算术平均值不小于
1，故它们的和不小于p ≥ ，从而知∑ a ≥ 。
若q ≥ ，因为序列a 、a 、 … 、a 中的龙尾都变为序列a 、a 、 … 、a 中的龙
头，故序列a 、a 、 … 、a 中的龙头共有q个，根据引理，这q个龙头的的算术平均值不 小于1，故它们的和不小于q ≥ ，从而知∑ a ≥ 。
的最大值为 。
七、如图，平面上点 O 是正△ABC 的中心，点 P、Q 满足OQ⃑ = 2PO⃑，证明：|PA| + |PB| + |PC| ≤ |QA| + |QB| + |QC|。
A
PO Q
B
C
证明：如图，取 BC、CA、AB 的中点 D、E、F，则△DEF 与△ABC 关于点 O 以1: −2位似， 又 P、Q 关于点 O 以1: −2位似，所以|QA| + |QB| + |QC| = 2|PD| + 2|PE| + 2|PF|。
注意到△AEF 为正三角形，根据广义托勒密定理，|PE| · |AF| + |PF| · |AE| ≥ |PA| · |EF|， 故|PE| + |PF| ≥ |PA|。同理可知|PF| + |PD| ≥ |PB|，|PD| + |PE| ≥ |PC|。于是知
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|QA| + |QB| + |QC| = 2|PD| + 2|PE| + 2|PF| = (|PE| + |PF|) + (|PF| + |PD|) + (|PD| + |PE|) ≥ |PA| + |PB| + |PC| 命题得证。
。根据抽屉原理，必存在某个非负数x ，使得|x | ≤ = 。于是
min |x − x | ≤ x − x ± ≤ |x | + x ± ≤ + 1 = 另一方面，令x = （i = 1，2， … ， ），x = −1（j = 1，2， … ， ），则
min |x − x | = 。故 min |x − x |的最大值为 。 综上所述，当n为偶数时， min |x − x |的最大值为2；当n为奇数时， min |x − x |
min |x − x |的最大值为2。 （2）当n为奇数时，不妨设x 、x 、 … 、x 中非负数的个数不少于非正数的个数（否
则，将x 、x 、 … 、x 同时改变符号，仍满足题设条件，且 min |x − x |不变。），则 非负数个数不小于 ，非正数个数不大于 。因为∑ x = 0，故 ∑ x = ∑ x ≤
五、给定正整数m，证明：存在正整数n ，使得对所有正整数n＞n ，√n + 817n + m 的十进制表示的小数点后第一位数字都相同。
证明：因为10 · √n + 817n + m = (10n + 4085) + (100m − 4085 )，我们即要证 明，存在正整数n ，使得对所有正整数n＞n ， (10n + 4085) + (100m − 4085 ) 的末 尾数相同。
另一方面，在序列a 、a 、 … 、a 中，令a = ，其它项都为0，则
a 、a 、 … 、a 都为龙头，a 、a
、 … 、a 都为龙尾，且∑ a = 。
综上所述，∑ a 的最小值为 。
注：本题似改编于 1988 年第三届 CMO 中的试题三：“在有限的实数列a 、a 、 … 、a 中，如果一段数a 、a 、 … 、a 的算术平均值大于1988，那么我们把这一段数称为 一条“龙”，并把a 称为这条龙的“龙头”（如果某一项a ＞1988，那么单独这一项也叫 做龙）。假设以上的数列中至少存在一条龙，证明：这数列中全体可以作为龙头的项的算 术平均值也必定大于1988。”事实上，本解答中的引理，即为此题。且本题中的数列只要 是非负实数列即可。
i+1= 2 +a ·2 +⋯+a ·2
则有
x =1+q+q +⋯+q +a ·q …+a ·q
x = q +a ·q …+a ·q
故x − x = q − 1 + q + q + ⋯ + q = q −
=ห้องสมุดไป่ตู้
( ) + 1＜1，命题成立。
综上所述，命题得证。
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2014 年中国西部数学奥林匹克邀请赛试题及其解答
解答人：文武光华数学工作室 田开斌
一、设x、y是正实数，求x + y + | | + | |的最小值。 解答：根据对称性，不妨设x ≥ y。 若y ≥ 1，则x + y + | | + | | ≥ x + y ≥ 2。 若x ≥ 1＞y，则x + y + | | + | | ≥ x + y + | | = x + y + − = x + + y 1 − ≥ x + ≥ 2。 若x＜1，则x + y + | | + | | = x + y + + = ( )( )( ) + 2 ≥ 2。 综上所述，x + y + | | + | | ≥ 2，且x = y = 1时，x + y + | | + | | = 2。故 x + y + | | + | |的最小值为2。