最新初中数学三角函数综合练习题(1)

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九年级中考数学专题练习锐角三角函数的增减性(含解析)

九年级中考数学专题练习锐角三角函数的增减性（含解析）中考数学专题练习-锐角三角函数的增减性（含解析）一、单选题1.已知sinα＜0.5，那么锐角α的取值范围是（）A. 60°＜α＜90°B. 30°＜α＜90°C. 0°＜α＜60°D. 0°＜α＜30°2.如图，是半径为1的半圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则△COD的面积S 的最大值是（）A. s=B. s=（）A. ＜cosα＜B. ＜cosα＜ C.＜cosα＜D. ＜cosα＜6.梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A. sinA的值越大，梯子越陡B. co sA的值越大，梯子越陡C. tanA的值越小，梯子越陡D. 陡缓程度与∠A的函数值无关7.若0＜α＜30°，则sinα，cosα，tanα的大小关系是（）A. sinα＜cosα＜tanα B. sinα＜tanα＜cosα C. tanα＜sinα＜cosα D. tanα＜cosα＜sinα8.已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β，若甲坡比乙坡更陡些，则下列结论正确的是（）A. tanα＜t anβB. sinα＜sinβC. cosα＜cosβD. cosα＞cosβ9.α是锐角，且cosα=，则（）A. 0°＜α＜30°B. 30°＜α＜45°C. 45°＜α＜60°D. 60°＜α＜90°10.如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A. sinA的值越小，梯子越陡B. co sA的值越小，梯子越陡C. tanA的值越小，梯子越陡D. 陡缓程度与∠A的函数值无关11.在Rt△ABC中，∠C=90°，下列结论：（1）sinA＜1；（2）若A＞60°，则cosA＞；（3）若A＞45°，则sinA＞cosA．其中正确的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个12.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A. cos43°＞cos16°＞sin30°B.cos16°＞sin30°＞cos43°C. cos16°＞cos43°＞sin30°D.cos43°＞sin30°＞cos16°13.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值（）A. 都扩大2倍B. 都扩大4倍C. 没有变化D. 都缩小一半14.如图，△ABC是锐角三角形，sinC= ，则sinA的取值范围是（）A.0B.C.D.15.α是锐角，且sinα＞，则α（）A. 小于30°B. 大于30°C. 小于60°D. 大于60°二、填空题16.比较大小：sin44°________cos44°（填＞、＜或=）．17.若∠A是锐角，cosA＞，则∠A的取值范围是________ .18.若α是锐角，且sinα=1﹣3m，则m的取值范围是________ ；将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的顺序排列是________ .19.若∠A是锐角，cosA>，则∠A应满足________ .三、解答题20.用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．21.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB 是方程x2+px+q=0的两个根．（1）求实数p、q应满足的条件（2）若p、q满足（1）的条件，方程x2+px+q=0的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦？22.设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断a n+b n与c n的关系，并证明你的结论．四、综合题23.如图①②,锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定,变化而变化.试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值和余弦值变化的规律.（1）根据你探索到的规律,试比较18°,34°,50°,62°,88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.（2）比较大小(在横线上填写“<”“>”或“=”):若α=45°,则sin α________cos α;若α<45°,则sin α________cos α;若α>45°,则sin α________cos α.（3）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系,试比较下列正弦值和余弦值的大小:sin 10°,cos 30°,sin 50°,cos 70°.24.如图（1）如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．答案解析部分一、单选题1.已知sinα＜0.5，那么锐角α的取值范围是（）A. 60°＜α＜90°B. 30°＜α＜90°C. 0°＜α＜60°D. 0°＜α＜30°【答案】D【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：由sinα=0.5，得α=30°，由锐角函数的正弦值随锐角的增大而增大，得0°＜α＜30°，故选：D．【分析】根据锐角函数的正弦值随锐角的增大而增大，可得答案．2.如图，是半径为1的半圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则△COD的面积S 的最大值是（）A. s=B. s=C. s=D. s=【答案】D【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：S=CO•ODsin∠COD，△COD∵CO=OD=1，=sin∠COD，∴S△COD∵△AOC为等边三角形，∴∠COB=120°，∴0°＜∠COD＜120°，∴当∠COD=90°时，sin∠COD最大，最大值是1，∴△COD的面积S的最大值是．故选D．=【分析】根据三角形的面积公式S△COD CO•ODsin∠COD，因为ab都是圆的半径1，所以sin∠COD的值越大，面积越大进行解答．3.若sinA=，则A的取值范围是（）A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90°【答案】B【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：∵sin30°=，sin45°=．又<<，正弦值随着角的增大而增大，∴30°＜∠A＜45．故选B．【分析】首先明确sin30°=，sin45°=；再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．4.如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（）A. 扩大为原来的两倍B. 缩小为原来的C. 不变D. 不能确定【答案】C【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.故答案为：C.【分析】根据相似三角形的性质可知三角形的边长扩大，角度不会发生改变，即锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.5.已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是（）A. ＜cosα＜B. ＜cosα＜ C.＜cosα＜D. ＜cosα＜【答案】C【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：∵cos30°=，cos60°=，余弦函数是减函数，∴＜cosα＜．故选C．【分析】根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答．6.梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A. sinA的值越大，梯子越陡B. co sA的值越大，梯子越陡C. tanA的值越小，梯子越陡D. 陡缓程度与∠A的函数值无关【答案】A【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：根据锐角三角函数值的变化规律，知sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡．故选A．【分析】锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小．7.若0＜α＜30°，则sinα，cosα，tanα的大小关系是（）A. sinα＜cosα＜tanα B. sinα＜tanα＜cosα C. tanα＜sinα＜cosα D. tanα＜cosα＜sinα【答案】B【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：∵0＜α＜30°，∴0＜sinα＜， 0＜tanα＜，＜cosα＜1，∴sinα＜cosα，tanα＜cosα，又∵＜cosα＜1，∴tanα=，∴sinα＜tanα＜cosα．故选：B．【分析】首先根据0＜α＜30°，可得0＜sinα＜， 0＜tanα＜，＜cosα＜1，据此判断出sinα＜cosα，tanα＜cosα；然后判断出sinα＜tanα，即可判断出sinα，cosα，tanα的大小关系．8.已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β，若甲坡比乙坡更陡些，则下列结论正确的是（）A. tanα＜tanβB. sinα＜sinβC. cosα＜cosβD. cosα＞cosβ【答案】C【考点】锐角三角函数的增减性【解析】解：根据题意，得α＞β．根据锐角三角函数的变化规律，只有C正确．故选C．【分析】若甲坡比乙坡更陡些，则α＞β；再根据锐角三角函数的变化规律解答：正弦和正切都是随着角的增大而增大，余弦和余切都是随着角的增大而减小．9.α是锐角，且cosα=，则（）A. 0°＜α＜30°B. 30°＜α＜45°C. 45°＜α＜60°D. 60°＜α＜90°【答案】B【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：∵在锐角三角函数中，余切值都是随着角的增大而减小，又知cos30°=，cos45°=，故30°＜α＜45°，故选B．【分析】在锐角三角函数中，余切值都是随着角的增大而减小．cos30°=，cos45°=，故知α的范围．10.如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A. sinA的值越小，梯子越陡B. co sA的值越小，梯子越陡C. tanA的值越小，梯子越陡D. 陡缓程度与∠A的函数值无关【答案】B【考点】锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓；cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡；tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，所以B正确．故答案为：B．【分析】根据锐角三角函数的增减性可判断正误。

(常考题)人教版初中数学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》检测题(有答案解析)(1)

一、选择题1．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明先将PB 拉到'PB 的位置，测得(''PB C a B C ∠=为水平线），测角仪/B D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为（）A ．11sin a+米B ．11cos a-米C ．11sin a-米D ．11cos a+米2．如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=的图象上，第二象限的点B 在反比例函数ky x=的图象上，且OA ⊥OB ，tanA=2，则k 的值为（）A ．4B ．8C ．-4D ．-8 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（）A ．a•tanαB ．a•cotαC ．a•sinαD ．a•cosα4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边,,AB a BC b DAO x ==∠=．则点C 到x 轴的距离等于（）A ．cos sin a x b xB ．cos cos a x b xC ．sin cos a x b xD ．sin sin a x b x5．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将OAB 沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为43，则点B ′的坐标为（）A ．(63,2)-B ．(63,23)-C ．()6,2-D ．(63,2)-6．如图，Rt △ABC 中，AB =4，BC =2，正方形ADEF 的边长为2，F 、A 、B 在同一直线上，正方形ADEF 向右平移到点F 与B 重合，点F 的平移距离为x ，平移过程中两图重叠部分的面积为y ，则y 与x 的关系的函数图象表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．7．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两个邻角的比为（） A ．6:1B ．5:1C ．4:1D ．3:18．点E 在射线OA 上，点F 在射线OB 上，AO ⊥BO ，EM 平分∠AEF ，FM 平分∠BFE ，则tan ∠EMF 的值为( ) A ．12B ．33C ．1D ．39．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB =3，BC =7,对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交B C ，AD 于点E ，F ,下列说法：①在旋转过程中，AF =CE . ②OB =AC ，③在旋转过程中，四边形ABEF 的面积为21，④当直线AC 绕点O 顺时针旋转30°时，连接BF ,DE 则四边形BEDF 是菱形，其中正确的是（）A ．①②④B ．① ②C ．①②③④D ．② ③ ④10．如图，在矩形ABCD 中，33AB =AD ＝9，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，将矩形ABCD 沿BP 折叠，得到△A 1PB ，连接A 1C ，取A 1C 的三等分点Q （CQ ＜A 1Q ），当点P 从点A 出发，沿边AD 运动到点D 时停止运动，点Q 的运动路径长为（）A ．πB ．23πC ．43π D ．23π 11．如图，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S 、2S 、3S ；如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外半圆，面积分别为4S 、5S 、6S ．其中116S =，245S =，511S =，614S =，则34S S +=（）A ．86B ．64C ．54D ．4812．在平面直角坐标系中，正方形1111D C B A 、1122D E E B 、2222A B C D 、2343D E E B 、3333A B C D …按如图所示的方式放置，其中点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2C 、3E 、4E 、3C …在x 轴上，已知正方形1111D C B A 的边长为1，1160B C O ∠=︒，112233B C B C B C …则正方形2019201920192019A B C D 的边长是（）A ．201812⎛⎫⎪⎝⎭B ．201912⎛⎫⎪⎝⎭C ．20193⎝⎭D ．20183⎝⎭二、填空题13．如图，ABC 内接于O ，AB AC =，直径AD 交BC 于点E ，若1DE =，2cos 3BAC ∠=，则弦BC 的长为______．14．如图，已知在Rt ABC 中，C 90,AC BC 2∠=︒==，点D 在边BC 上，将ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在点C '处，联结AC '，直线AC '与边CB 的廷长线相交于点F ，如果DAB BAF ∠∠=，那么BF =_________．15．已知抛物线2y ax bx c =++过点()0,3A ，且抛物线上任意不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，都满足：当120x x <<时，()()12120x x y y -->；当120x x <<时，()()12120x x y y --<．以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，ABC ∆有一个内角为60︒，则抛物线的解析式为______． 16．如图，已知直线l ：33y x =，过点()0,1A 作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点1A ；过点1A 作y 轴的垂线交直线l 于点1B ，过点1B 作直线l 的垂线交y 轴于点2A ；…；按此作法继续下去，则点2020A 的坐标为__________．17．如图，已知直线l ：y ＝33x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为_____．18．如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=12cm ，BC=5cm ，AB=13cm ，则点C 到AB 边的距离是______cm ．19．如图，在ABC ∆中，3AB AC cm ==，120A ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交,AB BC 于,D E ，则EC 的长为_________．20．如图，已知2AB a =，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ．点P ，C ，E 在一条直线上，60DAP ∠=︒，M 、N 分别是对角线AC 、BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点M 、N 之间的距离最短为_______．三、解答题21．已知ABC 为等边三角形，6,AB P =是AB 上的一个动点，（与A B 、不重合），过点P 作AB 的垂线与BC 相交于点D ，以点D 为正方形的一个顶点，在ABC 内作正方形DEFG ，其中D E 、在BC 上，F 在AC 上，（1）设BP 的长为x ，正方形DEFG 的边长为y ，写出y 关于x 的函数解析式及定义域；（2）当2BP =时，求CF 的长；（3）GDP △是否可能成为直角三角形？若能，求出BP 的长；若不能，请说明理由．22．如图，已知⊙O 的直径 AB 与弦 CD 互相垂直，垂足为点 E．⊙O 的切线 BF 与弦 AC 的延长线相交于点 F，且AC=8，tan∠BDC=34．（1）求⊙O 的半径长；（2）求线段 CF 长．23．如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的高，连接DE．（1）求证：ABD∽ACE；（2）若∠BAC＝60°，BC＝2DE的长．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=5，求tan∠ABD的值．参考答案 25．理解写作如下图1，在探究锐角A ∠的对边与直角三角形斜边之比的数学实验中包含两个环节，一是通过在A ∠的边AB 上取不同的点B '， B ''，分别作高B C ''，B C ''''利用三角形相似，可以说明B C B C A ABB ''''''='''，即A ∠的对边与斜边的比值固定，与点B '的位置无关．二是说明A ∠的度数发生变化时，A ∠的对边与斜边的比值也会发生变化．请根据下图2简要说明做法并证明第二个环节的结论，并在图3中再构造一种思路证明此结论．26．如图，小王在长江边某瞭望台D 处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°，若DE ＝3米，CE ＝2米，CE 平行于江面AB ，DE ⊥CE ，迎水坡BC 的坡度i ＝1：0.75，坡长BC ＝10米，求此时AB 的长．（小数点后面保留一位，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【分析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据sinαPCPB=＇，列出方程即可解决问题．【详解】解：设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，sinαPCPB=＇∴1sinαxx-=∴x1xsinα-=，∴（1-sinα）x=1，∴x=11sinα-．故选C．【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．2．D解析：D【分析】过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，易证△AOC∽△OBD，则根据相似三角形的性质可得214AOCBODS OAS OB⎛⎫==⎪⎝⎭△△，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出k的值．【详解】解：过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，则∠ACO=∠BDO=90°，∠OAC+∠AOC=90°，∵OA⊥OB，tan∠BAO=2，∴∠AOC+∠BOD=90°，OA：OB=1：2，∴∠OAC=∠BOD，∴△AOC∽△OBD，∴221124 AOCBODS OAS OB⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，∵1212AOCS⨯==，12BODS k=△，∴11142k=，∴8k=，∵k＜0，∴k=﹣8．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义等知识，熟练掌握所学知识、明确解答的方法是解题的关键．3．B解析：B【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，∵cotαACBC=，∴AC＝BC•cotα＝a•cotα，故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.4．A解析：A【分析】作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题．【详解】作CE⊥y轴于E．在Rt △OAD 中，∵∠AOD=90°，AD=BC=b ，∠OAD=x ， ∴OD=sin OAD sin AD b x ∠=， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ADC=90°， ∴∠CDE+∠ADO=90°，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠OAD=x ， ∴在Rt △CDE 中，∵CD=AB=a ，∠CDE=x ， ∴DE= cos CDE cos CD a x ∠=，∴点C 到x 轴的距离=EO=DE+OD=cos sin a x b x ，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．5．D解析：D 【详解】如解图，过点A 作AC x ⊥轴，过点A '作A D x '⊥轴，∵AOB 是等边三角形，∴4AO BO ==，60AOB ∠=︒，∴30AOC ∠=︒，∴·cos 23CO OA AOC ==，2AC =，∴(23,2)A -，∵30AOD AOC ∠'=∠=︒，43OD =，∴·t 3434an A D OD A OD ⨯=∠'=='，∴(43,4)A '-，∴点A '是将点A 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∴点B '也是将点B 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∵()0,4B ，∴B '的坐标为(63,2)-．6．B【分析】分三种情况分析：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt △AA'M ；当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN ；当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCN ．分别写出每一部分的函数解析式，结合排除法，问题可解．【详解】设AD 交AC 于N ，A D ''交AC 于M ，当0＜x ≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt △AA 'M ，∵Rt △ABC 中，AB =4，BC =2，正方形ADEF 的边长为2，AA x '=，∴tan ∠CAB =A M BC AA AB =''， ∴A 'M =12x ，其面积y=12AA A M ''=12x •12x =14x 2，故此时y 为x 的二次函数，排除选项D ；当2＜x ≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F 'A 'MN ，AA x '=，2AF x '=-，同理：A 'M =12x ，()122F M x ='-，其面积y=12AA A M ''-12AF F M ''=12x •12x ﹣12（x ﹣2）•12（x ﹣2）=x ﹣1，故此时y 为x 的一次函数，故排除选项C ．当4＜x ≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F 'BCN ，AF '=x ﹣2，F 'N =12（x ﹣2），F 'B =4﹣（x ﹣2）=6﹣x ，BC =2，其面积y =12 [12（x ﹣2）+2]×（6﹣x ）=﹣14x 2+x +3，故此时y 为x 的二次函数，其开口方向向下，故排除A ；综上，只有B 符合题意．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象以及三角函数的知识，数形结合并运用排除法，是解答本题的关键．7．B解析：B【分析】由锐角函数可求∠B 的度数，可求∠DAB 的度数，即可求解．【详解】如图，∵四边形ABCD 是菱形，菱形的周长为16，∴AB=BC=CD=DA=4，∵AE=2，AE ⊥BC ，∴sin ∠B=12BE AB ＝ ∴∠B=30° ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴∠DAB+∠B=180°，∴∠DAB=150°，∴菱形两邻角的度数比为150°：30°=5：1，故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，能求出∠B 的度数是解决问题的关键． 8．C解析：C【分析】根据三角形外角的性质求得∠AEF+∠BFE=270°，由角平分线定义可求得∠MEF+∠MFE=135°，根据三角形内角和定理可求出∠EMF=45°，从而可得出结论．【详解】如图，∵AO ⊥BO∴∠AOB=90°∴∠OEF+∠OFE=90°∵∠AEF 和∠BFE 是△EOF 的外角∴∠AEF=90°+∠OFE ，∠BFE=90°+∠OEF∴∠AEF+∠BFE=90°+90°+∠OFE+∠OEF=270°∵EM 平分∠AEF ，FM 平分∠BFE ，∴∠MEF+∠MFE=12(∠AEF+∠BFE) =135°， ∵∠MEF+∠MFE+∠M=180° ∴∠M=180°-(∠MEF+∠MFE)=180°-135°=45°∴tan ∠EMF=tan45°=1故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质及三角函数，求出∠MEF+∠MFE=135°是解答此题的关键．9．A解析：A【分析】①通过证明AOF COE ≅△△即可判断；②分别利用勾股定理求出OB,AC 的长度即可得出答案；③先利用ABC 的面积求出AG 的长度，然后利用梯形的面积公式求解即可； ④易证四边形BEDF 是平行四边形，然后通过角度得出90DOF ∠=︒，然后证明DOF DOE ≅，则有DF DE =，则可证明结论．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，,//,AO CO AD BC AD BC ∴== ，AFO CEO ∴∠=∠ ．在AOF 和COE 中，AFO CEO AOF COE AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOF COE AAS ∴≅,AF CE OF OE ∴==，故①正确；∵AB ⊥AC ，90BAC ∴∠=︒ ．∵AB =3，BC=7，222AC BC AB ∴=-= ，112AO AC ∴== ， 222OB AO AB ∴=+=，OB AC ∴=，故②正确；过点A 作AG BC ⊥交BC 于点G ，1122ABC S AB AC BC AG =⋅=⋅ ， 322177AB AC AG BC ⋅∴===， 11221()73227ABEF S AF BE AG ∴=+⋅==四边形，故③错误；连接DE,BF ，,AF CE AD BC ==，DF BE ∴= ．∵//DF BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形．3sin AB AOB OB ∠== ， 60AOB ∴∠=︒ ．30AOF ∠=︒，180603090DOF ∴∠=︒-︒-︒=︒，90DOE ∴∠=︒．在DOF △和DOE △中，FO OE DOF DOE DO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DOF DOE SAS ∴≅，DF DE ∴=，∴四边形BEDF 是菱形，故④正确；所以正确的有：①②④，故选：A ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理和锐角三角函数，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理和锐角三角函数是解题的关键．10．D解析：D【分析】连接AC ，BD ，相交于点O ，过点Q 作1//QE A B ，交BC 于点E ，即点E 为BC 的三等分点，根据平行线分线段成比例得出113QE A B =为定值，可得出点Q 的运动轨迹是以点E 为圆心，QE 为半径的圆弧，通过对点A 1运动轨迹的分析求出圆心角，最后根据弧长公式进行求解．【详解】连接AC ，BD ，相交于点O ，过点Q 作1//QE A B ，交BC 于点E ，即点E 为BC 的三等分点，∵在矩形ABCD 中，33AB =，AD ＝9，∴3tan 3AB ADB AD ∠==，即30ADB ︒∠=， ∴60ABD ︒∠=，∵将矩形ABCD 沿BP 折叠，得到△A 1PB ，∴133A B AB ==， ∴1133QE A B ==，当点P 运动到点A 时，点A 1与点A 重合，当点P 运动到点D 时，点A 1与A 2重合，此时2120ABA ︒∠=，∴点Q 的运动轨迹是以点E 为圆心，QE 为半径，圆心角为120︒的圆弧，∴点Q 的运动路径长120323ππ⨯==, 故选D ．【点睛】本题考查矩形与轴对称图形的性质，平行线分线段成比例，由三角函数值求锐角，弧长公式，构造平行线得出QE 的长为定值是解题的关键．11．C解析：C【分析】分别用AC ，AB 和BC 表示出123,,S S S ，然后根据222BC AB AC =-即可得出123,,S S S 的关系．同理，得出456,,S S S 的关系，从而可得答案．【详解】解：如图，1S 对应ACD ∆的面积，过D 作DH AC ⊥于H ，ACD ∆为等边三角形， 160,,,2DAC AH CH AC AD AC ∴∠=︒=== sin 60,DH AD ∴︒=33,22DH AD AC ∴== 2113,24S AC DH AC ∴=•=同理：222333,,S BC S AB == ∵222BC AB AC =-， ∴213,S S S -=如图2，同理可得：456S S S =+，∴3421564516111454.S S S S S S +=-++=-++=故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．锐角三角函数等知识点，其中勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．12．D解析：D【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【详解】解：∵∠B 1C 1O=60°，B 1C 1//B 2C 2//B 3C 3，∴∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°，∴D 1E 1=C 1D 1sin30°= 12，则B 2C 2= 2230B E cos = 123= 13()，同理可得：B 3C 3= 13= 23()3，故正方形A n B n C n D n 的边长是：13()n -．则正方形2019201920192019A B C D 的边长是：20183()．故选D ．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键.二、填空题13．【分析】连接OBOC 由题意易得AE ⊥BC 则有BE=EC ∠BOD=∠BAC 设OB=3rOE=2r 然后根据勾股定理可求解【详解】解：连接OBOC 如图所示：∵内接于AD 过圆心O ∴AE ⊥BC ∴BE=EC ∴∠解析：25【分析】连接OB 、OC ，由题意易得AE ⊥BC ，则有BE=EC ，∠BOD=∠BAC ，设OB=3r ，OE=2r ，然后根据勾股定理可求解．【详解】解：连接OB 、OC ，如图所示：∵ABC 内接于O ，AB AC =，AD 过圆心O ，∴AE ⊥BC ，∴BE=EC ，BD DC =，∴∠BAD=∠CAD ，∵∠BOD=2∠BAD ，∴∠BAC=∠BOD ， ∵2cos 3BAC ∠=， ∴2cos 3BOD ∠=， ∵DE=1，∴设OB=3r ，OE=2r ，则有： 321r r =+，解得：1r =，∴3,2OB OE ==，∴在Rt △BEO 中，BE =， ∴BC =故答案为【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形内接圆的性质及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、三角形内接圆的性质及圆周角定理是解题的关键．14．【分析】首先根据题意画出图形再根据折叠的性质和可求出各角的度数再利用解直角三角形的知识分别求出CDDFBD 的长度最后根据线段之间的和差关系即可求出结果【详解】解：如图所示：∵△ADC 是由△ACD 翻折解析：2【分析】首先根据题意画出图形，再根据折叠的性质和DAB BAF ∠∠=，可求出各角的度数，再利用解直角三角形的知识分别求出CD ，DF ，BD 的长度，最后根据线段之间的和差关系即可求出结果．【详解】解：如图所示：∵△ADC’是由△ACD 翻折得到，∴DAC 'DAC ∠∠=， ∵DAB BAF ∠∠=， ∴DAC 2DAB ∠∠=． ∵AC 45B ∠=︒， ∴DAB BAF=15∠∠=︒．∴30CAD ∠=︒．在Rt △ACD 中，AC=2 ∴23tan 30CD AC =⋅︒= ，43cos30AC AD ==︒ ． ∵'ADC F DAC ∠=∠+∠∴'30F DAC ∠=∠=︒ ． ∴433DF AD ==． 23432232BF CD DF BC∴=+-=-= 故答案为32．【点睛】本题考查了翻折的性质和解直角三角形的知识，根据题意画出图形是解题的关键． 15．【分析】由A 的坐标确定出c 的值根据已知不等式判断出y1-y2＜0可得出抛物线的增减性确定出抛物线对称轴为y 轴且开口向下求出b 的值如图1所示可得三角形ABC 为等边三角形确定出B 的坐标代入抛物线解析式即解析：2233=-+y x 【分析】由A 的坐标确定出c 的值，根据已知不等式判断出y 1-y 2＜0，可得出抛物线的增减性，确定出抛物线对称轴为y 轴，且开口向下，求出b 的值，如图1所示，可得三角形ABC 为等边三角形，确定出B 的坐标，代入抛物线解析式即可．【详解】解：∵抛物线过点A （0，3），∴c=3，当x 1＜x 2＜0时，x 1-x 2＜0，由（x 1-x 2）（y 1-y 2）＞0，得到y 1-y 2＜0，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，同理当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∴抛物线的对称轴为y 轴，且开口向下，即b=0，∵以O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线交于另两点B ，C ，如图所示，∴△ABC 为等腰三角形，∵△ABC 中有一个角为60°，∴△ABC 为等边三角形，且OC=OA=3，设线段BC 与y 轴的交点为点D ，则有BD=CD ，且∠OBD=30°，333cos30,sin 3022︒︒∴=⋅==⋅=BD OB OD OB ∵B 在C 的左侧， ∴B 的坐标为3332⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∵B 点在抛物线上，且c=3，b=0，327432∴+=-a 解得：23a =- 则抛物线解析式为2233=-+y x故答案为: 2233=-+y x ．【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．16．【分析】先求出点B 的坐标为（1）得到OA=1OB=求出∠AOB=60°再求出∠得到求出(04)；同理得到（0）；由此得到规律求出答案【详解】将y=1代入中得x=∴B （1）∴OA=1OB=∴tan ∠A解析：()20200,4【分析】先求出点B 1），得到OA=1，∠AOB=60°，再求出∠130OA B =得到13AA =，求出1A (0，4)；同理得到11A B =121112A A B ==，2A （0，24）；由此得到规律求出答案.【详解】将y=1代入3y x =中得 ∴B，1），∴OA=1，∴tan ∠AOB=AB OA=， ∴∠AOB=60°，∵∠A 1BO=90°， ∴∠130OA B =,∴13AA =,∴14OA =,∴1A (0，4)；同理：11A B =121112A AB =， ∴2OA =1624=，∴2A （0，24）；，∴点2020A 的坐标为()20200,4，故答案为：()20200,4. 【点睛】此题考查图形类规律的探究，一次函数的实际应用，锐角三角函数，根据图形的规律求出点的坐标得到点坐标的表示规律是解题的关键.17．（0256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到的坐标利用规律直接得到答案【详解】解：∵l ：y ＝x ∴l 与x 轴的夹角为30°∵AB ∥x 轴∴∠ABO ＝30°∵OA ＝1∴AB ＝∵A1B ⊥l ∴∠ABA1＝6解析：（0，256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到12,A A 的坐标，利用规律直接得到答案．【详解】解：∵l ：y ∴l 与x 轴的夹角为30°∵AB ∥x 轴∴∠ABO ＝30°∵OA ＝1∴AB∵A 1B ⊥l∴∠ABA 1＝60°∴AA 1＝3∴A 1（0，4）同理可得A 2（0，16）…∴A 4纵坐标为44＝256∴A 4（0，256）故答案为：（0，256）．【点睛】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x 轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到123,,A A A …的点的坐标是解决本题的关键．18．【分析】根据△ABC 的面积相等选择AC 和BC 为底高算出的△ABC 的面积和选择AB 为底C 到AB 边的距离为高算出的面积一样列出等式求解【详解】解：在Rt △ABC 中设点C 到AB 边的距离为由△ABC 的面积相解析：6013【分析】根据△ABC 的面积相等，选择AC 和BC 为底、高算出的△ABC 的面积和选择AB 为底，C 到AB 边的距离为高算出的面积一样列出等式求解.【详解】解：在Rt △ABC 中，设点C 到AB 边的距离为d ，由△ABC 的面积相等可列出如下等式：11=22⨯⨯AC BC AB d ，代入数据：即：11125=1322⨯⨯⨯⨯d 解得：6013=d 故点C 到AB 边的距离是6013cm. 故答案为：6013. 【点睛】本题结合直角三角形考查了三角形的面积公式，点到直线的距离垂线段最短等知识点，掌握好直角三角形的等面积法是解题的关键.19．【分析】根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数连接AE 可得出AE=BE 推出解直角三角形即可得出答案【详解】解：∵∴连接AE ∵ED 垂直平分AB ∴AE=BE ∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查的知识点是等腰解析：【分析】根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数，连接AE ，可得出AE=BE ，30EAD =∠°，推出90EAC ∠=︒，解直角三角形即可得出答案．【详解】解：∵3AB AC cm ==，120A ∠=︒， ∴1(180120)302B C ，连接AE ，∵ED 垂直平分AB ，∴AE=BE ，30EAD =∠°，∵120A ∠=︒，∴90EAC ∠=︒，∴cos30AC CE ===︒故答案为：【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的性质、解直角三角形、垂直平分线的性质，综合性较强，但难度不大．20．【分析】连接PMPN 根据菱形的性质求出∠CAP=30°∠MPC=∠CPA=60°∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°从而求出∠MPN=90°设AP=x 则PB=2a －x 然后利用锐角三角函数求出PM 和P 解析：32a 【分析】连接PM 、PN ，根据菱形的性质求出∠CAP=12∠=DAP 30°，∠MPC=12∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=12∠EPB=30°，从而求出∠MPN=90°，设AP=x ，则PB=2a －x ，然后利用锐角三角函数求出PM 和PN ，然后利用勾股定理求出MN 2与x 的函数关系式，化为顶点式即可求出MN 2的最小值，从而求出结论．【详解】解：连接PM 、PN∵四边形APCD 和四边形PBFE 为菱形，60DAP ∠=︒∴∠CPA=180°－∠DAP=120°，∠EPB=∠DAP=60°，PM ⊥AC ，PN ⊥EB ，AC 平分∠DAP ，PM 平分∠APC ，PN 平分∠EPB∴∠CAP=12∠=DAP 30°，∠MPC=12∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=12∠EPB=30° ∴∠MPN=∠MPC ＋∠EPN=90°设AP=x ，则PB=2a －x ∴PM=AP·sin ∠CAP=12x ，PN=PB·cos ∠32a －x ）在Rt △MON 中MN 2= PM 2＋PN 2=214x ＋34（2a －x ）2=（x －32a ）2＋34a 2 当x=32a 时，MN 2取最小值，最小为34a 2∴MN．【点睛】此题考查的是菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和二次函数的应用，掌握菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和利用二次函数求最值是解决此题的关键．三、解答题21．（1）))3903y x x =+-<≤；（2）32；（3）【分析】（1）设BP 的长为 x ，正方形 DEFG 的边长为 y ，则由题意可得BD=2x ，DE=y ，3EC y =，然后根据BC=6可以得到y 关于 x 的函数解析式；（2）若BP=2，即x=2，由（1）可得正方形 DEFG 的边长EF 的长度，解直角三角形CEF 可得CF 的长度；（3）设△GDP 是直角三角形，则PG ⊥GD ，然后可得关于x 的方程，解方程可得x 的值，即BP 的长度．【详解】解：（1）设BP 的长为 x ，正方形 DEFG 的边长为 y ，由∠B=60°，PD 垂直AB ，则BD=2x ，DE=y ，EC=tan 303EF y ⨯︒=，∴有263x y y ++=，整理得： ))3903y x x =+-<≤；（2）若BP=2，即x=2，可得3y =，∴(3sin 6032CF EF =⨯︒==；（3）若△GDP 是直角三角形，则PG ⊥GD ，∴∠DPG=30°，即PD=2GD ，)(22329y x ==+-，解之得： x =，此即BP 的长度．【点睛】本题考查解直角三角形与一次函数的综合应用，根据直角三角形边和角的关系求解是解题关键．22．（1）5；（2）92 【分析】（1）过O 作OH 垂直于AC ，利用垂径定理得到H 为AC 中点，求出AH 的长为4，根据同弧所对的圆周角相等得到tanA ＝tan ∠BDC ，求出OH 的长，利用勾股定理即可求出圆的半径OA 的长；（2）由AB 垂直于CD 得到E 为CD 的中点，得到EC ＝ED ，在直角三角形AEC 中，由AC 的长以及tanA 的值求出CE 与AE 的长，由FB 为圆的切线得到AB 垂直于BF ，得到CE 与FB 平行，由平行得比例列出关系式求出AF 的长，根据AF−AC 即可求出CF 的长．【详解】（1）作OH AC ⊥于H ，则142AH AC ==，在Rt AOH ∆中，344AH tanA tan BDC ==∠=，， 3OH ∴=，∴半径225OA AH OH =+=；（2）AB CD ⊥，E ∴为CD 的中点，即CE DE =，在Rt AEC ∆中，384AC tanA ==，，设3CE k =，则4AE k =，根据勾股定理得：222AC CE AE =+，即2291664k k +=，解得85k =则2432,55CE DE AE ===， BF 为圆O 的切线，FB AB ∴⊥，又AE CD ⊥，//CD FB ∴，AC AE AF AB ∴=，即328510AF =，解得：252AF =，则92CF AF AC =-=．【点睛】此题考查了切线的性质，垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．23．（1）见解析；（2）【分析】（1）找出公共角即可求出相似（2）根据~ABD ACE ∆∆得出一个比例式AE AD AC AB=，再根据两边对应成比例且夹角相等得出~ADE ABC ∆∆，再结合60的余弦值即可求出答案．【详解】解：（1）证明：,BD CE 是ABC ∆的高90ADB AEC ∴∠=∠=A A ∠=∠~ABD ACE ∴∆∆（2）~ABD ACE ∆∆ AB AD AC AE ∴= AEAD AC AB∴= A A ∠=∠~ADE ABC ∴∆∆DE AD BC AB∴= 60BAC ∠=1cos 2AD BAC AB ∴∠== 又6BC ==DE ∴=【点睛】本题主要考察了相似三角形，三角函数等知识点，能找出根据第一个相似三角形的比例式来证第二个相似三角形是解题关键．24．（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．【分析】（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（2）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△ADC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．【详解】解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴DC DEAD DC=，∴DC2=AD•DE∵，∴设DE=x，则，则AC2﹣AD2=AD•DE，期（）2﹣AD2=AD•x，整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），则2x=，故tan∠ABD=tan∠ACD=422AD xDC x==．25．答案见解析．【分析】环节一，我们用相似论证了当A ∠不变时，A ∠的对边与斜边的比值固定不变；环节二，再次为我们论证了当A ∠改变时，A ∠的对边与斜边的比值也随之变化，不再固定不变；进而从斜边相等，或直角边相等，两个方面论证即可．【详解】解：环节二证明过程如下：（1）如下图所示：过点A 在BAC ∠内部做射线AB '，截取AB AB '=，过点 B '作BC AC ''⊥，此时构造出了B AC ''∠，显然 BAC B AC ''∠≠∠此时sin BC BAC AB ∠=；sin B C B AC AB ''''∠='，因为AB AB '=，而BC B C ''≠，所以 sin sin BAC B AC ''∠≠∠ 所以当A ∠的度数发生变化时，A ∠的对边与斜边的比值也会发生改变．（2）图3中构造另外一种思路证明：由上题我们自然想到控制变量法．环节二我们使斜边相等，现在我们使直角边BC 与B C ''与相等，如图所示：此时sin BC BAC AB ∠=；sin B C B AC AB ''''∠='；因为 BC B C ''=，而AB AB '≠，所以 sin sin BAC B AC ''∠≠∠．【点睛】本题考查了对边与斜边的比，即正弦值，会随着角度的变化而变化，熟悉相关性质是解题的关键．26．5.1米【分析】延长DE 交AB 延长线于点P 、作CQ AP ⊥于点Q ，根据矩形的判定和性质可得CE PQ 2==、CQ PE =，由坡度1:0.75i =，可设CQ 4x =、BQ 3x =，根据勾股定理可列出关于x 的方程、解方程即可求得x 的值，即由线段的和差可知11DP =，最后解Rt ADP 、线段的和差可求得答案．【详解】解：如图，延长DE 交AB 延长线于点P ，作CQ AP ⊥于点Q ，如图：∵//CE AP ，DE CE ⊥∴DP AP ⊥∴四边形CEPQ 为矩形∴CE PQ 2==，CQ PE = ∵140.753CQ i BQ === ∴设CQ 4x =、BQ 3x =∴在Rt BCQ 中, 222BQ CQ BC +=∴()()2224310x x += ∴12x =或22x =-（舍去）∴48CQ PE x ===，36BQ x ==∴DP DE PE 11=+=∵测得江面上的渔船A 的俯角为40︒∴40A ∠=︒∴在Rt ADP 中,1113.1tan 0.84DP AP A =≈≈∠ ∴13.162 5.1AB AP BQ PQ =--=--= ∴此时AB 的长为5.1米．故答案是：5.1米【点睛】本题考查了俯角、坡度、锐角三角函数、矩形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程、线段的和差等，解题的关键在于通过添加辅助线构造出直角三角形．。

初中数学锐角三角函数的知识点总复习附解析(1)

初中数学锐角三角函数的知识点总复习附解析(1)一、选择题1．如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12CD 为半径作弧，两弧交于点M ，N ；②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ，则下列说法错误的是（）A ．60ABC ∠=︒B ．2ABE ADE S S ∆=VC ．若AB=4，则7BE =D ．21sin 14CBE ∠= 【答案】C【解析】【分析】由作法得AE 垂直平分CD ，则∠AED=90°，CE=DE ，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE 得到S △ABE =2S △ADE ；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，则可计算出CH=12CE=1，337 ；利用正弦的定义得sin ∠CBE=21EH BE =．【详解】解：由作法得AE 垂直平分CD ，∴∠AED=90°，CE=DE ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=2DE ，∴∠DAE=30°，∠D=60°，∴∠ABC=60°，所以A 选项的说法正确；∵AB=2DE ，∴S △ABE =2S △ADE ，所以B 选项的说法正确；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，CH=12CE=1，EH=3CH=3，在Rt△BEH中，BE=22(3)527+=，所以C选项的说法错误；sin∠CBE=3211427EHBE==，所以D选项的说法正确．故选C．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=23，那么AB的长是（）A．3 B．43C．5D．13【答案】A 【解析】根据锐角三角函数的性质，可知cosA=ACAB=23，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3.故选A.点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=A∠的邻边斜边，然后带入数值即可求解.3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABCV如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE∠的值是（）A．247B．73C．724D．13【答案】C【解析】试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，解得x=254，故CE=8-254=74，∴tan∠CBE=724 CECB=.故选C.考点：锐角三角函数.4．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan D的值为（）A．3B．33C．23D．23【答案】D【解析】【分析】设AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解决问题．【详解】设AC＝m，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2m，BC33，∴BD＝AB＝2m，DC＝3，∴tan∠ADC＝ACCD23m m+＝23故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )A．60海里B．45海里C．203海里D．303海里【答案】D【解析】【分析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．【详解】解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，故AB=2AP=60（海里），则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=22303AB AP-=（海里）故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（）A．3B．23C．32D．233【答案】A【解析】连接OC，∵OA=OC，∠A=30°，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO=90°，∠P=30°，∵PC=3，∴OC=PC•tan30°=3，故选A7．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是()A．4 B．83C．6 D．43【答案】B【解析】【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=AB tan∠OAB=43，∴光盘的直径为83．故选：B．【点睛】本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.8．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，∠DOE＝120°，DE＝1，则BD＝（）A．33B．233C．63D．33【答案】B【解析】【分析】证明△OBE是等边三角形，然后解直角三角形即可．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，CD=BC．∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，∴OE=OD=OB．∵∠DOE=120°，∴∠BOE=60°，∴△OBE是等边三角形，∴∠DBC=60°．∵∠DEB=90°，∴BD=23 sin60DE=︒．故选B．【点睛】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则c aa b c b+++的值为（）A．12B．22C．1 D2【答案】C 【解析】【分析】先过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用3sin60︒=cos60°=12,可求13,,2DB c AD==把这两个表达式代入到另一个Rt△ADC的勾股定理表达式中，化简可得即a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．【详解】解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B=60°，∴13,,22 DB c AD c ==在Rt△ADC中，DC2=AC2﹣AD2，∴2221324a c b c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即a 2+c 2=b 2+ac ， ∴()()2222222 1.c a c cb a ab a c ab bc b ac ab bc a b c b a b c b ac ab bc b ac ab bc b++++++++++====++++++++++ 故选C ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．10．如图，Rt △AOB 中，∠AOB=90°，AO=3BO ，OB 在x 轴上，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转至△RtA'OB'，其中点B'落在反比例函数y=﹣2x的图象上，OA'交反比例函数y=k x 的图象于点C ，且OC=2CA'，则k 的值为（）A ．4B ．72C ．8D ．7【答案】C【解析】【详解】解：设将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转至Rt △A'OB'的旋转角为α，OB=a ，则OA=3a ，由题意可得，点B′的坐标为（acosα，﹣asinα），点C 的坐标为（2asinα，2acosα）， ∵点B'在反比例函数y=﹣2x 的图象上， ∴﹣asinα=﹣2acos α，得a 2sin αcosα=2，又∵点C 在反比例函数y=k x 的图象上， ∴2acos α=k 2asin α，得k=4a 2sinαcosα=8. 故选C.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为α，利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C 的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.11．如图，在Rt △ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形．则a 、b 、c 满足的关系式是（）A ．b=a+cB ．b=acC ．b 2=a 2+c 2D ．b=2a=2c【答案】A【解析】【分析】利用解直角三角形知识.在边长为a 和b 两正方形上方的两直角三角形中由正切可得a b c b a c-=-，化简得b ＝a ＋c ，故选A. 【详解】请在此输入详解！12．已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为60πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则sinθ的值为（）A ．313B ．513C ．512D ．1213【答案】C【解析】【分析】先求出圆锥底面周长可得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用扇形面积公式12S lr =可求出母线的长，最后利用三角函数即可求出答案.【详解】解：∵圆锥底面周长为2510ππ⨯=，且圆锥的侧面积为60π，∴圆锥的母线长为2601210ππ⨯=， ∴sin θ=512. 故选C.【点睛】本题考查了圆锥和三角函数的相关知识.利用所学知识求出圆锥母线的长是解题的关键.13．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得60BAC ∠=︒，70DAC ∠=︒，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（）．A ．2sin70︒B ．2cos70︒C ．2tan70︒D ．2tan 70︒【答案】B【解析】【分析】直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB ，AD 的长，即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC=60°，∠DAC=70°，∴cos60°=12AC AB =，则AB=2AC ， ∴cos70°=AC AD， ∴AC=AD •cos70°，AD=cos70AC ︒，∴2cos70ACACABAD=︒=2cos70°．故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键．14．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）A．AF＝12 CFB．∠DCF＝∠DFCC．图中与△AEF相似的三角形共有5个D．tan∠CAD3【答案】D【解析】【分析】由AE=12AD=12BC，又AD∥BC，所以12AE AFBC FC==，故A正确，不符合题意；过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=12BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．【详解】解：A、∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC＝AFFC，∵AE＝12AD＝12BC，∴AFFC＝12，故A正确，不符合题意；B 、过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM ＝DE ＝12BC ， ∴BM ＝CM ，∴CN ＝NF ， ∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ， ∴DN ⊥CF ，∴DF ＝DC ，∴∠DCF ＝∠DFC ，故B 正确，不符合题意；C 、图中与△AEF 相似的三角形有△ACD ，△BAF ，△CBF ，△CAB ，△ABE 共有5个，故C 正确，不符合题意．D 、设AD ＝a ，AB ＝b 由△BAE ∽△ADC ，有b a ＝2a ． ∵tan ∠CAD ＝CD AD ＝b a ＝22，故D 错误，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．15．如图，在ABC V 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）A ．4B ．23C ．33D ．3【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF ．【详解】解：∵//DE BC ，∴ADE ~ABC V V ，∵2DE BC =，∴点D 是AB 的中点，∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF =，∴∠B ＝30°，∴AB 6cos30BF ==︒， ∴DF=3，故选：D ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．16．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是（）A ．183π-B ．183πC ．32316πD ．1839π-【答案】C【解析】【分析】由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF 是菱形的高，∴DF ⊥AB ，∴DF=AD •sin60°=383= ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积=2120(43)84332316360ππ⨯⨯-=-．故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．17．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD =CD = 23．则»BC 的长为( )A ．3πB ．23πC ．33πD ．33π 【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理得到3CE DE ==»»BC BD = ，∠A=30°，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，AD =CD = 23∴3CE DE ==»»BC BD = ，∠A=30°， ∴∠DOE=60°，∴OD=2sin 60DE =o ， ∴»BC的长=»BD 的长=60221803ππ⨯=，故选：B.【点睛】此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.18．已知B 港口位于A 观测点北偏东45°方向，且其到A 观测点正北风向的距离BM 的长为102km ，一艘货轮从B 港口沿如图所示的BC 方向航行47km 到达C 处，测得C 处位于A 观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为（）km ．A ．3B ．3C ．3D ．3【答案】A【解析】【分析】【详解】解：∵∠MAB=45°，BM=102，∴22BM MA +22(102)(102)+，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D ，在Rt △ADB 中，∠BAD=∠MAC ﹣∠MAB=75°﹣45°=30°，tan ∠BAD=BD AD 3 ∴3，BD 2+AD 2=AB 2，即BD 2+3）2=202，∴BD=10，∴3，在Rt △BCD 中，BD 2+CD 2=BC 2，33，∴AC=AD ﹣333km ，答：此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为3km ．故选A ．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．19．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（）A ．a•tanαB ．a•cotαC ．a•sinαD ．a•cosα 【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】如图，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝a ，∵cot αAC BC=， ∴AC ＝BC•cotα＝a•cotα，故选：B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.20．如图所示，Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒ ，顶点,A B 分别在反比例函数()10y x x =>与()50y x x=-<的图象器上，则tan BAO ∠的值为（）A 5B 5C 25D 10【答案】B【解析】【分析】过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的性质得到S △BDO =52，S △AOC =12，根据相似三角形的性质得到=5OB OA =，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，则∠BDO=∠ACO=90°，∵顶点A ，B 分别在反比例函数()10y x x =>与()50y x x =-<的图象上， ∴S △BDO =52，S △AOC =12， ∵∠AOB=90°，∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，∴∠DBO=∠AOC ，∴△BDO ∽△OCA ， ∴251522BOD OAC S OB S OA ⎛⎫==÷= ⎪⎝⎭△△， ∴5OB OA= ∴tan ∠BAO=5OB OA =. 故选B.【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．。

2020-2021中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题含详细答案

2020-2021中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题含详细答案一、锐角三角函数1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为»AC 上的动点，且10cos B =. (1)求AB 的长度；(2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由.(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.【答案】(1) 10AB (2) 10AD AE ⋅=；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长；（2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ，连接BG ，求得AF=3，FG=13，继而即可求得AD•AE 的值；（3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=12BC=1，在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10cos 10BF B == （2）连接DG ，∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD•AE=AF•AG ，连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ， ∵22AB BF -=3，∴FG=13，∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×10=10；3（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，∴∠ADC=∠ADN，∵AD=AD，CD=ND，∴△ADC≌△ADN，∴AC=AN，∵AB=AC，∴AB=AN，∵AH⊥BN，∴BH=HN=HD+CD.【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.2．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF∵AD//BC∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF∴AB=BE AB=AF∴AF=AB=BE∵AD//BC∴ABEF为平行四边形又AB=BE∴ABEF为菱形（2）作PH⊥AD于H由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5∴tan∠ADP=考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数3．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．考点：切线的判定4．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P 作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②123【解析】【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，∴△DEF是等腰三角形；（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，∴△DP′F′∽△DCB∴''DC DP DB DF = ， ∴△DP'C ∽△DF'B ；②当∠F′DB=90°时，如图所示， ∵DF′=DF=12BD ， ∴'12DF BD =， ∴tan ∠DBF′='12DF BD =；当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB ，不符合题意；当∠DF′B=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴∠DBF′=30°，∴tan ∠DBF′=33.【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.5．如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．【答案】（1）详见解析；（2）①②和走完全程所需时间为【解析】试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求；②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.试题解析：解：（1）证明：四边形是矩形.与交于点O,且关于对称四边形是菱形.（2）①连接,直线分别交于点,交于点关于的对称图形为在矩形中，为的中点，且O为AC的中点为的中位线同理可得：为的中点，②过点P 作交于点由运动到所需的时间为3s由①可得，点O 以的速度从P 到A 所需的时间等于以从M 运动到A即：由O 运动到P 所需的时间就是OP+MA 和最小.如下图，当P 运动到,即时，所用时间最短.在中，设解得：和走完全程所需时间为考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置6．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP =【解析】【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；（2）根据PFC ∆∽PAO ∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去．【详解】（1）联结OD ，∵OC OD =， ∴OCD ODC ∠=∠， ∵//CD AB ， ∴OCD COA ∠=∠， ∴POA QDO ∠=∠．在AOP ∆和ODQ ∆中，{OP DQPOA QDO OA DO=∠=∠=， ∴AOP ∆≌ODQ ∆， ∴AP OQ =；（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=， ∴4455OH OP x ==，35PH x =，∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ， ∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOPy CP x S OP x∆-==， ∴2360300x x y x-+=，当F 与点D 重合时，∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=， ∴101016x x =-，解得5013x =， ∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<；（3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=o 时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠，∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=， ∵501013OP <<， ∴72OP =（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ， ∴AOQ DQO ∠=∠， ∵AOP ∆≌ODQ ∆， ∴DQO APO ∠=∠， ∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠=o ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去；综上，线段OP 的长为8．7．（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，点B （10，0），C （7，4）．直线l 经过A ，D 两点，且sin ∠．动点P 在线段AB 上从点A 出发以每秒2个单位的速度向点B 运动，同时动点Q 从点B 出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．（1）点A的坐标为，直线l的解析式为；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．【答案】解：（1）（﹣4，0）；y=x+4．（2）在点P、Q运动的过程中：①当0＜t≤1时，如图1，过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ•cos∠CBF=5t•35=3t．∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，S=12PM•PE=12×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t．②当1＜t≤2时，如图2，过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t．S=1 2PM•PE=12×2t×（16﹣7t）=﹣7t2+16t．③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=167．当2＜t＜167时，如图3，MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，S=12PM•MQ=12×4×（16﹣7t）=﹣14t+32．综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为()()225t14t0<t1S{7t16t1<t21614t322<t<7-+≤=-+≤⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．（3）①当0＜t≤1时，22749S5t14t5t55⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭，∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=75，∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大．∴当t=1时，S有最大值，最大值为9．②当1＜t≤2时，22864S7t16t7t77⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭，∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=87，∴当t=87时，S有最大值，最大值为647．③当2＜t＜167时，S=﹣14t+32∵k=﹣14＜0，∴S随t的增大而减小．又∵当t=2时，S=4；当t=167时，S=0，∴0＜S＜4．综上所述，当t=87时，S有最大值，最大值为647．（4）t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．【解析】（1）利用梯形性质确定点D的坐标，由sin∠DAB=2，利用特殊三角函数值，得到△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式：∵C（7，4），AB∥CD，∴D（0，4）．∵sin∠DAB=22，∴∠DAB=45°．∴OA=OD=4．∴A（﹣4，0）．设直线l的解析式为：y=kx+b，则有4k b0{b4-+==，解得：k1{b4==．∴y=x+4．∴点A坐标为（﹣4，0），直线l的解析式为：y=x+4．（2）弄清动点的运动过程分别求解：①当0＜t≤1时，如图1；②当1＜t≤2时，如图2；③当2＜t＜167时，如图3．（3）根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值．（4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论：①如图4，点M在线段CD上，MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，MN=DM=2t﹣4，由MN=MQ，得16﹣7t=2t﹣4，解得t=209．②如图5，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，此时△QMN为等腰三角形，t=125．∴当t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．考点：一次函数综合题，双动点问题，梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，等腰三角形的性质，分类思想的应用．8．如图，已知点从出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：（1）点的坐标（用含的代数式表示）；（2）当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的值．【答案】解：（1）过作轴于，，，，，点的坐标为．（2）①当与相切时（如图1），切点为，此时，，，．②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，，过作于，则，，．③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，则，，．过作轴于，则，，化简，得，解得，，．所求的值是，和．【解析】（1）过作轴于,利用三角函数求得OD 、DC 的长，从而求得点的坐标⊙P 与菱形OABC 的边所在直线相切，则可与OC 相切；或与OA 相切；或与AB 相切，应分三种情况探讨：①当圆P 与OC 相切时，如图1所示，由切线的性质得到PC 垂直于OC ，再由OA=+t ，根据菱形的边长相等得到OC=1+t ，由∠AOC 的度数求出∠POC 为30°，在直角三角形POC 中，利用锐角三角函数定义表示出cos30°=oc/op ，表示出OC ，等于1+t 列出关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值；②当圆P 与OA ，即与x 轴相切时，过P 作PE 垂直于OC ，又PC=PO ，利用三线合一得到E 为OC 的中点，OE 为OC 的一半，而OE=OPcos30°，列出关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值；③当圆P 与AB 所在的直线相切时，设切点为F ，PF 与OC 交于点G ，由切线的性质得到PF 垂直于AB ，则PF 垂直于OC ，由CD=FG ，在直角三角形OCD 中，利用锐角三角函数定义由OC 表示出CD ，即为FG ，在直角三角形OPG 中，利用OP 表示出PG ，用PG+GF 表示出PF ，根据PF=PC ，表示出PC ，过C 作CH 垂直于y 轴，在直角三角形PHC 中，利用勾股定理列出关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值，综上，得到所有满足题意的t 的值．9．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8. （1）求k 的值；（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM S =Y . 【解析】【分析】（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BOPD MO=，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32. 【详解】解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =， ∴4BO =，又∵4ABO S ∆=，∴142AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，把4x =-，0y =代入4y kx =+，得044k =-+，解得1k =. 故答案为1；（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，∴90PDO CEO ∠=∠=︒， ∴90POD OPD ∠+∠=︒，∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，∴90POC ∠=︒，OP OC =， ∴90POD EOC ∠+∠=︒， ∴OPD EOC ∠=∠， ∴POD OCE ∆≅∆， ∴OE PD =，4m t =+.故答案为4m t =+.（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒， ∴ABO ∆为等腰直角三角形，∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠， ∴BT TO =， ∵90BTO ∠=︒， ∴90TPO TOP ∠+∠=︒， ∵PO BM ⊥， ∴90BNO ∠=︒， ∴BQT TPO ∠=∠， ∴QTB PTO ∆≅∆， ∴QT TP =，PO BQ =， ∴PQT QPT ∠=∠， ∵PO PK KB =+，∴QB PK KB =+，QK KP =， ∴KQP KPQ ∠=∠，∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠， ∴KPB BPN ∠=∠，设KPB x ∠=︒， ∴BPN x ∠=︒，∵2PMB KPB ∠=∠， ∴2PMB x ∠=︒，45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒， ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠， ∴PO PM =，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ， ∴22OM OD t ==，9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠， tan tan OPD BMO ∠=∠， OD BO PD MO =，442t t t =+， 14t =，22t =-（舍）∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==， ∴CM y P 轴，∵90PNM POC ∠=∠=︒， ∴BM OC P ，∴四边形BOCM 是平行四边形， ∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y . 故答案为32. 【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 是⊙C 外一点，连接CP 交⊙C 于点Q ，点P 关于点Q 的对称点为P ′，当点P ′在线段CQ 上时，称点P 为⊙C “友好点”．已知A (1，0)，B (0，2)，C (3，3) (1)当⊙O 的半径为1时，①点A ，B ，C 中是⊙O “友好点”的是；②已知点M 在直线y +2 上，且点M 是⊙O “友好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围；(2)已知点D 0)，连接BC ，BD ，CD ，⊙T 的圆心为T (t ，﹣1)，半径为1，若在△BCD 上存在一点N ，使点N 是⊙T “友好点”，求圆心T 的横坐标t 的取值范围．【答案】(1)①B；②0≤m≤3；(2)﹣4+33≤t＜33．【解析】【分析】(1))①根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，所以点B是⊙O“友好点”；②设M(m，﹣3m+2 )，根据“友好点”的定义，OM＝223222m m⎛⎫+-+≤⎪⎪⎝⎭，由此求解即可；(2)B(0，2)，C(3，3)，D(23，0)，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，点N是⊙T“友好点”，NT≤2r＝2，所以点N只能在线段BD上运动，过点T作TN⊥BD于N，作TH∥y轴，与BD交于点H．易知∠BDO＝30°，∠OBD＝60°，NT＝3HT，直线BD：y＝﹣3x+2，可知H(t，﹣3t+2)，继而可得NT＝﹣12t+33，由此可得关于t的不等式，解出t的范围即可.【详解】(1)①∵r＝1，∴根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，∴点B是⊙O“友好点”，∵OC＝2233+=32>2r＝2，∴点C不是⊙O“友好点”，A(1，0)在⊙O上，不是⊙O“友好点”，故答案为B；②如图，设M (m ，﹣33m +2 )，根据“友好点”的定义， ∴OM ＝223222m m ⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭，整理，得2m 2﹣23m ≤0，解得0≤m ≤3；∴点M 的横坐标m 的取值范围：0≤m ≤3；(2)∵B (0，2)，C (3，3)，D (23，0)，⊙T 的圆心为T (t ，﹣1)，点N 是⊙T “友好点”， ∴NT ≤2r ＝2，∴点N 只能在线段BD 上运动，过点T 作TN ⊥BD 于N ，作TH ∥y 轴，与BD 交于点H ．∵tan ∠BDO ＝323OB OD == ∴∠BDO=30°，∴∠OBD ＝60°，∴∠THN=∠OBD=60°，∴NT ＝HT•sin ∠THN=32HT ， ∵B (0，2)，D 30)，∴直线BD ：y 3+2， ∵H 点BD 上，∵H (t ，﹣33t +2)， ∴HT 3+2﹣(﹣1)3+3，∴NT＝32HT＝32(﹣33t+3)＝﹣12t+332，∴﹣12t+33≤2，∴t≥﹣4+33，当H与点D重合时，点T的横坐标等于点D的横坐标，即t＝33，此时点N不是“友好点”，∴t＜33，故圆心T的横坐标t的取值范围：﹣4+33≤t＜33．【点睛】本题是圆的综合题，正确理解“友好点”的意义，熟练运用相似三角形的性质与特殊三角函数是解题的关键．11．2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》，将停车纳入城市综合交通体系，计划到2030年，在主城区新建停车泊位33.04万个，2019年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度为1：3，DE ＝3米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米），如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73）【答案】该停车库限高约为2.2米．【解析】【分析】据题意得出3tan B=，即可得出tan A，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求得DE，即可得出∠1的正切值，再在Rt△CEF中，设EF＝x，即可求出x，从而得出CF3的长．【详解】解：由题意得，3 tan3B=∵MN∥AD，∴∠A＝∠B，∴tan A＝3，∵DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，tan A＝DEAD，∵DE＝3，又∵DC＝0.5，∴CE＝2.5，∵CF⊥AB，∴∠FCE+∠CEF＝90°，∵DE⊥AD，∴∠A+∠CEF＝90°，∴∠A＝∠FCE，∴tan∠FCE＝3．在Rt△CEF中，设EF＝x，CF x（x＞0），CE＝2.5，代入得（52）2＝x2+3x2，解得x＝1.25，∴CFx≈2.2，∴该停车库限高约为2.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值．12．已知：如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，连接BC交圆于点D，过点D 作⊙O的切线交AC于E．（1）求证：AE＝CE（2）如图，在弧BD上任取一点F连接AF，弦GF与AB交于H，与BC交于M，求证：∠FAB+∠FBM＝∠EDC．（3）如图，在（2）的条件下，当GH＝FH，HM＝MF时，tan∠ABC＝34，DE＝394时，N为圆上一点，连接FN交AB于L，满足∠NFH+∠CAF＝∠AHG，求LN的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4013 NL【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，得∠ADC＝90°，由切线长定理得EA＝ED，再由等角的余角相等，得到∠C＝∠EDC，进而得证结论.（2）由同角的余角相等，得到∠BAD＝∠C，再通过等量代换，角的加减进而得证结论.（3）先由条件得到AB＝26，设HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝43a，再由相交弦定理得到GH•HF＝BH•AH，从而求出FH，BH，AH，再由角的关系得到△HFL∽△HAF，从而求出HL，AL，BL，FL，再由相交弦定理得到LN•LF＝AL•BL，进而求出LN的长.【详解】解：（1）证明：如图1中，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵EA、ED是⊙O的切线，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∵∠C+∠EAD＝90°，∠EDC+∠EDA＝90°，∴∠C＝∠EDC，∴ED＝EC，∴AE＝EC．（2）证明：如图2中，连接AD．∵AC是切线，AB是直径，∴∠BAC＝∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∴∠BAD＝∠C，∵∠EDC＝∠C，∴∠BAD＝∠EDC，∵∠DBF＝∠DAF，∴∠FBM+∠FAB＝∠FBM+∠DAF＝∠BAD，∴∠FAB+∠FBM＝∠EDC．（3）解：如图3中，由（1）可知，DE＝AE＝EC，∵DE＝394，∴AC＝392，∵tan∠ABC＝34＝ACAB，∴39 32 4AB ,∴AB＝26，∵GH＝FH，HM＝FN，设HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝43a，∵GH•HF＝BH•AH，∴4a2＝43a（26﹣43a），∴a＝6，∴FH＝12，BH＝8，AH＝18，∵GH＝HF，∴AB⊥GF，∴∠AHG＝90°，∵∠NFH+∠CAF＝∠AHG，∴∠NFH+∠CAF＝90°，∵∠NFH+∠HLF＝90°，∴∠HLF＝∠CAF，∵AC∥FG，∴∠CAF＝∠AFH，∴∠HLF＝∠AFH，∵∠FHL＝∠AHF，∴△HFL∽△HAF，∴FH2＝HL•HA，∴122＝HL•18，∴HL＝8，∴AL＝10，BL＝16，FL＝22＝413，FH HL∵LN•LF＝AL•BL，∴413•LN＝10•16，∴LN＝4013.13【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及到的知识有：切线的性质；切线长定理；圆周角定理；相交弦定理；相似三角形性质与判定等，熟练掌握圆的相关性质是解题关键.13．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，3∴0 tan30ODPD，解得OD=1，∴22=+=2，PO PD OD∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．14．兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【答案】主塔BD的高约为86.9米．【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出.【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin BCAAB=．∴sin152sin311520.5279.04BC AB A︒=⨯=⨯=⨯=．79.047.986.9486.9BD BC CD=+=+=≈（米）答：主塔BD的高约为86.9米．【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.15．已知：如图，直线y＝－x＋12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．(1)求AE的长及sin∠BEC的值；(2)求△CDE的面积．【答案】（1）2，sin∠BEC=35；（2）754【解析】【分析】（1）如图，作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B，点A坐标，继而可得∠A=∠B=45°，再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6，2，设AE=CE=x，则222-x，在Rt△CEF中，利用勾股定理求出x的值即可求得答案；（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，根据三角形面积公式则可得S△CDE=S△AED=24AD×AE，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在Rt△OCD中，利用勾股定理求出y，继而可求得答案.【详解】（1）如图，作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B（0，12），点A（12，0），∠A=∠B=45°，又∵点C是OB中点，∴OC=BC=6，CF=BF=32，设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x，在Rt△CEF中，CE2=CF2+EF2，即x2=（92-x）2+（32）2，解得：x=52，故可得sin∠BEC=35CFCE，AE=52；（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，则S△CDE=S△AED=12AD•EM=12AD×AEsin∠EAM=12AD•AE×sin45°=24AD×AE，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在Rt△OCD中，OC2+OD2=CD2，即62+（12-y）2=y2，解得：y=152，即AD=152，故S△CDE=S△AED=24AD×AE=754．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.。

九年级数学三角函数习题

九年级数学《直角三角形的边角关系》测试题（一）班级：_______ 姓名:_________组名_________审核人_______ 1.如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则αsin = ,αcos =___ ___.2.支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5 那么旗杆的有为米（用含α的三角比表示）．3.甲、乙、丙三个梯子斜靠在一堵墙上（梯子顶端靠墙），小明测得甲与地面的夹角为603米，且顶端距离墙脚3米；丙的坡31。

那么，这三张梯子的倾斜程度（）A.甲较陡 B ．乙较陡 C ．丙较陡 D ．一样陡4.如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，现在从AC 上取一点B ，使得∠ABD ＝145°，BD ＝500米，∠D ＝55°，要使A 、C 、E 在一条直线上，那么开挖点E 离点D 的距离是（）A ．500sin55°米B ．500cos55°米C ．500tan55°米；D ．o55tan 500米5.如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A 的正东方向且距A 地40海里的B 地训练.突然接到基地命令，要该军舰前往C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C 岛在A 的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向，军舰从B 处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到0.1小时）αP oy34第4题图︒60︒45A B北北6.（2012•陕西）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.5563，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）7.如图是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图，已知壁画AB的底端距离地面的高度BC=1m，在壁画的正前方点D处测得壁画底端的俯角∠BDF=30°，且点距离地面的高度DE=2m，求壁画AB的高度．九年级数学《直角三角形的边角关系》测试题（二）班级：_______ 姓名:_________组名_________审核人_______一、选择题1．在△ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别是∠A 、∠B 所对的两条直角边，c 是斜边，则有（）。

三角函数试题及答案初中

三角函数试题及答案初中一、选择题（每题3分，共30分）1. 若sinα=1/2，则α的度数是（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°2. cos30°的值是（）A. 1/2B. √3/2C. √2/2D. 13. 已知tan45°=1，则sin45°的值是（）A. 1/√2B. √2/2C. √2D. 14. 如果sinβ=3/5，且β为锐角，则cosβ的值是（）A. 4/5B. -4/5C. 3/5D. -3/55. 根据三角函数的定义，下列哪个选项是错误的（）A. sin0°=0B. cos90°=0C. tan60°=√3D. sin180°=-16. 已知sinA=1/2，那么cos2A的值是（）A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. 07. 在直角三角形中，如果一个锐角的正弦值是1/3，那么它的余弦值是（）A. 2√2/3B. √2/3C. √6/3D. 3√2/38. 根据三角函数的周期性，sin(360°+α)等于（）A. sinαB. -sinαC. co sαD. -cosα9. 一个角的正切值是-√3，那么这个角的度数是（）A. 60°B. 120°C. 240°D. 300°10. 根据三角函数的和角公式，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，那么cos(α+β)的值是（）A. cosαcosβ-sinαsinβB. cosαcosβ+sinαsinβC. sinαcosβ-cosαsinβD. -cosαcosβ-sinαsinβ二、填空题（每题4分，共20分）1. sin60°的值是______。

2. 一个角的余弦值是-1/2，那么这个角的正弦值是______。

3. 已知tanA=2，则sinA的值是______。

三角函数综合测试题(含答案)

三角函数综合测试题（本试卷满分150分，考试时间120分）第Ⅰ卷（选择题共40分）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、若点P 在32π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（）A ．)3,1(B ．)1,3(-C ．)3,1(--D ．)3,1(-2、已知=-=-ααααcos sin ,45cos sin 则（） A ．47 B ．169- C ．329-D ．329 3、下列函数中，最小正周期为2π的是（） A ．)32sin(π-=x y B ．)32tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x y D ．)64tan(π+=x y4、等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=（）A ．924-B ．924 C ．97-D ．975、将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，则ϕ等于() A ．12π-B ．3π-C ．3π D ．12π 6、50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( )A ．3B ．33C ．33-D ．3-7．在△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8.ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（） A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πBC ．33sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分，把答案填在题中横线上）9.已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为；10.在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________11.已知,1)cos(,31sin -=+=βαα则=+)2sin(βα _______． 12.函数x x y 2cos )23cos(--=π的最小正周期为 __________．13.关于三角函数的图像，有下列命题： ①x y sin =与x y sin =的图像关于y 轴对称； ②)cos(x y -=与x y cos =的图像相同；③x y sin = 与)sin(x y -=的图像关于y 轴对称；④ x y cos =与)cos(x y -=的图像关于y 轴对称；其中正确命题的序号是 ___________．三．解答题（本大题共6小题，共80分。

三角函数计算题初中

1. 在直角三角形中，已知一条直角边长为3，斜边长为5，则另一直角边的长为：A. 4B. 3C. 2D. 12. 已知角A的正弦值为0.6，则角A的余弦值为：A. 0.4B. 0.6C. 0.8D. 0.23. 若sinθ = 0.8，则θ的值约为：A. 53.13°B. 36.87°C. 48.59°D. 41.41°4. 在直角三角形中，已知一条直角边长为4，斜边长为5，则另一直角边的正弦值为：A. 0.8B. 0.6C. 0.4D. 0.755. 若tanθ = 1.5，则θ的值最接近：A. 56.31°B. 45°C. 63.43°D. 30°填空题：6. 若sin 30° = ____，则sin 60° = ____。

7. 若cos 45° = ____，则cos 60° = ____。

8. 若tan 45° = ____，则tan 30° = ____。

9. 若sin 45° = ____，则cos 45° = ____。

10. 若tan 60° = ____，则sin 30° = ____。

11. 在直角三角形中，已知一条直角边长为6 cm，另一条直角边长为8 cm。

求斜边的长。

12. 在一个角为30°的直角三角形中，求另一个锐角的余弦值。

13. 一边长为5 cm的正三角形中，每个角的正弦值是多少？14. 若一角的余弦值为0.8，则这个角的角度是多少？15. 在直角三角形中，已知一条直角边长为10 cm，斜边长为15 cm。

求另一直角边的正切值。

初三数学三角函数

初中数学三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

222c b a =+2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角) 正切的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A (∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A A余切的对边的邻边A A A ∠∠=cot a bA =cot 0cot >A (∠A 为锐角) 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30°45°60°90° αsin 0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan33 1 3-)90cot(tan A A -︒=)90tan(cot A A -︒=B A cot tan =B A tan cot =)90cos(sin A A -︒=)90sin(cos A A -︒= BA cos sin =B A sin cos =A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边斜边ACBba c A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B Aαcot-3 133 06、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

(完整)初中数学三角函数练习题

(完整)初中数学三角函数练习题初中数学三角函数练题1. 求下列三角函数的值：a) sin 30°b) cos 45°c) tan 60°2. 在直角三角形 ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 5 cm，BC = 12 cm。

求 sin A、cos A 和 tan A 的值。

3. 如果 sin x = 0.6，求 x 的值（0° ≤ x ≤ 180°）。

4. 已知 sin y = 0.8，求 cos y 的值（0° ≤ y ≤ 180°）。

5. 在直角三角形 DEF 中，∠E = 30°，EF = 6 cm，DE = 8 cm。

求 sin F、cos F 和 tan F 的值。

6. 如果 cos z = 0.4，求 z 的值（0° ≤ z ≤ 180°）。

7. 已知 cos w = 0.7，求 sin w 的值（0° ≤ w ≤ 180°）。

8. 在直角三角形 GHI 中，∠H = 60°，GH = 9 cm，HI = 3 cm。

求 sin G、cos G 和 tan G 的值。

9. 如果 tan v = 1.5，求 v 的值（0° ≤ v ≤ 180°）。

10. 已知 tan u = 2，求 sin u 的值（0° ≤ u ≤ 180°）。

11. 在直角三角形 ___ 中，∠K = 45°，JK = 6 cm，KL = 6 cm。

求 sin L、cos L 和 tan L 的值。

12. 如果 cot t = 0.75，求 t 的值（0° ≤ t ≤ 180°）。

13. 已知 cot s = 4，求 sin s 的值（0° ≤ s ≤ 180°）。

14. 已知cos α = 0.6，求sin^2 α 和cos^2 α 的值。

三角函数综合测试题(附答案)

三角函数综合测试题学生：用时：分数一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〔本大题共18小题，每题3分，共54分〕1.〔08全国一6〕2(sin cos )1y x x =--是〔〕 A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数2.〔08全国一9〕为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像〔〕A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位3.(08全国二1)假设sin 0α<且tan 0α>是，那么α是〔〕A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4.〔08全国二10〕．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为〔〕 A ．1 B ． 2 C ．3 D ．25.〔08安徽卷8〕函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是〔〕A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=6.〔08福建卷7〕函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，那么g(x )的解析式为( )xxxx7.〔08广东卷5〕函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，那么()f x 是〔〕 A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数C 、最小正周期为π的偶函数D 、最小正周期为2π的偶函数 8.〔08海南卷11〕函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为〔〕A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，329.〔08湖北卷7〕将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，假设F ′的一条对称轴是直线,1x π=那么θ的一个可能取值是〔〕A.512π B.512π- C.1112π D.1112π- 10.〔08江西卷6〕函数sin ()sin 2sin2xf x xx =+是〔〕A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，那么MN 的最大值为〔〕 A ．1BCD ．212.〔08山东卷10〕πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是〔〕A． BC ．45-D ．4513.〔08陕西卷1〕sin 330︒等于〔〕 A．2-B ．12-C ．12D．214.〔08四川卷4〕()2tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x 15.〔08天津卷6〕把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍〔纵坐标不变〕，得到的图象所表示的函数是〔〕 A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ，C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 16.〔08天津卷9〕设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，那么〔〕 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<17.〔08浙江卷2〕函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是〔〕A.2π B .π C.32πD.2π 18.〔08浙江卷7〕在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是〔〕1-18题答案：二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上〔本大题共5小题，每题3分，共 15分〕.19.〔08北京卷9〕假设角α的终边经过点(12)P -，，那么tan 2α的值为． 20.〔08江苏卷1〕()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，那么ω= ．21.〔08辽宁卷16〕设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，那么函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为．22.〔08浙江卷12〕假设3sin()25πθ+=，那么cos 2θ=_________。

初三数学上册综合算式专项练习题三角函数的运算

初三数学上册综合算式专项练习题三角函数的运算初三数学上册综合算式专项练习题：三角函数的运算三角函数在初中数学的学习中占据着重要的地位。

掌握三角函数的运算规则，不仅可以解决与角度相关的问题，还可以在几何图形的计算中起到重要的作用。

本文将围绕三角函数的运算，给出一些综合算式专项练习题，帮助同学们熟练掌握三角函数的运算方法。

一、计算题1. 计算以下各式的值：a) sin30°b) cos60°c) tan45°2. 分别求以下各式的值：a) cos(90° + x)b) sin(180° - x)c) tan(270° + x)3. 确定以下各式的符号：a) cos(-45°)b) sin(-120°)c) tan(-60°)二、简化题1. 简化以下各式：a) cos^2x + sin^2xb) tan^2x + 12. 简化以下各式，并求出其值：a) sin^2x - cos^2xb) 1 - sin^2x三、综合题1. 已知在直角三角形中，∠A = 30°，边AC = 5，边BC = 3。

求：a) sinAb) cosAc) tanA2. 已知在直角三角形中，∠A = 60°，边AB = 4，边BC = 2。

求：a) sinAb) cosAc) tanA四、复杂题1. 已知在任意三角形ABC中，AB = 5，BC = 7，AC = 8。

求：a) sinAb) cosAc) tanA2. 已知在任意三角形ABC中，∠B = 45°，c = 10。

求：a) sinBb) cosBc) tanB以上是初三数学上册综合算式专项练习题，通过解答这些题目，同学们可以加深对三角函数的运算规则的理解，同时也能够巩固自己的计算能力和运算技巧。

希望同学们认真对待这些练习题，刻苦锻炼自己的数学能力，提高自己的成绩。

初中数学三角函数综合练习题(1)

三角函数综合练习题一．选择题（共10小题）1．如图，在网格中，小正方形の边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABCの正切值是（）A．2 B．C．D．2．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙Aの一条弦，则sin∠OBD=（）A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，斜边ABの长为m，∠A=35°，则直角边BCの长是（）A．msin35° B．mcos35° C．D．4．如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosAの值为（）A．B．C．D．5．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架の跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D 为底边中点）の长是（）A．5sin36°米B．5cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米6．一座楼梯の示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CAの夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯の面积至少需要（）A．米2B．米2C．（4+）米2D．（4+4tanθ）米27．如图，热气球の探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处の仰角为30°，看这栋楼底部C处の俯角为60°，热气球A处与楼の水平距离为120m，则这栋楼の高度为（）A．160m B．120m C．300m D．160m8．如图，为了测量某建筑物MNの高度，在平地上A处测得建筑物顶端Mの仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端Mの仰角为45°，则建筑物MNの高度等于（）A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m9．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度の综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面の大树顶端Cの仰角为36°，然后沿在同一剖面の斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面ABの坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CDの高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米10．如图是一个3×2の长方形网格，组成网格の小长方形长为宽の2倍，△ABCの顶点都是网格中の格点，则cos∠ABCの值是（）A．B．C．D．二．解答题（共13小题）11．计算：（﹣）0+（）﹣1﹣|tan45°﹣|12．计算：．13．计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．14．计算：cos245°﹣+cot230°．15．计算：sin45°+sin60°﹣2tan45°．16．计算：cos245°+tan60°•cos30°﹣3cot260°．17．如图，某办公楼ABの后面有一建筑物CD，当光线与地面の夹角是22°时，办公楼在建筑物の墙上留下高2米の影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上の影子F与墙角C有25米の距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼ABの高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间の距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）18．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面の夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置Cの深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）19．如图，为测量一座山峰CFの高度，将此山の某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”の，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡の高度EF；（2）求山峰の高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）20．如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点Cの仰角为60°，沿山坡向上走到P 处再测得Cの仰角为45°，已知OA=200米，山坡坡度为（即tan∠PAB=），且O，A，B 在同一条直线上，求电视塔OCの高度以及此人所在の位置点Pの垂直高度．（侧倾器の高度忽略不计，结果保留根号）21．如图，为了测量出楼房ACの高度，从距离楼底C处60米の点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：の斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶Aの仰角为53°，求楼房ACの高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．22．如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物の旁边有一幢小楼DE，在小楼の顶端D处测得障碍物边缘点Cの俯角为30°，测得大楼顶端Aの仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间の距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）23．某型号飞机の机翼形状如图，根据图示尺寸计算AC和ABの长度（精确到0.1米，≈1.41，≈1.73 ）．2016年12月23日三角函数综合练习题初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形の边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABCの正切值是（）A．2 B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得AC、ABの长，根据正切函数の定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数の定义，先求出AC、ABの长，再求正切函数．2．（2016•攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙Aの一条弦，则sin∠OBD=（）A．B．C．D．【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），∴OD=3，OC=4，∵∠COD=90°，∴CD==5，连接CD，如图所示：∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD==．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数の定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题の关键．3．（2016•三明）如图，在Rt△ABC中，斜边ABの长为m，∠A=35°，则直角边BCの长是（）A．msin35° B．mcos35° C．D．【分析】根据正弦定义：把锐角Aの对边a与斜边cの比叫做∠Aの正弦可得答案．【解答】解：sin∠A=，∵AB=m，∠A=35°，∴BC=msin35°，故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．4．（2016•绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosAの值为（）A．B．C．D．【分析】先根据等腰三角形の性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC．再证明△BCE∽△ABC，根据相似三角形の性质列出比例式=，求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosAの值．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°，∴∠BEC=∠C=72°，∴BE=BC，∴AE=BE=BC．设AE=x，则BE=BC=x，EC=4﹣x．在△BCE与△ABC中，，∴△BCE∽△ABC，∴=，即=，解得x=﹣2±2（负值舍去），∴AE=﹣2+2．在△ADE中，∵∠ADE=90°，∴cosA===．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形の性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线の性质，相似三角形の判定与性质，难度适中．证明△BCE∽△ABC是解题の关键．5．（2016•南宁）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架の跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）の长是（）A．5sin36°米B．5cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米【分析】根据等腰三角形の性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠Bの正切进行计算即可得到ADの长度．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，∴DC=BD=5米，在Rt△ADC中，∠B=36°，∴tan36°=，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形の应用．解决此问题の关键在于正确理解题意の基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．6．（2016•金华）一座楼梯の示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CAの夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯の面积至少需要（）A．米2B．米2C．（4+）米2D．（4+4tanθ）米2【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BCの长度，由矩形の面积即可得出结果．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC•tanθ=4tanθ（米），∴AC+BC=4+4tanθ（米），∴地毯の面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+4tanθ（米2）；故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形の应用、矩形面积の计算；由三角函数表示出BC是解决问题の关键．7．（2016•长沙）如图，热气球の探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处の仰角为30°，看这栋楼底部C处の俯角为60°，热气球A处与楼の水平距离为120m，则这栋楼の高度为（）A．160m B．120m C．300m D．160m【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，在Rt△ABD中，BD=AD•tan30°=120×=40（m），在Rt△ACD中，CD=AD•tan60°=120×=120（m），∴BC=BD+CD=160（m）．故选A．【点评】此题考查了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题の关键．8．（2016•南通）如图，为了测量某建筑物MNの高度，在平地上A处测得建筑物顶端Mの仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端Mの仰角为45°，则建筑物MNの高度等于（）A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m【分析】设MN=xm，由题意可知△BMN是等腰直角三角形，所以BN=MN=x，则AN=16+x，在Rt△AMN中，利用30°角の正切列式求出xの值．【解答】解：设MN=xm，在Rt△BMN中，∵∠MBN=45°，∴BN=MN=x，在Rt△AMN中，tan∠MAN=，∴tan30°==，解得：x=8（+1），则建筑物MNの高度等于8（+1）m；故选A．【点评】本题是解直角三角形の应用，考查了仰角和俯角の问题，要明确哪个角是仰角或俯角，知道仰角是向上看の视线与水平线の夹角；俯角是向下看の视线与水平线の夹角；并与三角函数相结合求边の长．9．（2016•重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度の综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面の大树顶端Cの仰角为36°，然后沿在同一剖面の斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面ABの坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CDの高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米【分析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AEの长度，在Rt△ACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果．【解答】解：作BF⊥AE于F，如图所示：则FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面ABの坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中，CE=AE•tan36°=18×0.73=13.14米，∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形の应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题の关键．10．（2016•广东模拟）如图是一个3×2の长方形网格，组成网格の小长方形长为宽の2倍，△ABCの顶点都是网格中の格点，则cos∠ABCの值是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可得∠D=90°，AD=3×1=3，BD=2×2=4，然后由勾股定理求得ABの长，又由余弦の定义，即可求得答案．【解答】解：如图，∵由6块长为2、宽为1の长方形，∴∠D=90°，AD=3×1=3，BD=2×2=4，∴在Rt△ABD中，AB==5，∴cos∠ABC==．故选D．【点评】此题考查了锐角三角函数の定义以及勾股定理．此题比较简单，注意数形结合思想の应用．二．解答题（共13小题）11．（2016•成都模拟）计算：（﹣）0+（）﹣1﹣|tan45°﹣|【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角の三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数の运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=1+3×﹣︳1﹣︳=1+2﹣+1=．【点评】本题考查实数の综合运算能力，是各地中考题中常见の计算题型．解决此类题目の关键是熟记特殊角の三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点の运算．12．（2016•顺义区二模）计算：．【分析】要根据负指数，绝对值の性质和三角函数值进行计算．注意：（）﹣1=3，|1﹣|=﹣1，cos45°=．【解答】解：原式===2．【点评】本题考查实数の运算能力，解决此类题目の关键是熟记特殊角の三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点の运算．注意：负指数为正指数の倒数；任何非0数の0次幂等于1；二次根式の化简是根号下不能含有分母和能开方の数．13．（2016•天门模拟）计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．【分析】先把各特殊角の三角函数值代入，再根据二次根式混合运算の法则进行计算即可．【解答】解：原式=•+（）2﹣+2×=+﹣+=1+．【点评】本题考查の是特殊角の三角函数值，熟记各特殊角度の三角函数值是解答此题の关键．14．（2016•黄浦区一模）计算：cos245°﹣+cot230°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数の运算，根据实数の运算，可得答案．【解答】解：原式=（）2﹣+（）2=﹣+3=．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．15．（2016•深圳校级模拟）计算：sin45°+sin60°﹣2tan45°．【分析】根据特殊角の三角函数值进行计算．【解答】解：原式=×+2×﹣2×1=+3﹣2=．【点评】本题考查了特殊角の三角函数值．特指30°、45°、60°角の各种三角函数值．sin30°=； cos30°=；tan30°=；sin45°=；cos45°=；tan45°=1；sin60°=；cos60°=； tan60°=．16．（2016•虹口区一模）计算：cos245°+tan60°•cos30°﹣3cot260°．【分析】将特殊角の三角函数值代入求解．【解答】解：原式=（）2+×﹣3×（）2=1．【点评】本题考查了特殊角の三角函数值，解答本题の关键是掌握几个特殊角の三角函数值．17．（2016•青海）如图，某办公楼ABの后面有一建筑物CD，当光线与地面の夹角是22°时，办公楼在建筑物の墙上留下高2米の影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A 在地面上の影子F与墙角C有25米の距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼ABの高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间の距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=，求出即可；（2）利用Rt△AME中，cos22°=，求出AE即可【解答】解：（1）如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，tan22°=，则=，解得：x=20．即教学楼の高20m．（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．在Rt△AME中，cos22°=．∴AE=，即A、E之间の距离约为48m【点评】此题主要考查了解直角三角形の应用，根据已知得出tan22°=是解题关键18．（2016•自贡）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面の夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置Cの深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）【分析】过C点作ABの垂线交ABの延长线于点D，通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt △BDC中利用锐角三角函数の定义即可求出CDの值．【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．在Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°==，解得：x≈3．即生命迹象所在位置Cの深度约为3米．【点评】本题考查の是解直角三角形の应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题の关键．19．（2016•黄石）如图，为测量一座山峰CFの高度，将此山の某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”の，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡の高度EF；（2）求山峰の高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦の定义可计算出BHの长，从而得到EFの长；（2）先在Rt△CBE中利用∠CBEの正弦计算出CE，然后计算CE和EFの和即可．【解答】解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CFの高度约为541米．【点评】本题考查了解直角三角形の应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面の铅直高度h和水平宽度lの比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡の陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：mの形式．把坡面与水平面の夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间の关系为：i ═tanα．20．（2016•天水）如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点Cの仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得Cの仰角为45°，已知OA=200米，山坡坡度为（即tan∠PAB=），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OCの高度以及此人所在の位置点Pの垂直高度．（侧倾器の高度忽略不计，结果保留根号）【分析】在直角△AOC中，利用三角函数即可求解；在图中共有三个直角三角形，即RT△AOC、RT△PCF、RT△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间の关系，列方程求解即可解决．【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO=200米，∠CAO=60°，∴CO=AO•tan60°=200（米）（2）设PE=x米，∵tan∠PAB==，∴AE=3x．在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=200﹣x，PF=OA+AE=200+3x，∵PF=CF，∴200+3x=200﹣x，解得x=50（﹣1）米．答：电视塔OCの高度是200米，所在位置点Pの铅直高度是50（﹣1）米．【点评】考查了解直角三角形の应用﹣仰角俯角问题以及坡度坡角问题，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．（2016•泸州）如图，为了测量出楼房ACの高度，从距离楼底C处60米の点D（点D 与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：の斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶Aの仰角为53°，求楼房ACの高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在RT△BDN中求出线段BN，在RT△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题．【解答】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．在RT△BDN中，BD=30，BN：ND=1：，∴BN=15，DN=15，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BM=15，BM=CN=60﹣15=45，在RT△ABM中，tan∠ABM==，∴AM=60，∴AC=AM+CM=15+60．【点评】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题の关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度の定义，属于中考常考题型．22．（2016•昆明）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物の旁边有一幢小楼DE，在小楼の顶端D处测得障碍物边缘点Cの俯角为30°，测得大楼顶端Aの仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间の距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解直角△AFD得到DFの长度；通过解直角△DCE得到CEの长度，则BC=BE﹣CE．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE===10（m），∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．答：障碍物B，C两点间の距离约为52.7m．【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．23．（2016•丹东模拟）某型号飞机の机翼形状如图，根据图示尺寸计算AC和ABの长度（精确到0.1米，≈1.41，≈1.73 ）．【分析】在Rt△CAE中，∠ACE=45°，则△ACE是等腰直角三角形即可求得ACの长；在Rt △BFD中已知∠BDF与FBの长，进而得出ABの长．【解答】解：在Rt△CAE中，∠ACE=45°，∴AE=CE=5（m），∴AC=CE=5≈5×1.414≈7.1（m），在Rt△BFD中，∠BDF=30°，∴BF=FD•tan30°=5×≈5×≈2.89（m），∵DC=EF=3.4（m），∴AF=1.6m，则AB=2.89﹣1.6=1.29≈1.3（m），答：AC约为7.1米，BA约为1.3米．【点评】此题考查了三角函数の基本概念，主要是正切函数の概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．。